文档内容
专题 03 二次函数与角度（举一反三专项训练）
【人教版】
【题型1 二次函数与特殊角】..................................................................................................................................1
【题型2 二次函数与等角】....................................................................................................................................16
【题型3 二次函数与二倍角】................................................................................................................................29
【题型4 二次函数与角度和差倍分】....................................................................................................................45
【题型5 二次函数与角度之间关系】....................................................................................................................59
知识点 1 特殊角与等角
类型一 特殊角
图示
条件 ∠PAB=45°
构等腰Rt△ABQ，得△ABO≌△BQH⇒Q点坐标⇒直线PA解析式⇒P点坐标（联立
解题思路
直线PA与抛物线解析式）
类型二 等角⟶平行
图示
条件 ∠PBA=∠CAB
∠PBA=∠CAB⇒PB∥AC⇒直线AC和直线PB斜率相等⇒直线PB解析式⇒P点坐标
解题思路
（联立直线PB与抛物线解析式）
类型三 等角⟶全等
图示条件 ∠PBA=∠DBC，CD∥x轴，OC=OB
∠CBO=∠DCB=∠BCO=45°⇒△BCE≌△BCD⇒E点坐标⇒直线PB解析式⇒P
解题思路
点坐标（联立直线PB与抛物线解析式）
知识点 2 二倍角（一题多法）
类型一 二倍角⟶加倍
图示
条件 ∠PBA=2∠OAB
解题思路 翻折△BAO得△DAO⇒∠PBA=∠BAD⇒PB∥AD
类型二 二倍角⟶减半
图示
条件 ∠PBA=2∠OAB
解题思路 延长PB交x轴于点D⇒∠BDA=∠BAD⇒OA=OD
类型三 二倍角⟶减半
图示
条件 ∠PBA=2∠OAB
作AD⊥x作轴，交BP的延长线于点D，BH⊥AD于点H
解题思路
⇒∠DBH=∠ABH⇒AD=2OB
【题型1 二次函数与特殊角】
【例1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数y=x2−2tx−t−3．(1)求出该二次函数的顶点坐标（用含t的式子表示）；
(2)当0≤x≤3时，y的最小值为−5，求出t的值；
(3)如图，若该二次函数的图象过点B(5,0)，且与x轴交于另一点A，与y轴交于点C，在对称轴上是否存
在点P，使得∠APC=45°，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)顶点坐标为(t,−t2−t−3)
(2)t的值为1
(3)存在点P坐标为(2,−2+❑√13)或(2,−2−❑√13)时，∠APC为45°
【分析】（1）将y=x2−2tx−t−3化为顶点式即可解答．
（2）根据抛物线y=x2−2tx−t−3得对称轴为x=t．分为若t<0，当x=0时函数取最小值；若0≤t≤3，
当x=t时函数取最小值．若t>3，当x=3时函数取最小值，列方程求出t即可；
（3）由题意得：抛物线解析式为：y=x2−4x−5=(x−2) 2−9，则抛物线图象的对称轴为x=2，
p+5
C(0,−5)，根据题意，设P(2,p)，求出直线CP的解析式为y= x−5，过点A作AQ⊥AP交CP于
2
点Q，分别过点P，Q作x轴的垂线，垂足分别为E，F，分为当点P在x轴上方时，和当点P在x轴下方
时，分别画图求解即可．
【详解】（1）解：y=x2−2tx−t−3=(x−t) 2−t2−t−3，
则该二次函数的顶点坐标为(t,−t2−t−3)．
（2）解：抛物线y=x2−2tx−t−3对称轴为x=t．
若t<0，当x=0时函数取最小值，
∴−t−3=−5，解得：t=2（不符合题意，舍去）；若0≤t≤3，当x=t时函数取最小值，
∴−t2−t−3=−5，解得：t =−2，t =1；
1 2
∵0≤t≤3，
∴t=1．
若t>3，当x=3时函数取最小值，
11
∴9−6t−t−3=−5，解得：t= （不符合题意，舍去）；
7
综上所述，t的值为1．
（3）解：存在点P坐标为(2,−2+❑√13)或(2,−2−❑√13)时，∠APC为45°，
理由如下：
由题意得：0=52−2t·5−t−3，解得：t=2，
故抛物线解析式为：y=x2−4x−5=(x−2) 2−9，
则抛物线图象的对称轴为x=2，C(0,−5),A(−1,0)，
根据题意，设P(2,p)，直线CP的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将C(0,−5)，P(2,p)代入y=kx+b(k≠0)，
{ −5=b )
则 ，
p=2k+b
{ k=
p+5
)
解得 2 ，
b=−5
p+5
∴直线CP的解析式为y= x−5，
2
过点A作AQ⊥AP交CP于点Q，分别过点P，Q作x轴的垂线，垂足分别为E，F，
当点P在x轴上方时，如图，
∵∠APQ=45°，∠PAQ=90°，∴∠AQP=45°，
∴△AQP是等腰直角三角形，
∴AP=AQ，
∵∠PAE+∠QAE=∠PAE+∠APE=90°，
