专题 02 二次函数中的最值问题（举一反三专项训练）
【人教版】
【题型1 几何定理法求线段之和（差）最值】.....................................................................................................1
【题型2 代数法求线段最值】..................................................................................................................................6
【题型3 铅锤法巧求面积最值】............................................................................................................................11
【题型1 几何定理法求线段之和（差）最值】
1 1
1．（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数y=− x2+bx与y= x2−bx的图像均过点A(4,0)和坐标原
2 2
点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图像如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直
线与封闭图像交于B，C两点．给出下列结论：
①b=2；
②PB=PC；
③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；
④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5+❑√13．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·福建三明·模拟预测）二次函数y=−ax2+3ax+c(a>0,c>0)与动直线y=ax+b交于M，N两
点，线段MN中点为H，A(−1,0)，B(0,−2)，则AH+BH的最小值为（ ）A．❑√5 B．2❑√3 C．❑√13 D．❑√14
3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数 的图象 ，点 是坐标系
y=a(x+1) 2+4(a≠0) L O
的原点，点 是图象 对称轴上的点，图象 与 轴交于点 ，则下面结论：①关于 的方程
P L L y C x a(x+1) 2+4=0
的解是x =−3，x =1；②当x=2时，y<0；③点C的坐标为(0,3)；④△PCO周长的最小值是3❑√2+3．
1 2
正确的有 ．
1
4．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=− x2+2x+2的图象与x
2
轴、y轴分别交于A、B、C三点，点D是其顶点，若点P是x轴上一个动点，则CP+DP的最小值为
．
5．（22-23九年级上·天津红桥·期中）如图，已知抛物线过点O(0,0)，A(5,5)，其对称轴为x=2．(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．
①当△OAB的面积为15时，求点B的坐标；
②P是抛物线上的动点，当PA−PB取得最大值时，求点P的坐标．
6．（2024·山东青岛·模拟预测）如图，已知二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与y轴交于点
C(0,−3)，与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)．
(1)求此二次函数的表达式．
(2)已知P为抛物线对称轴上一动点，求△APC周长的最小值．
(3)已知Q为抛物线上一点，当点Q运动到直线BC下方时，求△BCQ面积的最大值．
7．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知二次函数y=−x2+2x+m．
(1)如图，二次函数的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围；
(2)如图，当m=3时，二次函数图象与y轴交于点B，与x轴交于点A，抛物线与x轴的另一个交点为C，P
为抛物线对称轴上的一个动点，求PB+PC的最小值及此时点P的坐标．
8．（2023·广东广州·二模）二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A(1,0)、
(9 )
B ,0
2(1)求a、b的值；
(2)P是二次函数图象在第一象限部分上一点，且∠BCP=2∠ABC，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，有一条长度为1的线段EF落在OA上（E与O重合，F与A重合），将线段EF沿x轴
9
正方向以每秒 个单位向右平移，设移动时间为t秒，当四边形CEFP周长最小时，求t的值．
31
1
9．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知二次函数y=− x2+bx+c的图象过点A(0,4)，对称轴
2
与x轴交于点B(2,0)．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)已知点P是二次函数图象上一点，
①若直线l：y=x+n经过点B，且点P关于直线l的对称点Q恰好落在直线AB上，求点P坐标．
②设直线PB与二次函数图象另一交点为Q，过二次函数图象顶点作x轴的平行线m，则直线m上是否存在
点 M，使得MP+MQ最小？若存在请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由．
10．（2024·江西·一模）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，其最大值是4
，经过点A(−1,−4)，交y轴于点B，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．(1)在图1中作二次函数图象上的点P(2,2)；
(2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点Q，使△ABQ的周长最短．
11．（23-24九年级上·云南昆明·期末））如图1，二次函数 的图象与一次函数
y=ax2+4x+c(a≠0)
y=−x+2的图象交于A，B两点，点A在y轴上，抛物线的对称轴为直线x=2，点C是二次函数图象的顶
点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若将二次函数y=ax2+4x+c的顶点C向右平移n个单位后得到C′．在点C′的平移过程中，是否存在一
个合适的位置，使△ABC′是一个以BC′为斜边的直角三角形？若存在，请求出点C′的坐标；若不存在，
请说明理由；
(3)如图2，P是x轴下方线段AB上一点，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为点E，平行线交直线
BC于点F．当△PEF面积最大时，在x轴上找一点M，使|BM−PM|的值最大，求出点P的坐标，并
直接写出点M的坐标和|BM−PM|的最大值．
12．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于点
A(−4,0)和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点D(−1,3)，与y
轴交于点E．(1)求此二次函数的表达式和顶点P的坐标；
(2)点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且AM=EN，求EM+ON的最小值．
【题型2 代数法求线段最值】
13．（2025·安徽合肥·三模）已知：直线y=−x+2经过点A(a,b)，抛物线y =(x−a)(x+b)与x轴交于
1
