文档内容
专题 02 与圆有关的面积问题（50 题）（举一反三专项训练）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共50题，涉及5大类型，即利用“整体法”求面积、利用“割补法”求面积、利用“平移
法”求面积、利用“旋转法”求面积、利用“等积变形法”求面积. 题型针对性较高，覆盖面广，选
题有深度，可加强学生对求圆有关的面积问题的理解！
【题型1 利用“整体法”求面积】
1．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形
S
1
（无阴影部分）面积之和为S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S ，则 =（ ）
1 2 S
2
3 3 2
A． B． C． D．1
4 5 3
【答案】B
【分析】先根据正多边形的内角和公式可求正八边形的内角和，根据周角的定义可求正八边形外侧八个扇
形（阴影部分）的内角和，再根据半径相等的扇形面积与圆周角成正比即可求解．
【详解】解：∵正八边形的内角和为（8-2）×180°=6×180°=1080°，
正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和为360°×8-1080°=2880°-1080°=1800°，
S 1080° 3
∴ 1= = ．
S 1800° 5
2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和
或差来求，属于基础题．2．如图，在边长为1的正方形构成的网络中，半径为1的⊙O的圆心在格点上，则图中阴影部分两个小扇
形的面积之和为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
4 2 8 6
【答案】A
【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ABC+∠BAC的值，再根据扇形的面积公式进行解答即可．
【详解】∵△ABC是直角三角形，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵两个阴影部分扇形的半径均为1，
90π⋅12 π
∴S = = ．
阴影
360 4
故选:A．
【点睛】考查直角三角形的性质以及扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键.
3．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（ ）
3π 3π 3π 3π
A． B． C． D．
4 8 2 16
【答案】B
【分析】把三个阴影部分拼在一起，形成一个：圆心角是135°，半径是1的扇形，然后利用扇形的面积公
式求解即可.
【详解】∵AD∥BC,
∴∠CBD=∠ADB,
∴∠CBD+∠CDB=90°.
∵∠ABE=45°,
∴三个扇形的圆心角之和为：90°+45°=135°，135π×12 3
∴S = = π.
阴影
360 8
故选B.
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形的面积公式及图形的割补方法，可利用正方形的特征，然后进行
割补，拼成一个扇形，其圆心角就是三个阴影部分圆心角之和，其半径不变.
4．（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，正方形的边长是4，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中
阴影部分的面积是 ．
【答案】8π−16/−16+8π
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，能将阴影部分的面积进行巧妙的转化是解题的关键．
根据所给图形，先将阴影部分的面积进行转化，再进行计算即可．
【详解】解：如图所示，
∵正方形的边长为4，
∴正方形的面积为16，
∴△COD的面积为16÷4=4．1
又∵上方以CD为直径的半圆面积为： ×π×(4÷2) 2=2π，
2
∴图中①②两部分的面积之和为2π−4，
∴阴影部分的面积为：4(2π−4)=8π−16．
故答案为：8π−16．
5．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以点B为圆
心，BO长为半径画弧交AB于点E，交BC于点F，再以点D为圆心，DO长为半径画弧交AD于点H，交
DC于点G．若AB=4，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【答案】16−4π/−4π+16
【分析】先求出正方形对角线长度，进而得到扇形半径，再根据正方形面积减去两个扇形面积求出阴影部
分面积．本题主要考查了正方形的性质以及扇形面积的计算，熟练掌握正方形的性质和扇形面积公式是解
题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4
∴∠ABC=∠ADC=90°，BD=AC=❑√42+42=4❑√2
1
∴OB=OD= BD=2❑√2
2
90π×(2❑√2) 2
∴图中阴影部分的面积为42−2× =16−4π
360
故答案为：16−4π．
6．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=10，D是BC的中点，分别以B，C
为圆心，BD长为半径作弧，交AB于点E，交AC于点F，则图中阴影部分的面积是 ．25
【答案】 π
3
【分析】本题考查扇形面积的计算，根据题意得出∠B+∠C=120°，再将阴影部分转化为一个圆心角为
120°，半径为5的扇形面积即可解决问题．解题的关键是掌握：扇形所在圆的半径为R，圆心角为n°的扇
nπR2
形面积的计算公式为：S= ．
360
【详解】解：∵在△ABC中， ∠A=60°，
∴∠B+∠C=180°−∠A=120°，
又∵BC=10，且点D是BC的中点，
1
∴BD=CD= BC=5，
2
120×π×52 25
∴S = = π，
阴影 360 3
25
∴图中阴影部分的面积是 π．
3
25
故答案为： π．
3
7．（2025·山东青岛·一模）如图，在边长为1的正方形网格中，“x状”图案（阴影部分）是由半径分别为
1和2，圆心在格点上的两种弧围成的，则阴影部分的面积是 ．
【答案】4π−8
【分析】本题考查了扇形面积公式，求其他不规则图形的面积，由图形可知S =4(S −S )，
阴影 扇形AOB △AOB
然后代入求解即可，解题关键是掌握由扇形面积公式求该不规则图形面积的求法．
【详解】解：如图，∴S =4(S −S )
阴影 扇形AOB △AOB
(90×π×22 1 )
=4 − ×2×2
360 2
=4(π−2)
=4π−8，
故答案为：4π−8．
8．（24-25九年级上·四川广元·期末）如图，将⊙O的A´B、A´C分别沿弦AB、AC翻折，翻折后的两段弧
均经过圆心O，若⊙O的半径是3，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】3π
【分析】本题考查了求不规则图形的面积、等腰三角形的性质、解直角三角形、折叠的性质等知识，将不
规则图形的面积转化为扇形的面积是解题关键．连接OB,OC，过点O作OD⊥AC于点D，OD的延长线
交⊙O于点E，先得出S =S =S ，从而可得图中阴影部分的面积等于S ，再根据折
弓形OA 弓形OB 弓形OC 扇 形BOC
1
叠的性质可得OD=DE= OE=3，解直角三角形可得∠AOD=60°，根据等腰三角形的性质可得
2
∠AOC=120°，从而可得∠BOC=120°，最后利用扇形的面积公式计算即可得．
【详解】解：如图，连接OB,OC，过点O作OD⊥AC于点D，OD的延长线交⊙O于点E，∵⊙O的半径是3，
∴OA=OB=OC=OE=3，
∴S =S =S ，
弓形OA 弓形OB 弓形OC
∴图中阴影部分的面积等于S ，
扇形BOC
1
由折叠的性质得：OD=DE= OE=3，
2
OD 1
∴在Rt△AOD中，cos∠AOD= = ，
OA 2
∴∠AOD=60°，
又∵OA=OC，OD⊥AC，
∴∠AOC=2∠AOD=120°（等腰三角形的三线合一），
同理可得：∠AOB=120°，
∴∠BOC=360°−∠AOC−∠AOB=120°，
120π×32
∴S = =3π，
扇形BOC 360
即图中阴影部分的面积为3π，
故答案为：3π．
【题型2 利用“割补法”求面积】
1．（2025·江苏·一模）如图所示，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若A´B与
C´D所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ）3
A．π B．2π C． π−2 D．2π−2
2
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质，
根据阴影部分的面积S=(S −S )+(S −S )解答即可.
