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2025 年模拟练习（二）
数学学科试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 在实数 ， ， ， 中，最接近0的数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较、零指数幂，先计算得出 ，再估算出
， ，即可得解．
【详解】解： ，
∵ ， ，
∴最接近0的数是 ，
故选：B．
2. 国家林草局公报显示，2024年我国共完成营造林 万公顷，将 万用科学记数法表示应为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解： 万 ,
故选B．
3. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘法计算，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法即可
得到答案．
【详解】解：
，
故选：D．
4. 如图是由5个相同的小立方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形即可得到答案．
【详解】解：从左面看到的图形如下：故选：A．
5. 已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根， 的值为（ ）．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若
，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若
，则方程没有实数根，据此可得 ，解方程即可得到
答案．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
的
6. 《越战越勇》是中央电视台综艺频道推出 大型益智游戏类综艺节目，由卡通机器人“球宝”出题，
嘉宾答题方式进行．该节目中每个小题均随机设置A、B、C、D、E五个不同的答案选项，其中只有一个
是正确选项．某次节目中，嘉宾对“球宝”出的2道题均不知道答案，他采用2次都猜B选项，则他至少
猜中1次的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，先画树状图，得出共有25个等可能的结果，结合他采用2
次都猜B选项，故两次都猜中的结果只有 种，只猜中一次的结果有 种，即两次都猜中的概率是 ，即
可作答．
【详解】解：依题意，画树状图如图：
则共有25个等可能的结果，
∵他采用2次都猜B选项，
∴两次都猜中的结果只有 种，只猜中一次的结果有 种，即两次都猜中的概率是 ，只猜中一次的概率
是 ，
则 ，
故选：C．
7. 已知三个实数 ， ， 满足 ， ，则以下结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据题意可得 ， ， ，再根据，分别消去a、b、c即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，故A结论正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故B结论正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故C结论错误，符合题意，D结论正确，不符合题意；
故选：C．
8. 如图，已知， 中， ， ，点D在 上，且 ，点E为
外一点，连接 、 ，若 ，则 的度数是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、相似三角形的性质，由等腰直角三角
形的性质可得 ，由等边对等角结合三角形内角和定理可得 ，求出
，由相似三角形的性质可得 ，即可得解．
【详解】解：∵ 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
9. 如图，在边长为6的正方形 的四个角落分别放置了四张大小不同的正方形纸片1、2、3、4．其
中 ，以下说法正确的是（ ）．
A. 正方形1的面积等于正方形3与正方形4的面积的和B. 图中阴影部分面积保持不变
C. 阴影部分周长保持不变
D. 阴影部分面积和周长都不确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，阴影部分的水平长度之和为 ，竖直长度之和为 ，
结 合 图 形 求 得 阴 影 部 分 的 周 长 ， 据 此 可 判 断 C ， 根 据 完 全 平 方 公 式 得 到
，据此可判断A、B、D．
【详解】解：由题意知：阴影部分的水平长度之和为 ，竖直长度之和为 ，
则阴影部分的周长为： ，即阴影部分的周长保持不变，故C说法正确，符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故A、D说法错误，不符合题意；
∵正方形3和正方形4 的面积与 的长有关，
∴图中阴影部分面积会变化，故B说法错误，不符合题意；
故选：C．
10. 若直线 是二次函数 图象的对称轴，则下列结论错误的是（ ）
A. 一定等于2
B. 有可能为0
C. 该抛物线顶点的纵坐标最大为0
D. 在 时， 最大值为2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的对称轴、顶点坐标、开口方向及与函数最大值，解决本题的关键是熟悉二次函数的性质．
首先求出二次函数与x轴的交点坐标为 ， ，然后根据二次函数的对称轴为直线 ，得
到 ，即可得到 ，即可判断A；根据 得到此时二次函数与x轴只有一个交
点，即二次函数的交点，即可判断B；根据题意得到二次函数与x轴一定有交点，然后结合图象开口向上
即可判断C；根据题意得到当 时，y随x的增大而增大，进而判断D即可．
【详解】∵二次函数
∴当 时，即
解得 ，
∴二次函数与x轴的交点坐标为 ，
∵直线 是二次函数 图象的对称轴，
∴
∴ ，故A正确；
当 时，即
∴此时二次函数与x轴只有一个交点，即二次函数的顶点
∴此时 ，符合题意，故B正确；
∵二次函数与x轴 的交点坐标为 ，
∴二次函数与x轴一定有交点
∵二次项系数为
∴图象开口向上
∴当二次函数与x轴只有一个交点时，二次函数的顶点在x轴上∴此时该抛物线顶点的纵坐标最大为0，故C正确；
∵图象对称轴为直线 ，且开口向上
∴当 时，y随x的增大而增大
∴当 时，y随x的增大而增大
∴当 时，y取得最大值，即 ，不一定等于2，故D错误．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ___________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，直接利用负整数指数幂和零指数幂的性质化简，进而计算
得出答案．
【详解】解： ，
故答案为：10．
12. 设等腰直角 的斜边为 ，斜边上的高为 ， 与 满足的反比例函数关系如图所示，则
的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数的应用，等腰直角三角形的性质可得 ，由反比例函数的定义可得 ，从而求出 ， ，即可得解．
