文档内容
专题 03 配方法的十大应用（举一反三专项训练）
【人教版】
【题型1 利用配方法求参数（范围）】..................................................................................................................1
【题型2 利用配方法比较代数式大小】..................................................................................................................1
【题型3 利用配方法证明代数式的值恒大于（或小于）某数】.........................................................................2
【题型4 利用配方法求最值问题】..........................................................................................................................3
【题型5 利用配方法确定三角形的形状】..............................................................................................................4
【题型6 利用配方法解决几何问题】......................................................................................................................5
【题型7 配方法在二次根式中的应用】..................................................................................................................6
【题型8 配方法在分式中的应用】..........................................................................................................................7
【题型9 利用配方法在实数范围内分解因式】.....................................................................................................8
【题型10 利用配方法解决新定义问题】..................................................................................................................8
【题型1 利用配方法求参数（范围）】
1 1
【例1】）已知实数m，n，c满足m2−m+ c=0，n=12m2−12m+c2+ ，则n的取值范围是（ ）
4 4
7 7
A．n≥− B．n>− C．n≥−2 D．n>−2
4 4
【变式1-1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知 满足 ，则
a,b (a2+4a+7)(b2−6b+11)=6 2a+b=
（）
A．−6 B．−1 C．2 D．3
1
【变式1-2】无论x为何值，关于x的多项式﹣ x2+3x+m的值都为负数，则常数m的取值范围是（ ）
2
9 9
A．m＜﹣9 B．m＜﹣ C．m＜9 D．m＜
2 2
【变式1-3】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知m+n=4,mn−p2+8p≥20，则mnp的值为
．
【题型2 利用配方法比较代数式大小】
【例2】（2025·安徽六安·一模）已知x，y，z为实数，且y+z=5−4x+3x2，z−y=1−2x+x2，则x，y，z之间的大小关系是（ ）
A．x2xy．
②当x=1，y=2时，∵x2+ y2=5，2xy=4，∴ x2+ y2>2xy．
③当x=2，y=2.5时，∵ x2+ y2=10.25，2xy=10，∴x2+ y2>2xy．
④当x=3，y=3时，∵ x2+ y2=18，2xy=18，∴x2+ y2 ________2xy．
(2)归纳：x2+ y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由．
4
(3)运用：求代数式x2+
的最小值．
x2
【题型3 利用配方法证明代数式的值恒大于（或小于）某数】
【例3】（22-23八年级上·福建泉州·期末）【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如
ax2+bx+c(a≠0)
的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法，运
a(x+m) 2+n ax2+bx+c(a≠0)用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或有关运算．
例如：对于a2+6a+8．（1）用配方法分解因式；（2）当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值
是多少？
解：（1）原式=a2+6a+8+1−1
=a2+6a+9−1
=(a+3) 2−1
=[(a+3)+1][(a+3)−1]
=(a+4)(a+2)．
（2）由（1）得： ，
a2+6a+8=(a+3) 2−1
，
∵ (a+3) 2≥0
，
∴(a+3) 2−1≥−1
∴当a=−3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是−1．
【问题解决】利用配方法解决下列问题：
(1)用配方法因式分解：x2+2x−8；
(2)试说明不论m为何值，代数式−m2+4m−5恒为负数；
1 b−c
(3)若已知(a+c)(b−a)= (b+c) 2且a≠0，求 的值．
4 a
【变式3-1】（24-25九年级上·甘肃·期中）用配方法求证：代数式4x2−8x+9的值恒为正数．
【变式3-2】（22-23九年级上·贵州黔南·期中）不论x，y取何值，代数式9x2+4 y2+6x−8 y+2的值（
）
A．总不小于−3 B．总不大于−3 C．总大于2 D．总小于2
【变式3-3】（24-25八年级上·福建漳州·期中）我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方