扇形COE 扇形FOB 扇形EOD △OBD
【详解】解：∵AC=AO=2,∠CAO=90°，
∴∠AOC=∠ACO=45°，
同理：∠BCO=∠COB=∠BOD=45°,OB=BC=BD=2.
根据勾股定理，得OC=❑√22+2 2 ❑=2❑√2.
❑
阴影部分的面积S=(S −S )+(S −S )
扇形COE 扇形FOB 扇形EOD △OBD
45π×(2❑√2) 2 45π×22 45π×(2❑√2) 2 1
=[ − ]+[ − ×2×2]
360 360 360 2
π
=π− +π−2
2
3
= π−2.
2
故选：C.
2．（2025·浙江·模拟预测）如图，C是以AB为直径的半圆上一点，过B，C两点作B´C与弦AC相切．已知
AB=4，∠ABC=30°，则阴影部分的面积为（ ）
1 5 1 5 1
A．2❑√3− π B． ❑√3−π C．❑√3− π D． ❑√3− π
2 4 2 4 2【答案】D
【分析】设B´C与AB交于点D，B´C的圆心为O，连接OD，CD，利用圆周角定理和圆的切线的性质得到
BC经过圆心O，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得OC,CD，再利用阴影部分的面积
=S +S −S 解答即可得出结论．
△ACD △OCD 扇形OCD
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，扇形与三角形的面积，直角三角形的
性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助
线．
【详解】解：设B´C与AB交于点D，B´C的圆心为O，连接OD，CD，如图，
∵AB
为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵过B，C两点作B´C与弦AC相切，
∴BC经过圆心O，
即BC为直径，
∴∠CDB=90°，
∵∠ABC=30°，
1 1
∴AC= AB=2，CD= BC，∠COD=60°，
2 2
∵BC=❑√AB2−AC2=2❑√3，
∴OC=OB=CD=❑√3，
∴AD=❑√AC2−CD2=1，
∴BD=AB−AD=3，
∵OB=OC，
1 1 1 3❑√3
∴S = S = × ×3×❑√3= ，
△ODC 2 △BCD 2 2 4
∴阴影部分的面积=S +S −S
△ACD △OCD 扇形OCD
1 3❑√3 60π×(❑√3) 2
= ×1×❑√3+ −
2 4 3605❑√3 1
= − π.
4 2
故选：D
3．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为8，以D为圆心，6为半径作圆弧；以C为圆
心，8为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别记为S 、S ，则S −S 的值为（ ）
1 2 1 2
A．52π B．25π C．52π−64 D．25π−64
【答案】D
【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据题意和图形，可以分别计算出S +S 和S +S 的值，然后用
1 3 2 3
(S +S )−(S +S )即可得到S −S 的值，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
1 3 2 3 1 2
【详解】解：如图，
90×π×62 90π×82
由S +S = =9π，S +S =8×8− =64−16π，
1 3 360 2 3 360
∴S −S =(S +S )−(S +S )
1 2 1 3 2 3
=9π−(64−16π)
=25π−64，
故选：D．
4．（2025·山西·一模）如图，先以正方形ABCD的边AD为直径画圆，然后以A为圆心，AB为半径画BD
，最后以AB的中点E为圆心，BE为半径画BF与AD交于点 F，若AD=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
3
A． π−1 B．π−1 C．4 D．π+1
2
【答案】A
【分析】本题考查圆面积的计算，正方形的性质，根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分
面积之间的和差关系进行计算即可．
【详解】解：如图，
1
空白①的面积为2×2− π×22=4−π，
4
空白部分②的面积S=S +S −S =S =1×1=1，
正方形AOFE 扇形BEF 扇形OAF 正方形AOFE
所以阴影部分的面积S=S −S −S +S
正方形ABCD 空白① 空白② 半圆
1
=4−(4−π)−1+ π×12
2
3
= π−1，
2
故选：A．
5．（2025·黑龙江佳木斯·三模）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=6，将扇形AOB沿过点B的
直线折叠，点O恰好落在A´B上的点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为（ ）A．9π−9❑√3 B．9π−12❑√3 C．6π−9❑√3 D．6π−6❑√3
【答案】B
【分析】此题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质．首先连接OD，由折叠的性质，
可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三角形，继而求得OC的长，即可
求得△OBC与△BCD的面积，又在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6，即可求得扇形OAB的面
积，继而求得阴影部分面积．
【详解】解：连接OD，
根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=OD=BD，
即△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
1
∴∠CBO= ∠DBO=30°，
2
∵∠AOB=90°，
❑√3
∴OC=OB⋅tan∠CBO=6× =2❑√3，
3
1 1 90π×62
∴S =S = OB⋅OC= ×6×2❑√3=6❑√3，S = =9π，
△BDC △OBC 2 2 扇形AOB 360
∴整个阴影部分的面积为：S −S −S =9π−6❑√3−6❑√3=9π−12❑√3．
扇形AOB △BDC △OBC故选：B．
6．（2025·河南驻马店·三模）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，以点C为圆心，CB的长为半径在
⊙O内画弧．若AB=❑√2，则图中阴影部分的面积为（ ）
π π π
A． B． C．1 D． +1
2 4 4
【答案】C
【分析】先证明∠BCD=90°，△ABD，△BCD为等腰直角三角形，求出OB=1，然后根据
S =S −(S −S )求解即可．
阴影 半圆 扇形CBD △BCD
【详解】解：如图，连接BD，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠BCD=90°，△ABD，△BCD为等腰直角三角形，
∴BD是直径．
∴BD=❑√2AB=2
，
∴OB=1，
∴S =S −(S −S )
阴影 半圆 扇形CBD △BCD
π⋅OB2 (90π⋅BC2 1 )
= − − BC⋅CD
2 360 2
π×12 π
= − ( −1 )=1．
2 2
故选C．【点睛】本题考查了扇形面积公式，圆周角定理，正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的知识是
解答本题的关键．
7．（2025·山西·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B、C为圆心、
BC的长为半径画弧，与BA、CA的延长线分别交于点D、E．若BC=4，则图中阴影部分的面积为
（ ）
A．2π−4 B．4π−4 C．8π−8 D．4π−8
【答案】D
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得
❑√2
∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC= BC=2❑√2，进而由S =2(S −S )解答即可求解，
2 阴影 扇形BCD △ABC
掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BC=4，
❑√2
∴AB=AC= BC=2❑√2，
2
(45π×42 1 )
∴S =2(S −S )=2 − ×2❑√2×2❑√2 =4π−8，
阴影 扇形BCD △ABC 360 2
故选：D．
8．（2025·山西吕梁·二模）如图，⊙O与菱形ABCD的边AB相切于点B，点C，D在⊙O上．若
