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专题 02 根与系数的关系关联根的判别式 （举一反三专项训练）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，其中选择题10题，填空题10题，解答题20题． 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深
度，可加深学生对根与系数的关系与根的判别式的理解！
1．（2025·河北邯郸·三模）嘉嘉在求解关于x的一元二次方程2x2−kx−1=0时，抄错了k值的正负号，解
出x的一个根为−2，则下列结论说法正确的是（ ）
结论一：原方程有两个不相等的实数根；
7
结论二：原方程的两根之和x +x =− ．
1 2 4
A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确
C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程解的含义，根的判别式，根与系数的关系，根据嘉嘉抄错k的正负号
后得到错误方程，代入已知根求出错误k值，进而确定原方程的系数，计算判别式判断结论一，利用根与
系数关系验证结论二.
【详解】解：嘉嘉抄错后的方程为2x2+kx−1=0，代入根x=−2得：
2×(−2) 2+k(−2)−1=0 ，
7
解得：k= ，
2
7
因此，原方程为2x2− x−1=0，
2
( 7) 2 49 81
∴Δ= − −4⋅2⋅(−1)= +8= >0，故原方程有两个不相等的实数根，结论一正确；
2 4 4
7
7
根据根与系数关系，两根之和为 −b 2 7，但结论二写为− ，符号错误，故结论二不正确；
x +x = = = 4
1 2 a 2 4
综上，结论一正确、结论二不正确，
故选A2．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）已知x ，x 是关于x的方程x2−(k+1)x−k2=0的两个根，下列
1 2
结论一定正确的是（ ）
A．x ≠x B．x =x C．x x >0 D．x +x >0
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】A
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，根据判别式判断根的情况，根据根与系数的关系，
判断两根的符号，即可得出结论．
【详解】解：∵ x2−(k+1)x−k2=0，
∴Δ=[−(k+1)] 2+4k2>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵ x ,x 是关于x的方程x2−(k+1)x−k2=0的两个根，
1 2
∴ x ≠x ；故A正确，B错误；
1 2
∴x +x =k+1,x x =−k2≤0，故选项C错误；
1 2 1 2
∴ x ,x 异号或其中一个的值为0，
1 2
∴x +x 的值可能大于 0 ，可能等于 0 ，也有可能小于 0 ，故D错误；
1 2
故选：A．
3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个实数根x ，x
1 2
，且满足x x +x +x =m2+6，则m=（）
1 2 1 2
A．−3或1 B．1 C．3或−1 D．−1
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．
根据一元二次方程根与系数的关系得到m2+2m−3=0，解得m =−3，m =1，结合根的判别式作答即
1 2
可．
【详解】解：由根与系数关系可得x +x =4，x x =−2m+5，
1 2 1 2
代入x x +x +x =m2+6得−2m+5+4=m2+6，
1 2 1 2
即m2+2m−3=0
解得：m =−3，m =1
1 2∵原方程有实数根，
∴Δ=(−4) 2−4⋅1⋅(−2m+5)=8m−4≥0，
解得m≥0.5
因此m=−3不满足，舍去，
综上，m=1，
故选：B．
4．（2025·河北邢台·三模）如图，点A，C在不完整的数轴上，对应的数分别为a，c，原点与点A，C均
不重合．若AC=|a)+|c)，则方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
c
C．有两个相等的实数根 D．两根之和为
a
【答案】B
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、一元二次方程根的判别式、绝对值的意义，熟练掌握以上知识
点是解题的关键．根据AC=c−a=|a)+|c)，得到a为负数，c为正数，进而得到Δ=b2−4ac>0，结合两
b
根之和为− 即可得到正确答案．
a
【详解】解：根据题意可知，AC=c−a=|a)+|c)，
∴|a)=−a，|c)=c，
∴a为负数，c为正数，
∴a，c异号，
∴ac<0，
∴Δ=b2−4ac>0，
b
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，两根之和为− ，
a
故选：B．
5．（2025·河北邯郸·二模）定义一种运算：a&b=a2−2ab+2，如：3&4=32−2×3×4+2=−13．若
x&(x−1)=−4，则所有满足条件的实数x的和为（ ）
A．−2 B．2 C．−6 D．2❑√30【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据定义可得
x2−2x(x−1)+2=−4，即x2−2x−6=0，再利用判别式可证明原方程有两个不相等的实数根，则由根
与系数的关系可得答案．
【详解】解：∵x&(x−1)=−4，
∴x2−2x(x−1)+2=−4，
∴x2−2x−6=0，
∵Δ=(−2) 2−4×(−1)×6=28>0
∴原方程有两个不相等的实数根x ，x ，
1 2
2
∴x +x =− =2．
1 2 −1
故选：B．
6．（2025·河北邯郸·二模）已知x =−1是关于x的方程x2+bx+c=0的一个解，该方程的另一个解为x ，
1 2
则下列说法正确的是（ ）
A．b−c=−1 B．b2≤4c
C．b=1−x D．c=x
2 2
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系．分别
根据一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：∵x =−1是方程x2+bx+c=0的解，
1
∴1−b+c=0，
∴b−c=1，故A错误；
由题意得，该方程有两个实数根，
∴Δ=b2−4c≥0，
∴b2≥4c，故B错误；
∵x2+bx+c=0的两个解为x =−1，x ，
1 2
∴−1+x =−b,−x =c，
2 2
∴b=1−x ,c=−x ，故C正确，D错误．
2 2
故选：C．
7．（24-25八年级下·陕西西安·期末）若方程x2−2x+k=0的两根之积为4k−3，则k的值是（ ）5 5
A．-1 B．1 C．− D．
4 4
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，判别式，掌握知识点是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根之积等于常数项除以二次项系数．结合题目条件建立方程
求解，并验证判别式是否非负．
k
【详解】解：对于方程 x2−2x+k=0，设其两根为 x 和 x ，根据根与系数的关系，根的积为 =k．
1 2 1
题目给出根的积为 4k−3，因此有：
k=4k−3
解得：
k=1
验证判别式：
Δ=(−2) 2−4⋅1⋅k=4−4k
当 k=1 时，Δ=4−4⋅1=0≥0，方程有实根，符合条件．
故选B．
8．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若方程x2−2x−8=m的两根分别为x ，x ，且|x −x )>6，则m的取值
