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2025 年初中毕业学业考试模拟试卷
数学试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 在实数 ， ， ， 中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数，进行作答即可．
【详解】解：依题意 ，
实数 ， ， 都不是无理数， 是无理数，
故选：D
2. 近年来，我国民营企业蓬勃发展，截止2025年1月，我国民营企业数量约为 万户，将 万用
科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解： 万= ，
故选B．
3. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，根据相关运算法则进行计算即可．
【详解】解： ；
故选C．
4. 某几何体的三视图如图所示，则几何体为（ ）
A. 圆锥 B. 四棱锥 C. 圆柱 D. 四棱柱
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．主视图、左视图、俯视图是
分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．
【详解】解：主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为四边形的几何体为四棱锥．
故选B
5. 如图，过正五边形 的顶点A作射线 ，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，多边形的内角和定理，过点 作 ，根据多边形的内角和定理，求出 的度数，根据平行线的性质，进行求解即可.
【详解】解：∵正五边形 ，
∴ ，
过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故选A.
6. 某景区今年2月份游客人数比1月份翻了一番，3月份比2月份减少了20％，该景区3月份游客人数比
1月份增加了（ ）
A. 60％ B. 80％ C. 40％ D. 20％
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查游客人数的增减性问题，正确理解增长率是解题的关键．将 1月的游客人数看成1，正
确表示出2月和3月的游客人数，用3月份的游客人数减去1月份的游客人数的差除以1月份的游客人数，
即可得解．
【详解】解： ．
故选A．7. 一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，标号分别为1，2，3．小林和小华做一个游戏，按照以下
方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小
球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，则小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢．小林赢的
概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列举法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，列表如下：
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
共9种等可能的结果，其中和为奇数的结果有4种，
∴小林赢的概率为 ；
故选D．
8. 已知三个实数a，b，c满足 ，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，因式分解，根据已知条件，结合各选项中的条件，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ；故选项A正确，不符合题意；
当 时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理，得： ，
∴ ；故选项B正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；故选项C正确，不符合题意；
若 ，则： ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；故选项D错误，符合题意；
故选D．
9. 如图，正方形 和矩形 的面积相等，反比例函数 在第一象限的图象经过B、E两点，
则 的长为（ ）
A. 16 B. 8 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据正方形的性质结合反比例函数的解析式，求出 点
坐标，设 ，根据两个图形的面积相等，求出 点坐标，代入反比例函数解析式，求出 的值即可．
【详解】解：∵正方形 ，反比例函数 在第一象限的图象经过B、E两点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵正方形 和矩形 的面积相等，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在反比例函数的图象上，
∴ ，
解得： 或 （舍去）；
经检验 是原方程的解；
∴ ．
故选C．
10. 如图，矩形 中， ，点P为 上一动点（不与端点重合），连接 ，将 沿
折叠，点A落在点E处，连接 ，连接 交 于点F， 交 于点G，则下列结论正确的是
（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ， ，则 的长为C. 若 ，则 长度的最小值为1.8
D. 和 不可能全等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查矩形与折叠，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，矩形的性质，是解题的
关键．根据数量关系和折叠的性质，得到 ，判断A，设 ， ，得到 ，
， 根 据 矩 形 的 性 质 ， 折 叠 的 性 质 ， 以 及 等 角 的 余 角 相 等 ， 推 出
， 进 而 得 到 ， 求 出 ， 进 而 得 到
，根据 ，得到 ，进而推出 ，在
中，由勾股定理求出 的值，进而求出 的值，得到 的值，再利用勾股定理求出 的长，
判断B，连接 ，勾股定理求出 的长，利用 ，判断C，根据折叠的性质，结合
对顶角相等，得到当 时， ，判断D即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ；故选项A错误，不符合题意；
同上可知： ， ，
∵ ，
∴设 ， ，则： ， ，∴ ，
∵折叠，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得： ，
解得： （舍去）或 或 （舍去）；∴ ，
∴ ，
在 中， ；故选项B正确，符合题意；
当 时，连接 ，则 ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
的
∴ 最小值为2；故选项C错误，不符合题意；
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， ；故选项D错误，不符合题意；
故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ________．
【答案】
【解析】【分析】本题考查实数的运算，根据有理数的乘方，算术平方根及零指数幂将原式化简，再进行加减运算
即可．掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键．
【详解】解： ．
故答案为： ．
12. 的对角线 、 相交于点O， ， ， ，则 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形
可得 ， ，再利用勾股定理求得 ，即可得到 的长．
【详解】解： ，
， ，
，
，
， ，
，
，
故答案为： ．
13. 如图，圆中两条弦 相交于点E，其中两条劣弧 的度数分别为 ，圆O的半
径为5， ，则 的长为________．【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，
连接 ，可得 ，可得 是等边三角形，
，进入得出 ，再根据含 直角三角形得性质得 ，然后根据勾
股定理求出 ，则答案可得．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
根据勾股定理，得 ，
∴ ．