【详解】解：∵等腰直角 的斜边为 ，斜边上的高为 ，
，
由题意可得： ，
，
或 （负值不符合题意，舍去），
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 如图， 内接于 ， ，圆心O到弦 的距离 ，则 的半径为
___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三线合一定理，连接 ，设 ，由垂
径定理和三线合一定理可证明A、O、D三点共线， ，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴A、O、D三点共线，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
故答案为： ．
14. 已知： 中， ， ，点D为 外一点， ， 平
分 交 延长线于E，交斜边 于F， ．
（1） 的度数是___________；（2） 的值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、角平分线
的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边对等角结合角平分线的定义可得 ，设
，由三角形内角和定理可得 ，表示出
， ，得出 ，求出 ，最后由三角形内角和定理
求解即可；
（2）证明 ，由相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；（2）∵ 中， ， ，点D为 外一点， ，
∴ ， ，
由（1）可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简 ，再求值，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，
最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 、 的坐标为 、 的坐标为 ．（1）将 向右平移6个单位，再向下平移4个单位得到 ；
（2）以 轴为对称轴，作出 的轴对称图形 ；
（3）连接 ，利用无刻度直尺过点 作 ，垂足为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图—平移变换、轴对称变换，作垂线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的
关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据轴对称的性质作图即可；
（3）根据垂线的定义作图即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所作，
；【小问2详解】
解：如图， 即为所求，
；
【小问3详解】
解：如图，取格点 ，连接 交 于 ，点 即为所求．
．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 数学兴趣小组在探究连续正整数相加时得到如下结论： ，为此，他们继续
探究3的倍数的和问题，得到如下等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；……
根据以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：____________________；
（2）用含 的等式表示第 个等式，并验证；
（3）记第 个等式的和为 ，数学兴趣小组发现 ，求 的值．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
（3）674
【解析】
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
（1）仿照题意写出第5个等式即可；
（2）根据题意可得，第 个等式可以表示为 ，再根据题中的结论即可得到结论，再
证明结论即可；
（3） ，再根据 建立
方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，第5个等式为 ；
【小问2详解】
解：根据题意可知第 个等式为 ，证明如下：
∵ ，
∴
，；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
18. 今年2月17日，习近平总书记在京出席民营企业座谈会时指出：“新时代新征程民营经济发展前景广
阔、大有可为，广大民营企业和民营企业家大显身手正当其时．”总书记的讲话给民营企业打了强心针，
某企业信心百倍，年初提出目标：今年总产值比去年增加20%，总支出比去年减少20%，力争实现利润翻
一番．已知该工厂去年的利润（总产值－总支出）为2亿元，求今年的总产值将达到多少亿元？
【答案】今年的总产值将达到7.2亿元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的
总产值为 万元，总支出 万元，根据题意列方程组求解即可．
【详解】解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则今年的总产值为 万元，总支出
万元，
根据题意得 ，
解得 ，
∴今年的总产值为 亿元，
答：今年的总产值将达到7.2亿元．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，我国南部某海域有A，B两个小岛，相距 海里，小岛B在小岛A的东北方向，点C处有一艘海警船，该海警船在小岛A的北偏西 方向，在小岛B的北偏西 方向，求海警船C与小岛B之间
的 距 离 ？ （ 结 果 保 留 整 数 ， 参 考 数 据 ： ， ，
， ）
【答案】20海里
【解析】
【分析】利用方位角作辅助线构建矩形与直角三角形，利用矩形性质得线段关系．在 中，根据
已知条件求 长度， 由方位角推出角度关系，判定 为等腰三角形，得 ，设
，在相关直角三角形中用 表示线段，结合三角函数列方程求解 即 长度．
【详解】过点A水平线l，过点A作垂直于l的直线m，过点B作垂直于l的直线n，交直线于点D，过点C
分别作垂直于l的直线p，交于点E和平行于直线l的直线q，与交直线m，n交于点F，G，
∴ ， ， ， ，
∴四边形 为矩形，
，
∵在 中 ， ，，
∴
∵海警船在小岛A的北偏西 方向，在小岛B的北偏西 方向，
∴ ， ，
∵小岛B在小岛A的东北方向，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
在 中
，
∴ ，
∴ ，
在 中
，
∴ ，
∴ ．
答：海警船C与小岛B之间的距离为20海里，
【点睛】本题考查方位角概念、直角三角形及矩形性质、等腰三角形判定、三角函数应用；解题关键是通
过作辅助线构建几何图形，利用角度关系判定等腰三角形，结合三角函数建立方程求解 ．
20. 如图， 内接于 ， 为 的直径， 交半圆 弧于D，点D与点C分别在直
径的两侧，连接 交 于E，过点B作 的平行线交 延长线于F．（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与
