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2024~2025 学年第二学期数学（九年级）练习卷（二）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 下列实数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】无理数是指无限不循环小数，据此判断即可．
【详解】根据无理数的定义， 为无理数，
，1，2均为有理数，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的辨别，理解无理数的定义以及常见形式是解题关键．
2. 清代 袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花
的花粉直径约为 米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000084=8.4×10-6．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第
一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】主视图朝向自己，找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应该表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看，底层左侧是一个小正方形，上层是两个小正方形，左齐．
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上方向下看得到的视图，正确理解三视图相关概念
是解题关键．
4. （ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式 ，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
5. 直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则
积水的最大深度CD为（ ）
A. 2分米 B. 3分米 C. 4分米 D. 5分米
【答案】A
【解析】【分析】先求出 的长，再由垂径定理求出 的长，根据勾股定理求出 的长，进而可得出结论．
【详解】 的直径为 分米，
（分米），
， （分米），
（分米），
（分米），
积分的最大深度 （分米）．
故选： ．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出 的长是解答此题的关键．
6. 如图，在 中， ，将 绕点A旋转到 的位置，使得 ，则
的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
根据两直线平行，内错角相等可得 ，根据旋转的性质可得 ，然后利用等腰三角形两底角相等求 ，再根据 、 都是旋转角解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 绕点 旋转得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
7. 在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有线段、等边三角形、平行四边形和正六边形．现将四张卡
片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判断各图形是否是轴对称图形，再根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能
的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵线段是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，正六边形是
轴对称图形，
分别用A、B、C、D表示线段、等边三角形、平行四边形和正六边形，
∴随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为 = ，
故选：A．【点睛】本题考查概率公式、轴对称图形，解答本题的关键是写出题目中的图形是否为轴对称图形，明确
两张都是轴对称图形是同时发生的．
8. 已知一次函数y= x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由一次函数的图象判断出 <0, c>0，再判断二次函数的图象特征，进而求解.
【详解】由一次函数的图象可得： <0, c>0，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴= >0,与y轴的
交点在正半轴，符合题意的只有A.故选A.
【点睛】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，解题的关键是根据一次函数的图象判断出 <0,
c>0.
9. 若不等式组 无解，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到可得关于m的不等式，解之可得．
【详解】解不等式 ，得：x＞8，
∵不等式组无解，
∴4m≤8，
解得m≤2，
故选A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10. 已知如图等腰 ， ， ， 于点 ，点 是 延长线上一点，
点 是线段 上一点， ，下面的结论中不正确的是（ ）
A. B. 是等边三角形
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性
质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
利用等边对等角，即可证得： ， ，则
，据此即可判断A；证明 且 ，即
可证得 是等边三角形；从而判断B；首先证明 ，则 ，，即可判断C、D选项．
【详解】解： ， ，
， ，
，
，
，
， ，
．故A正确，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形．故B正确
如图，在 上截取 ，连接 ，，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．故C正确，D不正确
故选：D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 计算 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 一元二次方程 的根是_______．【答案】 ， ## ，
