文档内容
专题 02 二次函数拓展之几何篇
思维导图
【类型覆盖】
类型一、二次函数中的等腰三角形
【解惑】在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，与y轴交
于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段 上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点
Q，当线段 的长度最大时，求点Q的坐标；(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且 ．在y轴上是否存在
点E，使得 为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【融会贯通】
1．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，过
A，C两点的抛物线 与x轴的另一个交点为点 ，点P是抛物线位于第四象限图
象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线 于点E，点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的任意一点，若 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)当 时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接
，则 的最小值为______．
2．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点
D，已知 ， ．(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是以 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的
坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E是线段 上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，
四边形 的面积最大？求出四边形 的最大面积及此时E点的坐标．
3．如图，已知抛物线与x轴交于 、 两点，与y轴相交于点C，直线 经过点C，
与x轴交于点D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使 的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为 ，是否存在 是以 为底的等
腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．
类型二、二次函数中的等腰直角三角形
【解惑】在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx－3与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴
交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
(3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶
点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【融会贯通】
1．在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点 ， ．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)设 关于原点 对称的抛物线为 ， 的顶点为 ，对称轴为 ．若点 在 上，点 在 上，连接
、 ．若 为等腰直角三角形，求点 的坐标．
2．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，且点A在点B的
左侧， ，与y轴交于点C， 的面积为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在直线 上方的抛物线上有一动点 ，点 是点 关于 轴的对称点，连接 交直线 于点 ，当 最大时，求出 的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿着射线 的方向平移，使得新抛物线交y轴于点C，点M为新抛物线上任意一点，
点N为原抛物线对称轴上位于x轴下方的一点，存在 是以 为腰的等腰直角三角形，请直接写出
点N的坐标____________．
3．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于点C，顶点D的
坐标为 ．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P在抛物线上且满足 ，求点P的坐标；
(3)如图2，M是直线 上一个动点，过点M作 轴于点N，Q是直线 上一个动点，当 为
等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．
类型三、二次函数中的直角三角形
【解惑】如图，平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x轴交于点 和点
两点，与y轴交于点 ．点D为直线 上的一动点．(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，当点D在线段 上时，过动点D作 交抛物线第一象限部分于点P，连接 ，记
与 的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标；
(3)如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，
若不存在，请说明理由．
【融会贯通】
1．二次函数 的图象与 轴分别交于点 ，与 轴交于点 ，
为抛物线上的两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当 两点关于抛物线对称轴对称， 是以点 为直角顶点的直角三角形时，求点 的坐标；
(3)设 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，试探究： 的面积 是否存在最小值，若存在，请求出
最小值，若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线 与 轴交于点 和 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点， 轴，与对称轴右侧的抛
物线交于点C，且四边形 是平行四边形，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是直角三角形？若存在，求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
3．综合与探究
如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，其对称轴交x轴于点F，点
是抛物线上一动点．
(1)求点A，B和F的坐标．
(2)已知存在一平行于x轴的直线l，点P到点F的距离与点P到此直线的距离始终相等，设直线l上所有点
的纵坐标均为k．
①请求出k的值．
②当 时，作直线 交抛物线于点Q，在直线l上是否存在一点M，使得 是以 为斜边的直
角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
类型四、二次函数中的平行四边形【解惑】如图，平面直角坐标系中，已知抛物线 交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接
．已知 ， ， ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点D为线段 上方抛物线上的一个动点，连接 ．连接 ，分别交y轴与 于点E、
F．当四边形 的面积最大时，求直线 的表达式及此时 的面积；
