文档内容
2025 年中考第三次模拟数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上
答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 的相反数是（ ）
A. 2025 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了绝对值和相反数，熟练掌握各自的定义是解题关键． 首先根据绝对值的定义进行化
简，然后再求相反数即可．
【详解】解：
∴ 的相反数是 ．
故选：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了幂的运算法则、单项式除以单项式、合并同类项．根据幂的乘方、同底数幂的乘法、
单项式除以单项式、合并同类项法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：A. ，故选项计算错误，不符合题意；B. ，故选项计算错误，不符合题意；
C. ，故选项计算错误，不符合题意；
D. ，故选项计算正确，符合题意；
故选：D．
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据三视图还原几何体，根据三视图，确定几何体，进行判断即可．
【详解】解：由三视图可知：该几何体是
故选：B．
4. “天雷滚滚我好怕怕”是《哪吒2》中的台词，截止2025年3月15日，电影《哪吒2》的票房已突破
151亿张，其中数据151亿用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此
求解即可．
【详解】解：数据151亿用科学记数法表示为 ．
故选：D．
5. 如图，在正五边形 中，连结 ， ，过点 作 的垂线，与边 交于点 ，与对角线
交于点 ，下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D. 点 是 的黄金分割点
【答案】C
【解析】
【分析】连接 交 于点 ，连接 ，由正五边的性质求出 ，由等腰三角形的性质
及 三 角 形 内 角 和 定 理 可 得 ， 然 后 证 明 ， 得 出
，证出 ，则可得出 ；再证明 ，则
，整理得 ，解得 （负值已舍去），则 ，
所以点 是 的黄金分割点，再得出 ，算出 ，
即可作答．
【详解】证明：如图，连接 交 于点 ，连接 ，正五边形 的内角和是 ，
∴ ，
∵过点 作 的垂线，
∴ ，
∴
在 中， ，
故A选项是正确的，不符合题意；
，
，
，
∴ ，
，
，
，
又 ，
，
，
又 ， ，，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
．
∴ ，
故B选项是正确的，不符合题意；
∵ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
即 ，
∴ ，
解得 （负值已舍去），
∴ ，即 ，
∴点 是 的黄金分割点，
故D选项是正确的，不符合题意；
则 ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故C选项不是正确的，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形
的判定与性质，黄金分割，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
6. 甲、乙、丙进入了“中国主持人大赛”的东南区预选赛的决赛，他们三人擅长主持的节目分别是A、B、
C．现将标有A、B、C的三个标签的球放入不透明的盒子中，让三位选手随机摸取一球，以确定比赛时的
节目．则三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】据题意列出图表得出所有等情况数，找出三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的情况数，再
根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画树状图如下：共有12种等情况数，其中三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的有2种，
则三人抽到的恰好都是自己擅长主持的节目的概率是 ；
故选：C．
【点睛】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是
放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7. 某公司今年10月份的营业额为2000万元，按计划第四季度的总营业额要达到9500万元，若设该公司
11、12两个月营业额的月平均增长率为x，那么下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总
营业额要达到9500万元，即可列方程．
【详解】设该公司11月，12月两个月营业额的月均增长率是x.
根据题意得 ．或 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的
量为b,平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为 .
8. 已知实数 ，满足 ，则下列结论中错误的是（ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．
【详解】A.∵ ，
，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故A正确，不符合题意；
B.∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
，
，
，故B正确，不符合题意；
C.∵ ，
∴ ，
，
∴ 或 ，故C错误，符合题意；D.∵ ，
，
∴ ， ，
，
∴ ，
即 ，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，完全平方公式的变形计算，平方根的定义，灵活利用题目中的
已知条件，选择正确的方法解决问题．
9. 如图1，在 中，连接 ， ， ．动点 从点 出发，沿 边
匀速运动．运动到点 停止．过点 作 交 边于点 ，连接 ， ．设 ，
， 与 的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长 至 ，使 ，连接 ，连接 交 于 ， 当 、 、 三点共线时， 最小，即 最小，当 运动到 时， 最小，由图 得当 时，
，此时 与 重合， 与 重合，结合平行四边形的判定方法及性质和勾股定理，即可求解．
【详解】解：延长 至 ，使 ，连接 ，连接 交 于 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
四边形 是矩形，，
当 、 、 三点共线时， 最小，
即 最小，
当 运动到 时， 最小，
由图 得：当 时， ，
此时 与 重合， 与 重合，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
当 时，
，
函数图象最低点坐标为 ，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，线段和最小值的典型问题，平行四边形的判定及性质，矩形的判定
及性质，勾股定理，正切函数等；掌握平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定