∴∠QAE=∠APE，
∵∠AEP=∠AFQ=90°，
∴△APE≌△QAF(AAS)，
∴PE=AF，AE=QF，
∵AE=OA+OE=1+2=3，PE=p，
∴AF=p，QF=3，
∴OF=AF−OA=p−1，
∴Q(p−1,−3)，
p+5 p+5
将Q(p−1,−3)代入y= x−5，则−3= (p−1)−5，
2 2
解得：p=−2+❑√13或p=−2−❑√13（舍去）；
当点P在x轴下方时，如图，
同理△APE≌△QAF(AAS)，
∴PE=AF，AE=QF，
∵AE=OA+OE=1+2=3，PE=−p，
∴AF=−p，QF=3，
∴OF=AF+OA=−p+1，
∴Q(p−1,−3)，
将Q(p−1,−3)，
b+5 (p+5)
代入y= x−5则−3= (p−1)−5，
2 2
解得：p=−2+❑√13（舍去）或p=−2−❑√13；综上，当点P坐标为(2,−2+❑√13)或(2,−2−❑√13)时，∠APC为45°．
【点睛】该题是二次函数综合题，涉及二次函数的图象和性质、二次函数最值、一次函数解析式、等腰直
角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
( 5 7)
【变式1-1】（24-25九年级上·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点P − , 的抛物线
2 6
2
y=− x2+bx+2．分别交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
3
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点Q是抛物线对称轴上一点，当△BCQ的周长取得最小值时，求点Q的坐标及△BCQ的周长．
5
(3)当M(m,0)，N(0,n)两点满足：− 0，且∠PMN=90°时，若符合条件的M点的个数有
2
2个，请直接写出n的取值范围．
2 4
【答案】(1)y=− x2− x+2
3 3
( 4)
(2)点Q的坐标为 −1, ，△BCQ的周长为❑√5+❑√13
3
75
(3)n的取值范围为00，解不等式结合已知条件n>0即可求
解．【详解】（1）解：∵P ( − 5 , 7) 在抛物线y=− 2 x2+bx+2上，
2 6 3
7 2 ( 5) 2 5
∴ =− × − − b+2
6 3 2 2
4
解得：b=− ，
3
2 4
∴抛物线的函数表达式为：y=− x2− x+2；
3 3
2 4 2 8
（2）∵y=− x2− x+2=− (x+1) 2+ ，
3 3 3 3
∴抛物线的对称轴为直线x=−1，
2 4
由− x2− x+2=0，得x =−3，x =1，
3 3 1 2
∴A(−3,0)，B(1,0)，
2 4
由− ×02− ×0+2= y得，y=2，
3 3
∴C(0,2)，
∴由勾股定理得，BC=❑√CO2+BO2=❑√22+12=❑√5，
AC=❑√CO2+AO2=❑√22+32=❑√13，
∵A,B两点关于对称轴对称，
∴连接AC，交对称轴于点Q，连接BQ，如图，
∴AQ=BQ
，
∴BQ+CQ=AQ+CQ=AC，由两点之间，线段最短，此时BQ+CQ取得最小值，即为AC的长，
∵BC是定值，
∴△BCQ的周长此时最小为❑√5+❑√13，
设直线AC的函数表达式为y=kx+c，
∴¿，解得¿，2
∴y= x+2，
3
4
当x=−1时，y= ，
3
( 4)
∴点Q的坐标为 −1, ；
3
( 5 7)
（3）解：∵M(m,0),N(0,n),P − , ，
2 6
∴PM2= (7) 2 + ( m+ 5) 2 ,PN2= (5) 2 + ( n− 7) 2 ，M N2=m2+n2，
6 2 2 6
∵∠PMN=90°，
∴PM2+M N2=PN2，
∴ (7) 2 + ( m+ 5) 2 +m2+n2= (5) 2 + ( n− 7) 2 ，
6 2 2 6
7
整理得：2m2+5m+ n=0，
3
∵符合条件的M点的个数有2个，
∴Δ>0，
7
∴b2−4ac=25−4×2× n>0，
3
75
解得：n< ，
56
∵n>0，
75
∴n的取值范围为00，
将x=0代入y=ax2−2ax−3a中，得y=−3a，
∴点C(0,−3a)，
∴OC=−3a，
令y=0，即ax2−2ax−3a=0，
解得x =−1，x =3，
1 2
∵点A在点B的左侧，
∴点A(−1,0)，B(3,0)，
∴OB=3，
∴−3a=−3，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
（2）解：如图，当点P在第一象限抛物线上时，∠BCP=∠ACO，过点A作AH⊥CP于H，
∵A(−1,0) B(3,0)
， ，
∴OA=1，OB=3，
∴AC=❑√32+12=❑√10，∵OC=3，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠BCP=∠ACO，
∴∠ACH=∠OCB=45°，
❑√2
∴AH= AC=❑√5，
2
1 1
∵S = AK⋅OC= CK⋅AH，
△ACK 2 2
AK AH ❑√5
∴ = = ，
CK OC 3
设AK=❑√5m，CK=3m，OK=❑√5m−1，
在Rt△COK中，OC2+OK2=CK2，
∴32+(❑√5m−1) 2=(3m) 2，
❑√5
解得m= 或−❑√5（负值不合题意，舍去），
2
(3 )
∴K ,0 ，
2
设直线CK的解析式为y=cx+d，
{
d=−3
) {d=−3)
∴ 3 ，解得 ，
c+d=0 c=2
2
∴直线CK解析式为y=2x−3，
∴P(n,2n−3)
∵P在抛物线y=x2−2x−3上，
∴2n−3=n2−2n−3，解得n=0（不合题意，舍去）或4，
∴P(4,5)；
（3）解：设Q(m,m2−2m−3)，
∵B(3,0)，
设直线BQ的解析式为y=kx+b，
{ 3k+b=0 ) { k=m+1 )
∴ ，解得 ，