1 2 1 2
范围为（ ）
A．−24 C．m<0 D．m>0
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系；
先根据一元二次方程根的判别式的意义求出m≥−9，再利用根与系数的关系得出(x −x ) 2=36+4m，结
1 2
合已知条件即可求出m的取值范围．
【详解】解：将方程x2−2x−8=m整理为x2−2x−8−m=0，
∴Δ=(−2) 2−4×(−8−m)=36+4m≥0，
解得：m≥−9，
根据根与系数的关系可得：(x −x ) 2=(x +x ) 2−4x x =22−4×(−8−m)=36+4m，
1 2 1 2 1 2∵|x −x )>6，
1 2
∴(x −x ) 2=36+4m>36，
1 2
∴m>0，
综上，m的取值范围为m>0，
故选：D．
9．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实
数根，且满足9a−3b+c=0，则（ ）
A．a(x+3) 2=0 B．b=a
C．−a(x−3) 2=0 D．c=3a
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系．根据方程满足9a−3b+c=0，可得
x=−3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，再由方程有两个相等的实数根，结合根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足9a−3b+c=0，
∴x=−3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，
∴a(x+3) 2=0成立，−a(x−3) 2=0不成立，故A选项符合题意；C选项不符合题意；
∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，
∴x =x =−3，
1 2
b c
∴−3−3=− ，(−3)×(−3)= ，
a a
∴b=6a,c=9a，B，D选项不符合题意；
故选：A．
10．（2025·广东广州·一模）若关于x的方程x2−2(m−2)x+m2−2m=0有两个实数根，且两根之和不小
于−6，则代数式❑√(m+2) 2−8m−|m+1)化简的结果是（ ）
A．−1 B．1 C．−2m−1 D．−2m+1
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次根式化简，解题的关键在于正确掌
握相关知识．根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，建立不等式推出m的取值范围，再结合完全平方公式变
形，以及二次根式性质，绝对值性质化简求解，即可解题．
【详解】解：∵关于x的方程x2−2(m−2)x+m2−2m=0有两个实数根，
∴[−2(m−2)) 2 −4(m2−2m)≥0
4(m−2) 2−4(m2−2m)≥0
4m2−16m+16−4m2+8m≥0
−8m≥−16
m≤2，
∵两根之和不小于−6，
∴2(m−2)≥−6，
解得m≥−1，
综上−1≤m≤2，
∴−3≤m−2≤0， 0≤m+1≤3，
∴ ❑√(m+2) 2−8m−|m+1)
=❑√m2−4m+4−m−1
=❑√(m−2) 2−m−1
=|m−2)−m−1
=−2m+1，
故选：D．
11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一定二次方程x2−x+2t=0，有两个实数根m,n．设
y=(m−2)(n−2)则y的最大值为
9
【答案】
4
【分析】题考查了根的判别式和根与系数的关系，一次函数的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．根
1
据题意得出m+n=1,mn=2t，Δ=b2−4ac=1−8t≥0，解得：t≤ ，将m+n=1,mn=2t，代入函数关
8
系式，根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一定二次方程x2−x+2t=0，有两个实数根m,n．∴m+n=1,mn=2t，Δ=b2−4ac=1−8t≥0
1
解得：t≤
8
∴y=(m−2)(n−2)
=mn−2(m+n)+4
=2t−2+4
=2t+2
∵2>0，y随t的增大而增大，
1 9
∴当t= 时，y取得最大值为
8 4
9
故答案为： ．
4
12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程x2+(2a−4)x+a2−3=0的两个实数根互
为倒数，则a的值为 ．
【答案】−2
【分析】本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系、根的判别式等知识点，
灵活运用一元二次方程的相关知识成为解题的关键．
根据一元二次方程的定义和根与系数的关系得到：x ·x =a2−3=1，解得a=2或−2，然后再运用根的判
1 2
别式验证即可．
【详解】解：设方程的两根为x ，x ，
1 2
∵关于x的一元二次方程x2+(2a−4)x+a2−3=0的两个实数根互为倒数，
∴x ·x =a2−3=1，解得：a=2或−2，
1 2
当a=2时，原方程变形为x2+1=0，该方程无实数根；
当a=−2时，原方程变形为x2−8x+1=0，Δ=(−8) 2−4×1×1=60>0，故该方程有两个不等实数根，
符合题意．
故答案为：−2．
13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）实数a，b，c满足b+c−1=0,a−bc−1=0．
（1）当b=2时，则a= ；
（2）实数a的取值范围是 ．5
【答案】 −1 a≤
4
【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是根据式子特点，构造一元二次方程：
（1）把b=2代入两个式子，进行求解即可；
（2）根据b+c−1=0,a−bc−1=0，得到b+c=1,bc=a−1，得到b,c为一元二次方程x2−x+a−1=0
的两个根，根据根的判别式，列出不等式求出a的范围即可．
【详解】解：（1）把b=2代入b+c−1=0,a−bc−1=0，得：
2+c−1=0,a−2c−1=0，
∴c=−1，
∴a=2c+1=2×(−1)+1=−1；
故答案为：−1；
（2）∵b+c−1=0,a−bc−1=0，
∴b+c=1,bc=a−1，
∴b,c可以看作是一元二次方程x2−x+a−1=0的两个根，
∴Δ=(−1) 2−4(a−1)≥0，
5
解得：a≤ ；
4
5
故答案为：a≤ ．
4
14．（24-25九年级下·江苏苏州·自主招生）已知x , x 是一元二次方程x2+(m+1)x+1=0的两个根，且
1 2
00的值即可．
【详解】解：∵x ,x 是一元二次方程x2+(m+1)x+1=0的两个根，且00，x +x =−(m+1)，x x =1，
1 2 1 2
∵00，方程有两不等根，符合题意；
故答案为：−4．
15．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）关于x的一元二次方程x2−4x+k−1=0有两个实数根x ,x ．若
1 2
x ,x 分别是一个菱形的两条对角线，菱形的面积是2，则k的值为 ．
1 2
【答案】5
【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，由关于x的一元一次方程
x2−4x+k−1=0有两个实数根x ,x ，得到x ⋅x =k−1，由x ,x 分别是一个菱形的两条对角线，菱形
1 2 1 2 1 2
的面积是2，x ⋅x =4，联立求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
