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微考点 3-1 新高考中三角函数的图象与性质应用中的九大核心考点
考点一：三角函数识图问题
【精选例题】
【例1】函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解析：因为 定义域为 ，对于AB，
，所以 为奇函数，函数图象关于原
点对称，故 都不正确；对于C， 时， ，所以 ，所以
，故C不正确；对于D，符合函数图象关于原点对称，也符合 时，
，故D正确.故选：D.
【例2】函数 的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A【详解】函数 的定义域为 ，因为
，所以函数 为奇函数，函数图象
关于原点对称，故排除C，D，当 时， ，故 ,而
，故此时 ，故排除B．故选：A．
【例3】以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由图知，当 时， ，选项C，当 时， ，所以选项
C错误；又由图知，函数图象关于 轴对称，对于选项A， ，
， ，所以选项A不正确；对于选项B，，所以 ，所以选项B满足题意；选项D，
， ， ，所以选项D不正确.故选：B.
【跟踪训练】
1．函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】函数 定义域为 ，又因为 ，所
以函数 是奇函数，函数图象关于原点对称，故A和B错误；当 时，则
，故C错误.故选：D.
2.函数 的大致图象为（ ）
A． B． C． D．【答案】D【详解】因为 ， ，所以 为偶函数，所
以函数图象关于 轴对称，所以排除A，C选项；又 ，所以排除B选项，故选：D．
3.函数 在区间 内的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】当 时， ，此
时函数为减函数，且 ，可排除CD；当 时，
，此时函数为增函数，且 ，可排
除A.故选：B.
考点二：由三角函数图象的基本性质求参数（解析式）
解题思路：①一般先由最高点最低点求振幅A；②再由周期性求ω的值；③再根据最值或五点法作图求ϕ
【精选例题】【例1】设函数 在 的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
解析：由图可得：函数图象过点 ，又它是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，所以
，解得： ，故 的最小正周期为 ，故选：C.
【例2】已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由函数 的图象可知 ， ，则 ，
．由 ，解得 ，则
，故 ， .故选：B【例3】设函数 的部分图象如图所示，若 ，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由图象可知： ，结合五点法作图可得
，故 ．如果 ，且 ，则
，由正弦函数的对称性可知 ，所以
.故选：C．
【例4】如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移 （单位： ）与时间 （单位： ）之间的函数关
系式是 ，则下列命题正确的是（ ）A．该简谐运动的初相为 B．该简谐运动的频率为
C．前6秒该质点的位移为 D．当 时，位移 随着时间 的增大而增大
【答案】AD【详解】由图可知 ，∴ 故此时 ，再代入点
可得 ，且在 内， 随着 的增大而增大，此时 ，故
，∴ ，对于A：∵ ，∴该简谐运动的初相为 ，故A正确；对于
B：∵ ，∴ ，∴ ，∴B错误；对于C：当 时， ，∴C错
误；对于D： 时， ，∴当 ， 时，且
，所以根据 的单调性可得，位移 随着时间 的增大而增大，∴D正确．故选：AD．
【例5】已知函数 的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为 ，
若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 ．【答案】 【详解】由图可知 ．连接 ，则根据三角函数图象的对称性，知阴影部分的
面积等于平行四边形 的面积，易知 ，所以 ，所以
．因为函数 的图象过点 ，且该点位于
的递增区间，所以 ，即 ．因
为 ，所以当 时， ，则 ，于是由
，得函数 的单调递增区间为 ，当 时，函数
的一个单调递增区间为 ，所以 ，由题意知，实数 的取值范围是
．故答案为：
【例6】已知函数 的部分图象如图所示．(1)求 的解析式；
(2)将 图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，若 与
的图象关于 对称，求不等式 的解集．
【答案】(1) ；(2) 【详解】（1）由函数 的图象，可得
，所以 ，又由 ，所以 ，可得
，所以 ，因为 ，即 ，解得
，即 ，又因为 ，所以 ，所以 ，即
函数 的解析式为 .
（2）将 图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数
，设 是函数 的图象上的任意一点，点 关于直线 的对称点为
，则 ，代入函数 ，可得 ，即
，又由不等式 ，即 ，设 ，即
，由余弦函数的性质，可得 ，即 ，解得
或 ，即 ，即不等式的解集为 .
