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微考点 6-1 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题（三大题型）
在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似 为定值的情形，通过直线代换可得：
，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为
y −t
1
k x x y −tx kx x +(m−t)x
PA 1 2 1 2 1 2 2
= = =
“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：k y −t x y −tx kx x +(m−t)x
PB 2 1 2 1 1 2 1
x
2
我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到 和 之间的关
系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．
这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整
理成对称型.
具体办法：
{x + x =f (t ) ¿ ¿ ¿ ¿
①联立方程后得到韦达定理： 代入之后进行代换消元解题.
1 2
②利用点在椭圆方程上代换
题型一：利用非对称韦达定理思想解决定点问题
【精选例题】
【例1】已知双曲线 的左顶点为A，右焦点为F，P是直线 上一点，且P不在x
轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．
(1)证明： ；
(2)取 ，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【跟踪训练】
1.已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点 ， ， ， 为椭圆 上关于
轴对称的两点（不与点B重合）， ，直线 与椭圆 交于另一点 ，直线 垂直于直线 ，
为垂足．
(1)求 的方程；
(2)证明：（i）直线 过定点，（ii）存在定点 ，使 为定值．
2.椭圆C: 的一个焦点为 ，且过点 ．
(1)求椭圆C的标准方程和离心率；
(2)若过点 且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，点P在直线 上，且NP与x轴平行，
求直线MP恒过的定点．题型二：利用非对称韦达定理思想解决斜率定值问题
【精选例题】
【例1】椭圆 的长轴长为4，且椭圆C过点 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知A、B为椭圆C的左、右顶点，过右焦点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N，直线 与
直线 交于点P，记 、 、 的斜率分别为 、 、 ，问 是否是定值，如果是，求出该
定值，如果不是，请说明理由.
【例2】已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为 ，点P 为椭圆上一
点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k，直线BN
1
的斜率为k，若k＝2k，求直线l斜率的值．
2 1 2【跟踪训练】
1.已知点F为椭圆 的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N
两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为 证明 为定值．
2．已知双曲线 ： 的离心率为 ，点 在双曲线 上.过 的左焦点F作直线
交 的左支于A、B两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若 ，试问：是否存在直线 ，使得点M在以 为直径的圆上?请说明理由.
(3)点 ，直线 交直线 于点 .设直线 、 的斜率分别 、 ，求证： 为定值.
题型三：利用非对称韦达定理思想解决定直线问题
【精选例题】
【例1】已知 为 的两个顶点， 为 的重心，边 上的两条中线长度之和
为6.
(1)求点 的轨迹 的方程.
(2)已知点 ，直线 与曲线 的另一个公共点为 ，直线 与 交于点 ，
试问：当点 变化时，点 是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.【例2】已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.
【跟踪训练】
1.已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 和圆 均相切，且一个内切、一
个外切．
(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程．
(2)已知点 ，过点 的直线 与轨迹 交于 两点，记直线 与直线 的交点为 ．
试问：点 是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．
2.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ， 到直线 的距离为 ，
且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若过 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，证明：直线 与 的交点在定直线上.
3.已知椭圆 的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与椭
圆 相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不
是，说明理由．
1．已知椭圆E的左、右焦点分别为 ， ，点M在椭圆E上， ， 的
周长为 ，面积为 ．
(1)求椭圆E的方程．
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点 的直线l与椭圆E交于C，D两点（不同于左右顶点），
记直线AC的斜率为 ，直线BD的斜率为 ，问是否存在实常数 ，使得 ，恒成立？若成立，求
出 的值，若不成立，说明理由．2．椭圆 的左、右顶点分别为A，B，过左焦点 的直线与椭圆交于C，D两点
（其中C点位于x轴上方），当CD垂直于x轴时，
(1)求椭圆的方程；
(2)记直线AC，BD的斜率分别为 ，问； 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
3．已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 和圆 均相切，且一个内切、一
个外切．
(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程．
(2)已知点 ，过点 的直线 与轨迹 交于 两点，记直线 与直线 的交点为 ．
试问：点 是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．
4．已知椭圆 的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与
椭圆 相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不
是，说明理由．5．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，O为坐标原点，点 在椭圆C上，
且 ，直线 过点 且与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知 ， ，若直线 ， 交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出
该直线的方程；若不是，请说明理由．
6．已知椭圆 ： ， 为椭圆 的右焦点，三点 ， ，
中恰有两点在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设点 为椭圆 的左右端点，过点 作直线交椭圆 于 ， 两点（不同于 ），求证：直
线 与直线 的交点 在定直线上运动，并求出该直线的方程.
7．已知 是椭圆 的左焦点， 为坐标原点， 为椭圆上任意一点，椭圆的离心率
为 ， 的面积的最大值为 .(1)求椭圆 的方程；
(2) ， 为椭圆的左，右顶点，点 ，当 不与 ， 重合时，射线 交椭圆 于点 ，直线 ，
交于点 ，求 的最大值.
8．已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点为 ， ， 分别为椭圆 的左、右
顶点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率不为 的直线 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的
斜率为 ，求证： 为定值；
(3)在（2）的条件下，直线 与直线 交于点 ，求证：点 在定直线上.