判定，圆的相关性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由圆周角定理得到 ，则由平行线的性质得到 ，再
证明 ，则可证明 是等腰直角三角形，则 ；
（2）过点C作 于H，由勾股定理得 ，解直角三角形得到
，则可求出 ， ， ，证明
，得到 ，则 ，最后利用勾股定
理求出 的长即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图所示，过点C作 于H，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ 中， ， ，
在
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 几个月以来，两款新型人工智能 ：“ ”（以下简称 款）和“豆包”（以下简称
款）备受广大网民的青睐，它们都具有深度思考的强大功能．有关人员对 ， 两款智能 的网络客
户使用满意度进行评分调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用 表示，
分为四个等级：不满意 ，比较满意 ，满意 ，非常满意 ），下面给出了
部分信息：
（i）抽取的对 款智能 的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
（ii）抽取的对 款智能 的评分数据：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，
96，96，96，96，98，99，100；
（iii）抽取的对 ， 两款智能 的评分统计表：
智能
平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
APP
款 88 96
款 88 88
根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中 _______， _______， _________；
（2）根据以上数据，你认为哪款智能 更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次评分调查中，有300人对 款智能 进行评分、240人对 款智能 进行评分，请通过
计算，估计此次评分调查中对这两款智能 满意以上（含非常满意）的大约有多少人？
【答案】（1）15； ；96
（2） 款智能 更受用户喜爱，理由见解析
（3）429人
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图，中位数，众数和用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键．
（1）用1减去 款智能 的评分中不满意，满意和非常满意的人数占比即可求出 a的值；根据中位数
和众数的定义即可求出b、c的值；
（2）A的中位数大于B，且“非常满意”的人数占比也大于B，据此求解即可；
（3）分别计算出A和B评分为满意及以上的人数，二者求和即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得 ，
∴ ；
，
把 款智能 的评分数据按照从高到低的顺序排列，处在第10名和第11名的数据分别为89，88，
∴ 款智能 的评分数据的中位数为 ，即 ，
∵ 款智能 的评分数据中，得分为96的最多，
∴ 款智能 的评分数据的众数为96，即 ；
【小问2详解】
解： 款智能 更受用户喜爱，理由如下：
从平均数来看，二者的平均数都为88，从众数来看，二者的众数都为96，从中位数来看， 款智能
的中位数大于 款智能 ，且 款智能 的“非常满意”的占比大于 款智能 的“非常满
意”的占比，∴ 款智能 更受用户喜爱；
【小问3详解】
解： 人，
∴估计此次评分调查中对这两款智能 满意以上（含非常满意）的大约有 人．
七、（本题满分12分）
22. 矩形 中， ，对角线 ， 相交于点 ，点 在线段 上，连接 作
交 的延长线于点 ， 与 相交于点 ．
（1）如图1，若 ，求证：① ；② ；
（2）如图2，若 ， ， ， 的延长线交 于点 ，求 的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性
质；
（1）①在 上取一点 ，使 ，连接 ，由 ，得到矩形 为正方形，则
， ， ， ，结合 ，得到
， ，即可证明 得到 ；
②由 ，得到 ，再根据等腰直角三角形得到 ，，根据 ，表示出 即可；
（2）过 作 于 ，在 上取一点 ，使 ，连接 ，由矩形 中，
， ，得到 ， ，再利用面积法得到
，即可求出 ， ， ，
， ，再证明 ，得到 ，推出
，即可证明 ，得到 ，代入解得 ，最后根据
，得到 ， ，代入得到 ， ，据此求 ．
【小问1详解】
证明：①在 上取一点 ，使 ，连接 ，
∵矩形 中， ，
∴矩形 为正方形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：过 作 于 ，在 上取一点 ，使 ，连接 ，
\
∵矩形 中， ， ，
∴ ， ， ， ，， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，抛物线 交 轴于点 、 两点，顶点 ，点 为第一象限内抛物线
上一点．（1）求抛物线的解析式；
（2）若 ，求点 的坐标；
（3）如图2，直线 交抛物线于 、 ，直线 交抛物线于 、 ，点 为
的中点，点 为 的中点，当 时，求直线 一定经过的定点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的
关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出 ，连接 ，直线 的解析式为 ，根据 ，可得 ，
则直线 解析式为 ，联立 ，解得 或 ，则点P的坐标为 ；（3）联立 得 ，则 ，进而得到 ，根据中点
坐标公式得到 ，同理可得 ；则可求出直线 解析式为
，根据 ，得到直线 解析式为 ，当 时，
，则直线 一定经过点 ．
【小问1详解】
解：把 ， 代入 中得 ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
【小问2详解】
解：在 中，当 时， 或 ，
∴ ，
如图所示，连接 ，设直线 的解析式为 ，∴ ，
∴
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ 和 是同底等高的三角形，
∴ ，
∴可设直线 解析式为 ，
把 代入 中得： ，解得 ，
∴直线 解析式为 ，
联立 ，解得 或 ，
∴点P的坐标为 ；
【小问3详解】
解：联立 得 ，∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，即 ；
联立 得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，即 ；
设直线 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
当 时， ，∴直线 一定经过点 ．
