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专题 02 二次函数中的最值问题（举一反三专项训练）
【人教版】
【题型1 几何定理法求线段之和（差）最值】.....................................................................................................1
【题型2 代数法求线段最值】................................................................................................................................25
【题型3 铅锤法巧求面积最值】............................................................................................................................48
【题型1 几何定理法求线段之和（差）最值】
1 1
1．（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数y=− x2+bx与y= x2−bx的图像均过点A(4,0)和坐标原
2 2
点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图像如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直
线与封闭图像交于B，C两点．给出下列结论：
①b=2；
②PB=PC；
③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；
④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5+❑√13．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线x=2，根据对称轴公式即可求出b，可判断①正确；过点B作BD⊥x交x轴于点D，过点C作CE⊥x交x轴于点E，证明△CEP≌△BDP，可得PB=PC，可判
断②正确；当点B、C分别在两个函数的顶点上时，BC⊥OA，点B、C的横坐标均为2，求出BC的长
度，得到BC=OA，可判断③正确；作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点Q，此时△BCQ周长
的最小，小值为B′C+BC，即可判断④．
1 1
【详解】解：①∵二次函数y=− x2+bx与y= x2−bx的图像均过点A(4,0)和坐标原点O，P为线段OA
2 2
的中点，
∴ P(2,0)，两个函数的对称轴均为直线x=2，
b
x=− =2
即 ( 1) ，
2× −
2
解得：b=2，故①正确；
②如图，过点B作BD⊥x交x轴于点D，过点C作CE⊥x交x轴于点E，
∴∠CEP=∠BDP=90°
，
由函数的对称性可知PE=DP，
在△CEP和△BDP中，
{∠CEP=∠BDP
)
EP=DP ，
∠EPC=∠DPB
∴ △CEP≌△BDP(ASA)，
∴ PB=PC，故正确②；
③当点B、C分别在两个函数的顶点上时，BC⊥OA，点B、C的横坐标均为2，1 1
由①可知两个函数的解析式分别为y=− x2+2x，y= x2−2x，
2 2
∴ B(2,2)，C(2,−2)，
∴ BC=2−(−2)=4，
∵点A(4,0)，
∴ OA=4，
∴ BC=OA，
由∵ BC⊥OA，
∴此时以O，A，B，C为顶点的四边形为正方形，故③正确；
④作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点Q，此时△BCQ周长的最小，最小值为
BQ+CQ+BC=B′Q+CQ+BC=B′C+BC，
∵ B 1
点 的横坐标为 ，
( 3)
∴ B 1, ，点C的横坐标为3，
2
∴
B′(
−1,
3)
，C
(
3,−
3)
，
2 2
∴ BC=❑ √ (3−1) 2+ ( − 3 − 3) 2 =❑√13，B′C=❑ √ (−1−3) 2+ (3 + 3) 2 =5，
2 2 2 2
∴ △BCQ周长的最小值为B′C+BC=5+❑√13，故正确④；
故选：D．【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判
定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
2．（2023·福建三明·模拟预测）二次函数y=−ax2+3ax+c(a>0,c>0)与动直线y=ax+b交于M，N两
点，线段MN中点为H，A(−1,0)，B(0,−2)，则AH+BH的最小值为（ ）
A．❑√5 B．2❑√3 C．❑√13 D．❑√14
【答案】C
【分析】设M(x ,y ),N(x ,y )，则x ,x 是联立两个函数解析式所得方程的两个根，求出x +x =2，
1 1 2 2 1 2 1 2
y + y =2a+2b，进而可得H(1,a+b)，可得点H在直线x=1上运动，这是典型的“将军饮马”问题，
1 2
然后设点A关于直线x=1的对称点为C，连接BC交直线x=1于点H，则此时AH+BH最小，即为BC的
长，勾股定理求出BC即可.
【详解】解：当−ax2+3ax+c=ax+b时，整理可得：ax2−2ax+b−c=0，
设M(x ,y ),N(x ,y )，
1 1 2 2
则x ,x 是上述方程的两个根，
1 2
−2a
∴x +x =− =2，
1 2 a
y + y =ax +b+ax +b=2a+2b，
1 2 1 2
∵线段MN中点为H，
∴H(1,a+b)，
∴点H在直线x=1上运动，
如图，设点A关于直线x=1的对称点为C，连接BC交直线x=1于点H，则此时AH+BH最小，即为BC的
长，
∵A(−1,0)，
∴C(3,0)，
∵B(0,−2)，
∴此时BC=❑√22+32=❑√13；
故选：C.【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点、一元二次方程根与系数的关系、利用轴对称的性质求两
线段和的最小值等知识，熟练掌握上述知识、得出点H的运动轨迹是解题的关键.
3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数y=a(x+1) 2+4(a≠0)的图象L，点O是坐标系
的原点，点P是图象L对称轴上的点，图象L与y轴交于点C，则下面结论：①关于x的方程a(x+1) 2+4=0
的解是x =−3，x =1；②当x=2时，y<0；③点C的坐标为(0,3)；④△PCO周长的最小值是3❑√2+3．
1 2
正确的有 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，轴对称的性质，由图象及二次函数的对称性可得抛物线与x
轴的另一个交点坐标为(1,0)，即可判断①；进而由函数图象可知，当x>1时，图象位于x轴下方，即可判
断②；把(−3,0)代入函数解析式求出a的值即可判断③；作点O关于对称轴x=−1的对称点O′，连接O′C
，与对称轴x=−1相交于点P，可得△PCO周长=PC+PO+CO=PC+PO′+CO=CO′+CO，此时△
PCO周长的最小，利用勾股定理求出CO′得到△PCO周长的最小值，即可判断④，掌握以上知识点是解
题的关键．
【详解】解：∵由函数图象可得，抛物线y=a(x+1) 2+4的对称轴为直线x=−1，与x轴的一个交点坐标
为(−3,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1,0)，∴关于x的方程a(x+1) 2+4=0的解是x =−3，x =1，故①正确；
1 2
由函数图象可知，当x>1时，图象位于x轴下方，
∴当x=2时，y<0，故②正确；
把(−3,0)代入y=a(x+1) 2+4得，0=a(−3+1) 2+4，
解得a=−1，
∴y=−(x+1) 2+4=−x2−2x+3，
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为(0,3)，故③正确；
作点O关于对称轴x=−1的对称点O′，连接O′C，与对称轴x=−1相交于点P，则PO=PO′，O′(−2,0)，
∴△PCO周长=PC+PO+CO=PC+PO′+CO=CO′+CO，此时△PCO周长的最小，
∵OO′=2，CO=3，
∴CO′=❑√22+32=❑√13，
∴△PCO周长的最小值=❑√13+3，故④错误；
综上，正确的有①②③，
故答案为：①②③．
1
4．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=− x2+2x+2的图象与x
2
轴、y轴分别交于A、B、C三点，点D是其顶点，若点P是x轴上一个动点，则CP+DP的最小值为
．【答案】2❑√10
【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，正确作出辅助线确定当D、P、E三点共线时PE+DP最
小，即CP+DP最小，最小值为DE是解题的关键．先求出C(0,2)，D(2,4)，如图所示，作点C关于x轴的
对称点E，连接EP、DE，则E(0,−2)，然后证明当D、P、E三点共线时PE+DP最小，即CP+DP最
小，最小值为DE，利用勾股定理求出DE的长即可得到答案．
1
【详解】解：在y=− x2+2x+2中，当x=0时，y=2，
2
∴C(0,2)；
1 1
∵抛物线解析式为y=− x2+2x+2=− (x−2) 2+4，
2 2
∴D(2,4)；
如图所示，作点C关于x轴的对称点E，连接EP、DE，则E(0,−2)，
∴PE=CP
，
∴CP+DP=PE+DP，