mk+b=m2−2m−3 b=−3(m+1)∴直线BQ的解析式为y=(m+1)x−3(m+1)，
∴M(0,−3m−3)，
同理得：直线AQ的解析式为y=(m−3)x+(m−3)，
∵NB∥AQ，
设BN的解析式为y=(m−3)x+n，
∵B(3,0)，
∴0=3(m−3)+n，解得n=−3m+9，
∴BN的解析式为y=(m−3)x−3m+9，
∴N(0,−3m+9)，
∴线段MN的长度为−3m+9−(−3m−3)=12，
∴线段MN的长度不会改变，线段MN的长度为12．
【点睛】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、三角形的面积、勾股
定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐
标的意义表示线段的长度是解题的关键．
( 3)
【变式2-3】（2025·四川南充·一模）如图，顶点为A的拋物线经过B(5,4),C(7,−2),D 0, ．Rt
2
△ABE的顶点E在x轴正半轴上．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求点E的坐标．
(3)在拋物线上求出点P，使∠PBE=∠AEB．
1 3
【答案】(1)抛物线解析式为y=− x2+3x+
2 2
(2)E(1,0)
(1 22)
(3)点P的坐标为(−5,−26)或 ,
3 93
【分析】（1）已知抛物线上的点D在y轴上，可设抛物线的一般式y=ax2+bx+ ，再将点B、C的坐标
2
代入，得到关于a、b的方程组，求解方程组即可得到抛物线的解析式．
（2）先根据（1）中求出的抛物线解析式确定顶点A的坐标，结合图像可知∠ABE=90°，通过延长AB
与x轴交于点F，作BG⊥x轴于G，利用全等三角形的性质求出点F的坐标，再求出直线AB的解析式，进
而求出直线AB与x轴正半轴的交点E的坐标．
（3）分两种情况讨论，一是当PB∥AE时，先求出直线AE的解析式，再根据两直线平行斜率相等求出直
线PB的解析式，最后联立直线PB与抛物线的解析式求出点P的坐标；二是利用角的关系，通过中点构造
全等三角形，求出相关直线解析式，再联立直线与抛物线解析式求出点P的坐标．
( 3)
【详解】（1）解：∵D 0, 在y轴上，
2
3
∴可设抛物线为y=ax2+bx+ .
2
3
{ 25a+5b+ =4, )
2
将A,B的坐标代入，得 ．
3
49a+7b+ =−2.
2
1
解得a=− ,b=3．
2
1 3
∴抛物线解析式为y=− x2+3x+ ．
2 2
1 3 1
（2）解：由（1），y=− (x2−6x)+ =− (x−3) 2+6．
2 2 2
∴A(3,6)．
如图1，由所给数据，结合图象，只能∠ABE=90°．
延长AB与x轴交于F，作BG⊥x轴于G．则∠EBF=90°．
设直线AB表达式为y=kx+d．则{3k+d=6)
，
5k+d=4
解得k=−1,d=9，
∴直线AB表达式为y=−x+9．
当y=0时，x=9，
∴F(9,0)．
∵B(5,4),
∴BG=4,FG=9−5=4．
∴BG=FG.
∴∠1=45°.
∴∠2=45°=∠1．
∴EG=FG=4，
∴OE=5−4=1．
∴E(1,0)．
（3）解：如图2，①当PB∥AE时，∠4=∠3．
设直线AE表达式为y=px+e．则
{3p+e=6)
，解得p=3,e=−3，
p+e=0
∴直线AE表达式为y=3x−3．
设直线PB表达式为y=3x+f．
则3×5+f =4．
∴f =−11．
∴ PB y=3x−11
直线 表达式为 ．
1 3
由y=− x2+3x+ =3x−11，
2 2
整理，得x2=25，
∴x=5，或x=−5．当x=−5时，y=−26．
∴P(−5,−26)．
②由（2），得AE中点H(2,3)．
此时HB=❑√(5−2) 2+(4−3) 2=❑√10,HE=❑√(2−1) 2+(0−3) 2=❑√10，
∴HB=HE
∴∠5=∠3．
设直线HB表达式为y=tx+g．则
{2t+g=3)
，
5t+g=4
1 7
解得t= ,g= ．
3 3
1 7
∴直线HB表达式为y= x+ ．
3 3
1 3 1 7
由y=− x2+3x+ = x+ ，
2 2 3 3
1
整理，得3x2−16x+5=0．解得x=5，或x= ．
3
1 22
当x= 时，y= ，
3 9
(1 22)
∴P , ．
3 9
(1 22)
综上，点P的坐标为(−5,−26)，或 ,
3 9
【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，以及
直线与抛物线的交点问题．熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能根据几何关系（如平行、垂直、
角相等）构造全等三角形或利用直线斜率关系，以及联立函数解析式求交点坐标，是解题的关键．
【题型3 二次函数与二倍角】
【例3】（2025·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交
于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C(0,−3)，其顶点的横坐标是−1．(1)b= ________，c= ________；
(2)已知一次函数y=kx−3（k为常数）的图象为直线l，直线l与x轴交于点D．
①连接BC，若S <6，求k的取值范围；
△BCD
②当直线l与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点P，使得直线PC与CD所夹的锐角
是∠DCO的2倍？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2；−3
3 ( 20 403)
(2)①k<−1或k> 且k≠3；②(4,5)或 − ,−
5 11 121
【分析】（1）根据顶点横坐标可得对称轴为直线x=−1，再由对称轴计算公式可得b的值，把点C坐标代
入解析式即可求出c的值；