【跟踪训练】
1.已知函数 ， 部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在 上单调递增
D．将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象
【答案】ABC【详解】由图可知，函数 的周期 ， ，由 ，解得 ，将
代入函数 ，可得方程 ，解得 ，由 ，则 ，所
以 .A正确，对于B，由 ，则 ，根据正弦函数的对称性，可知直线
是函数 的对称轴，故B正确；对于C，由 ，则 ，根据正弦函数的单调性，函数 在 上单调递增，故C正确；对于D，由
，该函数图象向左平移 个单位可得新函数的
解析式为 ，故D错误.故选：ABC.
2．如图所示的曲线为函数 （ ， ， ）的部分图象，将 图象
上的所有点的横坐标伸长到原来的 ，再将所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，
则（ ）
A．函数 在 上单调递减 B．点 为 图象的一个对称中心
C．直线 为 图象的一条对称轴 D．函数 在 上单调递增
【答案】CD【详解】由图象知 , ∵ , ∴ 的一个最低点为 , ∵ 的最小正
周期为 , ∴ . ∵ , 则 , ∴, 即 , ∵ , ∴ , ∴ . 将函数
图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 得： 的图象, 再把所得曲线向右平
移 个单位长度得 ： ，即 . 由 得 ,
, 由 得, ，∴ 在
上单调递增, 在 上单调递减，∴当 时, 可知
在 上单调递增, 在 上单调递减，∴A错误；B项，∵
, ∴ 不是 图象的一个对称中心, 故B错误；C项，∵
, ∴直线 是 图象的一条对称轴，故C正确；D项，∵ 在 上单
调递增, C∴函数 在 上单调递增, 故D正确. 故选：CD.
3．如图，已知函数 （ ）的图象与 轴的交点为 ，并已知其在
轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 和 ．记 ，则
．【答案】 【详解】由题意知，函数 图象在y轴的右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为
，则 ，且 ，得 ，又 ，所以 ，所以
，又函数图象过点 ，所以 ，由 解得 ，故
，所以 .故答案为：
4.已知函数 的部分图象如图所示，则满足条件
的最小正整数x为________．
解析：由图可知 ，即 ，所以 ；由降零点可得 ，即
；所以 .因为 ， ；所
以由
可得 或 ；因为，所以，结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即
，解得 ，令 ，可得 ，可得 的最小正整数
为2.
5.函数 的部分图象如图所示，现将 的图象上所有点的
横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向下平移1个单位所得图象对应的函数为 ，则下列结论
正确的是（ ）
A．函数 在区间 单调递减 B．
C．点 是函数 图象的一个对称中心 D．直线 是函数 的一条对称轴
【答案】B【详解】由图象可知 ，又由于 ，所以 ，由图象可知
，则 ，所以 ，则 .
又因为 ，所以 ，则 ，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向下平移1个单位所得图象对应的函数为 ，对于选项A，当
，则 ，函数 先减后增，故选项A错误；对于选项B，
，故选项B正确；对于选项C， ，所
以点 不是函数 图象的对称中心，故选项C错误；对于选项D，因为
，所以直线 不是函数 的一条对称轴，故选项D
错误，故选：B.
考点三：三角函数图象的周期性的综合应用
【精选例题】
【例1】下列函数中是奇函数，且最小正周期是 的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】对选项A： ，函数定义域为 ， ，函数为偶
函数，排除；对选项B： ，函数定义域为 ， ，函数为偶函数，
排除；对选项C： ，函数定义域为 ， ，函数为偶
函数，排除；对选项D： ，函数定义域为 ， ，
函数为奇函数， ，满足条件；故选：D.【例2】记函数 的最小正周期为 ．若 ，且 的函数图象关
于点 中心对称，则
A． B． C． D．
解析： ， 的函数图象关于点 中心对称，则有 ，且 ，所以
， 则 ； 解 得 ， 由 得 ， ， 故
．
【例3】已知 的最大值为 ，若存在实数 ，使得对任意实数
总有 成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】
，所以 ，
，由题意得 为最小值， 为最大值，所以 最小为半个周期，所以 的最
小值为 .故选：B.
【例4】函数 是（ ）
A．最小正周期为 的偶函数 B．最小正周期为 的奇函数
C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
【答案】D【详解】易知 ,则 ，故是偶函数，且 故选：D
【例5】函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】 ，将函数图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，所
以最小正周期为 .故选：C.