式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方
式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方
法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大
值，最小值等
例如：分解因式：
x2−2x−3=(x2−2x+1)−4=(x−1) 2−22=(x−1+2)(x−1−2)=(x+1)(x−3)
(1)请用上述方法把x2+4x+3分解因式；(2)求多项式x2+10x+26的最小值；
(3)试说明：无论x、y取任何实数时，多项式x2+ y2−4x+2y+6的值总为正数．
【题型4 利用配方法求最值问题】
【例4】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及
a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当
的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一
种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数
有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式
；
x2+2x−3=x2+2x+1−1−3=(x2+2x+1)−4=(x+1) 2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)
例如：求代数式 的最小值为
2x2+4x−6 2x2+4x−6=2(x2+2x)−6=2(x2+2x+1−1)−6=2(x+1) 2−8
．可知当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：m2−4m−5=______；
(2)当a为何值时，多项式−a2+4a+18有最大值，并求出这个最大值；
(3)当a，b为何值时，多项式a2+3b2+4a−6b+27有最小值，并求出这个最小值．
【变式4-1】（2024·江苏泰州·二模）若M=x2−4xy+4 y2+2x−4 y+3，则M的最小值为 ．
【变式4-2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个
式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的
7
变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数x、y满足−x2+ x+ y−3=0，则x−2y的最大
2
值为 ．
【变式4-3】设实数x，y，z满足x+ y+z=1，则M=xy+2yz+3zx的最大值为 ．
【题型5 利用配方法确定三角形的形状】
【例5】（24-25九年级上·贵州黔南·期中）阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就
是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程x2−4x+3=0，则有
， ，解得 ， ．已知 ，求x，y的值，
x2−4x+4−4+3=0 ∴(x−2) 2=1 x =3 x =1 x2−2x+ y2+4 y+5=0
1 2则有 ， ，解得 ， ．
(x2−2x+1)+(y2+4 y+4)=0 ∴(x−1) 2+(y+2) 2=0 x=1 y=−2
根据以上材料解答下列各题：
(1)若 ，求 的值；
x2+6x+ y2−8 y+25=0 (x+ y) 2024
(2)若a,b,c分别表示△ABC的三边长，且满足a2+8b2+c2−4ab−4bc=0，试判断△ABC的形状，并说
明理由．
【变式5-1】已知三角形三边长为a、b、c，且满足a2−4b=7， b2−4c=−6， c2−6a=−18，则此三
角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【变式5-2】已知a，b，c是 ABC的三边，若a，b，c满足a2－6a＋b2－8b＋❑√c−5＋25＝0，则 ABC是
三角形；若a，b，c满足a2＋△b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则 ABC是 三角形． △
【变式5-3】（23-24八年级上·四川内江·期中）把代数式通△过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行
有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+6a+8．
解原式 ．
=a2+6a+8+1−1=a2+6a+9−1=(a+3) 2−12=[(a+3)+1][(a+3)−1]=(a+4)(a+2)
②M=a2−2a−1，利用配方法求M的最小值．
解 ．
：a2−2a−1=a2−2a+1−2=(a−1) 2−2
∵ ，
(a−1) 2≥0
∴当a=1时，M有最小值−2．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)用配方法因式分解：x2+2x−3；
(2)若M=2x2−8x，求M的最小值；
1
(3)已知a、b、c是△ABC的三条边长．若a、b、c满足a2+ b2+5=4a+b−|c−2)，试判断△ABC的形
4
状，并说明你的理由；
【题型6 利用配方法解决几何问题】
【例6】（2024·江苏宿迁·三模）在△ABC中，∠A=90°,AB=3,AC=4，P是△ABC所在平面内一点，
则PA2+PB2+PC2的最小值是 ．
【变式6-1】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法
还有其他重要应用，例如：试求二次三项式x2+4x+5最小值．解： ，
x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2) 2+1
，
∵(x+2) 2≥0,(x+2) 2+1≥1
∴x2+4x+5≥1，即x2+4x+5的最小值是1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知代数式−2x2+4x−5，求它的最大值．
(2)比较代数式2x2+3x−5与3x2−x+1的大小，并说明理由．
(3)知识迁移：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm，点P在AC边上以2cm/s的速度从点A向C移
动，点Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B移动．若点P,Q同时出发，且当一点移动到终点时，另
一点也随之停止，设四边形APQB的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最小值．