AB=2❑√3，则图中阴影部分的面积为（ ）4π 8π 4π 8π
A． +❑√3 B． +❑√3 C． +2❑√3 D． +2❑√3
3 3 3 3
【答案】C
【分析】连接OA，OB，OC，OD，BD．证明△AOD≌△AOB(SSS)，得出∠DAO=∠BAO，结
合切线的性质求出∠OAB=30°，解直角三角形得出OC=OB=2，最后再由
S =S +S +S 计算即可得解．
阴影部分 扇形BOD △BOC △COD
【详解】解：如图，连接OA，OB，OC，OD，BD．
∵ ABCD
四边形 是菱形，
∴AD=AB，∠DAB=∠DCB．
在△AOD和△AOB中，
{AD=AB
)
DO=BO ，
AO=AO
∴△AOD≌△AOB(SSS)，
∴∠DAO=∠BAO，
∴点O在菱形ABCD的对角线AC上，
∴∠OAB=∠OCB=∠OBC．
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO=90°．
∵∠OAB+∠OCB+∠OBC+∠ABO=180°，
即3∠OAB+90°=180°，
解得∠OAB=30°，
∴∠BCD=∠AOB=60°，
∴BD=BC=2❑√3，∠BOD=2∠AOB=120°，
∵AB=2❑√3，∠OAB=30°，
∴OC=OB=AB⋅tan30°=2，
1 120π×22 1 4π
∴S =S +S +S =S + OC⋅BD= + ×2×2❑√3= +2❑√3
阴影部分 扇形BOD △BOC △COD 扇形BOD 2 360 2 3
，故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、扇形面积公式、解直角三角形
等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
9．（2025·山西·模拟预测）如图，半径为2的圆形纸片⊙O上有A,B,C三点，分别沿弦AB,AC折叠圆
⏜
形纸片，使折叠后的A´B与A´C都经过圆心O，则AB,AC， 围成的阴影部分的面积为（ ）
BC
4π π π
A．2❑√3+ B．2❑√3+ C．3❑√3+ D．3❑√3+π
3 3 3
【答案】A
【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，
垂径定理，在A´C上取点O关于直线AC的对称点E，连接AE,CE,AO,CO，连接OE交AC于点M，由折
叠的性质可得AO=AE,CO=CE，则可证明△AOE和△COE是等边三角形，OE垂直平分AC，进而可
得∠AOE=∠COE=60°,AC=2CM，解直角三角形得到CM=❑√3,OM=1，则AC=2❑√3，可求出
4 4
S =S −S = π−❑√3，同理可得S = π−❑√3，再根据
弓形ACE 扇形AOC △AOC 3 弓形AB 3
S =S −S −S 列式求解即可．
阴影 ⊙O 弓形ACE 弓形AB
【详解】解：如图，在A´C上取点O关于直线AC的对称点E，连接AE,CE,AO,CO，连接OE交AC于点
M．
由折叠可知AO=AE,CO=CE．
∴AO=AE=OE=OC=CE.∴△AOE和△COE是等边三角形，OE垂直平分AC．
∴∠AOE=∠COE=60°,AC=2CM，
∴∠AOC=120°，
在Rt△MOC中，CM=OC⋅sin60°=❑√3,OM=OC⋅cos60°=1，
∴AC=2❑√3，
120×π×22 1 4
∴S =S −S = − ×2❑√3×1= π−❑√3，
弓形ACE 扇形AOC △AOC 360 2 3
4
同理可得S = π−❑√3，
弓形AB 3
∴S =S −S −S =π×22−2 (4 π−❑√3 ) =2❑√3+ 4 π，
阴影 ⊙O 弓形ACE 弓形AB 3 3
故选：A．
10．（2025·山西大同·三模）如图，分别以点O ，O 为圆心，O O 的长为半径作圆，设两圆的一个交点
1 2 1 2
为点P．若O O =3，则图中阴影部分的面积是（ ）
1 2
9❑√3 9❑√3
A．3π− B．6π− C．6π−9❑√3 D．3π−6❑√3
4 4
【答案】A
【分析】如图所示，连接PO ，PO ，过点P作PA⊥O O 交于点A，得到PO =PO =O O =3，证明
1 2 1 2 1 2 1 2
出△PO O 是等边三角形，求出∠PO O =∠O PO =60°，解直角三角形求出AP，然后根据阴影部
1 2 1 2 1 2
分的面积 =S +S −S 代数求解即可．
扇形PO O 扇形PO O △PO O
1 2 1 2 1 2
【详解】如图所示，连接PO ，PO ，过点P作PA⊥O O 交于点A，
1 2 1 2
根据题意得，PO =PO =O O =3，
1 2 1 2
∴△PO O 是等边三角形，
1 2
∴∠PO O =∠O PO =60°，
1 2 1 23❑√3
∴AP=PO ⋅sin∠PO O =3×sin60°= ，
1 1 2 2
∴阴影部分的面积 =S +S −S
扇形PO O 扇形PO O △PO O
1 2 1 2 1 2
60π×32 60π×32 1 3❑√3
= + − ×3×
360 360 2 2
9❑√3
=3π− ．
4
故选：A．
【点睛】此题考查了求不规则图形面积，等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是
掌握以上知识点．
11．（2025·河南周口·二模）如图，半圆O的直径AB为4，OC⊥AB交半圆O于点C，以点A为圆心，
AC长为半径画弧交AB于点D，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AB于点E，则图中阴影部分的面积是
（ ）
A．2π−1 B．2π−2 C．2π−4 D．4π−2
【答案】C
【分析】本题考查扇形中阴影部分的面积，根据“S =S −S +S −S ”求解即
阴影部分 扇形CAD △CAO 扇形CBE △CBO
可．
【详解】解：如图，连接AC,BC，
∵半圆O的直径AB为4，OC⊥AB交半圆O于点C，
∴OA=OC=OB=2，点C为A´B的中点，
∴∠CAO=∠CBO=45°，AC=BC，∴AC=❑√AO2+OC2=2❑√2=BC，
∴S =S −S +S −S
阴影部分 扇形CAD △CAO 扇形CBE △CBO
45π×(2❑√2) 2 1 45π×(2❑√2) 2 1
= − ×2×2+ − ×2×2
360 2 360 2
=π−2+π−2
=2π−4，
故选：C．
12．（2025·山西吕梁·二模）如图，AB为半圆O的直径，C为OB的中点，将半圆O绕着点C顺时针旋转
90°，得到半圆O′，点A，B，O的对应点分别为A′，B′，O′，半圆O′的直径A′B′与半圆O交于点D，连接
OO′，若OO′=❑√2，则图中阴影部分的面积为（ ）
4π ❑√3 4π ❑√3 4π
A． B． π C． + D． +❑√3
3 2 3 2 3
【答案】C
【分析】本题考查了圆的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定定理和性质，勾股定理，三角形和
扇形的面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．
连接OD，由旋转的性质得OC=O′C，∠O′CO=90，从而得到OC=O′C=1，
根据C是OB的中点，求得OB=2，进而求出∠ODC，∠AOD的度数，再根据扇形面积公式求出扇形
OAD的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】如图，连接OD，
由旋转的性质得OC=O′C，∠O′CO=90，∵OO′=❑√2，
∴OC=O′C=1，
∵C是OB的中点，
∴OC=CB=1，即OB=2，
∴OD=2，
∵OC=1，
1
∴sin∠ODC=
2
∴∠ODC=30°，
∴∠AOD=90°+30°=120°，CD=❑√3，
120π×22 4π 1 1 ❑√3
∴S = = ，S = OC⋅CD= ×1×❑√3= ，
扇形AOD 360 3 △OCD 2 2 2
4π ❑√3
∴S =S +S = + ．
阴影部分 扇形AOD △OCD 3 2
故选C．
13．（2025·重庆·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=1，∠ABC=30°，将
Rt△ABC绕点B顺时针旋转30°得到△A′BC′，则阴影部分面积为（ ）
2π 3 π 3 2π 1 π 1
A． − B． − C． − D． −
3 4 3 4 3 2 3 2
【答案】B
【分析】在Rt△ABC中勾股定理求出BC、AB，再根据旋转的性质即可求出A′B=AB=❑√3，
BC′=BC=2，∠A′BC′=30°，S =S ，再根据扇形的面积公式求出S ，则
△A′BC′ △CBA 扇形C′BC
S =S −S +S −S ，问题得解．本题考查了扇形面积公式、旋转的性质、勾股定
阴影 扇形C′BC △A′BC′ △ACB △A′BA