【例6】设函数 ，则 的最小正周期（ ）
A．与 有关，且与 有关 B．与 有关，但与 无关 C．与 无关，且与 无关 D．与 无关，但与
有关
【答案】D【详解】 ，对于
，其最小正周期为 ，对于 ，其最小正周期为 ，所以对于任意 ，
的最小正周期都为 ，对于 ，其最小正周期为 ，故当 时，
，其最小正周期为 ；当 时， ，其最小正周
期为 ，所以 的最小正周期与 无关，但与 有关.故选：D.
【跟踪训练】
1．下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】对于选项A：由于 的周期为 ，故选项A不正确；对于选项B：画出的图象，可以看出 以 为最小正周期，且在区间 上为减函数，故选项B正确；
对于选项C：故由于 的周期为 ，故选项C不正确；对于选项D：由于 在区间
上为增函数，故选项D不正确.故选：B
2．在下列四个函数，① ② （3） ④ 中，最小正周期为
π的所有函数为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④
【答案】B【详解】① ，为偶函数，不具有周期性，①不满足题意；②函数
的图象是将 的图象在 轴下方的全部对称到 轴上方，故函数 的最小正周期为
，故②满足题意；③函数 的周期为 ，故③满足题意；④函数
的周期为 ，故④满足题意.故选：B.
3．下列函数中，以 为周期且在区间 单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】因为 ，所以周期为 ，不符合题意；对于 ，
， ，所以周期不是 ，不合题意；对于 ，周期为 ，但是在
区间 单调递减，不合题意；对于 ，周期为 ，当 时， ，在区间单调递增，符合题意.故选：B.
4．下列选项中满足最小正周期为 ，且在 上单调递增的函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】对选项A， B其周期为 ，选项C ，D其周期为 ，故
排除选项A， B；对于C： 在 上为单调递减，则 在 上为单调递增，故C正
确；对于D： 在 上为单调递增，则 在 上为单调递减，故D错误.故选：C
5．函数 的最小正周期（ ）
A．与 有关，且与 有关 B．与 有关，但与 无关
C．与 无关，且与 有关 D．与 无关，与 无关
【答案】B【详解】解：函数 ，所以函数的关系式，是以
为自变量的二次函数，所以函数的周期与 有关，与 无关.当 时，
，所以函数 的最小正周期为 ，当 时，
，所以函数 的最小正周期为 ．故选：B．
6．已知函数 的图象关于点 中心对称，其最小正周期为T，且
，则 （ ）A． B． C．1 D．
【答案】D【详解】根据题意， ，因
为 的图象关于点 中心对称，分析可得 ，则 ，所以 ，则
，解得 ，又因为最小正周期为 ，且 ，所以
，则 ，所以当 时， 的值为 ．故选：D．
考点四：三角函数图象的对称性、奇偶性的综合应用
【精选例题】
【例1】已知函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】由 ，得 的最小正周期为 ，故选项A正确；因为
，所以 关于点 对称，故选项B正确；因为 ，所以
关于直线 对称，故选项C正确；因为 而，所以 ，故选项D
错误.故选：D
【例2】将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若直线 是
图象的一条对称轴，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由题意 ，因为直线 是 图象的一条对称轴，
所以 ，则 ，对比选项可知当 时， ．故选：
B．
【例3】已知函数 的图象关于点 对称，若 ，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】由题意得 ，（
），由于函数 的图象关于点 对称，故 ，即
，由于 ，故 ，故 ，最小正周期
为 ，由于 ，故 中的一个为函数最大值，另一个为最小值，即的最小值为 ，故选：A
【例4】将 图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到 的图象，
则 的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】 图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍得到 ，令
，解得 ，所以 的对称中心为 ，对于A：令 ，解得
，所以 是 的一个对称中心，A正确；对于B：令 ，解得 ，B错误；对于
C：令 ，解得 ，C错误；对于D：令 ，解得 ，D错误，故选：A
【例5】已知 的图象关于 对称，则函数 的图象的一条对称轴是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】 ，又图象关于 对称，
，可以求得 ，故
，对称轴为 ，
时即A项．故选：A．【例6】已知 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A【详解】 ，则
.故 .故选：
A
【例7】若 为偶函数，则 ．
【答案】 .【详解】由函数 ，因为函数 为偶函
数，即 ，又由 ，所以
，所以 ，解得 .故答案为： .
【跟踪训练】
1．已知 是常数，若函数 图象的一条对称轴是直线 ．则 的值不可能在区间
（ ）中．
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由 的图象可知函数的对称轴为： ，因为函数 图象的一条对称轴是直线 ，
所以 ，所以 ，当 ， ；当 ， ；当 ，
；故ABD正确，C错误.故选：C.