（2）①先求出OC=3，再求出B(1,0)，根据S <6，可得BD<4；则可求出−3 且k≠3；
△BCD 5
{y=x2+2x−3)
②联立 得x2+(2−k)x=0，
y=kx−3
∵直线l与该抛物线有且只有一个公共点，
∴关于x的方程x2+(2−k)x=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(2−k) 2−4×1×0=0，∴k=2，
∴直线l解析式为y=2x−3，
3
在y=2x−3中，当y=2x−3=0时，x= ，
2
(3 )
∴D ，0 ，
2
3
∴OD= ；
2
( 3 )
如图所示，取H − ,0 ，作直线CH，
2
3
∴OH=OD= ，
2
又∵OC=OC，∠COH=∠COD=90°，
∴△COH≌△COD(SAS)，
∴∠OCH=∠OCD，
∴∠BCD=2∠OCD，
∴直线CH与直线CD所夹的锐角是∠DCO的2倍，
∴直线CH与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；
设直线CH解析式为y=k x+b ，
1 1
{ − 3 k +b =0)
∴ 2 1 1 ，
b =−3
1
{k =−2)
1
∴ ，
b =−3
1
∴直线CH解析式为y=−2x−3，
{ y=−2x−3 ) {x=−4) { x=0 )
联立 ，解得 或 ，
y=x2+2x−3 y=5 y=−3
∴此时点P的坐标为(4,5)；如图所示，过点D作DI∥CH，过点D作∠DCI=∠DCH交直线DI于I，
∴∠CDI=∠DCH=∠DCI，
∴CI=DI，
∵∠DCI=∠DCH=2∠OCD
∴直线CI与直线CD所夹的锐角是∠DCO的2倍，
∴直线CI与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；
∵DI∥CH，
∴可设直线DI解析式为y=−2x+b ，
2
3
∴0=−2× +b ，
2 2
∴b =3，
2
∴直线DI解析式为y=−2x+3，
设I(m,−2m+3)，
∴DI2= ( m− 3) 2 +(−2m+3−0) 2 ，CI2=(m−0) 2+(−2m+3+3) 2，
2
∵CI=DI，
∴CI2=DI2，
∴ ( m− 3) 2 +(−2m+3−0) 2=(m−0) 2+(−2m+3+3) 2 ，
2
11
解得m= ，
4
5
∴−2m+3=− ，
2
(11 5)
∴I ,− ，
4 22
同理可得直线CI解析式为y= x−3，
11
20
{ y= 2 x−3 ) { x=− 11 ) { x=0 )
联立 11 ，解得 或 ，
403 y=−3
y=x2+2x−3 y=−
121
( 20 403)
∴此时点P的坐标为 − ,− ；
11 121
( 20 403)
综上所述，点P的坐标为(4,5)或 − ,− ．
11 121
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，全等三角形的性质与
判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于利用分类讨论的思想求解即可．
【变式3-1】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知抛物线y=x2−4x+c，与x轴交于点A和点B（A在B的左
侧），与y轴交于点C，且OC=3OA，抛物线的顶点为P．
(1)直接写出这条抛物线的解析式_____和顶点P的坐标_____；
(2)若点M在此抛物线上，MF⊥x轴于点F，MF与直线PQ相交于点E，设点M的横坐标为t(t>3)，且
ME:EF=2:1，求点M的坐标；
(3)在（2）的基础上，在直线AM上是否存在一点N，使直线PN与直线AM的夹角等于∠AMP的2倍．
若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2−4x+3；P(2,−1)
(2)M(4,3)
(7 4) ( 1 4)
(3)存在点N的坐标为N , ，N − ,−
1 3 3 2 3 3
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，两点
间距离公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
(1 )
（1）先求出A c,0 ，再将其代入y=x2−4x+c，即可求解c，得到抛物线解析式，再配方求解顶点坐
3标即可；
（2）先求出y =x−3 设M(t,t2−4t+3)，则E(t,t−3)，由ME:EF=2:1建立方程求解即可；
PB
（3）先求y =x−1，设N(m,m−1)，当∠PN A=2∠AMP时，导角得到PN =M N ，由两点间距
AM 1 1 1
离公式建立方程求解；当∠PN A=2∠AMP时，则PN =PN ，由两点间距离公式建立方程求解即
2 2 1
可．
【详解】（1）解：当x=0,y=c，
∴C(0,c)，
∴OC=c，
∵OC=3OA，
(1 )
∴A c,0 ，
3
(1 )
将A c,0 代入y=x2−4x+c，
3
1 4
则： c2− c+c=0
9 3
解得：c=3或c=0（舍），
∴抛物线解析式为y=x2−4x+3；
而y=(x−2) 2−1，
∴P(2,−1)；
（2）解：当y=0，则x2−4x+3=0，
解得：x =1,x =3，
1 2
∴B(3,0)，A(1,0)
设直线PB表达式为：y =kx+b，
PB
代入点P,B得，
{ 3k+b=0 )
，
2k+b=−1
{ k=1 )
解得： ，
b=−3
∴y =x−3
PB
设M(t,t2−4t+3)，则E(t,t−3)
∵ME:EF=2:1，∴(t2−4t+3−t+3):(t−3)=2:1，
解得：t =4，t =3（舍）
1 2
∴M(4,3)；
（3）解：存在，理由如下：
∵A(1,0)，M(4,3)，
∴同理可求y =x−1，设N(m,m−1)，
AM
如图：当∠PN A=2∠AMP时，