B，C两点（点B在点C的左侧），抛物线y 的顶点为D，抛物线y =(x−a)(x−b)与交y轴于点E．
1 2
(1)求点B，点C的坐标（用含字母a的代数式表示）；
(2)连接AD，求线段AD的最小值；
(3)当直线BD恰好经过点E时，求a的值．
14．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知抛物线y=−x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于
点C．
(1)求直线BC的函数解析式；
(2)若P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴于点N，交直线BC于点M，求线段PM的最
大值．
15．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，二次函数 y=−x²−4x+1的图象与一次函数y=kx+3的图象交
于A，B两点，点A的坐标为 (−4,1)．(1)求k的值；
(2)点M是线段AB上的动点，将点M向上平移
ℎ
（ ℎ＞0）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象
上，求h的最大值；
(3)在（2）的条件下，若
ℎ
=2，线段MN与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围．
1
16．（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，抛物线y=− x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于
2
点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(−1,0)，C(0,2)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求△BDC的面积；
(3)线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．
17．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与一直线相交于
A(−1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N．其顶点为D．(1)求抛物线及直线AC的函数表达式；
(2)设点M(3，m)，求使MN+MD的值最小时m的值；
(3)若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，求PQ的最大值．
18．（22-23九年级上·山东临沂·期末）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于
(1 5)
A , 和B(4,m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
2 2
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果设点P的坐标为(n,n+2)，则点C的坐标可表示为__________；
(3)在（2）的条件下，请用含有n的式子表示PC的长，并确定PC长度的最大值．
19．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c经过点
A(4,0),B(−1,0)，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式；
1
(2)若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移 个单位长度，求平移后的解析式；
4
(3)若点D是线段AC上一动点，过点D作DE⊥x轴于点E，交抛物线于点F，求线段DF长度的最大值．
20．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(−1,0)，且
OA=OC=5OB，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过A，B，C三点．
(1)求A，C两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的
坐标及PD的最大值．
21．（22-23九年级·全国·单元测试）已知：如图，抛物线y=ax2+4x+c经过原点O(0,0)和点A(3,3)，
P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B(m,0)，并与直线OA交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；
(3)过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
22．（2025·山东枣庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线l：y=kx+b经过抛物线
y=x2+2mx+2m2−m(m≠0)的顶点．如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为P．(1)求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标；
(2)t≤x≤t+1时，y的最小值为2，求t的值；
(3)当k=2时．动点E在直线l下方的抛物线上，过点E作EF∥x轴交直线l于点F，令S=EF，求S的最
大值．
23．如图，已知二次函数的图像经过点A(3,3)、B(4,0)和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点
P作x轴的垂线，垂足为D(m,0)，并与直线OA交于点C．
(1)求出二次函数的解析式；
(2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
(3)当m>0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，
请说明理由．
24．（2025·云南玉溪·二模）如图，抛物线y=x2+bx+3与x轴交于点A和点B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；
(2)将抛物线的顶点D向上平移2个单位长度得到点E，点M为抛物线的对称轴上一动点，记
L=M A2+M E2，求L的最小值．
25．（2024·福建泉州·模拟预测）已知点(2, 1)和点(4, 4)在抛物线y=ax2+bx上．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)四边形ABCD的四个顶点均在该抛物线上，AC与BD交于点E(0, n)，直线AB为y=k x+m(0<m<n)
1
，直线CD为y=k x+t．
2
①求k n−k m的值；
1 2
S
②记△CDE的面积为S ，四边形ABCD的面积为S，若m=1，n=2，求 的最小值．
1 S
1
【题型3 铅锤法巧求面积最值】
26．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3交x轴于点A(−1,0)，B(3,0)，
交y轴于点C．
(1)求二次函数y=ax2+bx+3的解析式；
(2)记AB中点为点D，过点D作直线DP交y轴负半轴于点F，交抛物线于点P，Q，点P在Q点右边．
①当OF=3时，点M为抛物线上的一个动点且点M在线段PQ上方，求△MPQ面积的最大值；
②当∠ODF=60°时，若点O与点G关于直线DP对称，求证：DG⊥BF．
27．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1，抛物线C ：y=x2+bx+c经过点A(−3,0)和点B(1,0)，抛物线
1
C 与C 关于原点O成中心对称．
2 1(1)求b，c的值；
(2)求抛物线C 的解析式；
2
(3)将抛物线C 向上平移2个单位长度得到C ，抛物线C 与C 相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），