∴当D、P、E三点共线时PE+DP最小，即CP+DP最小，最小值为DE，
∴CP+DP的最小值=❑√(0−2) 2+(−2−4) 2=2❑√10，
故答案为：2❑√10．
5．（22-23九年级上·天津红桥·期中）如图，已知抛物线过点O(0,0)，A(5,5)，其对称轴为x=2．(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．
①当△OAB的面积为15时，求点B的坐标；
②P是抛物线上的动点，当PA−PB取得最大值时，求点P的坐标．
【答案】(1)y=x2−4x
(2)B(2,8)；P(−2,12)
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，
C=0
{
5=25a2+5b+c
)
{
a=1
)
则： ，解得： b=−4 ，
b
− =2 c=0
2a
∴y=x2−4x；
（2）解：如图OA与对称轴交于点C，设B(2,a)
设直线OA的解析式为：y=kx，
则：5=5k，解得：k=1，
∴y=x，
当x=2时，y=2，
∴C(2,2)，
1
∵S =S +S = |BC)⋅x ，
△OAB △OBC △ABC 2 A
1
∴ |a−2)×5=15，解得：a=8或a=−4，
2
∵点B在第一象限，
∴a=8，
∴B(2,8)②设直线AB的解析式为y=cx+d，把A(5,5),B(2,8)代入得：
{5c+d=5),解得： {c=−1)
，
2c+d=8 d=10
∴直线AB的解析式为y=−x+10，
∵PA−PB≤AB，
∴当P,A,B三点共线时，PA−PB最长，
{y=−x+10)
∴ ,
y=x2−4x
{x =−2) {x =5)
解得： 1 ， 2 （舍）
y =12 y =5
1 2
∴P(−2,12)；
所以当P(−2,12)时，PA−PB最长．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出二次函数解析式是解题的关键．
6．（2024·山东青岛·模拟预测）如图，已知二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与y轴交于点
C(0,−3)，与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)．(1)求此二次函数的表达式．
(2)已知P为抛物线对称轴上一动点，求△APC周长的最小值．
(3)已知Q为抛物线上一点，当点Q运动到直线BC下方时，求△BCQ面积的最大值．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)3❑√2+❑√10
27
(3)
8
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称解决最短路径问题，三角形面积的计算方法等
知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键；
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）利用轴对称解决最短路径问题；
（3）根据三角形面积计算方法结合二次函数求最值即可求解；
{
a−b+c=0
)
【详解】（1）由题意得： 9a+3b+c=0 ，
c=−3
{
a=1
)
解得： b=−2 ，
c=−3
∴二次函数的表达式为y=x2−2x−3，
（2）由（1）得二次函数的表达式为y=x2−2x−3，
∴对称轴为直线x=1，
∵ A(−1,0)，B(3,0)，
∴点A关于对称轴的对称点为点B，连接CB，则与对称轴的交点即为点P，连接AP，∴△APC的周长的最小值为AP+PC+AC=BP+PC+AC=BC+AC，
∵ A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)，
∴BC=3❑√2，AC=❑√10，
∴△APC周长最小值为3❑√2+❑√10
（3）设BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
{3k+b=0)
由题可得： ，
b=−3
{ k=1 )
解得： ，
b=−3
∴直线BC的解析式为y=x−3，
设Q(m,m2−2m−3)，过点Q作QE⊥x轴交BC与点E，
则E(m,m−3)，
∴QE=m−3−(m2−2m−3)=−m2+3m，
1 1 3 9
∴S = QE·OB= (−m2+3m)×3=− m2+ m，
△BCQ 2 2 2 2∵点Q在直线BC的下方，即0−1
(2)P(1，2)
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题、轴对称的性质—最短路径问题、待定系数法求一次函数
的解析式，熟练掌握轴对称的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）根据二次函数的图象与x轴有两个公共点得到Δ=22−4×(−1)×m>0，求解即可得到答案；
（2）先计算出A、B、C三点的坐标及对称轴，连接AB交对称轴于点P，再根据轴对称的性质可得
PB+PB=PB+PA，当B、P、A在同一直线上时，PB+PC最小，待定系数法求出直线AB的解析式，令
x=1，求出y的值即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴有两个公共点，
∴Δ=22−4×(−1)×m>0，
解得：m>−1，
∴ m的取值范围为m>−1；
（2）解：当m=3时，y=−x2+2x+3，
当x=0时，y=3，
∴B(0，3)，
令y=0，则−x2+2x+3=0，解得：x =3，x =−1，
1 2
∴A(3，0)，C(−1，0)，
∵y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点A、C关于对称轴对称，
如图，连接AB交对称轴于点P，点P即为所求，
，
由轴对称的性质可得PC=PA，
∴PB+PB=PB+PA，
当B、P、A在同一直线上时，PB+PC最小，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
{3k+b=0)
将A(3，0)，B(0，3)代入得： ，
b=3
{3k+b=0)
解得： ，
b=3
∴直线AB的解析式为：y=−x+3，
当x=1时，y=2，
∴P(1，2)．
8．（2023·广东广州·二模）二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A(1,0)、
(9 )
B ,0
2(1)求a、b的值；
(2)P是二次函数图象在第一象限部分上一点，且∠BCP=2∠ABC，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，有一条长度为1的线段EF落在OA上（E与O重合，F与A重合），将线段EF沿x轴
9
正方向以每秒 个单位向右平移，设移动时间为t秒，当四边形CEFP周长最小时，求t的值．
31
2 11
【答案】(1)y= x2− x+3
3 3
(13 22)
(2)P ,
2 3
11
(3)t=
2
【分析】（1）待定系数法解析即可求解；
（2）作C关于x轴的对称点D，连接BD，过点C作CP∥BD，依题意，点P即为所求，求得直线BD的解
析式，进而求得CP的解析式，联立抛物线解析式即可求解；
（3），连接CE,DE,PF,QF，将点D沿x轴的轴正方向移动1个单位得到点Q，则四边形ADQF是平行
四边形，根据题意，CEFP的周长等于DE+EF+PF=DQ+QF+FP≥DQ+PQ，当Q,F,P三点共线
时，求得最小值，待定系数法求得直线PQ的解析式，令y=0求得点F的坐标，进而即可求解．
【详解】（1）∵y=ax2+bx+3(a≠0)，
令x=0，解得：y=3，
∴C(0,3)，
(9 )
∵抛物线过点A(1,0)、B ,0 ，
2
( 9)
设抛物线解析式为y=a(x−1) x− ，
2
9
将点(0,3)代入得，3= a，
2
2
解得：a= ，
3∴y= 2 (x−1)⋅ ( x− 9) = 2( x2− 11 x+ 9) = 2 x2− 11 x+3，
3 2 3 2 2 3 3
2 11
∴y= x2− x+3；
3 3
（2）解：作C关于x轴的对称点D，连接BD，过点C作CP∥BD，
∴∠DBA=∠CBA，
∴∠CBD=2∠CBA，
∵CP∥BD，
∴∠PCB=2∠ABC，
∴点P即为所求，
∵C(0,3)，
∴D(0,−3)，
(9 )
设直线BD的解析式为y=kx−3，B ,0 ，
2
9
∴ k−3=0，
2
2
解得：k= ，
3
2
∴直线BD的解析式为y= x−3，
3
2
∴直线PC的解析式为y= x+3，
3
2 11
{ y= x2− x+3)
3 3
联立 ，
2
y= x+3
313
{ x= )
2 {x=0)
解得： 或 ，
22 y=3
y=
3
(13 22)
∴P , ；
2 3
（3）如图所示，连接CE,DE,PF,QF，将点D沿x轴的轴正方向移动1个单位得到点Q，则四边形
ADQF是平行四边形，
根据题意，CEFP的周长等于DE+EF+PF=DQ+QF+FP≥DQ+PQ，
当Q,F,P三点共线时，CEFP的周长取得最小值，
(13 22)
由（2）可得P , ，D(0,−3),则Q(1,−3)，
2 3
设直线PQ的解析式为y=mx+n，
{13
m+n=
22
)
∴ 2 3 ，
m+n=−3
62
{ m= )
33
解得： ，
161
n=−
33
62 161
∴直线PQ的解析式y= x− ，
33 33
161
令y=0，得x= ，
62
(161 )
∴F的坐标为 ,0 ，
629
∵EF=OA=1，将线段EF沿x轴正方向以每秒 个单位向右平移，设移动时间为t秒，
31
9 161
∴1+ t= ，
31 62
11