1
∴∠3=2∠1=∠1+∠2，
∴∠1=∠2，
∴PN =M N ，
1 1
∴(m−2) 2+(m−1+1) 2=(m−4) 2+(m−1−3) 2，
7
解得：m=
3
(7 4)
∴N , ；
1 3 3
②当∠PN A=2∠AMP时，
2
即∠3=∠4，
∴PN =PN ，
2 1
∴(n−2) 2+(n−1+1) 2= (7 −2 ) 2 + (4 +1 ) 2 ，
3 3
7 1
解得：n = （舍），n =−
1 3 2 3( 1 4)
∴N − ,−
2 3 3
(7 4) ( 1 4)
综上所述，存在点N的坐标为N , 或N − ,− ．
1 3 3 2 3 3
【变式3-2】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图，抛物线y=x2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两
点，与y轴交于点C(0,−3)，且过点(−2,5)．
(1)求抛物线解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点P使PA+PC最小，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理
由．
(3)点M是抛物线上的一点，连接BC、CM，当∠ABC=2∠BCM时，求点M的坐标．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)(1,−2)
(3)(3+❑√2,2+4❑√2)或(1+❑√2,−2)
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先求出A(−1,0)，B(3,0)，则有直线BC解析式为y=x−3；再求出对称轴为直线x=1；连接
PA，PC，PB，由对称性可得PA=PB，则PA+PC=PB+PC，当P、B、C三点共线时，PB+PC的
值最小，即此时PA+PC的值最小，据此求出直线BC与对称轴的交点坐标即可得到答案；
（3）分点M在x轴上方和下方两种情况，根据∠ABC=2∠BCM构造角平分线讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,−3)，且过点(−2,5)，
{4−2b+c=5)
∴ ，
c=−3
{b=−2)
∴ ，
c=−3
∴抛物线解析式为y=x2−2x−3；
（2）解：在y=x2−2x−3中，当y=x2−2x−3=0时，解得x=3或x=−1，∴A(−1,0)，B(3,0)，
设直线BC解析式为y=kx+b′，
{3k+b′=0)
∴ ，
b′=−3
{ k=1 )
∴ ，
b′=−3
∴直线BC解析式为y=x−3；
∵抛物线解析式为y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，
∴对称轴为直线x=1；
如图所示，连接PA，PC，PB，
由对称性可得PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC，
∴当P、B、C三点共线时，PB+PC的值最小，即此时PA+PC的值最小，
在y=x−3中，当x=1时，y=−2，
∴当PA+PC的值最小时， 点P的坐标为(1,−2)；
（3）解：如图所示，当点M在x轴上方时，设CM交x轴于G，过点G作GH⊥BC于H，
∵B(3,0)，C(0,−3)，
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠ABC=2∠BCM，
∴∠OCB=2∠BCM，
∴CM平分∠OCB，
∵OG⊥OC，CH⊥BC，∴OG=HG，
在Rt△OBC中，由勾股定理得BC=❑√OC2+OB2=3❑√2，
∵S =S +S ，
△OBC △OCG △BCG
1 1 1
∴ ×3×3= ×3OG+ ×3❑√2HG，
2 2 2
9 3 3❑√2
∴ = OG+ OG，
2 2 2
∴OG=3❑√2−3，
∴G(3❑√2−3,0)，
设直线CG解析式为y=k x+b ，
1 1
{(3❑√2−3)k +b =0)
∴ 1 1 ，
b =−3
1
{k =❑√2+1)
∴解得 1 ，
b =−3
1
∴直线CG解析式为y=(❑√2+1)x−3，
{y=(❑√2+1)x−3) { x=3+❑√2 ) { x=0 )
联立 ，解得 或 ，
y=x2−2x−3 y=2+4❑√2 y=−3
∴此时点M的坐标为(3+❑√2,2+4❑√2)；
如图所示，当点M在x轴下方时，如图所示，取K(3,−3)，连接CK，BK，设直线CM交BK于L，
∴CK∥OB，CK⊥BK，∴∠BCK=∠ABC，
同理可得CM平分∠KCB，
∴同理可得LK=3❑√2−3，
∴BL=BL−LK=3−(3❑√2−3)=6−3❑√2，
∴L(3,3❑√2−6)，
同理可得直线CL解析式为y=(❑√2−1)x−3，
{y=(❑√2−1)x−3) {x=1+❑√2) { x=0 )
联立 ，解得 或 ，
y=x2−2x−3 y=−2 y=−3
∴此时点M的坐标为(1+❑√2,−2)；
综上所述，点M的坐标为(3+❑√2,2+4❑√2)或(1+❑√2,−2)．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，角平分线的性质等等，利用分类讨论的思
想求解是解题的关键．
【变式3-3】（2025·四川绵阳·三模） 如图，抛物线y=ax2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原
点的左侧，点B在原点的右侧)，与y轴交于点C，OB=OC=3．
(1)求该抛物线的函数解析式．(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当
S :S =3:2时，求点D的坐标．
△COF △CDF
( 3)