2 3 1 3
如图2．
①求点P和Q的坐标；
②若点M，N分别为抛物线 与 上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形
C C
1 3
PMQN面积的最大值．
28．（2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于A(−4,0),B两点，交y轴于点C(0,4)．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点M
的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，
求四边形AOCP的面积的最大值，并写出此时点P的坐标．
29．（24-25九年级下·河南驻马店·期中）如图1，一块钢板截面的一边为线段AB，另一边曲线ACB为抛
物线的一部分，D为AB的中点，现沿线段CD将这块钢板分成①②两部分，以AB边所在直线为x轴，经
过点C且与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定1个单位长度代表1m．已知：
5
OA=1m，AD= m，OC=2m．
2(1)求曲线ACB所在抛物线的函数表达式；
(2)如图2，在区域①中截取一个矩形PEFG，其中点P在线段CD上（不含端点C，D），点E在曲线AC
上，点F，G均在线段AD上，设点P的纵坐标为m(0<m<2)，求矩形PEFG的面积S与m之间的函数表
达式；
(3)如图3，在区域②中截取一个四边形CDBQ，其中点Q在曲线BC上（不含端点B，C），记四边形
CDBQ的面积为Sm2，求S的最大值．
30．（2025·辽宁营口·二模）已知函数 ，定义新函数 ．
y =ax2+3b，y =−ax+b y:y=2y −y
1 2 1 2
2 1
(1)若新函数y的解析式为y=− x2− x+5，求函数y 与y 的解析式；
3 3 1 2
(2)在（1）条件下，点A(m,n)在函数y 上，过点A作y轴的平行线交函数y 的图象于点B，且当x≥−3
2 1
时．
①若点A，B重合，求m的值；
②过点B作x轴的平行线交函数y 图象于点C，函数f :f =AB+BC，求函数f关于m的解析式（写出自变量
2
m的取值范围）；△ABC的面积是否存在最大值，若存在，请直接写出△ABC面积的最大值，若不存在
请说明理由．
10
31．（2025·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+ x+c经过点
3
A(−4,0),C(0,8)，点B的坐标为(6,0)，连接BC．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，连接AD，判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若P是AD所在直线下方抛物线上的一个动点，求△ADP面积的最大值．
1 9
32．（2025·安徽阜阳·三模）对于二次函数y=ax2+bx+2，当自变量x=− 时，函数y的最大值为 ．
2 4(1)求二次函数的解析式．
(2)如图，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，P，Q是A与C之
间的二次函数图象上的两个动点，PM⊥x轴交直线AC于点M，QN⊥x轴交直线AC于点N，ME⊥y
轴于点E，ND⊥y轴于点D，PM=QN，求当P，Q两点不重合时，线段ME+ND的长．
(3)在（2）的条件下，连接NE，求△CNE的面积的最大值．
33．（2024·安徽合肥·二模）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点
C，顶点为D，直线y=kx与抛物线交于点E，F，M是线段EF的中点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点E的横坐标是−3，求点M的坐标．
(3)若0<k<2，求四边形MCDB的面积的最小值．
34．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=−x2+4x上，且横坐标为1，
点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为(1,1)
．(1)求线段AB的长；
(2)点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，当△PBE的面积最大时，求此时P点坐标，并求出最大面
积；
1
(3)在（2）的情况下，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F在y轴上一点，求PH+HF+ FO的最小
2
值．
35．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点
y=ax2+2x+c(a≠0)
A,B，与y轴交于点C，连接BC,OA=1，对称轴为x=1，点D为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若连接CD，则∠BCD=________°
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值．
(4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当以点B,C,P,Q为顶点的四边形是矩形时，请直接写出
点Q的横坐标．
36．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx−6交x轴于A(−2,0)，B(6,0)两交y轴于
点C，点Q为线段BC上的动点．(1)求抛物线的解析式；
(2)求QA+QO的最小值；
(3)过点Q作QP∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别
为S ，S ，设S=S +S ，当S最大时，求点P的坐标，并求S的最大值．
1 2 1 2
37．（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B(1，0)两点，
与y轴交于点C(0，2)，过点A直线交y轴于点D，交抛物线于点E(−1,3)．
(1)抛物线解析式为 ；
(2)如图2，点F为抛物线上曲线AE上一动点，连接AF，FE，BE，求四边形ABEF面积的最大值；
(3)如图3，点P为线段AD上一动点，Q为线段AB上一动点，且DP=AQ，连接DQ，OP，OP+DQ是
否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
38．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数y=❑√3x2−6❑√3x+5❑√3的图像交x轴于A、B
两点，交y轴于点C，连接BC．(1)直接写出点B、C的坐标，B ； C ．
(2)M是抛物线对称轴上的一点，连接MA、MC．求MA+MC的最小值．
(3)点P是BC下方抛物线上的一点， 连接PB、PC．当△PBC的面积最大时，求点P坐标．
39．（24-25九年级下·山东东营·期中）如图，抛物线y=ax2+bx−3（a≠0）与x轴交于点A(−1,0)，点
B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
(3)P是第四象限内抛物线上的动点，求△BPC面积S的最大值及此时P点的坐标．
1
40．（2025·广东云浮·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于点A，B两
2
点，与y轴交于点C(0,−4)，且△BOC的面积为8，D是BC中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值．(3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且△GBD是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标