解得：t= ．
2
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，角度问题，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质，轴对称的
性质是解题的关键．
1
9．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知二次函数y=− x2+bx+c的图象过点A(0,4)，对称轴
2
与x轴交于点B(2,0)．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)已知点P是二次函数图象上一点，
①若直线l：y=x+n经过点B，且点P关于直线l的对称点Q恰好落在直线AB上，求点P坐标．
②设直线PB与二次函数图象另一交点为Q，过二次函数图象顶点作x轴的平行线m，则直线m上是否存在
点 M，使得MP+MQ最小？若存在请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由．
1
【答案】(1)y=− x2+2x+4
2
( 3)
(2)①点P的坐标为 −1, 或(6,−2)；②存在QM+MP的最小值为8❑√3
2
【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征可得c的值，根据对称轴可得b的值，即可得解；
（2）①根据待定系数法确定直线l的解析式为y=x−2，得到OD=OB=2，∠OBD=∠ODB=45°，确
定直线AB的解析式为y=−2x+4，过点B作BC⊥BD，交y轴于点C，可得∠OCB=45°=∠OBC，
C(0,2)，确定直线BC的解析式为y=−x+2，根据对称性可得直线BD垂直平分PQ，设Q(a,−2a+4)，
(−a+6 −a+2)
P(e,f)，确定直线PQ的解析式为y=−x−a+4，继而得到E , ，根据中点坐标公式得到
2 21
P(−2a+6,a−2)，最后根据函数图象上点的坐标特征得到− (−2a+6) 2+2(−2a+6)+4=a−2，求解
2
后可得结论．
②作点P关于直线m的对称点P′，连接QP交直线m于点M，设抛物线与x轴交于点N、R．则QM+MP＞
QP，而QP≥NR，当Q、P分别与N、R重合时，QM+MP最小，最小为2TR．先求得BR=2❑√3，进而
勾股定理，即可求解．
1
【详解】（1）解：∵二次函数y=− x2+bx+c的图象经过点A(0,4)，对称轴与x轴交于点B(2,0)，
2
b
− =2
∴当x=0时，得y=c=4； ( 1) ，得：b=2，
2× −
2
1
∴此二次函数的表达式为y=− x2+2x+4；
2
（2）∵直线l：y=x+m经过点B(2,0)，设直线l与y轴交于点D，
∴2+m=0，
解得：m=−2，
∴直线l的解析式为y=x−2，
当x=0时，得y=−2，
∴D(0,−2)，
∴OD=OB=2，
过点B作BC⊥BD，交y轴于点C，
∵∠BOD=∠BOC=90°，
∴∠OBD=∠ODB=45°，
设直线AB的解析式为y=k x+b ，过点A(0,4)，B(2,0)，
1 1
{ b =4 )
1
∴ ，
2k +b =0
1 1
{k =−2)
1
解得： ，
b =4
1
∴直线AB的解析式为y=−2x+4，
∴∠DBC=90°，
∴∠OBC=90°−∠OBD=90°−45°=45°，
∴∠OCB=90°−∠OBC=45°=∠OBC，∴OC=OB=2，
∴C(0,2)，
设直线BC的解析式为y=k x+b ，过点B(2,0)，C(0,2)，
2 2
{2k +b =0)
∴ 2 2 ，
b =2
2
{k =−1)
解得： 2 ，
b =2
2
∴直线BC的解析式为y=−x+2，
∵二次函数图象上的点P关于直线l的对称点Q在直线AB上，
∴直线BD垂直平分PQ，
∴PQ∥BC，点E是PQ的中点，
设Q(a,−2a+4)，P(e,f)，
设直线PQ的解析式为y=−x+n，
∴−2a+4=−a+n，
∴n=−a+4，
∴直线PQ的解析式为y=−x−a+4，
{ y=x−2 )
可得方程组 ，
y=−x−a+4
−a+6
{ x= )
2
解得： ，
−a+2
y=
2
(−a+6 −a+2)
∴E , ，
2 2
∵点E是PQ的中点，
a+e −a+6
{ = )
2 2
∴ ，
−2a+4+f −a+2
=
2 2
{e=−2a+6)
∴ ，
f =a−2
∴P(−2a+6,a−2)，
1
∵点P(−2a+6,a−2)在二次函数y=− x2+2x+4的图像上，
21
∴− (−2a+6) 2+2(−2a+6)+4=a−2，
2
解得：−2a+6=−1或−2a+6=6，
7 3
当−2a+6=−1时，得a= ，则a−2= ，
2 2
当−2a+6=6时，得a=0，则a−2=−2，
( 3)
∴求点P的坐标为 −1, 或(6,−2)．
2
②直线m上存在点M，理由如下：
抛物线的顶点为(2,6)，作直线m：y=6，如图所示，
作点P关于直线m的对称点P′，连接QP交直线m于点M，设抛物线与x轴交于点N、R．
则QM+MP>QP，而QP≥NR，
当Q、P分别与N、R重合时，QM+MP最小，
最小为2TR．
1
当y=− x2+2x+4=0，
2
解得：x=2±2❑√3
∴ BR=2❑√3在Rt△TBR中，TR=❑√T B2+BR2=❑√62+(2❑√3) 2=4❑√3
即QM+MP的最小值为8❑√3．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数和一次函数解析式，函数
图象上点的坐标特征，二次函数的对称轴，一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定和性质，对
称的性质，平行线的性质，中点坐标公式，勾股定理，一元一次方程的应用等知识点．掌握待定系数法确
定函数解析式及对称的性质是解题的关键．
10．（2024·江西·一模）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，其最大值是4
，经过点A(−1,−4)，交y轴于点B，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)在图1中作二次函数图象上的点P(2,2)；
(2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点Q，使△ABQ的周长最短．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查二次函数综合题，轴对称图形的画法，抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质以及画对
称轴的作图技巧是解题的关键．
（1）先求出函数解析式，再得出点的具体位置；
（2）求△ABQ的周长最小，AB是固定值，即BQ+AQ最小，即找到B的对称点，连接另一个点和对称
点，点Q即是AP与对称轴的交点．
【详解】（1）b
{ x=− =1 ) {a=−2
)
2a
根据题意可得： 解得： b=4 ，
a+b+c=4
c=2
a−b+c=−4
即二次函数y=−2x2+4x+2，
∵ B(0,2)
∴在图上找到点B关于对称轴对称的点即是点P；
（2）
由（1）得：B(0,2)，P(2,2)，
令AP的解析式为y=kx+b，
{ 2k+b=2 ) { k=2 )
将点A点P代入解析式得： ，解得： ，
−k+b=−4 b=−2
AP的解析式为y=2x−2，
因为点Q在对称轴上，x=1时，y=−1，故点Q(1,−1)
11．（23-24九年级上·云南昆明·期末））如图1，二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象与一次函数
y=−x+2的图象交于A，B两点，点A在y轴上，抛物线的对称轴为直线x=2，点C是二次函数图象的顶
点．(1)求二次函数解析式；
(2)若将二次函数y=ax2+4x+c的顶点C向右平移n个单位后得到C′．在点C′的平移过程中，是否存在一
个合适的位置，使△ABC′是一个以BC′为斜边的直角三角形？若存在，请求出点C′的坐标；若不存在，
请说明理由；
(3)如图2，P是x轴下方线段AB上一点，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为点E，平行线交直线
BC于点F．当△PEF面积最大时，在x轴上找一点M，使|BM−PM|的值最大，求出点P的坐标，并直
接写出点M的坐标和|BM−PM|的最大值．
【答案】(1)y=−x2+4x+2
(2)存在，C'(12,6)
(7 3) 3❑√2
(3)点P ,− ，M(2,0)，
2 2 2
【分析】（1）根据题意列方程得到a=−1，解方程即可得到结论；
（2）根据函数解析式得到C(2,6)，求得C′ (2+n,6)，解方程组得到点A、B的坐标分别为(0,2)、
(5,−3)，根据勾股定理即可得到结论；
（3）设点P(m,−m+2)，则点E(m,0)，由（2）知，点A、B的坐标分别为(0,2)、(5,−3)，求得直线
m+10
BC的表达式为y=−3x+12，得到点F( ，−m+2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．
3
【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线x=2，
4
∴− =2，
2a
∴a=−1，
∵二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象与一次函数y=−x+2的图象交于A，B两点，点A在y轴上，
∴x=0时，y=−x+2=2，∴A(0,2)，
∴2=0+0+c，
∴c=2，
∴二次函数解析式为y=−x2+4x+2；
（2）存在；y=−x2+4x+2=−(x2−2)+6，
∵点C是二次函数图象的顶点，