故答案为： ．14. 羽毛球发球时，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系
，击球点P到球网 的水平距离 ．某次发球后，击出的羽毛球的飞行高度y（单位：
）与水平距离x（单位： ）的几组数据如下：
水平距离
0 1 2 3 4
竖直高度
1.1 1.6 1.9 2 1.9
根据上述信息，回答下列问题：
（1）羽毛球飞行的最大高度为________ ；
（2）已知球网 的高度是 ，接球一方在球过网后且高度不低于 时，可以采用“平抽”技术
将球快速击打过网，若球发出后水平向前的速度是 ，接球者在球过网后可以用“平抽”技术的时长
为________ ．（“平抽”技术：快速平直的回球，球的飞行轨迹低平，速度快．）
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
（1）当 和当 时的函数值相同，则对称轴为直线 ，据此可得答案；
（2）根据对称性可得当 时的函数值为 ，则在羽毛球过网之后到 这个过程都可以“平抽”技
术，据此根据时间等于路程除以速度即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得，当 和当 时的函数值相同，∴对称轴为直线 ，
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴处函数有最大值，即此时羽毛球在飞行过程中有最大高度，即 ；
故答案为：2；
（2）∵对称轴为直线 ，
∴当 和 时的函数值相同，即当 时的函数值为 ，
∵ ，
∴在羽毛球过网之后到 这个过程都可以“平抽”技术，
∴接球者在球过网后可以用“平抽”技术的时长为 ，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简 ，再求值，其中 ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值，先计算小括号，再因式分解约分化到最简，最后代入数值求解即可得到
答案；
【详解】解： ，
当 时，原式= ．
16. 如图，平面直角坐标系中， 各顶点坐标为 、 、 ．（1）作出 关于 轴对称的 ；
（2）以点 为位似中心，在第一象限作出 的位似 ，使 与 的位似比为
；
（3）利用无刻度直尺在平面直角坐标系内找一个整点（横纵坐标均为整数的点） ，使得 ，
并写出点 的坐标．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析； （3）点 坐标为 （答案不唯一）．
【解析】
【分析】本题考查了作图——轴对称、位似、作垂线，垂直平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题
的关键．
（ ）利用关于 轴对称的点的坐标特性得到 、 、 ，然后连线即可；
（ ）把 点的横纵坐标都乘以 ，得到 、 、 ，然后连线即可；
（ ）作出 垂直平分线即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求；【小问2详解】
解：如上图， 即为所求；
【小问3详解】
如上图，点 坐标 为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 观察以下等式：
第1个等式： ，第2个等式： ，
第3个等式： ，第4个等式： ，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：________；
（2）写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】对于（1），根据前四个式子的规律得出第5个等式；
对于（2），根据前5个式子的规律写出第n个式子，再证明即可．【小问1详解】
解：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式： ，
即 ；
故答案为： ；
【小问2详解】
解：第n个等式： ；
．
18. 某水果店用3450元购进甲、乙两种水果共 ，每种水果的成本价与利润率如表所示：
成本价（元/
类别 利润率
）
甲 20
乙 15
全部售完后，求该水果店获得的总利润．[注：利润 售价 成本，利润率 （售价 成本） 成本
]【答案】780元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设购买甲种水果 ，购买乙种水果 ，根据水
果店用3450元购进甲、乙两种水果共 建立方程组求出购买甲种水果 ，购买乙种水果 ，
再分别求出两种水果的利润，求和即可得到答案．
【详解】解：设购买甲种水果 ，购买乙种水果 ，
由题意得 ，
解得 ，
∴购买甲种水果 ，购买乙种水果 ，
元，
答：全部售完后，该水果店获得的总利润为780元．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某古村落的斜坡 上有一棵古树 ，斜坡的坡度i为 ，古树底端Q到坡底A点的距离 为
2.6米．为了保护这棵古树，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块古树信息牌 ，古树 和
古树信息牌 均与地面 垂直．某校数学兴趣小组测得当太阳光线与水平线成 角时，古树 落
在信息牌上的影子 长为3米，请帮助他们计算出古树 的高度．（结果精确到0.1，参考数据：
， ， ）【答案】古树 的高度为 米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长 交 于点 ，过点 作 ，解直角三角
形 ，求出 的长，进而求出 的长，解直角三角形 ，求出 的长，根据
，进行计算即可．
【详解】解：延长 交 于点 ，过点 作 ，由题意，得： ，
则四边形 为矩形，
∴ ， ，
在 中，
∵斜坡的坡度i为 ， ，
∴ ，设 ，则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，由题意，得： ，
∴ ，
∴ ；
答：古树 的高度为 米．
20. 如图， 是 的弦，点 为 上一点， 的延长线垂直 ，垂足为 ，点 为弧 上一
点，且 ，延长 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）点 为 上一点， 平分 ，且 ，求 的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，
垂直平分线的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．（ ）设 与 交于点 ，由垂径定理得 ， ，则有 ，
，然后通过三角形的内角和定理即可求证；
（ ）由角平分定义可设 ，则 ，通过圆内接四边形和平角定义可得
，则有 ， ，
，最后由角度和差求出 的值即可．
【小问1详解】
证明：设 与 交于点 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ 平分 ，
∴ ，设 ，则 ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
【项目背景】随着北京冬奥会的顺利召开，冰雪运动已成为许多青年人的爱好，冰雪运动健儿更是在各类
比赛中争金夺银．在哈尔滨亚冬会自由式滑雪空中技巧项目比赛中，中国队就夺得4金4银2铜的好成绩．
【规则了解】自由式滑雪空中技巧项目的计分规则为：
a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H；
b．每次试跳都有5名裁判进行打分（ 分，分数为0.5的整数倍），在5个得分中去掉1个最高分和1
个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分P；
c．运动员该次试跳的得分 ．
【数据收集与整理】在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：
难度系数 裁判 A B C D E
3.5 打分 8.5 9.5 9.0 9.0 9.5
【数据分析与应用】
任务1：甲运动员这次试跳的完成分 ________，得分 ________；（结果保留两位小数）
任务2：若按照全部5名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为 ，那么与任务1中所得的比较， ________ （填“＞”“＝”或“＜”）；
任务3：在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低8.1分，已知乙最后一次试跳的难度系数为
3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分 至少要达到多少分？
【答案】1.9.17，96.29
2.