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：
，
或 ，
所以 ， ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程 因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出
方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
13. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图
形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的
重要内容之一、如图，在矩形 中， ， ，对角线 与 交于点O，点E为
边上的一个动点， ， ，垂足分别为点F，G，则 ___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】连接 ，根据矩形的性质得到 ， ， ，根据
勾股定理得到 ，求得 ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接 ，四边形 是矩形，
， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合
思想的应用．
14. 如图，点 是平行四边形 内一点， 与 轴平行， 与 轴平行， ，
， ．若反比例函数 的图象经过 、 两点．（1） __________；
（2） __________．
【答案】 ①. 4 ②. 6
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合．熟练掌握反比例函数相关性质是关键．
（1）作 交 的延长线于点 ，作 轴于点 ，证明 为等腰直角三角形，计算
出 长度，根据勾股定理即可求解；
的
（2）证明 ≌ ，得出 长度，设出点 坐标，表示出点 的坐标，列出方程计算出
值．
【详解】解：作 交 的延长线于点 ，作 轴于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ，
故答案为：4；
（2）∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
又∵ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．故答案为：6．
三、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】0
【解析】
【分析】根据整式的乘法对代数式进行化简，整体代入即可得到答案．
【详解】解：
=
=
=
=
∵
∴原式=0
即代数式 的值为0．
【点睛】本题考查整式的化简求值，根据整式的运算法则和乘法公式进行准确计算是解题的关键．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段 关于直线 对称的线段 ；（2）将线段 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段 ，画出线段 ；
（3）描出线段 上的点 及直线 上的点 ，使得直线 垂直平分 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质找到 关于直线 的对称点， ，连接 ，则线段 即
为所求；
（2）根据平移的性质得到线段 即为所求；
（3）勾股定理求得 ， ，则 证明
得出 ，则 ，则点 即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，线段 即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，线段 即为所求；【小问3详解】
解：如图所示，点 即为所求
如图所示，
∵ ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴
∴ ，
∴ 垂直平分 ．
【点睛】本题考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 某市政府计划拨款 元为福利院购买彩电和冰箱，已知商场彩电标价为 元/台，冰箱标价为
元/台，如按标价购买两种家电共 台，恰好将拨款全部用完．
（1）问原计划购买的彩电和冰箱各多少台？
（2）购买的时候恰逢商场正在进行促销活动，全场家电均降价 进行销售，若在不增加市政府实际负
担的情况下，能否比原计划多购买 台冰箱？请通过计算回答．
【答案】（1）原计划购买彩电 台，则购买冰箱 台
（2）能，计算见解析
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．
（1）设设原计划购买彩电 台，则购买冰箱 台，根据题意列出方程，即可求解；
（2）先求出在购买台数不变的情况下，还剩多少元，即可判断结论．
【小问1详解】
解：设原计划购买彩电 台，则购买冰箱 台，根据题意可得： ，
解得： ，
，
答：原计划购买彩电 台，则购买冰箱 台；
【小问2详解】
的
在购买台数不变 情况下，还剩 （元），
现在每台冰箱售价为 （元），
可买冰箱 （台） （元），
答：在不增加市政府实际负担的情况下，能比原计划多购买 台冰箱．
18. 在如图中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：
（1） 观察图形，请填写下列表格：
正方形边长 1 3 5 7 … n(奇数)
黑色小正方形个数 …
正方形边长 2 4 6 8 … n(偶数)
黑色小正方形个数 …
（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P，白色小正方形的个数为P，问是否存
1 2
在偶数n，使P＝5P？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.
2 1
【答案】（1）1，5，9，13，…，则（奇数）2n-1；4，8，12，16，…，则（偶数）2n（2）存在偶数
n=12使得P=5P
2 1
【解析】【分析】（1）此题找规律时，显然应分两种情况分析：当n是奇数时，黑色小正方形的个数是对应的奇数；
当n是偶数时，黑色小正方形的个数是对应的偶数．
（2）分别表示偶数时P 和P 的值，然后列方程求解，进行分析
1 2
【详解】(1)1,5,9,13,…,则(奇数)2n−1；
4,8,12,16,…,则(偶数)2n.
(2)由上可知n为偶数时P=2n,白色与黑色的总数为n2，
1
∴P=n2−2n，
2
根据题意假设存在,则n2−2n=5×2n，
n2−12n=0，
解得n=12,n=0(不合题意舍去).
故存在偶数n=12,使得P=5P .