∴C(2,6)，
∴C′ (2+n,6)，
{y=−x2+4x+2)
联立两个函数表达式得 ，
y=−x+2
{x=0) { x=5 )
解得 或 ，
y=2 y=−3
即点A、B的坐标分别为(0,2)、(5,−3)，
由点A，B，C′的坐标，
得AB2=(5−0) 2+(−3−2) 2=50，
AC′2=(2−n) 2+(6−2) 2=n2−4n+20，
BC′2=(2−n−5) 2+(6+3) 2=n2−6n+90，
∵BC′是斜边，
∴n2−6n+90=50+n2−4n+20，
解得n=10，
∴C' (12,6)；
（3）设点P(m,−m+2)，则点E(m,0)，
由（2）知，点A、B的坐标分别为(0,2)、(5,−3)，
由抛物线的表达式知，点C(2,6)，
设直线BC的表达式为y=px+q，
{5p+q=−3) {p=−3)
由题意得： ，解得： ，
2p+q=6 q=12所以直线BC的表达式为y=−3x+12，
m+10 m+10
当y=−3x+12=−m+2时，x= ，故点F( ，−m+2)，
3 3
1 1 m+10 1 1 7 2 3
∴△PEF面积= ×PE⋅PF= ×(m−2)( −m)=− (m−2)(m−5)=− (m− ) + ，
2 2 3 3 3 2 4
1 7
∵− <0，故ΔPEF面积有最大值，此时m= ，
3 2
7 3
故点P( ，− )，
2 2
当P、B、M三点共线时，|BM−PM|的值最大，即点M为直线AB与x轴的交点，
故点M(2,0)，
√ 7 2 3 2 3❑√2
则|BM−PM|的最大值=BM−PM=BP=❑(5− ) +(−3+ ) = ．
2 2 2
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查的是待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象
及性质，灵活应用直角三角形的勾股定理是解题的关键．
12．（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于点
A(−4,0)和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点D(−1,3)，与y
轴交于点E．
(1)求此二次函数的表达式和顶点P的坐标；
(2)点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且AM=EN，求EM+ON的最小值．
【答案】(1)y=− 1 x2− 3 x+2，P ( − 3 ， 25)
2 2 2 8
(2)4❑√3
【分析】对于（1），将点A(−4,0),D(−1,3)代入y=ax2+bx+2得出方程组，求出解即可；
对于（2），先作EH∥x轴，截取EH=AE，得∠HEA=∠EAB，再证明△EHN≅△AEM，
可得HN=EM，即EM+ON=HN+ON，然后求出直线AD的关系式，接下来根据勾股定理求出AE，当O、N、H共线时，EM+ON=HN+ON=OH最小，最后根据勾股定理求出答案．
{ a−b+2=3 )
【详解】（1）解：由题意得： ，
16a−4b+2=0
1
{ a=− )
2
解得： ，
3
b=−
2
则抛物线的表达式为：y=− 1 x2− 3 x+2=− 1( x+ 3) + 25 ，顶点P ( − 3 ， 25) ；
2 2 2 2 8 2 8
（2）解：过点E在第二象限作EH∥x轴，截取EH=AE，则∠HEA=∠EAB，
∵AM=EN，
∴△EHN≅△AEM(SAS)，
∴HN=EM，
则EM+ON=HN+ON．
设直线AD的关系式为y=mx+n，
将点A(−4,0)，D(−1,3)代入关系式y=mx+n，
{−4m+n=0)
得 ，
−m+n=3
{m=1)
解得 ，
n=4
∴直线AD的关系式为y=x+4，
当x=0时，y=4，
∴点E(0,4)，
∴OE=4．
∵A(−4,0)，
∴OA=4．
根据勾股定理，得AE=❑√AO2+EO2=4❑√2，
∴EH=AE=4❑√2．
当O、N、H共线时，EM+ON=HN+ON=OH最小，
则OH=❑√(4❑√2) 2+42=4❑√3，
即EM+ON的最小值为4❑√3．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，全等三角形的性质和判定，
勾股定理，当三点共线时取得最小值是解题关键．
【题型2 代数法求线段最值】
13．（2025·安徽合肥·三模）已知：直线y=−x+2经过点A(a,b)，抛物线y =(x−a)(x+b)与x轴交于
1
B，C两点（点B在点C的左侧），抛物线y 的顶点为D，抛物线y =(x−a)(x−b)与交y轴于点E．
1 2
(1)求点B，点C的坐标（用含字母a的代数式表示）；
(2)连接AD，求线段AD的最小值；
(3)当直线BD恰好经过点E时，求a的值．
【答案】(1)B(a−2,0),C(a,0)
(2)AD的最小值为1
(3)a =−1，a =2
1 2
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与一次函数的综合问题，二次函数图象与坐标轴的交点问
题，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）令y =(x−a)(x+b)=0，求出x ,x ，再由又点A(a,b)在直线y=−x+2，得到−b=a−20，
−9−❑√17 −9+❑√17 1
∴−4− 三种情况，根据增减性，确定函数在t≤x≤t+1时，取得最小值
2 2 2 2
的情形，从而建立方程求解即可；
（3）利用待定系数法求出一次函数解析式，设点E(m,m2+m)， 则F (1 m2+ 1 m− 3 ,m2+m ) ，则
2 2 8
1( 1) 2 1
S=EF=− m− + ，据此求解即可．
2 2 2
【详解】（1）解；∵抛物线经过原点，
∴2m2−m=0，
1
解得：m=0或 ，
2
∵m≠0，
1
∴m= ，
2
∴抛物线的解析式为y=x2+x，∵y=x2+x= ( x+ 1) 2 − 1 ，
2 4
( 1 1)
∴顶点P的坐标为 − ,− ；
2 4
1 ( 1 1)
（2）解；由（1）可得抛物线开口向上，对称轴为直线x=− ，顶点坐标为 − ,− ，
2 2 4
1 3
当t+1<− ，即t<− 时，y随x增大而减小，
2 2
由题意得：(t+1) 2+t+1=2，
解得：t =−3，t =0（舍去），
1 2
∴t的值为−3，
3 1 1
当− ≤t≤− 时，则若t≤x≤t+1时，y的最小值为− ，不符合题意，
2 2 4
1
当t>− 时，y随x增大而增大，
2
由题意得：t2+t=2，
解得：t =−2（舍去），t =1，
1 2
∴t的值为1，
综上所述，t的值为−3或1；
( 1 1)
（3）解：由题意得：当k=2时，y=2x+b经过点P − ,− ，
2 4
( 1) 1
∴2× − +b=− ，
2 4
3
∴b= ，
4
3
∴y=2x+ ，
4
1 3
设点E(m,m2+m)，且− 0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请
说明理由．
【答案】(1)y=-x2+4x
9
(2)
4
(3)存在，点P的坐标为(3−❑√2,1+2❑√2)或(3+❑√2,1−2❑√2)或（5，-5）或（4，0）
【分析】（1）设y=ax（x-4），把A点坐标代入即可求出答案；
（2）根据点的坐标求出PC=-m2+3m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；
（3）当00)，求出 =1+ + + = + + .记f = >1
3 4 AE S λ 4 4 λ 4 4 S
1 1
1 λ 5
，则f = + + ，即λ2+(5−4f)λ+4=0，再运用一元二次方程根的判别式即可求得答案．
λ 4 4{4a+2b=1
)
【详解】（1）解：将点(2, 1)和点(4, 4)代入y=ax2+bx，得 ，
16a+4b=4
{ a= 1 )
解得 4 ，
b=0
1
所以抛物线的表达式为y= x2 ；
4
{y=k
1
x+m
)
（2）解：①依题意，联立 1 ，得x2−4k x−4m=0，
y= x2 1
4
所以x +x =4k ，x ⋅x =−4m，
A B 1 A B
设直线AC的表达式为y=px+q，又直线AC过点E(0,n)，
{ px +q= 1 x2)
所以 A 4 A ，
q=n
{ p= 1 x − n )
解得 4 A x ，
A
q=n
(1 n )
所以直线AC的表达式为y= x − x+n，
4 A x
A
{ y= (1 x − n ) x+n)
联立 4 A x A ，得x2− ( x − 4n) x−4n=0，
1 A x
y= x2 A
4
4n
所以x ⋅x =−4n，所以x =− ，
A C C x
A
( 4n 4n2 )
所以C − , ，
x x2
A A
( 4n 4n2 )
同理，D − , ，
x x2
B B{y=k
2
x+t
)
联立 1 ，得x2−4k x−4t=0，
y= x2 2
4
4n 4n ( x +x ) ( 4k ) 4nk
所以x +x =− − =−4n A B =−4n 1 = 1=4k ，
C D x x x ⋅x −4m m 2
A B A B
所以k n=k m，即k n−k m=0；
1 2 1 2
②设CD与y轴交于点F，AB与y轴交于点G，
( 8 ) ( 8 ) 64 64
当m=1，n=2时，由(2)①得x ⋅x = − ⋅ − = = =−16=−4t，
C D x x x ⋅x −4
A B A B
解得t=4，
所以直线CD的表达式为y=k x+4，
2
所以F(0,4)，
EC
记△ADE的面积为S ，△ABE的面积为S ，△BCE的面积为S ， =λ (λ>0)，
2 3 4 AE
1
