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2025 年模拟练习（一）
数学学科试题卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 的倒数为（ ）
A. B. 2025 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是倒数的含义，根据乘积为1的两个数互为倒数可得答案．
【详解】解： 的倒数为是 ，
故选：D．
2. 太阳中心的温度高达1500万摄氏度，用科学记数法将1500万表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相
同．
【详解】解：用科学记数法将1500万表示为 ．
故选：C．
3. 一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图．根据简单几何体的三视图的画法，看得见的轮廓线用实线表示，
看不见的轮廓线用虚线表示可得答案．
【详解】解：该几何体的俯视图是从上面看该几何体，选项D中的图形符合题意，
故选：D．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方．根据合并同
类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方进行计算即可．
【详解】解：A、 ，故该选项不符合题意；
B、 与 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
C、 ，故该选项符合题意；
D、 ，故该选项不符合题意；
故选：C．
5. 如图，AB是的直径，C、D是圆上两点，连接AC，AD，CD．若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为（
）
A. 55° B. 45° C. 35° D. 25°
【答案】A
【解析】
【分析】连接BD，求出∠ADB＝90°，根据内角和定理即可解答
【详解】解：连接BD，
∵弧BC=弧BC，
∴∠CDB＝∠CAB＝35°，∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB﹣∠CDB＝55°，
故选A．
【点睛】此题考查圆周角定理，解题关键在于作辅助线
6. 晋剧是我省国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有晋剧经典剧目Q版人物的
三张卡片（其中有1名男性角色，2名女性角色），它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，
从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．
根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可．
【详解】解：把3张卡片中1名男性角色，2名女性角色分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的的结果有4种，
∴两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为 ．
故选：D．7. 如图， 和 都是等腰直角三角形， ，点C在边DE上，
， ，则 的长为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理；连接 ，由
是等腰直角三角形， ，得 ， ，再证明 ，最
后由解直角三角形即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 和 都是等腰直角三角形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
8. 已知实数a，b，c满足 ， ，且 ，则 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，求不等式组的解集．根据等式的性质，可得 ， ，根据
解不等式组，可得 ，再根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ （无解，舍去）或 ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故选：A．
9. 如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 为 轴上的一点，将 绕点 按顺时针旋转 至
，反比例函数 的图象经过点 ，过 作 交反比例函数图象于点 ，若
的面积为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，反比例函数的性质等知识，根据
，得到 ，是解答本题的关键．过B点作 于E点，根据旋转的性质可得：
， ，即有 是等边三角形，则有 ，
，根据 ，可得 ，即可得 ，解方程可得
（负值舍去），则有 ，问题随之得解．
【详解】解：过B点作 于E点，如图，根据旋转的性质可得： ， ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ ，
∴ ，
∵反比例函数 的图象经过点B，
∴ ，
故选：D．10. 如图，矩形 中， ， ，点E是边 上一点，且 ，点F是边 上任一点，
把 沿 翻折，点B的对应点为 ，连接 、 ，则以下结论正确的是（ ）
①当 与 相似时， ；② 的最小值是 ；③点 到 距离的最小值是 ；
④取 的中点P，连接 ，则 的最大值是 ．
A. ①③④ B. ②③④ C. ②③ D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理、圆的基本性质，熟练掌握
隐形圆上的点到定点和定直线的距离问题是解答的关键．利用相似三角形的性质可判断①；②由折叠性质
得 ，则点 在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接 ，当C、 、E共线时，
有最小值，最小值为 ，利用勾股定理求解 即可判断②；过E作 于G，当 、
、 共线时， 最小，即点 到 距离的最小，最小值为 的长度，利用三角形的面积公式求
得 ，进而求得 可判断③；取 的中点，连接 、 ，利用三角形的中位线求得
，则点P在以点O为圆心， 为半径的圆上运动，当点P在 的延长线上时， 最大，最大值为 ，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得 即可判断④，进而可得答案．
【详解】解：∵矩形 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
①当 时，则 ，即 ，
解得 ；
当 时，则 ，即 ，
解得 ，
综上，当 与 相似时， 或 ，故①错误；
②由折叠性质得 ，则点 在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接 ，当C、
、E共线时， 有最小值，最小值为 ，
在 中， ，
∴ 的最小值为 ，故②正确；
③过E作 于G，当 、 、 共线时， 最小，即点 到 距离的最小，最小值为
的长度，
由 得 ，∴ ，
∴点 到 距离的最小值为 ，故③正确；
④取 的中点，连接 、 ，
∵点P是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴点P在以点O为圆心， 为半径的圆上运动，当点P在 的延长线上时， 最大，最大值为
，
过O作 于H，则 ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
∴ 的最大值是 ，故④正确，综上，结论正确的是②③④，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 二次根式 有意义的条件是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数为非负数求解．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，则 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件、解不等式，解题的关键是熟悉二次根式有意义的条件．
12. 因式分解： __________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题 的关键．在分解因式时，
要注意分解彻底．
13. 如图，在正方形 中， ， 是以 为斜边的等腰直角三角形．连接 ，相
交于点F，则 ________．
【答案】 ##【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例．先证明四边形 是正方
形，利用勾股定理求得 的长，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：连接 交 于点 ，
∵四边形 是正方形， 是以 为斜边的等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14. 已知抛物线 经过点 ， ，（1）抛物线的对称轴为________；
（2）点 ， 在抛物线上，且 ，则t的取值范围是________．
【答案】 ①. 直线 ②.