2.将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数为奇函数，则实数 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由函数 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后，
得到函数 ，又由 为奇函数，所以 ，解
得 ，因为 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 .故选： .
3．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数f(x)的最小正周期为
C．函数f(x)的对称轴方程为
D．函数f(x)的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到
【答案】ABC【详解】由 对于
选项A,由上分析可知，A项正确；对于选项B，因最小正周期 ,故B项正确；对于选项C，由，可知其对称轴可由 求得，故函数的对称轴方程为
，故C项正确；对于选项D，由 的图象向左平移 个单位长度得到
而不是 ，故D项错误.故选：ABC.
4．下列坐标所表示的点中，是函数 图象的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD【详解】令 ，解得 ，A选项，当 时，
，故对称中心为 ，A正确；B选项，当 时， ，故对称中心为 ，
B正确；C选项，令 ，解得 ，不合要求，舍去，C错误；D选项，当 时， ，故
对称中心为 ，D正确；故选：ABD
5．下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A．定义域为 B．在区间 上单调递增
C．最小正周期是 D．图象关于直线 对称
【答案】ACD【详解】函数 ，定义域满足 ，解得 ，
所以函数定义域为 ，故A正确；当 ，则 ，所以函数在区间 上单调递增，则函数 在区间 上先减后增，故
B不正确；函数 的最小正周期 ，所以函数 的最小正周期是 ，故C
正确；函数 的对称轴满足 ，所以 ，则函数
图象关于直线 对称，故D正确.故选：ACD.
6．已知函数 ，曲线 的一个对称中心为 ，一条对称轴为
，则 的最小值为 .
【答案】9【详解】因为 为 的一个对称中心， 为 的一条对称轴，
， 得 ， ， ， 代入①得
， ， 当 ， 时， .故答案为：9.
7．已知函数 对任意实数x都有 成立，且 ，则实数b
的值为 ．
【答案】 或 【详解】因为函数 对任意实数x都有 成立，所以函数 关于对称，所以 或 ，代入 ，
解得 或 .故答案为： 或
8．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，若函数
为偶函数，则
【答案】 【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度，得
，因为 为偶函数，即 为 对称轴，所以
，化简得 ，因为 ，所以 .故答案为：
9．函数 的最大值为 ，最小值为 ，若 ，则
．
【答案】 【详解】因为 ，设
，则 ，设 ，则
，所以 是 上的奇函数，最大值为 ，最小值为 ，
所以 ，由 ，得 ，故答案为：
10．若函数 为偶函数，则 .
【答案】 或 【详解】 ， ， 为偶函数，
， ， 或 .故答案为： 或 .
考点五：三角函数图象的单调性
【精选例题】【例1】已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．最小正期是 B． 的图象关于 对称
C． 在 上单调递减 D． 是奇函数
【答案】AB【详解】解：对于A． 的最小正周期为 ，故A正确；对于B．当 时，
，此时 取得最小值，故B正确；对于C．当 时，
，由正弦函数的单调性可得函数 在 不单调，故C错误；对于D．因为
， ，所以函数
既不是奇函数也不是偶函数，故D错误．故选：AB．
【例2】已知函数 ，下面结论错误的是（ ）
A．函数 的最小正周期 B． 是 的图象的一个对称中心
C．函数 在区间 上是减函数 D．函数 在区间 上是减函数
【答案】D【详解】由题可知周期 ，A选项正确；令 得 ，当 时， ，即函数的一个对称中心为 ，B选项正确； ，
时， ，所以函数在 单调递减，故C选项正确；
时， ，所以函数在 不上单调，故D选项错误.故选：D
【例3】函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】设 ，即 ， ， 单调递增，取 单调增的部分，所
以可得： ，即 ，解得：
答案：A.