2 1
五、（本题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图如
下，经过测量，支架的立柱 与地面 垂直， 米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆
与水平线 的夹角 ，支撑杆 ，垂足为E，该支架的边 与 的夹角
，又测得 米．（参考数据： ， ， ，
， ， ）
（1）求该支架的边 长；
（2）求支架的边 的顶端D到地面 的距离．（结果精确到1米）
【答案】（1）该支架的边 的长为6米（2）支架 的边 的顶端D到地面 的距离为8米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）解直角三角形 可求出 ；
（2）根据 的长进而得出 的长，再解直角三角形 即可得到 的长；过点 作 于
，过点 作 于 ，则四边形 是矩形，得 米， ，进而得
，即得 ，解直角三角形 得到 的长，即可求出 的顶端
到地面 的距离；
【小问1详解】
解：在 中， ， ， 米，
米，
该支架的边 的长为6米；
【小问2详解】
解： 米，
米，
，
，
在 中， 米．
如图，过点D作 于H，过点B作 于点G，
则四边形 是矩形．
米， ，．
，
在 中， 米，
米，
支架的边 的顶端D到地面 的距离为8米．
20. 已知，如图，在 中，D是 边上一点， 过D、B、C三点，直线 是 的切线，
．
（1）求 的度数；
（2）如果 ， 的半径为2，求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质、等腰直角三角形的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握切线的性质、
等腰直角三角形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键；
（1）由题意得 ，然后根据平行线的性质可进行求解；（2）过点D作 于点E，由题意得 ，由（1）可知 ，可得
，然后可得 ， 是等腰直角三角形，进而问题可
求解．
【小问1详解】
解：∵直线 是 的切线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：过点D作 于点E，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
由（1）可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行
测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： ， ， ，
， ， ）；
．A课程成绩在 这一组是：
70 71 71 71 76 76 77 78 79 79 79
．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程 平均数 中位数 众数
A
B 70 83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程
是________（填“A”或“B”），理由是_______；（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过 分的人数．
【答案】（1）78.75；（2）B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数；（3）180人．
【解析】
【分析】（1）根据中位数的概念直接进行计算即可；
（2）根据成绩和中位数的关系即可知道排名更靠前的课程；
（3）用总人数300乘以抽取的学生中A课程成绩超过 分的比例即可．
【详解】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8=60，
∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，
∴中位数在70≤x＜80这一组，
∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，
∴A课程的中位数为 ，即m=78.75；
（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，
∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，
故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．
（2）B．该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位
置之前．
（3）解：抽取的60名学生中．A课程成绩超过 的人数为36人．
∴ （人）
答：该年级学生都参加测试．估计A课程分数超过 的人数为180人．
【点睛】本题考查考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，熟练掌握中位数的计算方法和意义是
解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 在正方形 旁，正方形 如图（1）放置，其中A、B、E在同一条直线上．（1）H是 中点，求证： ；
（2）如图（2），将正方形 逆旋转 ，连接 、 ．
①若 ， ，求 的值；
②如图（3）若N是 中点，连接 ，交 于点M，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）① ；②见解析
【解析】
【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的判
定和性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）连接 ，得到 是直角三角形，即可得到结论；
（2）①连接 ，设 与 交于点 ，证出 ，从而得到 ，
求出 ，根据勾股定理即可得到结论；
② 延 长 至 点 ， 使 得 ， 连 接 交 于 点 ， 证 明 ， 得 到
，然后证明 ，进而解决问题．
【小问1详解】
证明：连接 ，
正方形 ，正方形 ，
， ，
， ，
，
在 中，H是 中点，；
【小问2详解】
①解：连接 ，设 与 延长线的交于点 ，
正方形 ，正方形 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②证明：延长 至点 ，使得 ，连接 交 于点 ，
正方形 ，正方形 ，，
，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
，
∵ ，N是 中点，
是 的中位线，
，
，
．
八、（本题满分14分）
23. 如图，点 、 、 在抛物线 上．（1）求抛物线的解析式．
（2）点 是线段 上一个动点，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，求线段 长度最大时点 的坐
标．
（3）点 是抛物线上的动点，在 轴上是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是
平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3） 或 或 或
【解析】
【分析】（1）将 、 的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将 点横坐标代入抛物线的解析
式中.
（2） 的长实际是直线 与抛物线的函数值的差，可设 点的横坐标为 ，用 分别表示出 、
的纵坐标，即可得到关于 的长、 的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得 的最大值.
（3）存在.如图，设抛物线与 的交点为 ，由题意 ，可知 轴，分图中四种情形，利用
平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可.
【小问1详解】
解：将 代入 ，得到 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；【小问2详解】
将 点的横坐标 代入 ，得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 分别代入，得 ，解得： ，
∴直线 的函数解析式是 ，
设 点的横坐标为 ，则 、 的坐标分别为： ，
∵ 点在 点的上方，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大，最大值为 ，此时点 的坐标为 ；
【小问3详解】
存在．满足条件的点 的坐标为 或 或 或 ．
理由：如图，设抛物线与 轴的交点为 ，由题意得 ，∵ ，
∴ 轴， ，
当点 与点 重合时，
①当 是平行四边形 的边时，即 ，则 ， 得 ，
②当 是平行四边形 的对角线时，即 ，则 得 ，
当点 在 轴的上方时，令 ，解得 ，
∴ ，
由平移的性质可知 ，
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的定义，待定系数法求解二次函数解析式，二次函数与一次函数交点求线段的
最值问题，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质，解题关键是熟悉各个知识点并综合运用．