理等知识，掌握扇形的面积公式是解答本题的关键．【详解】解：过点A′作A′H⊥AB于一点H，如图所示：
∵AC=1，∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴在Rt△ABC中，BC=1×2=2，
AB=❑√BC2−AC2=❑√3，
根据旋转的性质有：A′B=AB=❑√3，BC′=BC=2，∠A′BC′=30°，S =S
△A′BC′ △CBA
1 1 ❑√3
∴S = ×AC×BC= ×1×❑√3= ，
△ACB 2 2 2
1 ❑√3
在Rt△A′BH中，H A′= A′B= ，
2 2
1 1 ❑√3 3
则 S = ×A′H×AB= × ×❑√3= ，
△A′BA 2 2 2 4
30° 1 π
则S = ×π×BC2= ×π×4= ，
扇形CBC′ 360° 12 3
∴S =S −S +S −S ，
阴影 扇形C′BC △A′BC′ △ACB △A′BA
=S −S
扇形C′BC △A′BA
π 3
= −
3 4
故选：B．
14．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点
D，PD的延长线与BC的延长线交于点E．已知AB=2，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】5−π/−π+5
【分析】连接AC,OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，根据切线的性质得到
∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE=3❑√2，
根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
【详解】解：连接AC，OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠ACD=45°，
∴AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，
∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，
∴∠PAO=∠PDO=90°，
∴四边形AODP是矩形，
∵OA=OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P=90°，AP=AO，PE∥AC，
∴∠E=∠ACB=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC=2AO=2❑√2，DE=❑√2CD=2❑√2，
∴AP=PD=AO=❑√2，
∴PE=3❑√2，1 1
∴图中阴影部分的面积= (AC+PE)⋅AP− AO2 ⋅π
2 2
1 1
= (2❑√2+3❑√2)×❑√2− (❑√2) 2 ⋅π
2 2
=5−π
故答案为：5−π．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的
作出辅助线是解题的关键．
15．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在扇形OAB中，圆心角∠O=120°，半径OA=4，将扇形OAB
绕半径OB的中点M顺时针旋转60°，得到扇形O′ A′B′，连接O′B，则图中阴影部分的面积为 ．
8π
【答案】 −2❑√3
3
【分析】连接OO′，根据题意和旋转的性质证明△OO′M是等边三角形，从而证明点O、O′、A′共线；
设A´B与O′ A′交于点D，根据扇形面积公式求出扇形OBD的面积；过点O′作O′E⊥OB，交OB于点E，
由三角函数求出O′E，根据三角形面积公式求出△OBO′的面积，再根据“阴影部分的面积=扇形OBD的
面积−三角形OBO′的面积”计算即可．
本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：连接OO′，
由题意知，∠OMO′=60°，
∵M为OB的中点，OA=OB=4，1
∴OM= OB=2，
2
根据旋转的性质，得O′M=OM=2，
∴△OO′M是等边三角形，
∴∠OO′M=∠O′OM=60°，OO′=OM=2，
∵∠A′O′B′=∠AOB=120°，
∴∠OO′ A′=∠OO′M+∠A′O′B′=180°，
∴点O、O′、A′共线．
设A´B与O′ A′交于点D，
60 8π
则S = ×42π= ，
扇形OBD 360 3
过点O′作O′E⊥OB，交OB于点E．
❑√3
O′E=OO′ ⋅sin∠O′OM=2× =❑√3，
2
1 1
∴S = OB⋅O′E= ×4×❑√3=2❑√3，
△OBO′ 2 2
8π
∴阴影部分的面积为S −S = −2❑√3．
扇形OBD △OBO′ 3
8π
故答案为： −2❑√3．
3
16．（2025·广东韶关·二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=2❑√2，以点C
为圆心，AC为半径画弧，交BC于点E，以点B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分
的面积是 ．
【答案】8−2π/−2π+8
45°×π×AB2 45°×π×AC2
【分析】根据题意，阴影部分的面积为S − +S − ，结合已知代入
△ABC 360° △ABC 360°
计算即可．
本题考查了阴影面积计算，扇形面积公式，适当分割表示阴影面积是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得∠BAC=90°，AC=AB=2❑√2，故∠ABC=∠ACB=45°,
45°×π×AB2 45°×π×AC2
故阴影部分的面积为S − +S −
△ABC 360° △ABC 360°
1 45°×π×(2❑√2) 2 1 45°×π×(2❑√2) 2
= ×2❑√2×2❑√2− + ×2❑√2×2❑√2−
2 360° 2 360°
=8−2π．
故答案为：8−2π或−2π+8．
17．（2025·吉林·三模）如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若A´B和B´C都经过圆心O，则
阴影部分图形的面积是 ．
9❑√3
【答案】3π+
2
【分析】本题主要考查圆中的计算问题和扇形面积计算，解直角三角形的应用，熟练掌握公式，是解题的
关键．作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠AOB，再求出弓形AEB的面积，然后根据阴
影部分的面积等于圆的面积减去2个弓形的面积，即可得出答案．
【详解】解：作OD⊥AB于点D，延长线交⊙O于点E，连接AO，BO，
1
则∠ODA=90°，AD=BD= AB，
2
∵弓形AEB折叠后为弓形AOB过圆心，
∴OD=
1
EO=
1
OA=
3
，AD=❑√OA2−OD2=❑
√
32−
(3) 2
=
3❑√3
，
2 2 2 2 2
∴AB=2AD=3❑√3，
OD 1
∵cos∠AOD= = ，
OA 2∴∠AOD=60°，
∵OD⊥AB，OA=OB，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
∴S =S −S
弓形AEB 扇形OAB △AOB
120π×32 1 3
= − ×3❑√3×
360 2 2
9❑√3
=3π− ，
4
∴阴影部分的面积为：
S −2S
⊙O 弓形AEB
=32π−2 ( 3π− 9❑√3)
4
9❑√3
=9π−6π+
2
9❑√3
=3π+ ．
2
9❑√3
故答案为：3π+ ．
2
18．（2025·吉林·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，若进行下列操作：①
将Rt△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到Rt△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′；②以点C为圆心，
线段AC的长为半径得到弧AB，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
【答案】4π
【分析】此题考查了扇形面积的计算、等腰直角三角形，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
根据题意求出AB=❑√2AC=4❑√2，AB′=AB=4❑√2，∠BAB′=90°，AC′=AC=BC=B′C=4，
∠C′=90°，再根据阴影部分的面积 =S ❑ +S ❑ −S ❑ −S ❑ ，然后即可求解；
△ ABC 扇形 ABB′ 扇形 CAB △ AB′C′【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=❑√2AC=4❑√2，