【例4】已知 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】解：已知 ，则 ，因为 在 上是减函数，故
；因为幂函数 在 上是增函数，故 ，
故 ．故选：A.【例5】已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最大值为2
C． 的图象关于直线 对称 D． 在 上单调递减
【答案】BD【详解】由 ，所以 不是
的周期，A错；由 ，所以 的图象不关
于直线 对称，C错；由 ，而 ，所以
，B对；由 在 上递减，且 ，结合二次函数及复合函
数的单调性知： 在 上单调递减，D对.故选：BD
【跟踪训练】
1．下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD【详解】对于A：因为 在 上单调递增，所以 ，故A正确；对于
B： ， ，又 在 上单调递减，所以
，所以 ，故B正确；对于C：因为 在 上单调递减，所以
，故C错误；对于D： ， ，又 ，即
， ，即 ，所以 ，故D正确；故选：ABD
2.已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则（ ）
A． 是奇函数
B． ，
C．若 在区间 上有且仅有 条对称轴，则
D．若 在区间 上单调递减，则 或
【答案】BC【详解】依题意，点 是函数 的图象的一个对称中心，所
以 ，且 ①，B选项正确.则
，所以
，由于 是奇数，所以 是偶
函数，A选项错误.C选项， ，将 代入得：
，整理得 ，由
于 在区间 上有且仅有 条对称轴，所以 ，解得 ，由于 ，所以 ，对应 ，所以C选项正确.D选项， 在区间 上单调递减，
，将 代入得：
，整理得 ，
则 ，解得 ，而 ，所以 或 ， 时，
，符合单调性， 时， ，不符
合单调性，所以 舍去所以 ，所以D选项错误.故选：BC
3．已知函数 ，把 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，则
（ ）
A． 是奇函数 B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递增 D．不等式 的解集为
【答案】AB【详解】A选项， ，由于 的定义域为
R，且 ，故 为奇函数，A正确；B选项，
，故 的图象关于直线 对称，B正确；C选项， 时， ，
其中 在 上不单调，故 在 上不单调，故C错误；D选项，，则 ，则 ，故 ，D错误.故选：AB
4．已知函数 ，其中 为实数，且 ，若 对 恒成立，且
，则 的单调递增区间为 .
【答案】 【详解】由 对 恒成立知， ，
得到 或 ，因为 ，所以 或 ，当 时， ，
此时 ， ， ，不合题意，舍，当 时，
，此时 ， ， ，符合题
意，所以 ，所以由 得 ，所以
的单调递增区间是 .故答案为：
5．已知函数 ，则（ ）
A．函数 的最小正周期为2
B．点 是函数 图象的一个对称中心
C．将函数 图象向左平移 个单位长度，所得到的函数图象关于 轴对称D．函数 在区间 上单调递增
【答案】BC【详解】
，故最小正周期
为 ，A错误； ，点 是一个对称中心，B正确；向左平移
个单位长度得到 ，关于 轴对称，C正确；
， 单调递减，D错误.故选：BC.
6．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的最大值为2 B．函数 的最小值为
C．函数 在 上单调递减 D．函数 在 内有且只有一个零点
【答案】BCD【详解】 ，令 ，则
，易知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故当 时，函数
取得最大值，为 ，当 时，函数 取得最小值，为 ，所以 的最大值为，最小值为 ，故A错误，B正确；当 时， 单调递减，且 ，此时
单调递增，所以函数 在 上单调递减，C正确；当 时， 先增后
减且 ，易知 在 内有且仅有一个零点 ，且 ，数形结合可知
在 内有唯一根，即函数 在 内有且只有一个零点，D正确.故选：BCD.
考点六：三角函数中ω范围问题
【精选例题】
【例1】已知函数 （ ），若 在区间 内有且仅有3个零点和3条对称轴，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】函数 ．当 时，令
，则 ，若 在 有且仅有3个零点和3条对
称轴，则 在 有且仅有3个零点和3条对称轴，则 ，解得
.故选：A．【例2】已知函数 ，若方程 在区间 上恰有3个实根，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】若方程 ，则 ，即 或
，当 时， ，则 的可能取值为 ，
因为原方程在区间 上恰有3个实根，所以 ，解得 ，即 的取值范围是
，故选：A.
【例3】已知函数 在 上有且仅有三个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】因为 ，故可得
，由 ，故可得 ，令 ，可得
，则 或 或 或 ， ，因为 在 上有且仅有三个解， ，解得 ．故选：D.