理求解及找到取得最小值的条件是解题的关键．
10. 如图， 的对角线 ， 相交于点O，点E为边 的中点，连接 并延长交边 于
点F， ， ．下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. 四边形 为菱形 D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过判定 为等边三角形求得 ，利用等腰三角形的性质求得 ，从
而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含 直角三角形的
性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
【详解】解： 点 为 的中点，
，
又 ，
，
，
是等边三角形，
， ，，
，
即 ，故A正确；
在平行四边形 中， ， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是菱形，故C正确；
，
在 中， ，
，则 ，故B正确；
在平行四边形 中， ，
又 点 为 的中点，
，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含 的直角三角
形的性质，三角形的中线性质，掌握菱形的判定是解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分）11. 计算： ___________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，求一个数的算术平方根，零指数幂，一个数的乘方等知识点，解题
的关键是熟练掌握以上运算法则．
利用求一个数的算术平方根，零指数幂，一个数的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解： ，
故答案为：2．
12. 关于x的二次函数 的图象与x轴有且只有一个交点，则实数m的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到 ，结合二
次项的系数不为0，进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数 的图象与x轴有且只有一个交点，
∴ 且 ，
解得： ；
故答案为：4．
13. 如图，大正方形 中， ，小正方形 中， ，在小正方形绕 点旋转的
过程中，当 时，线段 的长为________．
【答案】 或【解析】
【分析】分两种情况讨论，通过证△AFC∽△AEB，利用对应边成比例和勾股定理即可算出BE的长．
【详解】解：①当旋转到如下图所示时，连接AF、AC，AC交EF于点M，
由正方形 和正方形 可知，
， ，∠BAC=∠EAF=45°，
即 ，
∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°，∠EAF=∠CAF+∠EAC=45°，
∴∠BAE=∠CAF，
∴ AFC∽△AEB，
△
∴ ，
若 ，则C、F、G三点共线，
∵正方形 和正方形 ， ， ，
∴ ， ，
在直角三角形ACG中， ，
∴ ，
将 代入 ，得 ；②当旋转到如下图所示时，
若 ，则C、F、G三点共线，
由①可知， ，∠BAC=∠EAF=45°，
∴∠EAB=∠FAC=45°，
∴△AFC∽△AEB，
∴ ，
在直角三角形ACG中， ，
，
将 代入 ，得 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形，勾股定理，正方形的性质，正确找出相似三角形是解题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，经过坐标原点 的直线与反比例函数 的图象交于 ， 两点，点
在反比例函数 的图象上，过点 作 轴于点 ，连接 ．（1） 的面积为________；
（2） ， ，则 的值为________．
【答案】 ①. 8 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，关键是设出点的坐标，再根据三角形面积公式或相似
三角形的对应边的比相等求解．
（1）设点 ，可得 ， ，由反比例函数的对称性可知点 ，再根据
求解；
（2）连接 ，由 和 可得 ，设点 ，可得 ， ，
过点 作 轴，可证得 ，求出 和 ，得 ，代入解析式
求得 的值即可．
【详解】（1）设点 ，可得 ， ，由反比例函数的对称性可知点 ，
．
故答案为： ．
（2）连接 ，
，
，
，
设 ， ，
在 中， ，
设点 ，可得 ， ，
过点 作 轴，
，
解得 ， ，，代入解析式 ，
得 ．
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式求解的步骤．
利用解一元一次不等式的步骤进行求解即可．
【详解】解：
16. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利
用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
当 时，原式 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 在边长为1个单位的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，格点△ABC（顶点是网
格线的交点）的顶点坐标分别为 ， ， ．（1）将△ABC向由右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到 ，画出 ；
（2）①画出 绕原点O顺时针旋转90°得到的 ；
②直接写出 的坐标为______．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）找出△ABC各个顶点向由右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后的对应点 、
、 ，顺次连接三个点即可得出对应的三角形；
的
（2）① 绕原点O顺时针旋转90°后 对应点 、 、 ，然后顺次连接三个点即可得出对
应的三角形；
②根据图象得出 的坐标即可．
【小问1详解】
先画出△ABC各个顶点向由右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后的对应点 、 、 ，顺
次连接三个点即可得出对应的三角形 ，如图所示：
【小问2详解】
①先画出 绕原点O顺时针旋转90°后的对应点 、 、 ，然后顺次连接三个点即可得出对应
的三角形 ，如图所示：的
②点 坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了图形的平移和旋转，在画平移或旋转后的图形时，找出对应点的位置是解题的关
键．
18. 设 表示两位数，如：当 时， 表示82；数学兴趣小组研究 的平方规律，依次计算发现个
位上数字是2的两位数平方的规律：
第1个等式，
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
按照以上规律，完成下列问题：
（1）写出第5个等式：________．
的
（2）写出你猜想 第 个等式：________（用含 的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，正确理解题意是解题的关键．（1）观察可知 的平方等于 乘以 的积加上4，据此写出第5个等式即可