⋅EF⋅(x −x )
(4−2) ( − 8 + 8 )
S 2 C D x x −16(x −x ) −16 −16
所以 1= = A B = B A = = =4，
S 1 (2−1)(x −x ) x x (x −x ) x x −4
3 ⋅EG⋅(x −x ) B A A B B A A B
2 B A
S S EC
又因为 1= 4= =λ(λ>0)，
S S AE
2 3
1 1 (1 ) λ
所以S = S ，S = S ，S =λS =λ S = S ，
2 λ 1 3 4 1 4 3 4 1 4 11 1 λ
所以S=S +S +S +S =S + S + S + S ，
1 2 3 4 1 λ 1 4 1 4 1
S 1 1 λ 1 λ 5
所以
=1+ + + = + +
，
S λ 4 4 λ 4 4
1
S 1 λ 5
记f = >1，则f = + + ，即λ2+(5−4f)λ+4=0，
S λ 4 4
1
因为λ存在，
故关于λ的一元二次方程有实数根，
所以Δ=(5−4f) 2−16≥0，
所以5−4f ≤−4或5−4f ≥4，
9 1
解得f ≥ 或f ≤ (不符合题意，舍去)，
4 4
S S 9
所以当λ=2时， 取得最小值，且 的最小值为 ．
S S 4
1 1
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，
一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键，综合
性强，难度较大，属于常考的中考数学压轴题．
【题型3 铅锤法巧求面积最值】
26．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3交x轴于点A(−1,0)，B(3,0)，
交y轴于点C．
(1)求二次函数y=ax2+bx+3的解析式；
(2)记AB中点为点D，过点D作直线DP交y轴负半轴于点F，交抛物线于点P，Q，点P在Q点右边．
①当OF=3时，点M为抛物线上的一个动点且点M在线段PQ上方，求△MPQ面积的最大值；
②当∠ODF=60°时，若点O与点G关于直线DP对称，求证：DG⊥BF．
【答案】(1)y=−x2+2x+3125
(2)① ；②见解析
8
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先根据题意可得到D(1,0)，F(0,−3)，进而求出直线PQ的解析式为y=3x−3，联立
{y=−x2+2x+3)
，求出Q(−3,−12)，P(2,3)，设M(t,−t2+2t+3)，则E(t,3t−3)，得到
y=3x−3
5( 1) 2 125
ME=−t2−t+6，再根据S =S +S =− t+ + ，即可求解；②连接OG，由D(1,0)
△MPQ △MEQ △MEP 2 2 8
，B(3,0)，可得OD=1，BD=2，OB=3，根据∠ODF=60°，推出∠OFD=30°，得到DF=2，进而
根据勾股定理求出OF=❑√3，BF=2❑√3，在△BDF中，设BF边上的高为ℎ，根据等面积法求出ℎ，再根
据对称的性质可得到DG=OD=1，即可解答．
【详解】（1）解：将点A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+3，
{ a−b+3=0 )
得： ，
9a+3b+3=0
{a=−1)
解得： ，
b=2
二次函数的解析式为y=−x2+2x+3；
（2）①如图，过点M作ME∥y轴，交PQ于点E，
∵点A(−1,0)，B(3,0)，点D为AB中点，
∴ D(1,0)，
由题意可得：F(0,−3)，
设直线PQ的解析式为y=kx+n，
{ k+n=0 )
∴ ，
0+n=−3{ k=3 )
解得： ，
n=−3
∴直线PQ的解析式为y=3x−3，
{y=−x2+2x+3)
联立 ，
y=3x−3
{ x=−3 ) {x=2)
解得： 或 ，
y=−12 y=3
∴ Q(−3,−12)，P(2,3)，
设M(t,−t2+2t+3)，则E(t,3t−3)，
∴ ME=−t2+2t+3−(3t−3)=−t2−t+6，
∴ S =S +S =
1
(x −x )·ME=
1
×(2+3)(−t2−t+6)=−
5(
t+
1) 2
+
125
，
△MPQ △MEQ △MEP 2 P Q 2 2 2 8
1 125
∴当t=− 时，△MPQ面积的最大，最大值为 ；
2 8
②如图，连接OG，
∵ D(1,0)，B(3,0)，
∴ OD=1，BD=3−1=2，OB=3，
∵ ∠ODF=60°，∠DOF=90°，
∴ ∠OFD=30°，
∴ DF=2OD=2，
∴ OF=❑√DF2−OD2=❑√22−12=❑√3，
∴ BF=❑√OB2+OF2=❑√32+(❑√3) 2=2❑√3，
在△BDF中，设BF边上的高为ℎ，
1 1 1 1
∴ S = BD·OF= BF·ℎ，即 ×2×❑√3= ×2❑√3·ℎ，
△BDF 2 2 2 2
∴ ℎ =1，
∵点O与点G关于直线DP对称，
∴直线PQ垂直平分OG，
∴ DG=OD=1，
∴ DG= ℎ =1，即点G在BF上，∴ DG⊥BF．
【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，勾股定理，对
称的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．
27．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1，抛物线C ：y=x2+bx+c经过点A(−3,0)和点B(1,0)，抛物线
1
C 与C 关于原点O成中心对称．
2 1
(1)求b，c的值；
(2)求抛物线C 的解析式；
2
(3)将抛物线C 向上平移2个单位长度得到C ，抛物线C 与C 相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），
2 3 1 3
如图2．
①求点P和Q的坐标；
②若点M，N分别为抛物线C 与C 上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形
1 3
PMQN面积的最大值．
{ b=2 )
【答案】(1)
c=−3
(2)y=−x2+2x+3
(3)①点P的坐标为(−2,−3)，点Q的坐标为(2,5)；②16
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与面积问题．
（1）将点A(−3,0)和点B(1,0)代入y=x2+bx+c即可求解；（2）设点(x,y)是C :y=x2+2x−3上任意一点，则点(x,y)关于原点O成中心对称的点坐标为(−x,−y)
1
，即可得到抛物线C 的解析式为−y=(−x) 2+2(−x)−3；
2
{y=−x2+2x+5)
（3）①通过联立方程组 ，求点P和Q的坐标；
y=x2+2x−3
②过点M作ME∥y轴交PQ于点E，过点N作NF∥y轴交PQ于点F，先求出直线PQ的解析式为
y=2x+1，设M(m,m2+2m−3)，N(n,−n2+2n+5)，则E(m,2m+1)，F(n,2n+1)，求出当m=0
时，ME有最大值4，当n=0时，NF有最大值4，再根据S =S +S =2(ME+NF)，得到
四边形PMQN △CDN △CDM
当ME+NF最大时，四边形PMQN面积的最大，最后代入计算即可．
【详解】（1）解：将点A(−3,0)和点B(1,0)代入y=x2+bx+c得
{9−3b+c=0)
，
1+b+c=0
{ b=2 )
解得 ；
c=−3
（2）解：由（1）可得抛物线C :y=x2+2x−3，
1
设点(x,y)是C :y=x2+2x−3上任意一点，则点(x,y)关于原点O成中心对称的点坐标为(−x,−y)，
1
∵抛物线C 与C 关于原点O成中心对称，
2 1
∴抛物线C 的解析式为−y=(−x) 2+2(−x)−3，
2
整理得y=−x2+2x+3；
（3）解：①将抛物线C 向上平移2个单位长度得到C ，则抛物线C 的解析式为
2 3 3
y=−x2+2x+3+2=−x2+2x+5，
{y=−x2+2x+5) {x=2) {x=−2)
联立 ，解得 或 ，
y=x2+2x−3 y=5 y=−3
∵抛物线C 与C 相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），
1 3
∴点P的坐标为(−2,−3)，点Q的坐标为(2,5)；
②过点M作ME∥y轴交PQ于点E，过点N作NF∥y轴交PQ于点F，∵点P的坐标为(−2,−3)，点Q的坐标为(2,5)，
∴设直线PQ的解析式为y=kx+b ，
1
{−2k+b =−3)
∴ 1 ，
2k+b =5
1
{k=2)
解得 ，
b =1
1
∴直线PQ的解析式为y=2x+1，
设M(m,m2+2m−3)，N(n,−n2+2n+5)，
则E(m,2m+1)，F(n,2n+1)，
∴ME=2m+1−(m2+2m−3)=−m2+4，NF=−n2+2n+5−2n−1=−n2+4，
∵−22时，
AB= 1 m+1− ( − 1 m2+3 ) = 1 m2+ 1 m−2= 1( m+ 1) 2 − 25 ，
3 3 3 3 3 2 12
BC=m−(−m2+6)=m2+m−6= ( m+ 1) 2 − 25 ，
2 4
1 1
∵ >0，1>0，对称轴为直线x=− ，
3 2
1
∴AB，BC有最小值，当m>− 时，AB，BC都随着m的增大而增大，
2
∵x>−3，
∴−m2+6≥−3，
∴−3≤m≤3，
∴当m=3时，AB，BC都取得最大值，
AB最大值为2，BC最大值为6，
1
∴此时，△ABC面积的最大，最大值= ×2×6=6，
2
625
∵ >6，
96
625
∴存在，△ABC面积的最大，最大值为 ．
96
【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查二次函数与一次函数交点，二次函数的图象性质，二次函数