(3)如图2，点E的坐标为 0,− ，点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE，是否存在点P，使
2
∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)(1,4)或(2,3)
( 1 7) ( 13 209) (5+❑√97 17+❑√97)
(3)存在，P的坐标 − , 或 − ,− 或(1,4)或 ,−
2 4 2 4 4 8
【分析】（1）由OB=OC=3及图像可得B、C两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可；
3 5
（2）由题意得出S ❑ = S ，进而得到点D、F横坐标之间的关系为x = x ，设F点横坐标为3t
△ COF 5 △COD D 3 F
，则D点横坐标为5t，待定系数法求出直线BC的解析式为y=−x+3，设F(3t,3−3t)，待定系数法求出
1−t
直线OF所在的直线表达式为：y= x，推得点D(5t,5−5t)，将D点坐标代入抛物线，即可求出点D
t
的坐标；
（3）当∠PBE=2∠OBE时，分为点P在x轴上方和点P在x轴下方，两种情况进行讨论，结合全等三角
( 3)
形的判定和性质得出点E′的坐标为 0, ，根据待定系数法求求出直线BE′的解析式；联立方程组，求出
2
P 的坐标，结合平行线的性质与等角对等边的性质得出FE=BF，结合一次函数的平移得出直线EF解析
1
式，结合勾股定理即可求出点F的坐标，根据待定系数法求出直线BF的解析式，联立方程组，求出P 的
2
坐标；当∠PEB=2∠OBE时，分为点P在x轴上方和点P在x轴下方，两种情况进行讨论，根据等角对等
边得出EG=BG，结合勾股定理即可求出点G的坐标，待定系数法求出直线EG的解析式，联立方程组，
即可求出点P 的坐标，结合一次函数的平移得出直线EP 的解析式，联立方程组，即可求出点P 的坐
3 4 4
标．
【详解】（1）解：∵OB=OC=3，
∴B(3,0)，C(0,3)，
把B、C坐标代入y=ax2+2x+c(a<0)得
{9a+6+c=0)
，
c=3
{a=−1)
解得： ，
c=3∴抛物线解析式：y=−x2+2x+3；
（2）解：∵S :S =3:2，
△COF △CDF
3 5
∴S ❑ = S ，即：x = x ，
△ COF 5 △COD D 3 F
设F点横坐标为3t，则D点横坐标为5t，
设直线BC的解析式为：y=kx+3(k≠0)，把B(3,0)代入得，3k+3=0，
解得：k=−1，
∴BC所在的直线表达式为：y=−x+3，
∵点F在直线BC上，
∴F(3t,3−3t)，
设直线OF的函数表达式为：y=mx，把F(3t,3−3t)代入得：3t×m=3−3t，
1−t
解得：m= ，
t
1−t
∴直线OF所在的直线表达式为：y= x，
t
则点D(5t,5−5t)，
把D点坐标代入抛物线解析式得：−(5t) 2+2×5t+3=5−5t，
1 2
解得：t= 或 ，
5 5
则点D的坐标为(1，4)或(2，3)；
（3）解：①当∠PBE=2∠OBE，
若点P在x轴上方，此时点∠P BE=2∠OBE，直线BP 交y轴于点E′，
1 1
若点P在x轴下方，此时点∠P BE=2∠OBE，过点E作EF∥BE′交BP 于点F，过点F作FH⊥y轴交
2 2
于点H，作BK⊥HF于点K，如图：∵∠P BE=2∠OBE，
1
∴∠E′BO=∠EBO，
∵∠E′OB=∠EBO=90°，∠E′BO=∠EBO，BO=BO，
∴△E′BO≌△EBO(AAS)，
3
∴E′O=EO=
，
2
( 3)
∴点E′的坐标为 0, ，
2
设直线BE′的解析式为：y=nx+t，
把B(3,0)，E′(
0,
3)
代入得：
{ 3
2
=t )
，
2
3n+t=0
1
{ n=− )
2
解得： ，
3
t=
2
1 3
∴直线BE′的解析式为y=− x+ ；
2 2
1 3
∵直线BP 过点B、E′，则直线BP 的解析式为：y=− x+ ，
1 1 2 2
{y=−x2+2x+3)
联立 1 3 ，
y=− x+
2 21
{ x=− )
2 {x=3)
解得： 或 （舍去），
7 y=0
y=
4
( 1 7)
∴点P 的坐标为 − , ；
1 2 4
∵EF∥BE′，
∴∠FEB=∠EBE′，
∴∠FEB=∠EBE′=2∠OBE，
又∵∠P BE=2∠OBE，
2
∴∠FEB=∠EBF ，
∴FE=BF ，
∵EF∥BE′，EE′=2EO=3，
故直线EF可以看成直线BE′向下平移3个单位得到的，
1 3 1 3
即直线EF的解析式为：y=− x+ −3=− x− ，
2 2 2 2
( 1 3)
故设F b,− b− ，
2 2
∵BK⊥OB，HK⊥OE，
( 1 3) ( 1 3)
∴H 0,− b− ，K 3,− b− ，
2 2 2 2
3 ( 1 3) 1 ( 1 3) 1 3
∴EH=− − − b− = b，FH=b，BK=0− − b− = b+ ，FK=3−b，
2 2 2 2 2 2 2 2
在Rt△EFH与Rt△BFK中，EF=BF，
即EF2=BF2，
∴b2+ (1 b ) 2 =(3−b) 2+ (1 b+ 3) 2 ，
2 2 2
5
解得：b= ，
2
(5 11)
则点F的坐标为 ,− ，
2 4
设直线BF的解析式为：y=dx+e，
(5 11)
{5
d+e=−
11
)
把B(3,0)，F ,− 代入得： 2 4 ，
2 4
3d+e=011
{ d= )
2
解得： ，
33
e=−
2
11 33
∴直线BF的解析式为y= x− ；
2 2
11 33
∵直线BP 过点B、F，则直线BP 的解析式为y= x− ，
2 2 2 2
{y=−x2+2x+3)
联立 11 33 ，
y= x−
2 2
13
{ x=− )
2 {x=3)
解得： ， (舍去)，
209 y=0
y=−
4
( 13 209)
则点P − ,− ；
2 2 4
②当∠PEB=2∠OBE时，