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质：
（1）根据对称性求出对称轴即可；
（2）根据对称轴求出 值，求出 和 时的函数值，根据 ，进行求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线 经过点 ， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
故答案为： ；
（2）∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ， 在抛物线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）.
15 计算：
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查零指数幂、算术平方根和乘方．根据零指数幂的运算法则、算术平方根和乘方的定
义分别计算，进一步计算即可得出答案．
【详解】解：
．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将 向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到 ，请画出 ；
（2）以边AC的中点O为旋转中心，将 按顺时针方向旋转 ，得到 ，请画出 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换与平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据平移的方式确定出点 的位置，再顺次连接即可得到 ；
（2）根据旋转可得出确定出点 的位置，再顺次连接即可得到 ．
【小问1详解】
解：如图， 即为所作；；
【小问2详解】
解：如图， 即为所作；
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用
来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所
用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
【答案】A型机平均每小时运送70件，B型机平均每小时运送50件
【解析】
【分析】设A型机平均每小时运送x件，根据A型机比B型机平均每小时多运送20件，得出B型机平均每
小时运送（x-20）件，再根据A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，列出方程解
之即可．
【详解】解：设A型机平均每小时运送x件，则B型机平均每小时运送（x-20）件，
根据题意得：
解这个方程得：x=70．经检验x=70是方程的解，∴x-20=50．
∴A型机平均每小时运送70件，B型机平均每小时运送50件．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
18. 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上博弈．
现用黑白棋子围成下列图案：
（1）第n个图案中黑色棋子的个数为________，白色棋子的个数为________．
（2）结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，当第n个图案中黑色棋子比白色棋子多21个时，求n
的值．
【答案】（1） ，
（2）n的值为10．
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是根据各个图形中棋子的颗数发现规律．
（1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可；
（2）由题意得： ，解出 即可．
【小问1详解】
解：第1个图案中黑色棋子的个数为 ，白色棋子的个数为 ；
第2个图案中黑色棋子的个数为 ，白色棋子的个数为 ；
第3个图案中黑色棋子的个数为 ，白色棋子的个数为 ；
第4个图案中黑色棋子的个数为 ，白色棋子的个数为 ；
，
第n个图案中黑色棋子的个数为 ，白色棋子的个数为 ；
故答案为： ， ；
【小问2详解】解：由题意得： ，
解方程得： ，
所以正整数n的值为10．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 为了提升全社会对古树的保护意识，增强生态韧性，实现绿色发展，某森林保护区开展了寻找古树活
动．如图，在一个坡度 的山坡 上发现一棵古树 ，测得古树底端C到山脚点A的距离
米，在距山脚点A水平距离6米的点B处放置测角仪，测角仪支架 的高度为 米，在点E
处测得古树顶端D的仰角 （点A，B，C，D，E，F，P在同一平面内，古树 与直线
垂直），求古树 的高度．（结果精确到1米，参考数据： ， ，
）
【答案】古树 的高度约为 ．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长 交 的延长线于点F，交 的延长线于点G，则
，可求 ，设 ，则 ，可求 ，从而可求 ，
，由 ，即可求解．
【详解】解：如图，延长 交 的延长线于点F，交 的延长线于点G，则 ，则四边形 是矩形，
山坡 上坡度 ，
，
，
设 ，则 ，
在 中，
，
，
解得： ，
， ，
，
在 中， ，
，
，
；
答：古树 的高度约为 ．
20. 如图， 为 的直径，点F在圆上，点P在 的延长线上， 与 相切于点C，与 的
延长线相交于点D， 与 相交于点E， ．（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2） ．
【解析】
【分析】（1）利用等边对等角可得出 ，连接 ，利用切线的性质可得出
，利用等边对等角和对顶角的性质可得出 ，等量代换得出
，然后利用三角形内角和定理求出 ，即可得证；
（2）设 ，则可求 ， ， ， ，在
中，利用勾股定理得出 ，求出x的值，利用 即可求解．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是切线，∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ， （舍去）
∴ ， ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，灵活运用
以上知识是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 电影《哪吒2》上映后广受关注，某影院统计了七、八年级学生观众的评分（满分10分）．现从两个