(3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形 的面积最大时，抛物线的对称轴 上是否存在点Q，使
得四边形 为平行四边形？若存在，请求出平行四边形 的面积；若不存在，请说明理由．
【融会贯通】
1．在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ，与 轴交于点 ，点 是抛物线的
顶点，点 是 轴上方抛物线上的一动点，设点 的横坐标为 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点 在直线 上方运动时；
①若点 的坐标为 求 的面积；②如图（2）， 轴交直线 于点 ，过点 （不与点 重合）作 轴交直线 于点 ，
若四边形 是平行四边形，求点 的坐标；：
(3)过点 作 轴于点 ，是否存在点 ，使得以点 为顶点的三角形与 相似？若存在，求
出 的值；若不存在，请说明理由．
2．已知抛物线 ： 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C
作 轴交抛物线于另一点D．
(1)求抛物线L的对称轴及点D的坐标；
(2)将抛物线L沿x轴向右平移得到新抛物线，点A、B平移后的对应点分别是E、F，是否存在新抛物线使
得以点C、D、E、B为顶点的四边形是平行四边形；若存在，请求出所有符合条件的新抛物线的函数表达
式；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知抛物线 与x轴交于 ， 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于
点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作 轴于点F，交直线
于点E，连接 ，若 ，求出点D的坐标；
(3)若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型五、二次函数中的菱形
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点
，点A在原点的左侧，点B的坐标为 ，点P是直线 下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接 ，并把 沿 所在直线翻折，得到四边形 ，那么是否存在点P，使四边形
为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点P运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形 的面积．
【融会贯通】
1．如图，已知抛物线 ： 与y轴相交于点C，顶点为D．
(1)填空：点C的坐标是______；点D的坐标是______；直线CD的解析式______．
(2)点P为直线CD左上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线CD于点Q，当线段PQ取得最
大值时，在抛物线的对称轴上找一点G，使 的周长最小，求点G的坐标；(3)将抛物线 向左平移2个单位长度得到抛物线 ， 与 相交于点E，点F为抛物线 对称轴上的一
点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写
出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
2．定义：在平面直角坐标系 中，当点 在图形 的内部，或在图形 上，且点 的横坐标和纵坐
标相等时，则称点 为图形 的“梦之点”．
(1)如图①，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，在点 ，
， 中，是矩形 “梦之点”的是 ；
(2)如图②，已知点 ， 是抛物线 上的“梦之点”，点 是抛物线的顶点．连接 ，
， ，求 的面积；
(3)在（2）的条件下，点 为抛物线上一点，点 为平面内一点，是否存在点 、 ，使得以 为对角线，
以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知抛物线 与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．(1)判断 的形状，并说明理由．
(2)设点 是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作 轴于H，交 于点Q，设四边形
的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和 的面积；
(3)在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为
顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标．
类型六、二次函数中的矩形
【解惑】综合与探究
如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对
称轴与x轴于点D，过点D作 交y轴于点E．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)点P为抛物线上第四象限的一个动点，过点P作 轴于点F，当 时，求 的长；
(3)在（2）的条件下，若点Q是x轴上一点，使以P，E，Q，G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接
写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【融会贯通】1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 两点，点 是直线 上一动
点，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 、交 轴于点 ．设点 的横坐标为t；
(1)分别求直线 和这条抛物线的解析式；
(2)若点 在第四象限，若 ，求此时点 的坐标；
(3)点 是平面直角坐标系中的一点，当点 在第四象限时，是否存在这样的点 ，使得以A、C、B、
为顶点组成的以 为边的矩形?若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 、 两点， 点D是抛物线
上横坐标为6的点． 点P在这条抛物线上，且不与A、D两点重合，过点P作y轴的平行线与射线 交
于点 ，过点Q作 垂直于y轴，点F在点Q的右侧，且 ，以 、 为邻边作矩形 ．
设矩形 的周长为 ，点 的横坐标为m．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．
(2)求这条抛物线的对称轴将矩形 的面积分为1：2 两部分时m的值．(3)①求d与m之间的函数关系式，
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
3．如图，抛物线 与x轴交于 、 两点，与 轴交于点 ．点 是抛物线上的
任意一点（点 不与点 重合），点 的横坐标为 ，抛物线上点 与点 之间的部分（包含端点）记为
图像 ．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)当 时，图像 的最大值与最小值的差为 ，求出 与 的函数关系式，并写出 的取值范围；
(3)过点 作 轴于点 ，点 为 轴上的一点，纵坐标为 ，以 、 为邻边构造矩形 ，
当抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值 随 的增大而减小时，直接写出 的取值范围．
类型七、二次函数中的正方形
【解惑】如图1，已知抛物线 与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接 ，交抛
物线于点 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求点A的坐标；(3)如图2，过点C作 轴于点D，点P为线段 上方抛物线上的一个动点，连接 ，交 于点
E，过点P作 轴于点G，交线段 于点F，设点P的横坐标为m．