1 2
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−4x+k−1=0有两个实数根x ,x ，
1 2
∴x ⋅x =k−1，
1 2
∵x ,x 分别是一个菱形的两条对角线，菱形的面积是2，
1 2
1
∴ x ⋅x =2，
2 1 2
∴x ⋅x =4，
1 2
∴k−1=4，
∴k=5，
∴关于x的一元二次方程为x2−4x+4=0，
Δ=(−4) 2−4×1×4=0≥0，
∴k的值为5，
故答案为：5．
16．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程x2+2x−m2−m=0(m>0)．
（1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）；
（2）当m=1，2，3，⋯，2025时，相应的一元二次方程的两个根分别记为
1 1 1 1 1 1 1 1
α 、β ，α ，β ，α ，β ，⋯，α ，β ，则 + + + + + +⋯+ + 的
1 1 2 2 3 3 2025 2025 α β α β α β α β
1 1 2 2 3 3 2025 2025
值为 ．2025
【答案】 两个不相等实根
1013
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等．熟记相关结论是解题关键．
（1）根据根的判别式即可进行判断；
b c 1 1 x +x 2
（2）根据根与系数的关系x +x =− ，x x = ，可得： + = 1 2= ，进一步可寻找
1 2 a 1 2 a x x x x m2+m
1 2 1 2
1 1
+
的规律，即可求解．
α β
2025 2025
【详解】解：（1）∵Δ=22−4×1×(−m2−m)=(2m+1) 2+3>0，
∴故该方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
（2）设方程x2+2x−m2−m=0(m>0)的两个根为：x ,x ，
1 2
b c
则x +x =− =−2，x x = =−m2−m，
1 2 a 1 2 a
1 1 x +x 2 2
∴ + = 1 2= = ，
x x x x m2+m m(m+1)
1 2 1 2
1 1 2 1 1 2 1 1 2
∴ + = , + = , + = ⋯
α β 1×2 α β 2×3 α β 3×4
1 1 2 2 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
∴
+ + + + + +⋯+ + = + + +⋯+
α β α β α β α β 1×2 2×3 3×4 2025×2026
1 1 2 2 3 3 2025 2025
1 1 1 1
=2×( + + +⋯+ )
1×2 2×3 3×4 2025×2026
¿
¿
1 1 1 1 1 1 1
=2×(1− + − + − +⋯+ − )
2 2 3 3 4 2025 2026
¿
¿
2025 2025
=2× =
2026 1013
2025
故答案为 ．
101317．（2024·北京东城·二模）若关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+m=0的两个实数根的差等于2，则实
数m的值是 ．
【答案】3或−1
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实
b c
数根x ，x 和系数a，b，c，有如下关系：x +x =− ，x ⋅x = ，设方程的两个根为x ，x ，由题意
1 2 1 2 a 1 2 a 1 2
得：x +x =m+1，x ⋅x =m，x −x =2，再利用完全平方公式的变形得出(m+1) 2=22+4m，求出m的
1 2 1 2 1 2
值，再利用判别式检验即可得出答案．
【详解】解：设方程的两个根为x ，x ，
1 2
由题意得：x +x =m+1，x ⋅x =m，x −x =2，
1 2 1 2 1 2
∵(x +x ) 2=(x −x ) 2+4x ⋅x ，
1 2 1 2 1 2
∴(m+1) 2=22+4m，
解得：m=3或m=−1，
当m=3时，Δ=[−(m+1)) 2 −4m=16−12=4>0，符合题意；
当m=−1时，Δ=[−(m+1)) 2 −4m=0−(−4)=4>0，符合题意，
综上所述，实数m的值是3或−1，
故答案为：3或−1．
18．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)各项系数满足
a+b+c=0，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当a=c时，有两个相等的实数根；③
当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的序
号是 ．
【答案】②③④
【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系．①②通过根的判别式进行判断，③④结合根与系数的
关系得结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)各项系数满足a+b+c=0，
∴b=−a−c，
∴Δ=b2−4ac=(−a−c) 2−4ac
=a2+2ac+c2−4ac
=(a−c) 2．
当a=c时，Δ=0，方程有两个相等的实数根，故①错②正确；
c b −a−c a+c
当a，c同号时，方程两根的积为 >0，两根的和为− =− = >0．
a a a a
∴方程有两个正的实数根，故③正确；
b c −a−b b
当a，b同号时，两根的和为− <0，两根的积为 = =−1− ＜0，
a a a a
∴方程有两个异号实数根，故④正确．
∴正确的结论是②③④，
故答案为：②③④．
19．（2024·江西南昌·二模）已知x ，x 为关于x的方程x2−2x+k=0的两个实数根，若
1 2
x2−2x −x x =2，则k= ．
1 1 1 2
【答案】−1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根及根的判别式，先根据题意可
知b2−4ac≥0，求出k的取值范围，再根据一元二次方程的根及根与系数的关系代入等式，求出答案即
可．
【详解】根据题意可知b2−4ac≥0，
即(−2) 2−4k≥0，
解得k≤1．
∵x ，x 是方程x2−2x +k=0的根，
1 2 1
k
∴x2−2x =−k，x x = =k．
1 1 1 2 1
∵x2−2x −x x =2，
1 1 1 2
则−k−k=2，
解得k=−1．故答案为：−1．
20．（2024·北京门头沟·一模）已知一元二次方程x2+ax+b=0，有两个根，两根之和为正数，两根之积是
负数，写出一组符合条件的a、b的值 ．
【答案】a=−1，b=−2（答案不唯一）
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x ，x ，则
1 2
b c
两根分别与方程系数之间有如下关系：x +x =− ，x x = ．
1 2 a 1 2 a
根据Δ≥0得到4b≤a2，两根之和为正数，两根之积是负数可知a<0，b<0，找出一组符合题意的数即
可．
【详解】解：∵一元二次方程x2+ax+b=0有两个根，
∴ Δ=a2−4b≥0，
∴4b≤a2，
∵两根之和为正数，两根之积是负数，
∴x +x =−a>0，x x =b<0，
1 2 1 2
∴a<0，
令a=−1，b=−2．
故答案为：a=−1，b=−2（答案不唯一）．
21．已知x 、x 是关于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的两个实数根，使得(3x -x )(x -3x )=-80成立，求
1 2 1 2 1 2
其实数a的可能值
33
【答案】a=- .