年级各随机抽取20名学生的评分作为样本，整理如下：
七年级20名学生评分频数分布表
分
1
数/ 8 9
0
分
人
8 9 3
数八年级20名学生评分扇形统计图
其中，八年级抽取的20名学生中，7分和8分的人数比为 ．请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级20名学生评分的中位数是________分，众数是________分；
（2）八年级20名学生评分扇形统计图中， ________， ________；
（3）若评分不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次评分活动，优秀率高的年级是否平均分也高，
并说明理由．
【答案】（1）9，9 （2）25，10
（3）优秀率高的年级，平均分不一定也高．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，中位数，众数，平均数．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）先求得7分和8分的人数和，再根据比例分成即可求解；
（3）求得各年级的优秀率和平均分，比较即可得解．
【小问1详解】
解：七年级20名学生评分的中位数是 分，
9分人数最多，众数是9分；
故答案为：9，9；
【小问2详解】
解：八年级20名学生评分扇形统计图中，
7分和8分的人数和为 人，
∵7分和8分的人数比为 ，
∴7分和8分的人数分别是：2，5人∴ ， ；
∴ ， ；
故答案为：25，10；
【小问3详解】
解：优秀率高的年级，平均分不一定也高．理由如下
七年级的优秀率为 ，
平均分为 分，
八年级的优秀率为 ，
平均分为 分，
，而 ，
∴优秀率高的年级，平均分不一定也高．
七、（本题满分12分）
22. 如图，已知在 中， ，点 是 上一点，把 沿着 对折得到 ，
，连接 ．
（1）求 的度数．
（2）若 ．①如图1，若 ，求 的值；
②如图2，过点 作 的垂线分别交 于点 ，连接 ．求证： ．
【答案】（1）
（2）① ；②见解析
【解析】
【分析】（1）根据折叠得到 ，根据题意及三角形外角的性质得到
， ，则
，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）①根据题意得到 ，设AE=≥=x(x>0)，则 ，根据平行线的性
质得到 ， ，易证 ，推出 ，即 ，
求出 （负值舍去），进而得到 ，即可解答；
②由折叠的性质得 ，由平行线的性质得到 ， ，证明
，推出 ，证明 ， ，得到 ，证明
，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵折叠，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，且 ，
∴ ，即 ；
【小问2详解】
解：①由（1）可得， ，
∴ ，
设AE=≥=x(x>0)，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
整理得， ，
解得， ，
∴ （负值舍去），
∴ ，∴ ；
②由折叠的性质得 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
由①知 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形相似，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的
判定和性质，熟练掌握三角形相似及三角形全等的判定和性质是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线 与x轴交于 ， ，与y轴交于点C，顶点为M．
（1）求点M的坐标；
（2）把抛物线 向右平移 个单位，再向下平移 个单位得到抛物线 ，抛物线 经过
点B，并与x轴交于另一点D，且顶点为E．
①若直线BC向下平移 个单位得到的直线经过点E，求m的最大值，并写出此时h的值；
②若直线 恰好经过抛物线 与x轴的交点，请直接写出h的值．
【答案】（1）
（2）① 的最大值为 ，此时h的值为 ；②1或
【解析】【分析】（1）将点 ， 代入抛物线 ，利用待定系数法解得该抛物线解
析式并将其整理为顶点式，即可获得答案；
的
（2）①首先确定点 ，利用待定系数法解得直线 解析式，由平移 性质可得直线BC向下
平移 个单位后的解析为 ；再确定抛物线 平移后得到抛物线 的顶点坐标
，结合抛物线 经过点 ，可确定 ；结合直线 经过点
，可得 ，结合二次函数的性质即可获得答案；②首先确定抛物线 平
移后与 轴的另一交点坐标为 ，结合 ，利用待定系数法解得直线 的解
析式，然后分直线 经过点 和直线 经过点 两种情况，分别求解即可．
【小问1详解】
解：将点 ， 代入抛物线 ，
可得 ，解得 ，
∴该抛物线解析式为 ，
∵ ，
∴该抛物线的顶点坐标为 ；
【小问2详解】
①对于抛物线 ： ，
令 ，可得 ，即 ，
设直线 解析式为 ，
将点 ， 代入，可得 ，解得 ，
∴直线 解析式为 ，
将直线BC向下平移 个单位，
得到的直线的解析为 ，
把抛物线 向右平移 个单位，再向下平移 个单位得到抛物线 ，
则抛物线 的解析式为 ，其顶点坐标为 ，
∵抛物线 经过点 ，
∴可有 ，
整理可得 ，
∵直线 经过点 ，
∴可有 ，
将 代入并整理，可得 ，
∴ 的最大值为 ，此时h的值为 ；
②根据题意，把抛物线 向右平移 个单位，再向下平移 个单位得到抛物线 ，
则抛物线 的解析式为 ，
其顶点坐标为 ，对称轴为 ，
∵抛物线 经过点 ，
∴该抛物线与 轴的另一交点坐标为 ，由①可知， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入，
可得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当直线 经过点 时，
可有 ，解得 ， ，
当 时，可有 ，抛物线的顶点在 轴上方，符合题意，
当 时，可有 ，抛物线的顶点在 轴上，
即该抛物线与 轴仅有一个交点，不符合题意，舍去；
当直线 经过点 时，
可有 ，
整理可得 ，
将等号左侧因式分解，可得 ，
∴ 或 ，当 时，解得 （舍去），
当 时，解得 或 （此时 ，故舍去）．
综上所述，h的值为1或 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数图像的平移问题、二次函数
图像与坐标轴交点等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