若点P在x轴上方，此时点∠P EB=2∠OBE，直线EP 与BE′交于点G，过点G作GM⊥y轴交于点M
3 3
，过点B作作BN⊥x轴交GM于点N，
若点P在x轴下方，此时点∠P EB=2∠OBE，如图：
4
∵∠EBE′=2∠OBE，∠P EB=2∠OBE，
3
∴∠EBE′=∠P EB ，
3
∴EG=BG ，
1 3
由①知，直线BE′的解析式为y=− x+ ，
2 2
( 1 3)
故设G f ,− f + ，
2 2∵GM⊥OE，BN⊥OB，
( 1 3) ( 1 3)
∴M 0,− f + ，N 3,− f + ，
2 2 2 2
1 3 1 3 ( 3) 1
∴GM=f，GN=3−f，BN=− f + ，ME=− f + − − =− f +3，
2 2 2 2 2 2
在Rt△EGM与Rt△GBN中，EG=BG，
∴f2+ ( − 1 f +3 ) 2 =(3−f) 2+ ( − 1 f + 3) 2 ，
2 2 2
1
解得：f = ，
2
(1 5)
则点G的坐标为 , ，
2 4
设直线EG的解析式为：y=gx+ ℎ，
3
{
ℎ
=− )
( 3) (1 5) 2
把E 0,− ，G , 代入得： ，
2 2 4 1 5
g+
ℎ
=
2 4
11
{ g= )
2
解得： ，
3
ℎ
=−
2
11 3
∴直线EG的解析式为y= x− ；
2 2
11 3
∵直线EP 过点E、G，则直线EP 的解析式为y= x− ，
3 3 2 2
{y=−x2+2x+3)
联立 11 3 ，
y= x−
2 2
9
{ x=− )
{x=1) 2
解得： 或 （舍去），
y=4 105
y=−
4
∴点P 的坐标为(1,4)；
3
∵∠P EB=2∠OBE，∠EBE′=2∠OBE，
4
∴∠P EB=∠EBE′，
4∴EP ∥BE′ ，
4
故直线EP 可以看成直线BE′向下平移3个单位得到的，
4
1 3 1 3
即直线EP 的解析式为：y=− x+ −3=− x− ，
4 2 2 2 2
{y=−x2+2x+3)
联立 1 3 ，
y=− x−
2 2
{ x=
5+❑√97
) { x=
5−❑√97
)
4 4
解得： 或 （舍去），
17+❑√97 −17+❑√97
y=− y=
8 8
(5+❑√97 17+❑√97)
∴点P 的坐标为 ,− ；
4 4 8
( 1 7) ( 13 209) (5+❑√97 17+❑√97)
综上所述，点P的坐标 − , 或 − ,− 或(1,4)或 ,− ．
2 4 2 4 4 8
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，三角形
的面积，求一次函数与二次函数的交点坐标，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的平移，等
角对等边等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进
行求解．
【题型4 二次函数与角度和差倍分】
【例4】（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx经过点
(3,3)．点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、m+1，已知点M(1,1)，作点A关于点M的对称点
C，作点B关于点M的对称点D，构造四边形ABCD．(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)当A,B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标；
(3)设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G．当0y ，最高点为B，纵坐标差为：(m2−1)−(−1)=m2= ，
2 B A 2
❑√2
解得：m= ．
2
❑√2 ❑√2
综上，m的值为1− 或 ．
2 2
（4）∵点C是点A关于点M的对称点，点D是点B关于点M的对称点，结合题意可知：
x +x y + y x +x y + y
∴ A C =1， A C =1， B D=1， B D=1，
2 2 2 2
∴A(m,m2−2m)，B(m+1,m2−1)，C(2−m,−m2+2m+2)，D(1−m,−m2+3)，如图，四边形ABCD是平行四边形，当点O在AD,BC之间，AB的左侧，过点O作OH∥AD
∴AD∥BC∥OH
∴∠OAD=∠HOA,∠OBC=∠BOH
∴∠AOB=∠HOA+∠HOB=∠OAD+∠OBC
当点O在AD上时，
∴k =k
AO OD
y y
∴ A = D
x x
A D
m2−2m −m2+3
=
m 1−m
5
解得m= ，m≠0,1
3
当点O在BC上时
∴k =k ，
BO CO
y y
∴
B= C
，
x x
B C
m2−1 −m2+2m+2
∴ = ，
m+1 2−m
解得m=4，m≠−1,2．
其中m=0，m=1，m=2时，如图，经检验符合∠AOB=∠OAD+∠OBC，5
综上， 0)交x轴于A(−1,0),B
1
两点，交y轴于C．(1)直接写出点B，C的坐标；
(2)如图1，设点N在y轴上，满足∠OCA+∠ANO=∠ABC，求点N的坐标；
(3)如图2，将抛物线C 平移得到抛物线C ，抛物线C 的顶点为坐标原点，直线y =−2x与抛物线C 交于
1 2 2 2
O，M两点，过OM的中点K作直线RQ（异于直线OM）交抛物线C 于R，Q两点，直线QO与直线MR
2
交于点H．探究：点H是否一定在某条确定直线上？若是，求出该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】(1)B(3,0),C(0,−3)
(2)点N的坐标为(0,2)或(0,−2)
(3)是，点H一定在某直线上，直线为y=−2x−2
【分析】（1）把点A坐标代入抛物线解析式求出m，进而得到抛物线表达式，再分别求与x轴、y轴交点
坐标．