的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10
31．（2025·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+ x+c经过点
3A(−4,0),C(0,8)，点B的坐标为(6,0)，连接BC．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，连接AD，判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若P是AD所在直线下方抛物线上的一个动点，求△ADP面积的最大值．
1 10
【答案】(1)y= x2+ x+8；
3 3
(2)菱形，理由见解析
(3)9
【分析】本题考查了二次函数和几何综合，菱形的判定，正确做出辅助线表示出△ADP的面积是解题的关
键．
（1）把A(−4,0),C(0,8)代入函数解析式即可解答；
（2）求得点D的坐标，得到DC的长度，即可解答；
（3）过点P作y的平行线交直线DA于点M，设P的横坐标为m，求得PM的长，进而表示出△ADP的面
积，利用二次函数的性质，即可解答．
【详解】（1）解：把A(−4,0),C(0,8)代入函数解析式，
{ 0=16a− 40 +c)
可得 3 ，
8=c
{ a= 1 )
解得 3 ，
c=8
1 10
∴抛物线的函数解析式为y= x2+ x+8；
3 3
1 10
（2）解：当y=8时，8= x2+ x+8，
3 3
解得x =0,x =−10，
1 2
∴D(−10,8)，
∴DC=10，∵B(6,0)，
∴AB=10，
∵CD∥x轴，
∴DC∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
根据勾股定理可得BC=❑√OB2+OC2=10，
∴BC=DC，
∴平行四边形ABCD为菱形；
（3）解：设直线AD的解析式为y=kx+b，
{8=−10k+b)
把A(−4,0),D(−10,8)代入可得 ，
0=−4k+b
4
{ k=− )
3
解得 ，
16
b=−
3
4 16
∴直线AD的解析式为y=− x− ，
3 3
如图，过点P作y的平行线交直线DA于点M，
设点P ( m, 1 m2+ 10 m+8 ) ，则点M ( m,− 4 m− 16) ，
3 3 3 3
∴PM=− 4 m− 16 − (1 m2+ 10 m+8 ) =− 1 m2− 14 m− 40 ，
3 3 3 3 3 3 3
PM⋅6
∴S =S +S = =−m2−14m−40=−(m+7) 2+9，
△ADP △MDP △MAP 2
∴当x=−7，即P(−7,1)时， △ADP的面积最大为9．
1 9
32．（2025·安徽阜阳·三模）对于二次函数y=ax2+bx+2，当自变量x=− 时，函数y的最大值为 ．
2 4(1)求二次函数的解析式．
(2)如图，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，P，Q是A与C之
间的二次函数图象上的两个动点，PM⊥x轴交直线AC于点M，QN⊥x轴交直线AC于点N，ME⊥y
轴于点E，ND⊥y轴于点D，PM=QN，求当P，Q两点不重合时，线段ME+ND的长．
(3)在（2）的条件下，连接NE，求△CNE的面积的最大值．
【答案】(1)y=−x2−x+2
(2)2
1
(3)
2
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式等等，熟知二次函数的性质是解题的关键．
1
（1）根据题意可得对称轴为直线x=− ，则可推出b=a，再利用待定系数法求解即可；
2
（2）求出A(−2,0)，B(1,0)，C(0,2)；进而得到直线AC解析式为y=x+2；设
P(m,−m2−m+2)，Q(n,−n2−n+2)，则M(m,m+2)，N(n,n+2)，则E(0,m+2)，D(0,n+2)，
可求出ME=−m，DN=−n，PM=−m2−2m，
QN=−n2−2n，根据PM=QN，可推出m+n+2=0，据此可得答案；
1 1 1
（3）求出CE=2−(m+2)=−m，则S = CE⋅DN=− (m+1) 2+ ，据此根据二次函数的性质求解
△CNE 2 2 2
即可．
1 9
【详解】（1）解：∵当自变量x=− 时，函数y的最大值为 ，
2 4
1
∴对称轴为直线x=− ，
2
b 1
∴− =− ，
2a 2
∴b=a，( 1 9) 1 1 9
把 − , 代入到y=ax2+bx+2=ax2+ax+2中得 a− a+2= ，
2 4 4 2 4
解得a=−1，
∴抛物线解析式为y=−x2−x+2；
（2）解：在y=−x2−x+2中，当y=−x2−x+2=0时，解得x=−2或x=1，
∴A(−2,0)，B(1,0)，
在y=−x2−x+2中，当x=0时，y=2，
∴C(0,2)；
设直线AC解析式为y=kx+b′，
{−2k+b′=0)
∴ ，
b′=2
{k=1)
∴ ，
b′=2
∴直线AC解析式为y=x+2；
设P(m,−m2−m+2)，Q(n,−n2−n+2)，则M(m,m+2)，N(n,n+2)，
∴E(0,m+2)，D(0,n+2)，
∴ME=−m，DN=−n，PM=−m2−m+2−(m+2)=−m2−2m，
QN=−n2−n+2−(n+2)=−n2−2n，
∵PM=QN，
∴−m2−2m=−n2−2n，
∴m2−n2−2n+2m=0，
∴(m+n+2)(m−n)=0，
∵P，Q两点不重合，即m≠n，
∴m+n+2=0，
∴m+n=−2，
∴ME+DN=−m−n=−(m+n)=2；
（3）解：∵C(0,2)，E(0,m+2)，
∴CE=2−(m+2)=−m，
1 1 1 1 1
∴S = CE⋅DN= mn= m(−2−m)=− (m+1) 2+ ，
△CNE 2 2 2 2 21
∵− <0，−20，y = ．
M 2 2 M 2
如图，连接OD．
四边形MCDB的面积为：S +S −S −S
△OCD △OBD △OCM △OBM
1 1 1 2−k 1 k(2−k)
= ×3×1+ ×3×4− ×3× − ×3×
2 2 2 2 2 2
3( 1) 2 93
= k− + ．
4 2 16
3
∵ >0，
41 93
当k= 时，四边形MCDB的面积有最小值，最小值为 ．
2 16
34．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=−x2+4x上，且横坐标为1，
点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为(1,1)
．
(1)求线段AB的长；
(2)点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，当△PBE的面积最大时，求此时P点坐标，并求出最大面积；
1
(3)在（2）的情况下，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F在y轴上一点，求PH+HF+ FO的最小
2
值．
【答案】(1)AB=2
(3 15) 9
(2) , ，
2 4 4
9 3❑√3
(3) +
4 4
【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、二次函数与面积综合、二次函数求最值等问
题，数形结合是解决问题的关键．
（1）根据题意，令x=1，代入表达式求出y即可得到A(1,3)，再根据点B与点A关于抛物线的对称轴对
称，即可求出B(3,3)，从而得到答案；
（2）作PN∥y轴交BE于N，如图所示，设P(m,−m2+4m)，数形结合，在平面直角坐标系中表示出
△PBE的面积，由二次函数图象与性质分析即可得到答案；
（3）作直线OG交AB于G，使得∠COG=30°，作HK⊥OG于K交OC于F，如图所示，数形结合得
1
PH+HF+ FO=PH+FH+FK=PH+HK，利用等面积法求解即可得到答案．
2【详解】（1）解：∵点A在抛物线y=−x2+4x上，且横坐标为1，
∴令x=1，则y=−12+4=3，则A(1,3)，
∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称，
∴ B(3,3)，
∴ AB=2；
（2）解：作PN∥y轴交BE于N，如图所示：
设P(m,−m2+4m)，
∵直线BE的解析式为y=x，
∴N(m,m)，
1
∴S = ×2×(−m2+4m−m) =−m2+3m，
ΔPEB 2
∵−1<0，
3 9 (3 15)
∴抛物线开口向下，有最大值，当m= 时，△PEB的面积最大为 ，此时P , ；
2 4 2 4
（3）解：作直线OG交AB于G，使得∠COG=30°，作HK⊥OG于K交OC于F，如图所示：
(3 15) (3 )
由（2）知点P , ，H ,3 ，
2 4 2
15 3
∴ PH= −3= ，
4 41 ❑√3
∵FK= OF，CG= OC=❑√3，
2 3
1 1
∴PH+HF+ FO=PH+FH+FK=PH+HK，此时PH+HF+ OF的值最小，
2 2
1 1
∵ ⋅HG⋅OC= ⋅OG⋅HK，
2 2
( 3)
3× ❑√3+
2 3 3❑√3，
∴HK= = +
2❑√3 2 4
1 9 3❑√3
∴PH+HF+ OF的最小值为 + ．
2 4 4
35．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点
A,B，与y轴交于点C，连接BC,OA=1，对称轴为x=1，点D为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若连接CD，则∠BCD=________°
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值．