①求线段 的长（用含m的代数式表示）；
②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接
写出此时m的值．
【融会贯通】
1．如图，某一次函数与二次函数 的图象交点为 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 为抛物线对称轴上一动点，当 与 的和最小时，求点 的坐标；
(3)在（2）条件下，点 为 轴上一点，点 为直线 上一点，点 为平面直角坐标系内一点，若以点
， ， ， 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点 的坐标．
2．如图，抛物线 经过 ， 两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛
物线的对称轴 交x轴于点E，连接 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点Q在该抛物线的对称轴上，若 是以 为腰的等腰三角形，求点Q的坐标；
(3)若P为 的中点，过点P作 轴于点F，G为抛物线上一动点， 轴于点M，N为直线
上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标．
3．如图，抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y轴交于点 ，点D是抛物线上一
动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点D为直线 上方抛物线上一动点，当 最大时，求点D的坐标并求此时 面积
的最大值；
(3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形 为正方形时，求点Q的坐
标．
类型八、二次函数中的等角、倍(半)角
【解惑】如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点． 点坐标为 ，与 轴交
于点 ，点 为抛物线顶点，点 为 中点．
(1)求二次函数的表达式；(2)在直线 上方的抛物线上存在点 ，使得 ，求点 的坐标；
(3)已知 ， 为抛物线上不与 ， 重合的相异两点．
①若点 与点 重合， ，且 ，求证： ， ， 三点共线；
②若直线 ， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，
， 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明
理由．
【融会贯通】
1．如图 ，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点
．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图 ，点 为直线 上方抛物线上一点，过点 作 轴的平行线交 于点 ，过点 作 交
轴于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)在（ ）中 取得最大值的条件下，将抛物线 沿射线 方向平移 个单位
长度， 为平移后抛物线对称轴上的一点，若 ，请写出所有符合条件的点 的坐标，
并写出其中一种情况的过程．
2．如图，已知抛物线 经过 、 两点，与x轴的另一个交点为 ，顶点为 ，
连接 ，点 为抛物线上一动点．(1)求抛物线的表达式．
(2)若点 在直线 的下方运动时，过点 作 交于点E，过点 作y轴的平行线交直线 于点 ．
求 周长的最大值及此时点 的坐标．
(3)在该抛物线上是否存在点 ，使得 若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理
由．
3．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点， 与 轴交于点 ，
点 是 轴下方抛物线上不与点 重合的一动点，设点 的横坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图， 若 ， 求 的值；
(3)过点 分别作 轴， 轴的平行线交 于点 ， ， 的周长记为 ．
求 关于 的函数解析式；
在点 运动的过程中，当 取某一个值时，存在两个点，它们的横坐标分别为 满足
，请求出此时 的值．【一览众山小】
1．如图，抛物线 与 轴交于点 ，顶点坐标 ，与 轴的交点在 ， 之间
（包含端点），则下列结论：① ；② ；③对于任意实数 ， 总
成立；④关于 的方程 有两个相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．已知二次函数 的图象上有两点 ， ，其中 ，则
（ ）
A．若 ，当 ，则
B．若 ，当 ，则
C．若 ，当 ，则
D．若 ，当 ，则
3．如图1，在等腰直角 中， ，且位于长方形 的左侧，直角边 与 边在同一
直线上， ．现将 沿 方向移动，设 的长为x， 与长方形 的重叠部分（图
中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形 的
边长为 ，当 时，x的值为 ．4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与其关于直线 对称的图象交于
四点， 则四边形 的面积为 ．
5．在平面直角坐标系中，抛物线 ，对称轴为直线 ，点M，N在抛物线上，点M的横坐
标为 ，点N的横坐标为 ．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)若点M，N关于对称轴对称，连接 ，求线段 的长度；
(3)若此抛物线上M，N两点之间的部分记为图象W（包括点M，N），
①当点M在点N的左侧，图象W对应的函数值y随x的增大而先减小再增大时，设图象W最高点的纵坐标
与最低点的纵坐标的差为h，求出h与m之间的函数表达式．并写出m的取值范围；
②已知抛物线交y轴于点A，过点A作直线 平行于x轴，交抛物线于点B，直接写出当图象W与直线
有且只有一个公共点时，m的取值范围．
6．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A、B的坐标分别为
、 ，点C的坐标为 ．点D是抛物线第一象限上一个动点．设点D的横坐标为，连接 、 、 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当四边形 的面积最大时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使
得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出占M的坐标；若不存在，请说
明理由．
7．如图，平面直角坐标系中，点 、 在抛物线 上，该抛物线的顶点为C，点
P为抛物线上一点，其横坐标为m．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 轴时，求 的面积；
(3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为1时，求出
m的值；
(4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使 是以 为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的
坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，且 ， ．(1)求抛物线的解析式；
(2)当二次函数 的值大于 时，结合图象，直接写出自变量 的取值范围；
(3)点 为 轴负半轴上一点，点 的纵坐标为 ．过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ， （点 在点
的左边），判断 与 的数量关系，并说明理由；
(4)在（ ）的条件下，点 ， 在此抛物线上，其横坐标分别为 ， ，设此抛物线在点
与点 之间部分（包括点 和点 ）的最高点与最低点的纵坐标的差为 ，在点 与点 之间部分（包
括点 和点 ）的最高点与最低点的纵坐标的差为 ，若 ，请直接写出 的值．