5
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x +x =-(3a-1)，x •x =2a2-1，根据(3x - x )(x -3 x )=-80，可得
1 2 1 2 1 2 1 2
关于a的方程，即可求出a的值，利用判别式检验即可得答案.
【详解】∵x 、x 是关于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的两个实数根，a=1，b=(3a-1)，c=2a2-1，
1 2
b c
∴x +x =- =-(3a-1)，x •x = =2a2-1，
1 2 a 1 2 a
∵(3x -x )(x -3x )=-80，
1 2 1 2
∴3x 2-10x x +3x 2=-80，即3(x +x )2-16x x =-80，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴3[-(3a-1)]2-16(2a2-1)=-80，
∴5a2+18a-99=0，
33
∴a=3或- ，
5当a=3时，方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的△＜0，
∴不合题意，舍去
33
∴a=-
5
【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一
种经常使用的解题方法
22．已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k2+k+1=0有两个实数根．
(1)试求k的取值范围；
(2)若x2+x2=10，求k的值；
1 2
(3)若此方程的两个实数根为x ，x ，且满足|x |+)x )=2，试求k的值．
1 2 1 2
【答案】(1)k≤−1
(2)k=−2
(3)k=−1
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k
的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得出x +x =2k，x x =k2+k+1，结合x2+x2=10可得出关于k的方程，解之
1 2 1 2 1 2
即可得出k的值；
（3）由（2）可知：x +x =2k，x x =k2+k+1，根据k2+k+1= ( k+ 1) 2 + 3 >0，可得x x >0，即由
1 2 1 2 2 4 1 2
|x |+)x )=2，可得x2+2|x x )+x2=4，进而可得x2+2x x +x2=4，则有(x +x ) 2=4，即(2k) 2=4，问
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
题得解．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2−2kx+k2+k+1=0有两个实数根，
∴Δ=b2−4ac=(−2k) 2−4×1×(k2+k+1)≥0，
解得：k≤−1；
（2）∵方程x2−2kx+k2+k+1=0的两个实数根为x ，x ，
1 2
∴x +x =2k，x x =k2+k+1，
1 2 1 2∵x2+x2=10，
1 2
∴x2+x2=(x +x ) 2−2x x =10，
1 2 1 2 1 2
∴(2k) 2−2(k2+k+1)=10，
整理得：k2−k−6=0，
解得：k=3或者k=−2，
∵根据（1）有k≤−1，
即k=−2；
（3）由（2）可知：x +x =2k，x x =k2+k+1，
1 2 1 2
∵k2+k+1= ( k+ 1) 2 + 3 >0，
2 4
∴x x >0，
1 2
∵|x |+)x )=2，
1 2
∴(|x |+)x )) 2=4，
1 2
∴x2+2|x x )+x2=4，
1 1 2 2
∵x x >0，
1 2
∴x2+2x x +x2=4，
1 1 2 2
∴(x +x ) 2=4，
1 2
∴(2k) 2=4，
∴k=±1，
∵根据（1）有k≤−1，
即k=−1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根
的判别式和根与系数的关系，灵活运用完全平方公式的变形是解题的关键．
23．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知关于x的一元二次方程x2−(k−4)x−4k=0．
(1)求证：无论k为何值，该方程都有实数根；(2)当k=−2时，已知α,β是关于x的一元二次方程x2−(k−4)x−4k=0的两个根，不解方程求α3β+αβ3
的值．
【答案】(1)见解析
(2)160
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式及根与系数的
关系．
（1）证明根的判别式Δ>0，可得结论；
（2）将k=−2代入方程，根据根与系数的关系得到α+β=−6,αβ=8，再代入代数式求值．
【详解】（1）Δ=b2−4ac=[−(k−4)] 2−4×1×(−4k)=k2−8k+16+16k=k2+8k+16=(k+4) 2，
∵无论k为何值，(k+4) 2≥0，即Δ≥0，
∴关于x的一元二次方程x2−(k−4)x−4k=0都有实数根；
（2）当k=−2时，原方程为x2+6x+8=0，则α+β=−6,αβ=8，
∴α3β+αβ3=αβ(α2+β2)=αβ[(α+β) 2−2αβ¿=8׿¿(−6) 2−2×8)=160．
24．（2025·四川南充·一模）关于x的方程为x2−(2k−1)x+k2−k=0，其中k为实数．
(1)判断方程根的情况，并说明理由．
(2)当原方程的两根α,β满足(α−2β)(2α−β)+4=0时，求k的值．
【答案】(1)方程总有两个不相等的实数根．理由见解析
(2)k=−2或k=3
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程
根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用根与系数的关系得到α+β=2k−1,αβ=k2−k，再根据已知条件得到关于k的方程，解方程即
可．
【详解】（1）方程总有两个不相等的实数根．
理由：∵a=1≠0
∴原方程为一元二次方程．
∵Δ=(2k−1) 2−4(k2−k)=4k2−4k+1−4k2+4k=1>0
∴方程总有两个不相等的实数根．（2）解：由根系关系，得α+β=2k−1,αβ=k2−k．
∵(α−2β)(2α−β)+4=0，
∴2α2−5αβ+2β2+4=0．
配方，得2(α+β) 2−9αβ+4=0．
∴2(2k−1) 2−9(k2−k)+4=0
整理，得k2−k−6=0
解得k=−2，或k=3．
m
25．（24-25八年级下·山东威海·期末）关于x的方程mx2−(m−4)x+ =0有两个不相等的实数根．