(4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当以点B,C,P,Q为顶点的四边形是矩形时，请直接写出
点Q的横坐标．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)90
27
(3)
8
(4)4,−2,2
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握
二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意求得A的坐标，根据对称性求得B的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可；（2）求出顶点D的坐标，分别求出BC,CD,BD，根据勾股定理逆定理得△BCD是直角三角形，故可得
∠BCD=90°；
先根据解析式求得C的坐标，进而求得BC的解析式，设E(m,−m22m+3)，作EF∥y轴交BC于点F，则
F(m,−m+3)，进而求得S 关于x的表达式，根据二次函数的性质即可求得最大值；
△BCE
（3）分情况讨论，BC，BP，BQ为矩形的对角线，设P(2,y),Q(m,n)，根据矩形的性质以及中点坐
标公式求得m的值，进而求得Q点的横坐标．
【详解】（1）解：抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A、B，OA=1，对称轴为直线x=1，
∴A(−1,0)，
∴B(3,0)，
将A，B代入y=ax2+2x+c(a≠0)得：
{0=a−2+c
)
，
0=9a+6+c
{a=−1)
解得 ，
c=3
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
（2）解：y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，
∴D(1,4)，
又c=3，
∴C(0,3)，
∴BC=❑√(3−0) 2+(0−3) 2=3❑√2，CD=❑√(0−1) 2+(3−4) 2=❑√2，BD=❑√(1−3) 2+(4−0) 2=2❑√5，
∴BC2+CD2=BD2，
∴∠BCD=90°；
故答案为：90；
（3）解：设直线BC的解析式为y=kx+b，
{3k+b=0)
将点B，点C的坐标代入得： ，
b=3
{k=−1)
解得： ，
b=3
∴直线BC的解析式为y=−x+3，设E(m,−m22m+3)，
如图，作EF∥y轴交BC于点F，
则F(m,−m+3)，
∴EF=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m，
∴S =
1
×(x −x )×EF=
1
×3×(−m2+3m)=−
3
x(x−5)=−
3(
m−
3) 2
+
27
△BCE 2 B C 2 2 2 2 8
3 27
当m= 时，S 有最大值为 ；
2 △BCE 8
（4）解：设P(1,y)，Q(m,n)，
由（1）知B(3,0),C(0,3)，
①若BC为矩形的对角线，
由中点坐标公式得：0+3=m+1，
解得：m=2，
∴点Q的横坐标为2；
②若BP为矩形得对角线，
3+1 m+0
由中点坐标公式得： = ，
2 2
解得m=4，
∴点Q的横坐标为4；
③若BQ为矩形的对角线，
3+m 1+0
由中点坐标公式得： = ，
2 2
解得：m=−2，
∴点Q的横坐标为−2，
综上，点Q的横坐标为4或2或−2．36．（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx−6交x轴于A(−2,0)，B(6,0)两交y轴于
点C，点Q为线段BC上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求QA+QO的最小值；
(3)过点Q作QP∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别为S
1
，S ，设S=S +S ，当S最大时，求点P的坐标，并求S的最大值．
2 1 2
1
【答案】(1)y= x2−2x−6
2
(2)10
27 ( 15)
(3)S最大值为 ，此时点P的坐标为 3,−
2 2
【分析】（1）：将A(−2,0)，B(6,0)分别代入y=ax2+bx−6，利用待定系数法求出二次函数解析式即
可；
（2）作点O关于直线BC的对称点坐标为O′．连接BO′、CO′、OO′．证明四边形OCO′B是正方形．则
点O关于直线BC的对称点坐标为O′(−6,−6)．连接O′ A，由BC是OO′的垂直平分线得到QO=QO′，则
QA+QO=QA+QO′≥O′ A（当点Q位于直线AO′与直线BC交点时取等号），即可得到QA+QO的最小
值为O′ A=❑√(−6−2) 2+(−6) 2=10．
（3）过点P作PM⊥x轴，交x轴于点M．连接PC．得到
S +S =S =S +S ❑ −S ．设点P ( m, 1 m2−2m−6 ) ，则
△PAQ △PBQ △PBC 梯形PCOM Rt △PMB Rt△BOC 2
3 3 27
S=S +S =− m2+9m=− (m−3) 2+ ，再利用二次函数的性质即可求解．
1 2 2 2 2
【详解】（1）解：将A(−2,0)，B(6,0)分别代入y=ax2+bx−6，得方程组{0=4a−2b−6)
，
0=36a+6b−6
{ a= 1 )
解得 2 ．
b=−2
1
∴抛物线的解析式为y= x2−2x−6．
2
（2）当x=0时，y=−6，即C(0,−6)，则OB=OC=6，
作点O关于直线BC的对称点坐标为O′．连接BO′、CO′、OO′．
∵OB=OC，OO′⊥BC，
∴OO′平分BC，
∴OO′垂直平分BC．
又∵BC垂直平分OO′，且∠BOC=90°，
∴四边形OCO′B是正方形．
∴点O关于直线BC的对称点坐标为O′(−6,−6)．
连接O′ A，
∵BC是OO′的垂直平分线，
∴QO=QO′，
∴QA+QO=QA+QO′≥O′ A（当点Q位于直线AO′与直线BC交点时取等号），
∴QA+QO的最小值为O′ A=❑√(−6−2) 2+(−6) 2=10．
（3）过点P作PM⊥x轴，交x轴于点M．连接PC．∵QP∥AC，
∴S =S （同底等高），
△PAQ △PCQ
∴S +S =S =S +S ❑ −S ．
△PAQ △PBQ △PBC 梯形PCOM Rt △PMB Rt△BOC
设点P ( m, 1 m2−2m−6 ) ，
2
则S = 1 (MP+OC)⋅OM= 1( − 1 m2+2m+6+6 ) ⋅m= 1 m ( − 1 m2+2m+12 ) ，
梯形PCOM 2 2 2 2 2
S = 1 MP⋅BM= 1( − 1 m2+2m+6 ) (6−m)= 1 (6−m) ( − 1 m2+2m+6 ) ，
Rt△PMB 2 2 2 2 2
1 1
S = OB⋅OC= ×6×6=18．
Rt△BOC 2 2
∴S=S +S = 1 m ( − 1 m2+2m+12 ) + 1 (6−m) ( − 1 m2+2m+12 ) −18，
1 2 2 2 2 2
3 3 27
即：S=S +S =− m2+9m=− (m−3) 2+
1 2 2 2 2
27 ( 15)
∴当m=3时，S有最大值 ，此时点P的坐标为 3,− ，
2 2
27 ( 15)
综上，S最大值为 ，此时点P的坐标为 3,− ．
2 2
【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、正方形的判定和性质、轴对称的性质、勾股
定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
37．（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B(1，0)两点，
与y轴交于点C(0，2)，过点A直线交y轴于点D，交抛物线于点E(−1,3)．(1)抛物线解析式为 ；
(2)如图2，点F为抛物线上曲线AE上一动点，连接AF，FE，BE，求四边形ABEF面积的最大值；
(3)如图3，点P为线段AD上一动点，Q为线段AB上一动点，且DP=AQ，连接DQ，OP，OP+DQ是
否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
1 3
【答案】(1)y=− x2− x+2
2 2
147
(2)
16
(3)存在，最小值是4❑√3
【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）过点F作FG∥y轴于点G，求出A(−4,0)，待定系数法求出直线AE的解析式为y=x+4，设点F
的坐标为 ( m,− 1 m2− 3 m+2 ) ，则G(m,m+4)，根据S =− 3( m+ 5) 2 + 27 得出当m=− 5 时，
2 2 △AEF 4 2 16 2
27
S 取最大值 ，根据△ABE面积一定，S =S +S ，当△AEF面积最大时，四边形
△AEF 16 四边形ABEF △AEF △ABE
ABEF面积的最大，求出最大值即可；
（3）过点D作MD⊥y轴，截取MD=AD，连接MP、MO，证明△ADQ≌△DMP，得出MP=DQ，
说明当MP+DP最小时，DQ+OP最小，根据两点之间线段最短，得出当M、P、O三点共线时，
DQ+OP最小，且最小值为OM，根据勾股定理求出最小值即可．
【详解】（1）解：把B(1，0)，C(0，2)，E(−1,3)代入抛物线解析式y=ax2+bx+c得：
{a+b+c=0
)
c=2 ，
a−b+c=31
{a=−
)
2
解得： 3 ，
b=−
2
c=2
1 3
∴抛物线的解析式为：y=− x2− x+2；
2 2
（2）解：过点F作FG∥y轴于点G，如图所示：
1 3 1 3
把y=0代入y=− x2− x+2得：0=− x2− x+2，