根据题意得，AB′=AB=4❑√2，∠BAB′=90°，AC′=AC=BC=B′C=4，∠C′=90°，
∴阴影部分的面积 =S ❑ +S ❑ −S ❑ −S ❑
△ ABC 扇形 ABB′ 扇形 CAB △ AB′C′
1 90π×(4❑√2) 2 90π×42 1
= ×4×4+ − − ×4×4
2 360 360 2
=8π−4π
=4π；
故答案为：4π；
19．（2025·贵州遵义·一模）如图，AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，点D在⊙O上，
∠ADO=15°，点C是弦AB上一动点（不与点A、B重合），连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD．
(1)证明：AC=OC；
(2)求弦AB的长；
(3)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)2❑√3；
5π+❑√3
(3) ．
3
【分析】本题主要考查了垂径定理，不规则图形的面积计算，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定等
等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接OA，由等边对等角得到∠OAB=∠B=30°，∠ADO=∠DAO=15°，则可证明
∠AOC=∠OAC，进而证明AC=OC；
1
（2）过点O作OE⊥AB于E，则OE= OB=1，AB=2BE，由勾股定理求出BE的长即可得到答案；
2
（3）求出∠OCE，∠AOD的度数，解直角三角形求出OC的长，进而得到AC的长，据此根据
S =S +S 计算求解即可．
阴影 扇形OAD △ACO【详解】（1）证明：如图所示，连接OA，
∵OA=OB，∠B=30°，
∴∠OAB=∠B=30°，
∵OA=OD，∠ADO=15°，
∴∠ADO=∠DAO=15°，
∴∠AOC=∠ADO+∠DAO=30°，
∴∠AOC=∠OAC，
∴AC=OC；
（2）解：如图所示，过点O作OE⊥AB于E，
∴∠OEB=90°，
∵OB=2，∠B=30°
1 1
∴OE= OB= ×2=1，AB=2BE，
2 2
∴BE=❑√OB2−OE2=❑√22−12=❑√3，
∴AB=2BE=2❑√3；
（3）解：由（1）知∠OCE=∠OAC+∠AOC=60°，∠AOD=180°−∠AOC=150°，
OE 1 ❑√3
∴sin∠OCE=sin60°= = = ，
OC OC 2
2❑√3
∴OC= ，
3
2❑√3
∴AC= ，
3150π×22 1 2❑√3 5π+❑√3
∴S =S +S = + × ×1= ．
阴影 扇形OAD △ACO 360 2 3 3
20．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB边上，以BD为直径作的⊙O经
过AC边上的点E，连接BE，BE平分∠ABC，
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)OB=2，AE=4，以点A为圆心，OB长为半径作弧，交AB边于点F，交AC边于点G，求图中D´E，
DE，F´G，GE．围成的阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)4−π
【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，角平分线的定义和等边对等角，熟知圆的相关
知识是解题的关键。
（1）连接OE，由角平分线的定义和等边对等角可证明∠CBE=∠OEB，则可证明BC∥OE，得到
∠OEA=∠C=90°，据此可证明结论；
（2）求出∠EOA+∠A=90°，根据题意可得扇形DOE和扇形FAG的面积之和等于圆心角度数为90
度，半径为2的扇形面积，再根据S =S −S −S 列式计算即可。
阴影 △AOE 扇形DOE 扇形FAG
【详解】（1）证明：如图所示，连接OE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵OA=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠CBE=∠OEB，∴BC∥OE，
∴∠OEA=∠C=90°，
∴OE⊥AC，
∵OE是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的半切线；
（2）解：∵∠OEA=90°，
∴∠EOA+∠A=90°，
∵OE=OB=2，AE=4，
1
∴S = OE⋅AE=4，
△AOE 2
由题意得，扇形DOE和扇形FAG的半径相同，且∠EOA+∠A=90°，
∴扇形DOE和扇形FAG的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积，
90π×22
∴S =S −S −S =4− =4−π．
阴影 △AOE 扇形DOE 扇形FAG 360
【题型3 利用“平移法”求面积】
1．（24-25九年级下·河南商丘·期中）如图，半径为3的扇形AOB中，C为A´B的中点，连接AB，OC．已
知A´B的长度为2π，则图中阴影部分的面积为（ ）
3 4 4 8
A． π B． π−2❑√3 C． π D． π− ❑√3
2 3 3 3
【答案】A
【分析】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键．证明
△AOD≌△BOD，得出S =S ，则图中阴影部分的面积为扇形AOC的面积，根据已知求得
△AOD △BOD
圆心角，进而根据扇形面积公式，即可求解．
【详解】解：如图，设OC,AB交于点D，∵C为A´B的中点，
1
∴OC⊥AB，∠AOC= ∠AOB
2
∴∠ADO=∠BDO，AD=BD
又∵OD=OD
∴△AOD≌△BOD
∴S =S
△AOD △BOD
∵半径为3的扇形AOB中，A´B的长度为2π，设∠AOB=n
n
∴ π×3=2π，
180°
解得：n=120°
1
∴∠AOC= ∠AOB=60°
2
60 3
∴图中阴影部分的面积为S = π×32= π
△扇形AOC 360 2
故选：A．
2．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且
AB=24，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】72π
【详解】试题解析：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB，
过O作OC⊥AB于C点，则AC=BC=12，
∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切，
∴OC为小圆的半径，
∴S =S -S
阴影部分 大半圆 小半圆1 1
= π×OB2− π×OC2,
2 2
1
= π(OB2−OC2 ),
2
1
= πBC2,
2
=72π．
故答案为72π．
3．（2025·河南·模拟预测）如图，在等边三角形ABC中，AB=4，以BC为直径作半圆O，则图中阴影部
分的面积为 ．（结果保留π）
2π
【答案】
3
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，扇形的面积，连接OD、OE、DE，可得△OBD、
△OCE、△ODE和△ADE都是等边三角形，即可得△ADE≌△BOD≌△COE≌△DOE(SSS)
，利用割补法可得S =S ，进而根据扇形的面积公式计算即可求解，运用转化思想解答是解题的
阴影 扇形BOD
关键．
【详解】解：如图，连接OD、OE、DE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC=4，
∵OB=OD=OE=OC，
∴△OBD和△OCE是等边三角形，
∴∠BOD=∠COE=60°，∴∠DOE=60°，
∴△ODE为等边三角形，
∵点O为BC的中点，
∴OB=OC=OD=OE=BD=CE=DE=2，
∴AD=AE=2，
∴△ADE≌△BOD≌△COE≌△DOE(SSS)，
∴把1移到2，再把△ADE移到△BOD的位置，可知S =S ，
阴影 扇形BOD
60π×22 2π
∴S =S = = ，
阴影 扇形BOD 360 3
2π
故答案为： ．
3
4．（2025·甘肃陇南·二模）如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，以FO的长为半径
作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得到六边形
ABCDEF，若OF=1，则阴影部分的面积为 ．
❑√3
【答案】
2
【分析】本题主要考查了图形的面积转换，等边三角形面积，将不规则图形的面积转换成规则图形的面积
是解题关键．可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，然后求解即可．