4
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理
由．
【答案】(1)m<2，且m≠0
(2)不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于0
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根⇔Δ>0；
当一元二次方程有两个相等的实数根⇔Δ=0；当一元二次方程无实数根⇔Δ<0；一元二次方程根与系数
b c
的关系：x +x =− ,x x = ．熟记一元二次方程根的情况与判别式关系、根与系数的关系，得出方程
1 2 a 1 2 a
求解是解决问题的关键．
（1）由题意可得Δ>0，且m≠0，解不等式即可得到答案；
m
1 1
（2）由一元二次方程根与系数的关系得到 −(m−4) 4 1，代入 + =0解方程，
x +x =− ,x x = = x x
1 2 m 1 2 m 4 1 2
再由（1）中m<2，且m≠0判断即可得到答案．
m
【详解】（1）解：∵关于x的方程mx2−(m−4)x+ =0有两个不相等的实数根，
4
2 m
∴Δ=[−(m−4)) −4m× =16−8m>0，且m≠0，
4
解得m<2，且m≠0；
（2）解：不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于0，
理由如下：m
设关于x的方程mx2−(m−4)x+ =0的两个不相等的实数根为x ，x ，
4 1 2
m
则 −(m−4) 4 1，
x +x =− ,x x = =
1 2 m 1 2 m 4
∵方程的两个实数根的倒数之和等于0，
1 1
∴ + =0，
x x
1 2
m−4
x +x m 4(m−4)
则 1 2= = =0，
x x 1 m
1 2
4
解得m=4，
由（1）知，m<2，且m≠0，
∴不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于0．
26．（24-25八年级下·安徽池州·期末）已知关于x的一元二次方程x2−2x+a=0有两个不相等的实数根x
1
，x ．
2
(1)求a的取值范围；
2
(2)若[(x −2)(x −2)−2) =9，求a的值．
1 2
【答案】(1)a<1
(2)a的值为−1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若x ，x 是方程ax2+bx+c=0的两个根，则有
1 2
b c
x +x =− ，x x = ，掌握该知识点是解答本题的关键．
1 2 a 1 2 a
（1）根据方程有两个不相等的实数根，可知方程的判别式大于0，据此列不等式即可求解；
（2）根据根与系数的关系得出x +x =2，x x =a，再利用[(x −2)(x −2)−2) 2 =9，得到(a−2) 2=9，
1 2 1 2 1 2
然后解关于a的方程，最后利用a的取值范围确定a的值．
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，即(−2) 2−4a>0，
∴a<1；
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+a=0有两个不相等的实数根x ，x ．
1 2∴x +x =2，x x =a，
1 2 1 2
2
∵[(x −2)(x −2)−2) =9，
1 2
∴[x x −2（x +x ）+4−2) 2=9，
1 2 1 2
∴(a−4+4−2) 2=9，即(a−2) 2=9，
∴a−2=±3，
∴a =−1，a =5，
1 2
∵a<1，
∴a=−1．
27．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）已知x ，x 是方程x2−(2k+1)x+k2+2=0的两个实数根．
1 2
(1)求实数k的取值范围；
(2)求(x −2) 2+(x −2) 2 的最小值．
1 2
7
【答案】(1)k≥
4
1
(2)
8
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据方程有实数根得到，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
7
（2）由题得x +x =2k+1，x ⋅x =k2+2，得到(x −2) 2+(x −2) 2=2(k−1) 2−1，推出当k= 时，
1 2 1 2 1 2 4
2(k−1) 2−1有最小值，最小值为2 (7 −1 ) 2 −1= 1 ，即可得到答案．
4 8
【详解】（1）解：根据题意得方程x2−(2k+1)x+k2+2=0的Δ≥0，
∴[−(2k+1)) 2 −4×1×(k2+2)≥0，
7
∴k≥ ，
4
7
∴实数k的取值范围是k≥ ；
4
（2）解：∵ x ，x 是方程x2−(2k+1)x+k2+2=0的两个实数根，
1 2∴ x +x =2k+1，x ⋅x =k2+2，
1 2 1 2
∴ (x −2) 2+(x −2) 2
1 2
=x2−4x +4+x2−4x +4
1 1 2 2
=(x +x ) 2−2x ⋅x −4(x +x )+8
1 2 1 2 1 2
=(2k+1) 2−2(k2+2)−4(2k+1)+8
=4k2+4k+1−2k2−4−8k−4+8
=2k2−4k+1
=2(k−1) 2−1，
7
∵2>0，k≥ ，
4
∴当k= 7 时，2(k−1) 2−1有最小值，最小值为2 (7 −1 ) 2 −1= 1 ，
4 4 8
1
∴ (x −2) 2+(x −2) 2 的最小值为 ．
1 2 8
28．（24-25九年级下·全国·假期作业）关于x的一元二次方程mx2−2mx+m−2=0的有两个实数根为x
1
，x ．
2
(1)求m的取值范围；
(2)若|x −x |=1，求m的值．
1 2
【答案】(1)m>0
(2)8
【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及绝对值，熟知一元二次方程根与系数的关系及根
的判别式是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【详解】（1）解：因为关于x的一元二次方程mx2−2mx+m−2=0的有两个实数根，
所以Δ=(−2m) 2−4m(m−2)≥0，且m≠0，
解得m>0，所以m的取值范围是m>0．
（2）解：因为关于x的一元二次方程mx2−2mx+m−2=0的两个实数根为x ，x ，
1 2
m−2
所以x +x =2,x x = ．
1 2 1 2 m
又因为|x −x |=1，
1 2
所以(x −x ) 2=1，
1 2
则(x +x ) 2−4x x =1，
1 2 1 2
