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专题 02 与旋转有关的证明与计算
1．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接AD、BF，且
BF＝AF．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求证：AD＝2AE．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为
E，F，且点E恰好落在BA上，连接AF，过点B作BG⊥AF于点G．
（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数．
（2）若AC＝8，BC＝6，求BG的长．
3．点P为△ABC中内任一点，连接AP，BP，CP，将△ACP绕点A逆时针旋转60°，得到△AED．（1）如图，试判断△ADP的形状，并说明理由．
（2）若点p是△ABC内一个动点，试说明当点B，P，D，E四个点满足什么位置条件时，PA+PB+PC
的和最小．
4．如图，点O是等边△ABC内一点，将BO绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接OD，AO，BO，AD．
（1）求证：△BCO≌△BAD．
（2）若OA＝10，OB＝6，OC＝8，求∠BOC的度数．
5．如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG，点E恰好落在边CD上，连接BE，
BG，且BG与AE相交于点P；1
（1）求证：∠CBE= ∠BAE；
2
（2）若AB=❑√41，BC＝3，求BG的长．
6．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转 （0°＜ ＜90°）后得到△ADE．
（1）如图1，当AB的对应边AD恰好经过点C时，若AE＝5，AB＝8，求CD的长；
α α
（2）将△ABC继续旋转至如图2的位置，若∠BAE＝4∠CAD＝80°，求旋转角的度数．
7．根据题意，寻找规律，解答问题：
（1）如图1，在△ABC中，AB＝1，AC＝2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，连接AB′，并且AB′＝3，求∠B′A′C的大小；
（2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2❑√3、❑√2、4，求
∠APB的大小．
8．面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，
这就是特殊化策略．有一个边长为3的正方形ABCD和腰足够长的等腰直角三角形EFG，其中等腰直角
三角形的直角顶点E与正方形的中心重合．现将等腰直角三角形 EFG绕着点E进行旋转，请采用特殊
化策略探究两个图形重叠部分的面积．
（1）先考虑特殊情形，如图1，当点C，D分别在边EF，EG上时，求重叠部分的△CDE的面积；
（2）再探究一般情形，如图2，当边EF，EG分别交边BC，CD于点M，N时，求重叠部分的四边形
EMCN的面积．
9．如图，在正方形ABCD中，按要求补全图形，并解答问题．
（1）在图①中，以点B为旋转中心，将BA顺时针旋转 °（0＜ ＜90），点A的对应点为点E，连结
AE、EC，证明∠AEC的度数为定值，并求出这个值．
α α（2）在图②中，以点B为旋转中心，将BC顺时针旋转 °（0＜ ＜90），点C的对应点为点E，连结
AE、EC，试探究：∠AEC的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．
β β
10．已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A顺时针或逆时针旋转一个角度 （0＜ ＜90°）
得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF．
α α
（1）如图1，若BC＝AB， ＝30°，求证：DE=❑√2AF；
（2）如图2，若∠BAC＝9α0°，BC=❑√2，在旋转的过程中，BE在BC的下方，且∠CBE＝15°，求AF
的长．
11．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接
BP，DQ，延长BP交直线DQ于点E．
（1）如图1，试猜想线段BP和DQ有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若△BCP是等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．13．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三
角板PAC，三角板PBD均可以绕点P旋转．（1）在图1中，∠DPC＝ ；
（2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，旋转角度为 （0°＜ ＜
180°），当 等于多少度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直；
α α
②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时
α
三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P顺时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM重合时，两三角
板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？
14．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转