【详解】解：如图，连接OA、OB、OD、OE，
根据题意，可知弓形EF、AF与弓形OE、OA面积相等，弓形BC、CD与弓形OB、OD面积相等，
∴S =S +S ，
阴影 △ODE △OAB
∵EF=OF=OE=OA=AF=OB=OD=CD=CB=OC，∴△OEF,△OAF,△OCD,△OCB为等边三角形，
∴∠EOF=∠DOC=60°，
∴∠DOE=180°−2×60°=60°，
∴△OED为等边三角形，同理可知△OAB为等边三角形，且两三角形全等，
1 ❑√3 ❑√3
∴S =2× ×1× = ．
阴影 2 2 2
❑√3
故答案为： ．
2
5．如图1，直线l 与直线l 相交于O点，在直线l 上取两点A、B，且OA=OB=1，在直线l 上取两点
1 2 1 2
C、D．且OC=OD=2，以AB为直径作小半圆，以CD为直径作大半圆．连接AC、BD，直线l 交大半
1
圆于E点．
(1)求证：AC∥BD；
(2)求阴影部分的面积；
(3)如图2，若CA切小半圆于A点，连接CE，求证：CE也是小半圆的切线．
【答案】(1)见解析
3
(2) π
2
(3)见解析
【分析】（1）证明△AOC≌△BOD(SAS)，即可得到∠ACO=∠BDO，从而即可得证；
（2）由△AOC≌△BOD可得阴影部分的面积=S −S ，代入数据进行计算即可得到答案；
大半圆 小半圆
（3）由切线的性质可得∠OAC=90°，设l 交小半圆于F，连接AF，由直角三角形的性质可得
2
OA=OF=AF，从而推出△AOF是等边三角形，得到∠AOC=60°，∠ACO=30°，再由等腰三角形
的性质及三角形外角的定义及性质可得∠OCE=30°，过点O作OM⊥CE于M点，由角平分线的性质可
得OM=OA，由此即可得证．【详解】（1）证明：∵OA=OB，∠AOC=∠BOD，OC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠ACO=∠BDO，
∴AC∥BD；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
1 3
∴阴影部分的面积=S −S = π(22−12)= π；
大半圆 小半圆 2 2
（3）解：∵AC切小半圆于A，
∴∠OAC=90°，
如图，设l 交小半圆于F，连接AF，
2
∴OF=OA=1，
∵CF=OC−OF=2−1=1，
∴OF=CF=1，
∴AF=OF=CF，
∴OA=OF=AF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF=60°，
∴∠ACO=30°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∵∠AOC=∠AEO+∠OCE，
∴∠OCE=30°，
过点O作OM⊥CE于M点，
∵∠OCE=∠ACO，∴OM=OA，
∴CE也是小半圆的切线．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、扇形面积的计算、切线的判定与性质、直角三角形的性
质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅
助线是解此题的关键．
6.如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm.如果点C、D是AB的三等分点，图中所有阴影部分的
面积之和是 cm2．
1
【答案】 π
2
【分析】
由题意可知C、D是弧AB的三等分点，通过平移可把阴影部分都集中到一个小扇形中，可发现阴影部分正
1
好是扇形AOB的 ，先求出扇形AOB的面积再求阴影部分的面积或者直接求圆心角是20度，半径是3的扇
3
形的面积皆可．
此题考查扇形的面积问题，通过平移的知识把小块的阴影部分集中成一个规则的图形--扇形，再求扇形的
面积即可．利用平移或割补把不规则图形变成规则图形求面积是常用的方法．
【详解】
60π×32 3
解：S = = π(cm2 )，
扇 形OAB 360 2
∵点C、D是AB的三等分点，
1 1 3 1
∴S = S = × π= π(cm2 ).
阴影 3 扇 形OA3B 2 2
1
故答案为： π.
2
7.如图所示，两个半圆形中，O为大半圆形的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆形只有一个
交点，那么图中阴影部分的面积等于多少?81
【答案】 π
2
【分析】观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆形的面积减去小半圆形的面积，即当小半圆形在大半圆
形范围内左右移动时，阴影部分面积不改变，因此我们可以通过平移，使两个半圆形圆心重合，这样就能
运用已知条件求出阴影部分的面积．
【详解】解：将小半圆形向右平移，使两个半圆形的圆心重合，如图，则阴影部分的面积等于半圆环面
积．
作OE⊥AB于点E(易知E为AB与小半圆的交点)，连接OA，
1
∴AE= AB=9．
2
1 1 1 1 1 81
∴阴影部分的面积= π⋅OA2− π⋅OE2= π(OA2−OE2 )= π⋅AE2= π⋅92= π．
2 2 2 2 2 2
【题型4 利用“旋转法”求面积】
1．小明将直径为6cm的半圆绕点A逆时针旋转60°设计了如图所示的图案，那么图中阴影部分的面积是（
）
A．4.5πcm2 B．6πcm2 C．9πcm2 D．18πcm2
【答案】B【分析】根据整体思想，可知S =S +S −S =S ，再利用扇形面积公式计算即
阴影 半圆AB′ 扇形ABB′ 半圆AB 扇形ABB′
可．
【详解】解：∵S =S +S −S ，
阴影 半圆AB′ 扇形ABB′ 半圆AB
而根据旋转的性质可知S =S ❑ ，
半圆AB′ 半圆 AB
∴S =S +S −S =S ，
阴影 半圆AB′ 扇形ABB′ 半圆AB 扇形ABB′
而由题意可知AB=6cm，∠BAB′=60°，
60⋅π⋅62
即S = =6π(cm2 )．
阴影 360
故选：B．
【点睛】本题考查的是扇形面积的相关计算，根据整体思想求出表示阴影部分面积的方法，再用公式计算
扇形的面积即可．
2．（2025·河南郑州·二模）如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的弧上，扇形AO B的
2
圆心O 是弧CD的中点，且扇形AO B绕着点O 旋转，半径O C，O A交于点E，半径O D，O B交于
2 2 2 1 2 1 2
点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
π 1 π
A．π−2 B．π−1 C． − D． −1
2 2 2
【答案】D
【分析】此题主要考查了扇形的面积求法以及三角形的面积等知识，得出四边形O EO F的面积=正方形
1 2
O MO N的面积，是解决问题的关键．
2 1
根据扇形的面积公式求出面积，再过过点O 作O M⊥CO ，作O N⊥O D，垂足分别为M,N，然后
2 2 1 2 1
证明△MO E≌△NO F，从而得到中间空白区域的面积等于以 1 为对角线的正方形的面积，从而得
2 2
出阴影部分的面积．
【详解】解：连接O O
1 290π×12 1
两扇形的面积和为： ×2= π，
360 2
过点O 作O M⊥CO ，作O N⊥O D，垂足分别为M,N，
2 2 1 2 1
则四边形O MO N是矩形，
2 1
∵点O 是弧CD的中点，
2
∴O O 平分∠CO D，
1 2 1
∴O M=O N，
2 2
∴矩形O MO N是正方形，
2 1
∵∠MO E+∠EO N=90°,∠NO F+∠AO N=90°，
2 2 2 2
∴∠MO E=∠NO F，
2 2
在△MO E与△NO F中，
2 2
{∠MO
2
E=∠NO
2
F
)
O M=O N ，
2 2
O ME=∠O NF
2 2
∴△MO E≌△NO F(ASA)，
2 2
∴中间空白区域面积相当于对角线是 1 的正方形面积，
1 1
∴空白区域的面积为： ×1×1= ，
2 2
1
∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积−2 个空白区域面积= π−1，
2
故选：D．
3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在△ABC中，已知
∠ABC=90°，∠BAC=30°，BC=1，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′，则
图中阴影部分的面积为（ ）π π−❑√3 π−❑√3 ❑√3
A． B． C． D． π
4 2 4 2
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，求扇形的面积，含30°直角三角形的性质，勾股定理，
先求出AB,AC，再根据S
阴影
=S
扇形ACC′
−S
扇形ADB′
−S
△AB′C′
可得答案.