2 2 2 2
解得：x =−4，x =1，
1 2
∴A(−4,0)，
1 15
∴S = ×(1+4)×3= ，
△ABE 2 2
设直线AE的解析式为y=kx+b，把A(−4,0)，E(−1,3)代入得：
{−4k+b=0)
，
−k+b=3
{k=1)
解得： ，
b=4
∴直线AE的解析式为y=x+4，
设点F的坐标为 ( m,− 1 m2− 3 m+2 ) ，则G(m,m+4)，
2 2
1 3 1 5
∴FG=− m2− m+2−m−4=− m2− m−2，
2 2 2 2
S = 1( − 1 m2− 5 m−2 ) ×[−1−(−4))
△AEF 2 2 2
3 15
=− m2− m−3
4 43( 5) 2 27
=− m+ + ，
4 2 16
3
∵− <0，
4
5 27
∴当m=− 时，S 取最大值 ，
2 △AEF 16
∵△ABE面积一定，S =S +S ，
四边形ABEF △AEF △ABE
∴当△AEF面积最大时，四边形ABEF面积的最大，
15 27 147
∴四边形ABEF面积的最大值为 + = ．
2 16 16
（3）解：存在；过点D作MD⊥y轴，截取MD=AD，连接MP、MO，如图所示：
把x=0代入AD的解析式y=x+4得：y=4，
∴D(0,4)，
∵A(−4,0)，
∴OA=OD=4，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO=∠DAO=45°，
∵∠MDO=90°，
∴∠MDP=90°−45°=45°，
∴∠MDP=∠DAQ，
∵MD=AD，AQ=DP，
∴△ADQ≌△DMP，
∴MP=DQ，
∴DQ+OP=MP+OP，
∴当MP+DP最小时，DQ+OP最小，
∵两点之间线段最短，∴当M、P、O三点共线时，DQ+OP最小，且最小值为OM，
∵OA=OD=4，∠AOD=90°，
∴AD=❑√OA2+OD2=❑√42+42=4❑√2，
∴DM=4❑√2，
∴OM=❑√OD2+DM2=❑√42+(4❑√2) 2=4❑√3，
即DQ+OP的最小值为4❑√3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，求二次函
数解析式，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
38．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数y=❑√3x2−6❑√3x+5❑√3的图像交x轴于A、B
两点，交y轴于点C，连接BC．
(1)直接写出点B、C的坐标，B ； C ．
(2)M是抛物线对称轴上的一点，连接MA、MC．求MA+MC的最小值．
(3)点P是BC下方抛物线上的一点， 连接PB、PC．当△PBC的面积最大时，求点P坐标．
【答案】(1)(5,0)，(0,5❑√3)
(2)MA+MC的最小值为10
(5 15❑√3)
(3)点P坐标为 ,−
2 4
【分析】（1）在二次函数y=❑√3x2−6❑√3x+5❑√3中，令y=0，令x=0，即刻求解；
（2）根据题意可得：A、B关于抛物线的对称轴对称，且M是抛物线对称轴上的一点，得到当点M在直
线BC上，即AM=BM时，MA+MC最小，最小值为BC，再根据勾股定理求出BC，即可求解；
（3）如图，过点P作PD∥y，交x轴于点E，交BC于点D，先求出直线BC的解析式为y=−❑√3x+5❑√3，设P(a,❑√3a2−6❑√3a+5❑√3)，则D(a,−❑√3a+5❑√3)，
1
得到PD=−❑√3a2+5❑√3a，再根据S =S +S = OB·PD，得到关于a的二次函数即可求解．
△PBC △PBD △PCD 2
【详解】（1）解：令y=0，则❑√3x2−6❑√3x+5❑√3=0，
解得：x=5或x=1，
∴ A(1,0)，B(5,0)，
令x=0，则y=5❑√3，
∴ C(0,5❑√3)，
故答案为：(5,0)，(0,5❑√3)；
−6❑√3
（2）二次函数y=❑√3x2−6❑√3x+5❑√3的对称轴为：x=− =3，
2❑√3
根据题意可得：A、B关于对称轴x=3对称，且M是抛物线对称轴上的一点，
∴当点M在直线BC上，即AM=BM时，MA+MC最小，最小值为MA+MC=MB+MC=BC，
由（1）知，B(5,0)，C(0,5❑√3)，
∴ OB=5，OC=5❑√3，
∴ BC=❑√OB2+OC2=❑√52+(5❑√3) 2=10，
∴ MA+MC的最小值为10；
（3）如图，过点P作PD∥y，交x轴于点E，交BC于点D，设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(5,0)，C(0,5❑√3)代入得：
{ 5k+b=0 )
，
0k+b=5❑√3
{k=−❑√3)
解得： ，
b=5❑√3
∴直线BC的解析式为y=−❑√3x+5❑√3，
设P(a,❑√3a2−6❑√3a+5❑√3)，则D(a,−❑√3a+5❑√3)，
∴ PD=−❑√3a+5❑√3−(❑√3a2−6❑√3a+5❑√3)=−❑√3a2+5❑√3a，
1 1 1
∴ S =S +S = OE·PD+ BE·PD= OB·PD，
△PBC △PBD △PCD 2 2 2
即S =
1
×5(−❑√3a2+5❑√3a)=−
5❑√3(
a−
5) 2
+
125❑√3
，
△PBC 2 2 2 8
5
∴当a= 时，△PBC的面积最大，
2
(5 15❑√3)
此时点P坐标为 ,− ．
2 4
【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，勾股定理，
线段的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
39．（24-25九年级下·山东东营·期中）如图，抛物线y=ax2+bx−3（a≠0）与x轴交于点A(−1,0)，点
B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
(3)P是第四象限内抛物线上的动点，求△BPC面积S的最大值及此时P点的坐标．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)Q(1,−2)
27 (3 27)
(3)S的最大值为 ，P点的坐标为 ,
8 2 8
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）连接CB交对称轴于点Q，由A、B关于对称轴x=1对称得AQ=BQ，进而得到
AC+AQ+CQ=AC+CQ+BQ≥AC+BC，可知当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，利用
待定系数法求出直线BC的解析式，再把x=1代入计算即可求解；
（3）过点P作PG∥y轴 ，交BC于点G，设点P(t,t2−2t−3)，则G(t,t−3)， 可得
PG=t−3−(t2−2t−3)=−t2+3t，进而根据三角形面积公式求出S与t的函数解析式，最后根据二次函数
的性质解答即可求解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：把点A(−1,0)，点B(3,0)代入y=ax2+bx−3得，
{ a−b−3=0 )
，
9a+3b−3=0
{ a=1 )
解得 ，
b=−2
∴抛物线的表达式为y=x2−2x−3；
（2）解：如图，连接CB交对称轴于点Q，∵y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵A、B关于对称轴x=1对称，
∴AQ=BQ，
∴AC+AQ+CQ=AC+CQ+BQ≥AC+BC，
当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，
∵y=x2−2x−3，
∴C(0,−3)，
设直线BC的解析式为y=kx+m，把B(3,0)和C(0,−3)代入得，
{0=3k+m)
，
−3=m
{ k=1 )
解得 ，
m=−3
∴直线BC的解析式为y=x−3，
把x=1代入y=x−3，得y=1−3=−2，
∴Q(1,−2)；
（3）解：如图，过点P作PG∥y轴 ，交BC于点G， 连接PC，PB，
设点P(t,t2−2t−3)，则G(t,t−3)，∴PG=t−3−(t2−2t−3)=−t2+3t，
∴S=
1
×3×(−t2+3t)=−
3(
t−
3) 2
+
27
，
2 2 2 8
3 27
∴当t= 时，S的最大值为 ，
2 8
(3 27)
此时，P点的坐标为 , ．
2 8
1
40．（2025·广东云浮·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于点A，B两
2
点，与y轴交于点C(0,−4)，且△BOC的面积为8，D是BC中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值．
(3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且△GBD是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标
1
【答案】(1)y= x2−x−4
2
(2)2
(3)(1,1)或(1,−2+❑√7)或(1,−2−❑√7)
【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性
质、两点坐标距离公式等知识，正确求得函数解析式是解答的关键．
（1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）先由待定系数法可得直线BC的函数解析式为为y=x−4，而D是BC中点，有D(2,−2)，过点P作
PQ⊥x轴交BC于点Q，设P ( t, 1 t2−t−4 ) (0