4m−8
所以22− =1，
m
解得m=8，
经检验m=8是原方程的解，且符合题意，
所以m的值为8．
29．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的一元二次方程mx2−(2m+1)x+2=0．
(1)判断此方程根的情况，并说明理由．
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数m的值的和．
(3)若此方程的两个实数根分别为x ,x ，求代数式m(x5+x5)−(2m+1)(x4+x4)+2(x3+x3)的值．
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】(1)此方程总有两个实数根，见解析
(2)0
(3)0
【分析】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程
1 2
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x +x =− ，x x = ．
1 2 a 1 2 a
（1）由根的判别式Δ=[−(2m+1)) 2 −4m×2=(2m−1) 2即可知；
2m+1 1 2
（2）根据韦达定理知x +x = =2+ ，x ⋅x = ，由方程的两个实数根都是整数可得答案；
1 2 m m 1 2 m
（3）根据方程的解得定义得mx 2−(2m+1)x +2=0、mx 2−(2m+1)x +2=0，继而知
1 1 2 2
mx 5−(2m+1)x 4+2x 3=0，mx 5−(2m+1)x 4+2x 3=0，两式相加可得．
1 1 1 2 2 2【详解】（1）解：此方程总有两个实数根．
理由：∵Δ=[−(2m+1)) 2 −4m⋅2=(2m−1) 2，
∴不论m为何值，(2m−1) 2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
（2）解：设方程的两个根为x ,x ，
1 2
2m+1 1 2
则x +x = =2+ ，x ⋅x = ．
1 2 m m 1 2 m
∵此方程的两个实数根都是整数，
∴m的值为±1，
∴符合条件的整数m的值的和为0．
（3）解：∵x ,x 是方程mx2−(2m+1)x+2=0的两个实数根，
1 2
∴mx2−(2m+1)x +2=0，mx2−(2m+1)x +2=0，
1 1 2 2
∴mx5−(2m+1)x4+2x3=0，mx5−(2m+1)x4+2x3=0，
1 1 1 2 2 2
以上两式相加，可得m(x5+x5)−(2m+1)(x4+x4)+2(x3+x3)=0，
1 2 1 2 1 2
即m(x5+x5)−(2m+1)(x4+x4)+2(x3+x3)=0．
1 2 1 2 1 2
30．（2025·四川南充·中考真题）设x ，x 是关于x的方程(x−1)(x−2)=m2的两根．
1 2
(1)当x =−1时，求x 及m的值．
1 2
(2)求证：(x −1)(x −1)≤0．
1 2
【答案】(1)x =4，m=±❑√6；
2
(2)详见解析．
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根
与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式
Δ=b2−4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0
b
时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x ，x ，则x +x =− ，
1 2 1 2 a
c
x x = 是解题的关键．
1 2 a（1）把x =−1代入方程求出m2=6，然后再解一元二次方程即可；
1
（2）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：把x =−1代入方程(x−1)(x−2)=m2得m2=6，
1
∴m=±❑√6 ，
∴(x−1)(x−2)=6，即x2−3x−4=0，
解方程得，x =−1，x =4，
1 2
故x =4，m=±❑√6；
2
（2）证明：方程(x−1)(x−2)=m2可化为x2−3x+2−m2=0，
∵Δ=4m2+1≥0，
∴原方程有两个不相同实数根，
由根与系数的关系得x +x =3，x x =2−m2 ，
1 2 1 2
∵(x −1)(x −1)=x x −(x +x )+1=2−m2−3+1=−m2 ，
1 2 1 2 1 2
∵−m2≤0，
∴(x −1)(x −1)≤0．
1 2
31．（2025·四川南充·二模）已知a、b是一元二次方程x2−2x+k2−2=0的两个实数根．
(1)求整数k的取值；
(2)若等式a2+2b−5=0成立，求整数k的值．
【答案】(1)±1，0
(2)±1
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系；
（1）根据方程有两个实数根，既有Δ≥0，求出k的取值范围，得到整数解即可；
（2）根据方程的根与系数的关系得到a+b=2，a2=2a−k2+2，然后代入求出整数k的值．
【详解】（1）解：∵一元二次方程x2−2x+k2−2=0有两个实数根，
∴Δ=4−4k2+8≥0，
解得：−❑√3≤k≤❑√3，
∴整数k的为±1，0；
（2）解：∵a、b是一元二次方程x2−2x+k2−2=0的两个实数根，
∴a+b=2，a2=2a−k2+2，
∴a2+2b−5=2a−k2+2+2b−5=4−k2+2−5=0，解得k=±1，
∴整数k的值为±1．
32．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程x2−2(k+1)x+k2−3=0．
(1)若该方程有一个根是−1，求k的值．
(2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
(3)若该方程的两个实数根x ，x 满足(x −1)(x −1)=11，求k的值．
1 2 1 2
【答案】(1)k =0，k =−2；
1 2
(2)k的取值范围是k≥−2；
(3)k的值为5．
【分析】此题考查了一元二次方程的解， 一元二次方程，一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程
的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用及正确理解一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程
有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
b c
为x ，x ，则x +x =− ，x x = 是解题的关键．