【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°,BC=1，
∴AC=2BC=2，
根据勾股定理，得AB=❑√AC2−BC2=❑√3.
根据旋转得∠BAB′=90°，
∴∠B′ AD=60°，
90π×22 60π×(❑√3) 2 1 π ❑√3 π−❑√3
∴S =S −S −S = − − ×1×❑√3 =π− − = .
阴影 扇形ACC′ 扇形ADB′ △AB′C′ 360 360 2 2 2 2
故选：B.
4．如图， ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2，将 ABC绕点A逆时针旋转30°得 ADE，则在
旋转过程中△BC扫过的图形面积是 ． △ △
1
【答案】 π
3
【分析】利用等腰直角三角形的性质得到AC＝❑√2AB＝2❑√2，再根据旋转的性质得∠BAD＝∠CAE＝30°，
ABC≌△ADE，根据扇形的面积公式，利用BC扫过的图形面积＝S
扇形EAC
+S
ABC
﹣S
ADE
﹣S
扇形BAD
＝S
扇形EAC
﹣S
扇
△ △
△进行计算．
形BAD
【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝❑√2AB＝2❑√2，
∵△ABC绕点A逆时针旋转30°得 ADE，
∴∠BAD＝∠CAE＝30°， ABC≌△△ADE，
∴BC扫过的图形面积＝S△扇形EAC +S
ABC
﹣S
ADE
﹣S
扇形BAD
△ △
＝S ﹣S
扇形EAC 扇形BAD
30⋅π⋅(2❑√2) 2 30⋅π⋅22
＝ ﹣
360 360
1
＝ π．
3
1
故答案为 π．
3
【点睛】本题考查了扇形的面积计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝
n 1
×πR2
或S ＝ lR（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则
360 扇形 2
图形的面积．
5．如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的
弧上的点B' 处，点C的对应点为点C' ，则阴影部分的面积为 ．
1
【答案】❑√3+ π
3
【分析】连接BB’，过A作AF⊥BB’于F，根据旋转的性质得出扇形ABC和扇形AB’C’的面积相等，AB＝
AB’＝BC＝BB’＝2，求出△ABB’是等边三角形，求出∠ABF＝60°，解直角三角形求出BF和AF，再根据阴
影部分的面积S＝S ABC−（S ABB−S ABB）求出答案即可．
扇形 扇形 ’ ’
△
【详解】解：连接BB’，过A作AF⊥BB’于F，则∠AFB＝90°，如图，
∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧上的点B' 处，点C的对应点为点C' ，
∴扇形ABC和扇形AB’C’的面积相等，AB＝AB’＝BC＝BB’＝2，
∴△ABB’是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
∴∠BAF＝30°，
1 1
∴BF＝ AB＝ ×2＝1，由勾股定理得：AF＝❑√22−12=❑√3，
2 2
∴阴影部分的面积S＝S ABC−（S ABB−S ABB）
扇形 扇形 ’ ’
△
90π×22 (60π×22 1 )
＝ − − ×2×❑√3
360 360 2
1
＝❑√3+ π，
3
1
故答案为：❑√3+ π．
3
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识
点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为n°，
nπr2
扇形的半径为r，那么扇形的面积S＝ ．
360
6．如图，将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB绕点B逆时针旋转60°，得到扇形O'A'B，其中点A的运
动路径为A ´ A′，则图中阴影部分的面积和为 ．【答案】8π−8❑√3/−8❑√3+8π
【分析】连接OO′，AO′，AB,A′B,根据旋转，结合等边三角形的判定，得出ΔOBO′为等边三角形，得
出∠BOO′=60°，BO′=BO，再证明ΔAOO′为等边三角形，从而证明四边形AOBO′为菱形，证明
S =S −S ,从而可得答案．
阴影 扇形 菱形
【详解】解：连接OO′，AO′，AB,A′B, 如图所示：
根据旋转可知，∠OBO′=60°=∠ABA′,
∵OB=OO′，
∴ΔOBO′为等边三角形，
∴∠BOO′=60°，BO′=BO，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOO′=60°，
∵AO=OO′，
∴ΔAOO′为等边三角形，
∴AO′=AO，∠AOO′=∠BOO′=60°,
∴OA=OB=BO′=AO′，
∴四边形AOBO′为菱形，∴ S =S ，
弓形AO' 弓形BO'
记菱形的对角线的交点为H，且OB=OA=AO′=BO′=OO′=4,
∴OH=O′H=2,BH=AH=❑√42−22=2❑√3,
1
∴S = ×4×4❑√3=8❑√3,
菱形AOBO′ 2
∵四边形AOBO′为菱形，∠OBO′=∠ABA′=60°,
∴∠ABO′=30°=∠A′BO′,
∵AB=A′B,BO′=BO′,
∴△ABO′ ≌△A′BO′,
∴S +S =S =8❑√3,
△ABO′ △A′BO′ 菱形AOBO′
60π×(4❑√3) 2
∵S = =8π,
扇形BAA′ 360
∴S =S −S =8π−8❑√3.
阴影 扇形 菱形
故答案为：8π−8❑√3．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是
熟练掌握扇形面积公式，看出图中S =S −S 是解本题的关键．
阴影 扇形 菱形
7．如图，将半径为1，圆心角为60°的扇形OAB绕点A逆时针旋转36°，得到扇形O′ AB′，则A´B扫过的
区域（即图中阴影部分）的面积为 ．
π
【答案】
10
【分析】结合已知条件及旋转性质，根据面积的和差可得S =S ，然后利用扇形面积公式计算即
阴影 扇形BAB′
可．【详解】∵OA=OB=1，∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=OA=1，
由旋转性质可得，∠OAO′=∠BAB′=36°，S =S ，
△AOB △AO′B′
则S =S +S −S +S −S ，
阴影 扇形BAB′ △AOB 扇形AOB 扇形AO′B′ △AO′B′
=S
，
扇形BAB′
36π×12
= ，
360
π
= ，
10
π
故答案为： ．
10
【点睛】此题考查了扇形的面积及旋转性质，结合已知条件将阴影部分面积转化为扇形的面积是解题的关
键．
8．如图，在等边△ABC中，AC=4，点D为AC边的中点，将△ABC绕点D顺时针旋转90°，得到
△A′B′C′，A A′是点A的旋转路径，连接CC′，则图中阴影部分的面积为
【答案】π+2/2+π
【分析】本题考查了扇形面积，旋转性质，根据AC=4，点D为AC边的中点，得出AD=CD=2，结合
旋转性质，得出A′D=AD，C′D=DC，结合扇形面积以及三角形面积公式进行列式，代入数值进行计
算，即可作答．
【详解】解：∵等边△ABC中，AC=4，点D为AC边的中点，
∴AD=CD=2，
∵将△ABC绕点D顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，A A′是点A的旋转路径，连接CC′，
∴A′D=AD=2，C′D=DC=2，1 90°×22π
则图中阴影部分的面积为 ×2×2+ =π+2，
2 360°
故答案为：π+2．
【题型5 利用“等积变形法”求面积】
1．如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O ,⊙O ,⊙O 相互经过彼此
1 2 3
的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
1 1 1
A． πcm2 B． πcm2 C． πcm2 D．πcm2
4 3 2
【答案】C
【分析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如
图，连接AO ,AO ,O O ，阴影AO O 的面积＝扇形AO O 的面积，据此即可解答.