【例4】已知函数 在区间 内没有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】由 ，且 ，所以 ，由题意可得
或 ，解得 或 ，因为 ，所以 或者 ，故选：D
【例5】已知函数 在 上单调，且 ，则 的取值
不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由 在 上单调， ，故 ，而
，则 ，又
，如下图依次讨论 对应为点 四种情况，若 ，则 ，
满足 ；若 ，则 ，满足 ；由 ，若 ，则，满足 ；若 ，则 ，不满足 ，其它情况均不符合；综上，B不可能，
A、C、D可能.故选：B
【例6】已知函数 在区间 上有且仅有4条对称轴，则下面给出的结论中，
正确的是（ ）．
A． 的取值范围是 B． 的最小正周期可能是2
C． 在区间 上可能恰有4个零点 D． 在区间 上可能单调递增
【答案】AC【详解】由 ，令 ，则 ，因为
函数在区间 上有且仅有4条对称轴，即 有四个整数 符合，由 ，得
，则 ，即 ，所以 ，故A正确；若
函数的最小正周期为 ，则 ，故B错误；当 时， ，又
，当 时， 有三个不同的零点；当 ， 有四个
不同的零点，则 在区间 上可能恰有4个零点,故C正确；当 时， ，
因为 ，所以 ，而 ，所以 在区间 上不单调递增，故D错
误，故选：AC.
【跟踪训练】1．已知 ， ，下列结论正确的是（ ）
A．若使 成立的 ，则
B．若 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称，则
C．若 在 上恰有6个极值点，则 的取值范围为
D．存在 ，使得 在 上单调递减
【答案】BC【详解】对于A，若 ，则 ，则 ，故A错误；
对于B，将 的图象向左平移 个单位长度后得到 ，若所得图
象关于 轴对称，则 ，得 ， ，所以 ，故B正确；对于C，由
，得 ，若 在 上恰有6个极值点，则 ，解得
，故C正确；对于D，由 ，得 ，因为 ，所以
在 上不可能单调递减，故D错误．故选：BC．
2．已知函数 ，其中 ，且 恒成立， 在 上单调，则 的
取值范围是 .【答案】 【详解】由题意知， ，则 ，即 ，解得 .由
， ，得 ，即 ，若函数 在
上单调递增，则 ，即 ，
，解得 ，则不等式组无解；若函数 在 上单调递减，则
，即 ， ，解得 ，
则 ，所以实数 的取值范围为 .故答案为：
3．已知函数 ， 的图象关于直线 对称，且 在 上单调，则 的最大
值为 .
【答案】 【详解】因为 的图象关于直线 对称，所以 ， ，解得 ，
，因为 在 上单调，所以 ，即 ，解得 ，当 时，，当 时， ，所以当 时， 单调递减，故
的最大值为 .故答案为： .
4．若函数 （ ）在区间 上单调递增，则 的取值范围 .
【答案】 【详解】由 ，得 ，取 ，
得 ，又由 在区间 上单调递增，则 ,即 ，又 ，
所以 的取值范围为 .故答案为： .
√3 π
f (T)= x=
5.记函数 f (x)=cos(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<π) 的最小正周期为T ，若 2 ， 9 为 f (x) 的零点，
则ω的最小值为_________.
√3 π
f (T)=cosϕ= ϕ=
【详解】由于ωT=2π，故 2 ，且0<ϕ<π，故 6 ，
(π) (π π) π π π
f =cos ω+ =0⇒ ω+ = +kπ(k∈Z)⇒ω=3+9k(k∈Z)
9 9 6 9 6 2 ，故 的最小值为3.
ω
考点七：三角函数图象的平移问题
解题思路：异名三角函数的平移：跟同名三角函数的平移基本上相同，区别在于需要根据诱导公式将其变
为同名三角函数的平移问题，再按同名三角函数平移平移思路进行平移.
【精选例题】
【例1】为了得到函数 的图象，可将函数
的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】D【详解】由已知
，设将函数 向左平移 个单位，
得 ，所以 ，解得 ，即将函数
向左平移 个单位长度可得 ，故选：D.
【例2】为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位 C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】B【详解】 将函数向左平移 个单位得：
故选：B
【例3】将函数 , 图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再把所
得图象向左平行移动 个单位长度，则得到的图象的解析式为 .
【答案】 【详解】 ，图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得函数
，再将图象上的点向左平移 个单位，得函数 .
故答案为：【例4】把函数 的图象向左平移 个单位，所得到的图象对应的函数为奇函数，
则 的最小值是 .
【答案】 .【详解】把函数 的图象向左平移 个单位，得到
.要使函数为奇函数，只需 ，所以 .因为 ，
所以当 时， 最小.故答案为： .