1 2 1 2 a 1 2 a
（1）把x=−1代入方程得12+2(k+1)+k2−3=0，然后解一元二次方程即可；
（2）由题意得△=b2−4ac=[2(k+1)) 2 −4(k2−3)≥0，然后解不等式即可；
（3）由题意可得x +x =2(k＋1)，x ·x =k2−3，则
1 2 1 2
(x −1)(x −1)=x x −(x +x )+1=k2−3−2(k+1)+1=11，解得k =5，k =−3， 再通过k≥−2即可
1 2 1 2 1 2 1 2
求出k的值．
【详解】（1）解：∵该方程有一个根是−1，
∴12+2(k+1)+k2−3=0，
∴k2+2k=0，
解得k =0，k =−2；
1 2
（2）解：∵该方程有两个实数根，
∴△=b2−4ac=[2(k+1)) 2 −4(k2−3)≥0，
解得k≥−2．即k的取值范围是k≥−2；
（3）解：∵该方程的两个实数根x ，x ，
1 2
∴x +x =2(k＋1)，x ·x =k2−3，
1 2 1 2
∴(x −1)(x −1)=x x −(x +x )+1=k2−3−2(k+1)+1=11，
1 2 1 2 1 2
化简得k2−2k−15=0，
解得k =5，k =−3，
1 2
由（2）可知，k≥−2，
所以k的值为5．
33．（24-25九年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程x2+px+25=0．
(1)若方程有两个相等的实数根，求p的值．
(2)若方程的两个实数根分别为3+b与3−a，若a,b都为正整数，求证ab为偶数．
【答案】(1)±10
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握一
元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式等于0求解即可得；
（2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得(3+b)(3−a)=25，再判断出a,b都为偶数，由此即可得
证．
【详解】（1）解：∵关于x的方程x2+px+25=0有两个相等的实数根，
∴这个方程根的判别式Δ=p2−4×1×25=0，
∴p=±10．
（2）证明：∵关于x的方程x2+px+25=0的两个实数根分别为3+b与3−a，
∴(3+b)(3−a)=25，
∵a,b都为正整数，
∴3+b和3−a都是奇数，
∴a,b都为偶数，
∴ab为偶数．
34．（24-25八年级下·浙江·期中）关于x的一元二次方程x2−5x+k=0有实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)如果k是符合条件的最大整数，且关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m−3=0与方程x2−5x+k=0有一个相同的根，求此时m的值．
(3)若方程x2−5x+k=0的两个实数根为x ,x ，满足x =4x ，求此时k的值．
1 2 1 2
25
【答案】(1)k≤
4
9
(2)
10
(3)4
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据Δ≥0，解不等式即可得出答案；
（2）求出k的值为6，解方程求出x =2，x =3，代入方程求出m的值即可；
1 2
（3）由一元二次方程根与系数的关系得出x +x =5，x x =k，再结合x =4x 求出x ,x 的值，即可得出
1 2 1 2 1 2 1 2
答案．
【详解】（1）解：根据题意得：Δ=b2−4ac=(−5) 2−4k≥0，
25
解得k≤ ；
4
（2）解：∵k是符合条件的最大整数，
∴k的值为6，
∴方程x2−5x+k=0变形为x2−5x+6=0，
解得x =2，x =3，
1 2
∵一元二次方程(m−1)x2+x+m−3=0与方程x2−5x+k=0有一个相同的根，
∴当x=2时，4(m−1)+2+m−3=0，
解得：m=1，
∵m−1≠0，
∴m≠1；
当x=3时，9(m−1)+3+m−3=0，
9
解得：m= ，
10
9
∴m的值为 ．
10
（3）解：∵x ，x 是方程x2−5x+k=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =5，x x =k，
1 2 1 2∵x =4x ，
1 2
∴4x +x =5，
2 2
解得：x =1，
2
∴x =4，
1
∴k=x x =1×4=4．
1 2
35．（2025·福建三明·一模）已知实数k、m、n(m≠n)，且满足m2−2m=3k+1，n2−2n=3k+1．
(1)求证：m+n的值是定值；
(2)若m，n同号，求k的取值范围；
m n
(3)当m、n同号时，设p= + ，求p的取值范围．
n m
【答案】(1)见解析
2 1
(2)− 2
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系是解
题的关键．
（1）根据题意可得，m，n为关于x的方程x2−2x−(3k+1)=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关
系即可求解；
1
（2）由（1）的一元二次方程根与系数的关系得mn=−(3k+1)，由m，n同号，解得：k<− ，再根据方
3
2
程有两个不相等的实数根得到(−2) 2+4(3k+1)>0，解得k>− ，由此即可求解；
3
(m+n) 2 4
（3）由（1）、（2）得m+n=2，mn=−(3k+1)，得出p= −2，确定p= −2，然后结合
mn mn
（2）中结果确定取值范围即可．
【详解】（1）证明：∵m2−2m=3k+1，n2−2n=3k+1(m≠n)，
∴m，n为关于x的方程x2−2x−(3k+1)=0的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系得，m+n=2，
∴m+n的值为定值．
（2）解：由（1）得mn=−(3k+1)，
∵m，n同号，
∴mn=−(3k+1)>0，1
解得：k<− ，
3
又∵(−2) 2+4(3k+1)>0，
2
∴k>− ，
3
2 1
∴− 4，
mn
∴
4
−2>2，即p>2．
mn
∴
36．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读理解：
材料1：如果实数m，n满足 m2+m−1=0,n2+n−1=0，且m≠n，则可利用根的定义构造一元二次方程
x2+x−1=0，将m，n看作是此方程的两个不相等的实数根．
材料2：关于x的一元二次方程 x2+mx−1=0，当m=1时，该方程的正根称为黄金分割数．黄金分割数
广泛应用于建筑、艺术、设计、经济等多个领域．