一个角度 （0°＜ ≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．
（1）如图1，在旋转的过程中，写出线段AF与EC的数量关系，并证明；
α α（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明；
（3）若AB＝1，BC=❑√5，当 ＝ °时，线段BF与DF相等．
α
15．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠B A C＝30°，AB＝2BC．
1 1
（1）固定三角板A B C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A C、A B 分
1 1 1 1 1
别交于点D、E，AC与A B 交于点F．
1 1①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB ＝ 度；
1
②当旋转角等于多少度时，AB与A B 垂直？请说明理由．
1 1
（2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB
1
，AB与A
1
C交于点D，
试说明A D＝CD．
1
16．已知直角三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°．将三角板ABC绕着点A旋转得到△AB'C'，旋转
角记为∠ ．
（1）当旋转方向为逆时针方向，且∠ ＝75°时（如图1），求∠B′AC和∠BAC′的大小．
α
α（2）当旋转方向为逆时针方向，且∠ ＝90°时，在图2中，画出旋转得到的△AB'C'．
（3）当0°＜∠ ＜90°时，
α
①若∠BAC'＝3∠BAB'，求∠ 的度数．
α
1
②如图3，当旋转方向为逆时α针方向时，点D为BC上一点.∠CAD= ∠C′ AC．在旋转过程中，若
3
∠C′AD与∠BAD始终满足m∠C′AD﹣∠BAD为定值，求常数m的值．
17．如图所示，在△ABC中，∠ACB≥90°．初始时，点B、C位于直线EF上．现△ABC围绕点B，以每秒
5°的速度顺时针转动t秒，0＜t＜36．旋转过程中，始终保持GH过顶点A且GH∥EF．
（1）如图①，若∠ACB＝100°，当t＝6时，求∠CAG的度数；（2）已知图形在旋转 t（t＜18）秒后同时满足以下两个条件：①∠GAC＝∠CAB；②∠CBE＝
∠ABC．请判断△ABC的形状，并给出证明过程．
（3）若∠ACB＝120°，探索在旋转过程中∠GAC与∠CBE之间的数量关系．
18．在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”
进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．例如，图 1四边形ABCD中，AC
＝BD且AC⊥BD，那么四边形ABCD就叫作对等垂美四边形．（1）如图2，在对等垂美四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OD，OB＝OC，将
△COB绕点O逆时针旋转（点B′在点A的顺时针方向，0°＜∠AOB′≤90°）B、C的对应点分别为B′、
C′．请判断如图3中四边形AB′C′D是否为对等垂美四边形，并说明理由（仅就图3的情况证明即可）；
（2）在（1）的条件下，若OB＝3，OA＝5，当△OAB为直角三角形时，则四边形AB′C′D的面积是
．
19．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD＝5，BE＝2，求线段DE的长．
20．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点
放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．
（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，
求∠CON的度数；（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第
秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结
果）；
（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之
间的数量关系，并说明理由．
21．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，将△ABC绕着点A旋转．
（1）当△ABC旋转到图1位置时，正好使得D、B、C三点共线时，求此时∠ACE的度数；
（2）当△ABC旋转到图2位置时，连接CD、BE，并延长BA交CD于点F，若∠ABE＝90°，求证：CF
＝DF；（3）当△ABC旋转到图3位置时，连接CD、BE，取CD中点F，连接FA并延长交BE于点H，求证：
FH⊥BE．
22．在几何软件中，将△ABC和△DEF按图1所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，∠D＝45°，
∠ABC＝30°，点D，A，F，B在同一条直线上，E在B的正上方，且EB＜ED．
（1）如图1，将△DEF绕点F顺时针旋转，当BC第一次与DE平行时，∠DFA＝ °；
（2）如图2，将图1中的△DEF绕点E逆时针旋转一定角度使点D落在边BC上，过E作EG∥BC，直
线DM平分∠FDB，直线EN平分∠GED交直线DM于点N．求∠END的度数．（3）如图3，将图1中的△ABC绕点B逆时针旋转（点D，F，B在同一条直线上）．
①当BC∥DE时，连接AF，BF，求∠DBA的度数；
②若∠E与∠ABC的角平分线所在直线相交于点Q，∠EQB＝30°，直接写出∠DBA的度数．