【跟踪训练】
1．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点（ ）
A．先向右平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
B．先向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）
C．先向右平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D．先向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）
【答案】A【详解】 ，将函数 的图象上所有的点向右平移 个单
位长度得到 ，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到
，故选： .2．要得到函数 的图象，需（ ）
A．将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B．将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）
C．将函数 图象上所有点向左平移 个单位．
D．将函数 图象上所有点向左平移 个单位
【答案】D【详解】将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到
的图象，故A错误；将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵
坐标不变），得到 的图象，故B 错误；将函数 图象上所有点向左平移 个单
位得到 图象，故C错误；D. 将函数 图象上所有点向左平移 个单位得到
的图象，故D正确.故选：D.
3．已知函数 ，将函数 的图象向右平移 个单位长度后与函数 的
图象重合，则 的值可以是 .
【答案】 （答案不唯一，只需满足 即可）【详解】因为，将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到
函数 ，所以， ，解得
.故答案为： （答案不唯一，只需满足 即可）
4.把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个
单位长度，得到函数 的图象，则
A. B. C. D.
【详解】函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的图象，
再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，根据已知得到了函数
的图象，所以 ，令 ,则
,所以 ,所以 .
考点八：三角函数图象加绝对值问题
解题思路：①分析奇偶性，周期性；②.去绝对值，写成分段函数；③画出草图，结合图象及对称性的定义
判断，包括代入必要的特值.
【精选例题】【例1】关于函数 有下列四个结论：
① 的图象关于原点对称；② 在区间 上单调递增；③ 的一个周期为 ；④ 在
是有四个零点；其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】A【详解】解：对于①，函数 的定义域为R，且
，所以函数 是奇函数，所以函数 的图象关于原
点对称，故①正确；对于②，当 时， ， ，所以 ，又
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，故②正确；对于
③，因为 ，所以 不是函数 的周期，故③不正确；
对于④，在 时，令 ，即 ，解得 ，共3个零点，故④不
正确；综上得正确命题的编号为：①②，故选：A.
【例2】已知函数 ，下列说法正确的有（ ）
A． 为最大值为3 B． 在 上单调递增
C． 为周期函数 D．方程 在 上有三个实根
【答案】CD【详解】对于A选项，由平方关系知 时， ， 时， ，所以
，所以 ，A选项错误；对于B选项，， ，则 ，故函数 在 上不是增函数，B选项错误；对于
C选项， ，故函数 为
周期函数，C选项正确；对于D选项，由 ，解得 或 或 ，
所以，方程 在 上有三个实根，D选项正确．故选：CD．
【例3】关于函数 的叙述正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 在区间 单调递減
C． 在 有4个零点 D． 是 的一个周期
【答案】ABD【详解】A.因为 的定义域为 ，又
，∴ 是偶函数，故A正确；B.当 时，
， 在 单调递减，故B正确；C.当 时，令
，得 或 ，又 在 上为偶函数， ∴ 在 上的
根为 ，0， ，有3个零点，故C错误；D.
，则 是 的一个周期，故D正确．故选：ABD.
【跟踪训练】1．关于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最大值为2
C． 在 上单调递减 D． 是 的一条对称轴
【答案】AD【详解】因为 ，所以
，所以 的最小正周期为 ，故A正确．当
时 取最大值，且最大值为 ，故B错误．当 时， ，所以函数 在
上单调递增，故函数 在 上单调递增，故C错误．因为
，所以 是 的一条对称轴，故D正
确.故选：AD
2．关于函数 ，下述结论正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 在区间 单调递减
C． 在 有5个零点 D． 的最大值为
【答案】ABD【详解】由函数 ，则 ，故函数
是偶函数，故A选项正确；当 ， ，所以函数 在区间 单调递减，故B选项正确；因为 ，所以 ，令 ， ，
当 时， ，当 时，有两个零点 ；当 时， ；因为函数
为偶函数，所以 在 有3个零点，故C选项错误；因为 ，故
的最大值为 ，故D选项正确.故选：ABD
3.已知函数 ，且函数 的最小正周期为 ，则下列关于函数
的说法，① ；②点 是 的一个对称中心；③直线 是函数 的一条
对称轴；
④函数 的单调递增区间是 .其中正确的（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
解析：因为函数 的最小正周期为 ，所以 ，所以①正确；函数
没有对称中心，且对称轴方程为 ，所以当 时，对称轴方程为 ，故②不正
确，③正确；令 ，解得 ，所以 的单调递
增区间是 ，故④正确.故选：D.
