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专题第 2 讲 根的判别式与根与系数的关系（30 题）
1．（2023•南岗区校级开学）关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣3＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
2．（2023•朝阳）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
是（ ）
A．k＞ 且k≠1 B．k＞ C．k≥ 且k≠1 D．k≥
3．（2023春•永兴县校级期末）已知关于x的方程（k﹣1）x2 有两个实数解，求k的取值范围
（ ）
A．k≤ B．k≤ 且k≠1
C．0≤k≤ D．0≤ 且k≠1
4．（2022秋•信都区校级期末）关于x的一元二次方程4x2+（4m+1）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数
值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
5．（2023春•承德县月考）已知关于x的方程2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）的一个解为x＝﹣3，则关于x的方
程2mx2+nx+2＝0（m≠0）根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不确定
6．（2023•广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则
的化简结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3
7．（2023•雁塔区校级开学）已知m、n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则 ＝ ．
8．（2023春•巴东县期中）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则（a+2）2+b
的值为（ ）
A． B．5 C．2 D．﹣2
9．（2023春•江岸区校级月考）设 、 是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（ 2+2022 ﹣1）（ 2+2022 ﹣
1）的值为（ ）
α β α α β β
A．6076 B．﹣6074 C．6040 D．﹣6040
10．（2022秋•迁安市期末）关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x ，x ，则x +x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．3 B．﹣3 C． D．11．（2023•丹徒区二模）若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
12．（2023•东胜区模拟）已知x ，x 是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则 的值为
1 2
（ ）
A．﹣10 B．﹣7 C．﹣5 D．3
13．（2023•崇川区校级开学）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣2＝0．
（1）试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为3，求2m2+12m+2053的值．
14．（2023•海淀区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若x＝1是该方程的根，求代数式（m﹣2）2+3的值．
15．（2023•南岗区校级开学）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x ，x ；
1 2
则x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ；
1 2 1 2
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n；
∴m+n＝1，mn＝﹣1；
则m2n+mm2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x ，x ，则x +x ＝ ，x •x ＝ ；
1 2 1 2 1 2
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求 + 的值．
16．（2023•晋江市校级开学）已知a，b是方程x2+3x﹣2＝0的两个不相等的实根，求下列各式的值：
①a2+b2； ② ； ③a3+3a2+2b．
17．（2022秋•玉泉区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有实数根．
（1）求实数m的取值范围；（2）当m＝1时，方程的根为x ，x ，求代数式 的值．
1 2
18．（2023春•招远市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣m＝3的两个实数根为x ，x ，且x
1 2 1
＞x ．
2
（1）求m的取值范围；
（2）若m取负整数，求x ﹣3x 的值；
1 2
（3）若该方程的两个实数根的平方和为18，求m的值．
19．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x ，x 两实数根．
1 2
（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，满足（x ﹣1）（x ﹣1）＝﹣ ？若存在，求出实数m的值；若不存在，请
1 2
说明理由．
20．（2023•襄州区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x ，x 是该方程的两个根，且满足x x +x +x ＝m2+6，求m的值．
1 2 1 2 1 2
21．（2022秋•惠安县期末）关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0．
（1）不解方程，判断该方程的根的情况；
（2）设x ，x 是方程的两根，其中有一根不大于0，若y＝x •x ﹣m+2，求y的最大值．
1 2 1 222．（2023春•镇海区期末）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac．则称此方程为“蛟
龙”方程．
（1）当b＜0时，判断此时“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情况，并说明理由．
（2）若“蛟龙”方程2x2+mx+n＝0 有两个相等的实数根，请解出此方程．
23．（2023•汝南县一模）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x ，x ，则 ， ；
1 2
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mm2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x ，x ，则x +x ＝ ，x x ＝ ；
1 2 1 2 1 2
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求 的值；
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求 的值．
24．（2023春•文登区期中）已知x ，x 是方程 的两个根．
1 2
求：（1） ； （2） ．25．（2023•枣阳市二模）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个不相等实数根x 和x ．
1 2
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x •x ﹣x ﹣x ＝0时，求m的值．
1 2 1 2
26．（2023春•绍兴期中）已知有关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（3k+1）x+2k＝0．
（1）求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；
（2）若方程有一个根为﹣2，求k的值及方程的另一个根；
（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值．27．（2023春•青冈县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x 、x ，且x +x ﹣4x x ＝2，求k的值．
1 2 1 2 1 2
28．（2022秋•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝ ，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，
求矩形ABCD的周长．29．（2023春•肇源县月考）已知关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）若两个实数根分别是x ，x ，且（x x ﹣1）2+2（x +x ）＝0，求m的值．
1 2 1 2 1 2
30．（2023春•萧山区月考）已知关于x的方程（m2﹣4m+5）x2﹣4x+n＝0．
（1）圆圆说：该方程一定为一元二次方程．圆圆的结论正确吗？请说明理由．
（2）当m＝2时；
①若该方程有实数解，求n的取值范围；
②若该方程的两个实数解分别为x 和x ，满足 ，求n的值．
1 2