（2）根据（1）的规律写出第n个等式，再利用完全平方公式把等式左边展开，利用单项式乘以多项式的
计算法则把等式右边展开即可证明结论．
【小问1详解】
解：由题意得，第5个等式为
【小问2详解】
解：猜想 ，证明如下：
∵左边 ，
又∵右边 ，
∴左边 右边，
∴ ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，甲楼AB高20米，乙楼CD高10米，两栋楼之间的水平距离BD＝30m，为了测量某电视塔EF
的高度，小明在甲楼楼顶A处观测电视塔塔顶E，测得仰角为37°，小明在乙楼楼顶C处观测电视塔塔顶
E，测得仰角为45°，求该电视塔的高度EF．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， ）
【答案】EF约为140m
【解析】
【分析】分别过A、C作AM、CN垂直于EF，根据正切的定义求出CN，得到AM，根据正切的定义列式
计算即可．【详解】分别过A、C作AM、CN垂直于EF，垂足为M、N，
设EM为xm，则EN为（10+x）m．
在Rt△CEN中，tan45°＝ ，
∴CN＝10+x，
∴AM＝40+x，
在Rt△AEM中，tan37°＝ ，即 ，
解得，x≈120，
则EF＝x+20＝140（m）
答：电视踏高度EF约为140m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定
义是解题的关键．
20. 如图， 内接于 ， 为 的直径， 为 上一点，过点 作 的切线分别交 ，
的延长线于点 ， ，且 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，由切线的性质可得 ，结合 ，易得 ，
进而可得 ，即可证明结论；
（2）连接 并延长，交 于点G，首先根据勾股定理解得 ，进而可得 ，
再证明 ，结合相似三角形的性质可得 ， 的值，然后根据平行线分线段成比例定理
求解即可．
【小问1详解】
证明：如下图，连接 ，
∵ 为 上一点， 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】解：连接 并延长，交 于点G，如下图，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得 ．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理
等知识，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
六、（本题满分12分）
21. 某校九年级举行了“爱我中华，学习强国”党史知识测试，并把成绩分成A、B、C、D四个等级，学
校决定对成绩为D等级的学生分批进行培训．王老师随机抽取了一个班的成绩进行统计，并绘制了两幅不
完整的统计图如图：
根据信息解答：
（1）填空：该班共有 名学生，扇形统计图中，C等级对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）若该校九年级一共有600名学生，估计该校九年级需要参加培训的学生有多少名？
（3）该班成绩为D等级的5名同学中，有2名是男生，3名是女生，从中任选两名参加第一批培训，请利
用画树状图或列表法，求选中的两名同学恰好都是男生的概率．
【答案】（1）40，
（2）75名 （3）
【解析】
【分析】本题考查概率与统计综合，涉及扇形统计图与条形统计图数据关联、补全条形统计图、用样本估
计总体及列举法求概率等知识．
（1）根据A等级的人数以及占比即可求出参加知识测试的总人数；先求出C等级的人数，然后根据C等
级人数得占比即可求出对应的圆心角度数．
（2）用总人数乘以样本中D等级的人数占比即可求出答案．
（3）画树状图，共有20种等可能的结果，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】解：该班的学生数为： （名），
C等级的人数为： （名），
C等级对应扇形的圆心角的度数为： ．
故答案为： ；
【小问2详解】
解： （名），
答：估计该校九年级需要参加培训的学生有75名；
【小问3详解】
解：根据题意画图如下：
共有20种等可能的结果，被选中的两名学生恰好都是男生的结果有2种，
∴被选中的两名学生恰好都是男生的概率为 ．
七、（本题满分12分）
22. 已知 和 是有公共顶点的等腰直角三角形；且 ， .
（1） ， 在线段 上，连接 并延长交 于F，如图1．
①求证： ；
②求 的长．（2）若 ，点B、D、E在一条直线上，F是 中点，G是 中点，连接 、
，如图2，求 的值．
【答案】（1）①见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题目条件和等腰三角形的性质可以找到两条对应边相等，又有夹角 ，可以根据
证明三角形全等；
②根据全等，可以得到 ，然后证得： ∽ ， ，根据题目条件求
出 、 的长，即可求出 的长．
（2）先求 、 值，得到比值相等，然后证得 ，从而得到 ∽ ，
的
然后根据相似对应边成比例， 求出比值．
【小问1详解】
①证明：∵ 在线段 上， 和 是有公共顶点的等腰直角三角形，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ；
②解：由①可得， ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ；
【小问2详解】
解：连接 ，
∵ 和 是有公共顶点的等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵F是 中点，G是 中点，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ．
∵∴ ，
，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等，解
题的关键是找到全等和相似的关系．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中， ， ，抛物线C的函数表达式为： （a，b是常
数， ）
（1）若抛物线经过A、B两点，求函数表达式；
（2）若抛物线只经过A点且对称轴为直线 ，求该二次函数的最大值；
（3）如果抛物线经过点 ， ， 三点，若对于 ， ，都有
，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）7 （3） 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式，采用数形结合与分类讨论的
思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出二次函数的解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得解；
（3）先求出抛物线的对称轴是直线 ，再分两种情况：当 时；当 时；分别结合二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：将 ， 代入得： ，
，
；
【小问2详解】
解：由题意可知： ，
∴ ，
∴当 时， ．
【小问3详解】
解：∵抛物线经过点 ， 两点，
抛物线的对称轴是直线 ；
①当 时，此时抛物线开口向上，
当 时， 随着 的增大而增大，
∵对于 ， ，都有 ，
∴ ，
，
又 ，
；②当 时，抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
此时 ，
解得 ，
又 ，
；
综上，当 或 时，都有 ．