考点九：三角函数图象的综合运用
【精选例题】【例1】下面关于函数 的叙述中，正确的是（ ）
① 的最小正周期为 ；② 的对称中心为 ；③ 的单调增区间为
④ 的对称轴为
A．①③ B．②③④ C．②④ D．①③④
【答案】D【详解】 ，①，函数 的
最小正周期 ，①正确； 的定义域关于原点对称且
为偶函数， 的对称轴为 ∴②错误，④正确；当
，即 时， 单调递增，③正确.故选：D
【例2】已知函数 ，现给出下列四个结论：
① 为偶函数；② 的最小正周期为 ；③ 在 上单调递增；④ 在 内
有2个解．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【详解】因为 的定义域为R， ，所
以 为偶函数，①正确．由 ，可得 的最小正周期为 ，②错误．当 时，
函数 单调递增，值域为 ，当 时，函数 单调递增，故 在 上单调递增．当 时，函数 单调递增，值域为 ，当 时，函数 单调递减，
故 在 上单调递减，③错误． ，则 ， ，或 ， ．
当 时， ， 有两个解， ， 无解，故 在 内有
2个解，④正确．故选：B.
【例3】对于函数 给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
A．该函数是以 为最小正周期的周期函数；
B．当且仅当 时，该函数取得最小值 ；
C．该函数的图象关于直线 对称；
D．当且仅当 时，
【答案】CD【详解】函数 ,可得，当
， 时， ，当
， 时， ，则 的最小正周期为
，故A错误；画出 在一个周期内的图象，当 或 ， 时， 取得最小值
，故B错误；由图可知 的图象关于直线 对称，故C正确；当且仅当
时， ， 的最大值为 ，可得 ，故D正确．故选：CD．
【例4】已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是周期函数 B． 有对称轴 C． 有对称中心 D． 在 上单调递增
【答案】ACD【详解】因为 ，所以
，所以函数 为周期函数，A正确；因为
，所以 ，所以函数 为奇函
数，故函数 的图象关于原点对称，所以 为函数 的中心
对称，C正确；当 时，
，因为 ，
所以 ，所以函数 在 上单调递增，D正确；由 可得，当
时，由 ，可得 ，函数 在 上单调递增，当 ，由
，可得 ，函数 在 上单调递增，又 ， ，作
出函数 在 的大致图象可得：结合函数 是一个周期为 的函数可得函数 没
有对称轴，B错误.故选：ACD.
【跟踪训练】1．已知函数 ，则( )
A． 的图象关于 对称 B． 的最小正周期为 C． 的最小值为1 D． 的最大
值为
【答案】ACD【详解】 ，故选项A正确；∵
，故 为 的一个周期.当 时，
，此时 ，令 ，得
，故 .∵当 时， ；当 时， ，故 在
上单调递增，在 上单调递减，故 的最小正周期为 ，选项B错误；由上可知 在 上
的最小值为 ，最大值为 ，由 的周期性可知，选项CD均正确.故选：ACD.
2.已知函数 ，下列关于该函数结论错误的是（ ）
A． 的一个周期是 B． 的图象关于直线 对称
C． 的最大值为2 D． 是 上的增函数【答案】C【详解】依题意， ，因
此 的一个周期是 ，A正确；因为
，所以 的图象关于直线 对称，B正确；因为 ，则
，于是 ，C错误；当 时， 且单调递增，
函数 在 上单调递增，因此 在 上为增函数，当 时，函数
且单调递减，函数 在 上单调递减，因此 在 上为增函数，
所以函数 是 上的增函数，D正确.故选：C
3．已知 ，则下列选项中正确的是（ ）
A． B． 关于 轴对称
C． 关于 中心对称 D． 的值域为
【答案】AB【详解】A中，因为 ，所以
，所以A正确；B中，由A可得 ，
，所以 ，所以可得 是函数的对称
轴，所以B正确；C中，因为 ，而，所以对称轴为 ，所以C不正确；D中，因为
，所以 ，所以D不正确，故选：AB．
4．已知函数 ， ，则下列说法不正确的是（ ）
A． 与 的定义域都是 B． 为奇函数， 为偶函数
C． 的值域为 ， 的值域为 D． 与 都不是周期函数
【答案】ABD【详解】选项A， 与 的定义域都是 ，A错误；选项B，
， 为偶函数，
， 为偶函数，B错误；选项C， ，且
在 上单调递增，在 上单调递减， ； ，且 在
上单调递增， ，C正确；选项D，
， ，则 与
都是周期函数，故D错误；故选：ABD