（2）分点N在y轴正、负半轴两种情况．利用角度关系构造全等三角形，求出相关点坐标，进而得到直线
解析式，确定N点坐标．
（3）先确定抛物线C 解析式，求出M、K坐标，设出R、Q坐标，求出直线RQ、MR、OQ解析式，联
2
立求解H坐标，探究其所在直线．
【详解】（1）解：将A(−1,0)代入y=x2−2mx−3m2，得
1+2m−3m2=0，
(3m+1)(−m+1)=0，
∵m>0，
∴m=1．
抛物线解析式为y=x2−2x−3．
令y=0，x2−2x−3=0，解得x=3或x=−1，
∴B(3,0)．令x=0，y=−3，
∴C(0,−3)．
故答案为：B(3,0),C(0,−3)；
（2）解： 由（1）已求得m=1
∴抛物线C :y=x2−2x−3，A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3) ．
1
要满足∠OCA+∠ANO=∠ABC，分点N在y轴正半轴、负半轴两种情况讨论：
① 当点N在y轴正半轴时
∵B(3,0)，C(0,−3)，∠BOC=90°（x轴与y轴垂直 ），且OB=OC=3（B到原点距离为3，C到原点
距离为3 ），
∴∠OBC=∠OCB=45°，即∠ABC=45° ．
∵∠OCA+∠ANO=∠ABC=45°，过点C作AC的垂线交直线NA于点Q，过Q作QH⊥y轴于H ．
∵∠ACQ=90°（所作垂线 ），∠QAC=∠OCA+∠ANO=45°，
∴在△AQC中，∠QAC=∠AQC=45°，
∴AC=QC ．
∵∠AOC=∠QHC=90°（QH⊥y轴，x轴与y轴垂直 ），
∴∠OAC+∠OCA=90°，∠HCQ+∠OCA=90°（∠ACQ=90° ），
∴∠OAC=∠HCQ ．
在△AOC和△CHQ中：
¿
∴△AOC≌△CHQ ．
∴AO=CH，OC=HQ ．
∵A(−1,0)，C(0,−3)，
∴AO=1，OC=3，
∴CH=1，HQ=3 ．∵C(0,−3)，CH=1且Q在y轴左侧，
∴H点纵坐标为−3−1=−4，Q点横坐标为−3（HQ=3且QH⊥y轴 ），即Q(−3,−4) ．
设直线AQ的解析式为y=px+q（k为斜率，b为截距 ），
把A(−1,0)，Q(−3,−4)代入得：
¿
解得p=2 ，q=2．
∴直线AQ的解析式为y=2x+2．
∵点N在y轴上，令x=0，则y=2×0+2=2，
∴N(0,2) ．
② 当点N在y轴负半轴时
根据对称性（y轴正负半轴关于原点对称，角度关系、构造全等的逻辑类似 ），同理
∴N(0,−2) ．
综上，点N的坐标为(0,2)或(0,−2) ．
（3）解：抛物线C 的解析式为y=x2，
2
联立¿解得，x=−2或x=0
∴M(−2,4) K(−1,2)
设Q(m,m2),R(n,n2)，直线RQ的解析式为y =kx+b，
1
将Q(m,m2),R(n,n2)，代入y =kx+b，得
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¿，
解得，¿
∴y =(m+n)x−mn；
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将K(−1,2)代入得，2=−(m+n)−mn，即mn=−2−m−n；
同理可求，直线MR的解析式为y =(n−2)x+2n，直线OQ的解析式为y =mx，
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联立直线MR、直线OQ解析式，得，(n−2)x+2n=mx，
−2n −2mn
解得x= , y= ,
n−2−m n−2−m
( −2n −2mn )
∴H ,
n−2−m n−2−m
−2mn −2n
设点H在直线y=px+q上，则 =p⋅ +q，
n−2−m n−2−m
整理得，2m+2n+4=−qm+(q−2p)n−2q，比较系数得，¿，
解得，p=−2,q=−2．
−2mn −2n
∴当p=−2,q=−2时，无论m，n为何值时， =p⋅ +q恒成立，
n−2−m n−2−m
∴点H一定在直线y=−2x−2上，
直线解析式为y=−2x−2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、一次函数解析式求解及直线
交点问题，熟练掌握二次函数与坐标轴交点求法、全等三角形构造、函数解析式联立求解是解题的关键．
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【变式4-3】（2025·重庆开州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c(a≠0)交x轴于
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A(−4,0)，B(8,0)两点，交y轴于C，连接AC，BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，点E和点F是直线
BC上的两个动点（点F在点E的下方），且EF=❑√5，连接AF，EP，当PH有最大值时，求
AF+EF+EP的最小值；
(3)将抛物线沿射线CB方向平移2❑√5个单位得新抛物线y′，点Q是新抛物线y′上的一点，连接QB，当
∠QBC=∠ABC+∠ACO时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标．
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【答案】(1)y= x2− x−4
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(2)❑√61+❑√5
(3)点Q的横坐标为−22+2❑√229或2−2❑√13
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）待定系数法求出直线BC的解析式为y= 1 x−4，设P ( m, 1 m2− 1 m−4 ) (0