1 2 1 2 1 2 1 2
【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等；
如图，连接AO ,AO ,O O ，则AO =AO =O O ，△AO O 是等边三角形，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴∠AO O =60°，弓形AO ,AO ,O O 的面积相等，
1 2 1 2 1 2
60π×12 1
∴阴影AO O 的面积＝扇形AO O 的面积= = πcm2，
1 2 1 2 360 6
1 1
∴图中三个阴影部分的面积之和=3× π= πcm2 ；
6 2
故选：C.
【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键.
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，将弧AB沿弦AB翻折恰好过圆心O点，点C为弧AB的中点，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（ ）
1 3
A． π B．π C． π D．2π
2 2
【答案】C
1 1
【分析】先结合题意，得出CD=DO= CO= BO，AD=BD，∠ADC=∠BDO，则∠DOB=60°
2 2
60°×π×32 3
，再证明△ADC≌△BDO，故图中阴影部分的面积为 = π，即可作答．
360° 2
【详解】解：连接CO，与AB的交点为D，连接BO,
∵将弧AB沿弦AB翻折恰好过圆心O点，
1 1
∴CD=DO= CO= BO，
2 2
∵点C为弧AB的中点，
∴CO⊥AB，
DO 1
∴AD=BD，∠ADC=∠BDO=90°，cos∠DOB= = ，
BO 2
即∠DOB=60°，
∴△ADC≌△BDO，
∴S =S ，
△ADC △BDO
60°×π×32 3
故图中阴影部分的面积为 = π，
360° 2故选：C．
【点睛】本题考查了求不规则的面积，解直角三角形的相关性质，扇形面积，全等三角形的判定与性质，
垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
3．如图，点A、B、C是⊙O上的点，连接AB、AC、BC，且∠ACB=15°，过点O作OD∥AB交
⊙O于点D，连接AD、BD，已知⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
π ❑√3 π 4❑√3
A． B． C． D．
6 2 3 3
【答案】C
【分析】由圆周角定理可得∠AOB的度数，由OD∥AB可得S =S ，进而可得S =S
△ABD △ABO 阴影 扇形AOB
，然后根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵∠ACB=15°，
∴∠AOB=30°，
∵OD∥AB，
∴S =S ，
△ABD △ABO
30π×22 π
∴S =S = = ．
阴影 扇形AOB 360 3
故选：C．
【点睛】题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，熟练掌握上述
基本知识是解题的关键．
4．（2025·河南郑州·三模）如图，AB是半圆O的直径，点C为半圆O上一点．将半圆O沿BC翻折，点O
⏜
的对应点O′落在
BC
上，点A的对应点为D．若AB=4，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】❑√3
【分析】本题考查翻折的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，不规则图形的面积，根据翻折和等
边三角形的判定可得△CDO′是等边三角形，然后过D点作DE⊥CO′于点E，根据勾股定理求出DE
长，再根据S =S 解答即可．
阴影 △CDO'
【详解】解：如图，连接O′C，O′O，OC，CD，
由翻折可知，O′C=OC=OB=O′B=OO′=O′D=2，
∴四边形OBO′C是菱形，∠COO′=∠O′OB=∠CO′O=∠OO′B=60∘，
∴△CDO′是等边三角形，
过D点作DE⊥CO′于点E，
则CE=1，DE=❑√CD2−CE2=❑√3，
1
∴S =S = ×2×❑√3=❑√3．
阴影 △CDO' 2
故答案为：❑√3．
5．如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ．【答案】9
【分析】设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE=CE，得到弓形BE的面积=弓
形CE的面积，则S =S =S −S ．
阴影 △ABE △ABC △BCE
【详解】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE=45°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=45°，
∴∠EOC=90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴弓形BE的面积=弓形CE的面积，
1 1
S =S =S −S = ×6×6− ×6×3=9．
阴影 △ABE △ABC △BCE 2 2
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知
相关知识是解题的关键．
⏜ ⏜
6．（2025·山东聊城·二模）半圆的直径AB在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且 AC=2BC ，
连接AC，取AC的中点D，连接BD，则图中阴影部分的面积为 ．
25π
【答案】
6
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，扇形面积公式，弧长公式，邻补角等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．取AB的中点O，连接OD，OC,BC，由题意得，
1
OA=OB= 2 AB=5，可知OD为△ABC的中位线，则S △BCO =S △BCD ，S 阴影 =S 扇形BCO ，根据 A ⏜ C=2B ⏜ C
，得到∠BOC=60°，再根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：取AB的中点O，连接OD，OC,BC，
由题意得，AB=16−6=10，
∴OA=OB=5，
∵点D为AC中点，
∴OD∥BC，
∴S =S ，
△BCO △BCD
∴S =S
阴影 扇形BCO
⏜ ⏜
∵ AC=2BC
∴∠AOC=2∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=60°，
60π×52 25π
∴S =S = = ，
阴影 扇形BCO 360 6
25π
故答案为： ．
6
7．（2025·江苏南通·中考真题）如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接
PB,PC，且PA=PB．(1)连接OB，求证：OB⊥PB；
(2)若∠APB=60°，PA=2❑√3，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析；
2π
(2) ．
3
【分析】（1）利用切线性质得OA⊥PA，再通过SSS证明△AOP≌△BOP，从而推出OB⊥PB；
（2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定△BOC为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面
积关系，将阴影部分面积转化为扇形OCB的面积进行计算．
【详解】（1）证明：如图，连接OP，
∵PA与⊙O相切，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
在△AOP和△BOP中
{OA=OB
)
PA=PB
OP=OP
∴△AOP≌△BOP(SSS)
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴OB⊥PB；
（2）解：如图，连接BC，
∵∠OBP=∠OAP=90°,∠APB=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠COB=60°∵OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠OCB=60°，
由（1）可知：∠AOP=∠BOP=60°，
PA 2❑√3
∴∠AOP=∠OCB,OA= = =2，
tan∠AOP ❑√3
∴OP∥BC，
∴S =S ，
ΔPCB ΔOCB
60π×22 2π
∴S =S = = ．
阴影部分 扇形OCB 360 3
【点睛】本题主要考查圆的切线性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积
计算，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形判定定理、等边三角形判定与性质及扇形面积
公式是解题的关键．