【变式6-2】（2023·江苏无锡·一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是边AB上的动点，连接ED、
EC，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EN，将EC绕点E逆时针旋转90°得到EM，连接MN，则线段MN
的取值范围为 ．
【变式6-3】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，已知AB=10，P为线段AB上的一个动点，分别以
AP,PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P,C,E在一条直线上，∠DAP=60°，M,N分
别是对角线AC,BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为 ．【题型7 配方法在二次根式中的应用】
【例7】（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）无论 取任何实数，代数式 都有意义，则 的最
x ❑√x2−kx+3 k
大值为 ．
【变式7-1】（2022·广西南宁·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，
a+b+c
此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p= ，
2
则其面积S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若p=3，c=2，则此三角
形面积的最大值是 ．
m
【变式7-2】若函数y=❑√2023−x+❑√x−2021的最大值为M，最小值为m，则 =的为 ．
M
【变式7-3】（22-23八年级下·福建泉州·期末）已知点 ，且实数 满足 ，则
P(a,3b2−3) a,b a−4b2+8=0
点P到原点的最短距离为 ．
【题型8 配方法在分式中的应用】
【例8】（2023·浙江宁波·模拟预测）分式6x2+12x+10可取的最小值为（ ）
x2+2x+2
A．4 B．5 C．6 D．不存在
10105
【变式8-1】代数式 的最大值是 ．
4x2−12xy+10 y2+6 y+14
1
【变式8-2】若分式 不论x取何实数总有意义．求m的取值范围．
x2−2x+m
【变式8-3】（24-25八年级上·重庆渝北·期末）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：
8 6+2 2 2
= =2+ =2 ．
3 3 3 3我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为
“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
x−1 x+1 x2 x2
如， ， ， ， 这样的分式就是假分式；
x+1 x−2 x+2 x−1
3 1 x 2x
再如： ， ， ， 这样的分式就是真分式．
x+1 x−2 x2−1 x2+1
类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
x−1 (x+1)−2 2 x+1 (x−2)+3 3
如： = =1− ； = =1+ ，
x+1 x+1 x+1 x−2 x−2 x−2
解答下列问题：
2
(1)分式 是 分式（填“真”或“假”）；
x
2x−6
(2)将假分式 写成真分式带和的形式；
x+2
9x2−5x+2
(3)若分式 的值为正数，求x的取值范围．
3x−2
【题型9 利用配方法在实数范围内分解因式】
【例9】（23-24八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内因式分解：2x2−6x+1= ．
【变式9-1】（23-24八年级上·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式：x2+6x−5= ．
【变式9-2】在实数范围内分解因式2x2−8xy+5 y2等于（）
A． ( 4+❑√6)( 4−❑√6)
2 x− x−
2 2
B．( 4+❑√6 )( 4−❑√6 )
x− y x− y
2 2
C． ( 4+❑√6 )( 4−❑√6 )
2 x− y x− y
2 2
D．
(2x−4 y−❑√6 y)(2x−4 y+❑√6 y)
【变式9-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）在实数范围内因式分解：2x2−3xy−4 y2= ．
【题型10 利用配方法解决新定义问题】
【例10】（2025·安徽黄山·模拟预测）关于x的一元二次方程的新定义：若关于x的一元二次方程：与 ，称为“同族二次方程” 如 与 就
a (x−m) 2+n=0 a (x−m) 2+n=0 ． 2(x−3) 2+4=0 3(x−3) 2+4=0
1 2
是“同族二次方程” 现有关于 的一元二次方程： 与 是“同族
． x 2(x−1) 2+1=0 (a+2)x2+(b−4)x+8=0
二次方程”．那么代数式ax2+bx+2031能取的最小值是（ ）
A．2026 B．2023 C．2028 D．2025
【变式10-1】（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）对于有理数a，b，定义min{a,b}的含义为：当a≥b
时， ；当 时， ．若 ，则 的值等于
min{a,b}=b a≤b min{a,b}=a min{40,12m−4n−m2−n2)=40 mn
．
【变式10-2】（23-24九年级下·安徽宣城·自主招生）定义：对于函数y=lgx(x>0)，y随x的增大而增
x 1 5
大，且lg10=1，lg =lgx−lg y，lgxy=lgx+lg y．若 a+ b=5，则lga+lgb的最大值为
y 2 4
．
【变式10-3】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有
两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程
x2+x=0 的两个根是 x =0，x =−1，则方程x2+x=0 是“邻根方程”．
1 2
(1)通过计算，判断方程x2−x−6=0是否是“邻根方程”；
(2)已知关于 x 的方程x2−(m−1)x−m=0（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值；
(3)若关于 x 的方程ax2+bx+1=0（a、b 是常数，a>0）是“邻根方程”，令t=8a−b2，试求t的最大
值．