3.9.67
【解析】
【分析】本题主要考查了求平均数，一元一次不等式的应用，
对于1，根据 计算即可，再根据 计算；
对于2，根据 计算，再比较；
对于3，根据 求出答案即可．
【详解】解：1. ； ；
故答案为：9.17，96.29；
2． ，
∴ ；
故答案为： ；
3.设这一跳乙的完成分 至少要达到x分，根据题意，得
，
解得 ．
所以这一跳乙的完成分 至少要达到9.67分．
七、（本题满分12分）22. 如图1，已知： 中， ， ，点 为 边中点，点 、 分别在
、 边上，连接 ， 和 ， ，连接 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ．
（ⅰ）当 时，求 的值；
（ⅱ）如图2，当 时，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及三线合一性质得 ，
， ，证明 ，
再根据全等三角形的性质即可得证；
（2）证明 得 ，
（ⅰ）当 时，则 ，设 ， ，根据四边形的一组对角为直角得四
边形 内接于直径为 的圆，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得 ，证明
可得 ，继而得到 ，求即可；（ⅱ）当 时，则 ，延长 至点 ，使 ，设 ，
，可得 垂直平分 ， ， ，推出
， ，进一步可得四边形 内接于直径为 的圆，继而得到
，证明 得 ，可得 ，求
解即可．
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴ ，
∵点 为 边中点，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
（ⅰ）当 时，则 ，
设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 内接于直径为 的圆，如图，
∵圆周角 、 所对的弧为 ，
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，
整理，得： ，
解得： 或 （负值不符合题意，舍去），
∴ ；
（ⅱ）当 时，则 ，
如图，延长 至点 ，使 ，设 ， ，
∵ 即 ，
∴ 垂直平分 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴四边形 内接于直径为 的圆，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
整理，得： ，
解得： 或 （负值不符合题意，舍去），
∴ ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形 的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形的判定和性质，同
弧或等弧所对的圆周角相等， 的圆周角所对的弦是直径，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的
定义，一元二次方程的应用等知识点．掌握一组对角互补的四边形为圆内接四边形、相似三角形的判定和
性质及锐角三角函数的定义是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C，点P为抛物线的顶点，直线 交x轴于点D．
（1）若点C的坐标为 ．
（ⅰ）当点A的坐标为 时，求抛物线的顶点坐标；
（ⅱ）当 时，求直线 的解析式；（2）若 ， ，求b的值．
【答案】（1）（i） ；（ii）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关
键．
（1）（i）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案；（ii）根据点C坐标得
到c的值，再根据 ，推出点P的纵坐标为6，把解析式化为顶点式得到得到点P纵坐标，据此建
立方程求出点P坐标，再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可；
（2）把解析式化为顶点式求出点P的坐标为 ，求出点B坐标，再求出直线 解析式，过点P作
轴交 于D，则 ，可得 ，根据 建立方
程求解即可．
【小问1详解】
解：（i）把点A和点C坐标代入解析式中得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
∴抛物线顶点坐标为 ；
（ii） 在 中，当 时， ，
∴ ，∵点C的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴点C为 的中点，
∵直线 交x轴于点D，即点D的纵坐标为0，
∴点P的纵坐标为6，
∵抛物线解析式为 ，
∴点P的坐标为 ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ ，
设直线 解析式为 ，
则将点 与点 代入得： ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ；
【小问2详解】
解：当 时，抛物线解析式为 ，
∴点P的坐标为 ，令 ，解得 或 ，
∴ ，
同理可求出直线 解析式为 ，
如图所示，过点P作 轴交 于D，则 ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去）．