请根据上述材料解决下面问题：
1 1
(1)已知实数a，b满足：a2+a−1=0,b2+b−1=0，且a≠b，则 + = ．
a b
(2)求黄金分割数；
(3)已知实数m，n，t，满足：m2−4m=11+t,n2−4n=11+t，且00，mn=−11−t>0，
解得−150，满足条件；
当m=−11，方程化为：x2+18x+117=0，此时Δ<0，舍去；
故m=3；
（3）∵方程x2−(2m+4)x+m2−4=0有两个实根x ，x ，
1 2
∴x +x =2m+4,x x =m2−4，
1 2 1 2
x x x2+x2
∴ 1+ 2+|x +x )= 1 2+|x +x )
x x 1 2 x x 1 2
2 1 1 2(x +x ) 2−2x x
= 1 2 1 2+|x +x )
x x 1 2
1 2
(x +x ) 2
= 1 2 −2+|x +x )
x x 1 2
1 2
(2m+4) 2
= −2+|2m+4)
m2−4
=−8，
(2m+4) 2
∴ +|2m+4)=−6，
m2−4
∵(2m+4) 2≥0,|2m+4)≥0，
∴m2−4<0，
∴−20，
(2m+4) 2
∴ +2m+4=−6，
m2−4
解得：m=1或m=−2（舍去）或m=−6（舍去），
当m=1时，原方程化为：x2−6x−3=0，
此时Δ=36+12=48>0，满足题意，
∴x x =−3．
1 2
39．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与
订正》中提出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2−4ac≥0)的两根x ，x 有如下的关系（韦达定理）：
1 2
b c
x +x =− ，x ⋅x = ；
1 2 a 1 2 a
材料2：如果实数m、n满足m2−m−1=0、n2−n−1=0，且m≠n，则可利用根的定义构造一元二次方程
x2−x−1=0，将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)①已知一元二次方程2x2−3x−5=0的两根分别为x ，x ，则x +x = _______，x ⋅x = _______．
1 2 1 2 1 21 1
②已知实数a，b满足：a2+4a−3=0，b2+4b−3=0（a≠b），则 + = _______．
a b
(2)已知实数m、n、t满足：m2−4m=11+t，n2−4n=11+t，且00，mn=−11−t>0，
解得−150，求出m<0；再根据x +x =−2m,x x =m2+m，
1 2 1 2
4
得到x =−x −2m，则x =−2x +2，化简为9m2+13m+4=0，解得：m=−1或m=− ，检验是否符
2 1 2 1 9
合题意即可；
m m−2
（3）解关于x的一元二次方程(m2−5m+6)x2−(2m2−7m+4)x+m2−2m=0，得x= 或x=
m−2 m−3
，根据一元二次方程的定义及新定义得到m≠2且m≠3，m≠4；根据该方程的“Deep”点为整点，可得
2 1 2 1
， 都是整数，令m−2= （k为整数，且k≠0）且m−3= （z为整数，且z≠0），求出m−2
m−2 m−3 k z
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 1 0 2 3 4 5 6
的值为：⋯− ,− ,− ,− ,− , , , , , ⋯，或⋯ , , , ,− , , , , , ⋯，进而
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
得到
2 1
m−2= 或m−2= 或m−2=2，即可求解出m的值，再代入检验即可．
3 21 1
【详解】（1）解：根据题意： +2025=−b, ×2025=c，
2023 2023
1 2025
∴b=−2025 ,c= ；
2023 2023
（2）解：存在，
∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两实根为x ,x (x 0，
∴m<0；
∵x +x =−2m,x x =m2+m，
1 2 1 2
∴x =−x −2m，
2 1
根据题意得：x =−2x +2，
2 1
∴−2x +2=−x −2m，即x =2m+2，
1 1 1
∴(2m+2) 2+2m(2m+2)+m2+m=0，
∴9m2+13m+4=0，
4
解得：m=−1或m=− ，
9
当m=−1时，x =2×(−1)+2=0，则x =−2×0+2=2，
1 2
∵0<2，
∴x − ，
9 9
∴x >x ，不符合题意；
1 2
综上，m=−1；
（3）解：解关于x的一元二次方程(m2−5m+6)x2−(2m2−7m+4)x+m2−2m=0，
[(m−2)x−m)[(m−3)x−(m−2))=0，
m m−2
解得：x= 或x= ，
m−2 m−3∵m2−5m+6≠0，即(m−3)(m−2)≠0，
∴m≠2且m≠3，
m m−2
∵ ≠ ，
m−2 m−3
2 1
∴ ≠ ，
m−2 m−3
m−4
∴ ≠0，
(m−2)(m−3)
∴m≠4；
∵该方程的“Deep”点为整点，
m m−2
∴ ， 都是整数，
m−2 m−3
m m−2 2 2 m−2 m−3 1 1
∵ = + =1+ ， = + =1+ ，
m−2 m−2 m−2 m−2 m−3 m−3 m−3 m−3
2 1
∴ ， 都是整数，
m−2 m−3
2 1
令m−2= （k为整数，且k≠0）且m−3= （z为整数，且z≠0），
k z
2 1
∴m= +2（k为整数，且k≠0）且m= +3（z为整数，且z≠0），
k z
2 1 1+z
∴m−2= 且m−2= +1= ，
k z z
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 1 0 2 3 4 5 6
∴m−2的值为：⋯− ,− ,− ,− ,− , , , , , ⋯，或⋯ , , , ,− , , , , , ⋯
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
，
2 1
∴m−2= 或m−2= 或m−2=2，
3 2
8 5
∴m= 或m= 或m=4（舍去），
3 2
8 m m−2
当m= 时， =4， =−2，且4>−2，符合题意；
3 m−2 m−3
5 m m−2
当m= 时， =5， =−1，且5>−1，符合题意；
2 m−2 m−3
8 5
综上，满足条件的m的值为 或 ．
3 2
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一次函数图象上点的特征，新定义及规律探究，理解定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
