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高三数学开学摸底考试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
测试范围：新高考数学全部内容
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知i为虚数单位，则z＝ 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可．
【解答】解：z＝ ＝ ＝ ，
故z在复平面内对应的点位于第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题．
2．（5分）设集合M＝{x|x＝2n，n Z}，N＝{x|x＝4n±2，n Z}，则（ ）
A．M⫋N ∈ B．M⫌N ∈
C．M＝N D．以上都不正确
【分析】对集合N进行变形，可以看到集合M中的元素是2与整数的乘积的集合，集合N的元素是2
与奇数的乘积的集合，再判断即可．
【解答】解：集合M＝{x|x＝2n，n Z}，故集合M中的元素是2与整数的乘积的集合，
N＝{x|x＝4n±2，n Z}＝{x|x＝2（2∈n±1），n Z}，
故集合N的元素是∈2与奇数的乘积的集合，∈
故N⫋M，
故选：B．
【点评】本题考查集合与集合，集合与元素的关系，基础题．
3．（5分）A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻，E不站两端的不同站法的
种数为（ ）
A．48 B．96 C．144 D．288
【分析】使用捆绑法，然后恰当分类，结合间接法能求出结果．
【解答】解：第一步，先排A，B，共有 ＝2种排法，将排好的A、B作为一个整体，记为G；
学科网（北京）股份有限公司 1第二步，（1）先将C，D，G，F排成一排，再在产生的3个空位中选择一个排E，共有3 ＝72种排
法，
（2）先将C，D捆绑在一起，记为H，然后将H，G排成一排，
最后在2个空位中选一个排共，共有 ＝24种排法，
（3）将C，D，G，F，E排成一排，且C，D不相邻，E不站两端的排法有72﹣24＝48种，
综上，满足条件的不同排法共有2×48＝96种．
故选：B．
【点评】本题考查排列数的计算，考查捆绑法，恰当分类、间接法等基础知识，考查运算求解能力，是
基础题．
4．（5分）已知偶函数f（x）＝ax2+bx+1的定义域[a﹣1，2]，则函数f（x）的值域为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．[﹣3，1] D．[1，+∞）
【分析】根据函数的奇偶性的定义和性质，建立方程求出 a，b的值，结合一元二次函数值域的性质进
行求解即可．
【解答】解：∵偶函数f（x）＝ax2+bx+1的定义域[a﹣1，2]，
∴a﹣1+2＝0，得a＝﹣1，即函数的定义域为[﹣2，2]，
此时函数f（x）＝﹣x2+bx+1，
则对称轴为y轴，则﹣ ＝0，得b＝0，
则f（x）＝﹣x2+1，
∵﹣2≤x≤2，
∴﹣3≤f（x）≤1，即函数的值域为[﹣3，1]，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，结合二次函数的性质是解决本题的关键．
5．（5分）设椭圆 ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F 、F ，P是椭圆上一点，∠F PF ＝
1 2 1 2
60°，|PF |＝ |PF |（ ≤ ≤3），则椭圆的离心率的最小值为（ ）
1 2
λ λ
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 2【分析】由 ， ，在△PF F 中，由余弦定理，得|F F |2＝|PF |2+|PF |2﹣
1 2 1 2 1 2
2|PF |•|PF |cos60°，即（2c）2＝（ ）2+（ ）2﹣2× × × ，求解即可求椭圆的离心
1 2
率的最小值．
【解答】解：由 ，∴ ，
在△PF F 中，由余弦定理，得|F F |2＝|PF |2+|PF |2﹣2|PF |•|PF |cos60°
1 2 1 2 1 2 1 2
即（2c）2＝（ ）2+（ ）2﹣2× × × ，
上式两边同除以（2a）2，得e2＝（ ）2+（ ）2﹣ ＝ ＝1﹣
＝1﹣ ≥1﹣ ＝ ，
∴e≥ ，等号当且仅当 ＝1时成立，故椭圆的离心率的最小值为 ．
故选：A． λ
【点评】本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法，解题时要注意余弦定理的合理运用，属中档题．
6．（5分）已知f（x）＝sinx，g（x）＝ln|x|+（ex）2，则f（x）•g（x）＞0的解集是（ ）
A．{x|﹣ ＜x＜0或 ＜x＜ 或2n ＜x＜（2n+1） ，n Z，且n≠0}
π π π ∈
B．{x|﹣ ＜x＜﹣ 或 ＜x＜ 或2n ＜x＜（2n+1） ，n Z，且n≠0}
π π π π ∈
C．{x|﹣ ＜x＜0或0＜x＜ 或2n ＜x＜（2n+1） ，n Z，且n≠0}
π π ∈
D．{x|﹣ ＜x＜0或 ＜x＜ 或（2n﹣1） ＜x＜2n ，n Z，且n≠0}
π π π ∈
学科网（北京）股份有限公司 3【分析】不等式f（x）•g（x）＞0等价于 或 ，由此能求出结果．
【解答】解：∵g（x）＝ln|x|+（ex）2是偶函数，
∴当x＞0时，g（x）＝lnx+（ex）2，g′（x）＝ ＞0在x＞0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（ ）＝0，
∴当x （﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）时，g（x）＞0，
∈
当x （﹣ ，0）∪（0， ）时，g（x）＜0，
当x∈（2n ，2n + ），n Z时，f（x）＞0，
当x∈（2nπ+ ，π2nπ+2 ）∈，n Z时，f（x）＜0，
∈ π π π π ∈
∵不等式f（x）•g（x）＞0等价于 或 ，
∴不等式f（x）•g（x）＞0的解集为：
{x|﹣ ＜x＜0或 ＜x＜ 或2n ＜x＜（2n+1） ，n Z，且n≠0}．
故选：A． π π π ∈
【点评】本题考查不等式的解集的求法，考查函数的单调性、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，
是中档题．
7．（5分）已知cos ＝ ，则sin ＝（ ）
α
A． B．﹣ C． D．
【分析】由已知可求范围 （ ， ），则sin ＞0，进而根据二倍角公式即可计算得解sin 的
值． ∈ π
【解答】解：∵cos ＝ ，
α
∴ （ ， ），则sin ＞0，
∈ π
学科网（北京）股份有限公司 4∵cos ＝ ＝1﹣2sin2 ，可得sin2 ＝ ，
α
∴sin ＝ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于
基础题．
8．（5分）设S 是等比数列{a }的前n项和．若 ＝2，S ＝4，则S 等于（ ）
n n 4 8
A．12 B．24 C．16 D．32
【分析】本题先设等比数列{a }的公比为q，然后根据等比数列的定义及已知条件可计算出q4＝2，再根
n
据等比数列的求和公式写出S 及S 的表达式，进一步计算即可得到S 的结果．
4 8 8
【解答】解：由题意，设等比数列{a }的公比为q，则
n
＝q4＝2，
S ＝ ＝﹣ ＝4，
4
∴ ＝﹣4，
S ＝ ＝ ＝ •（1﹣4）＝（﹣4）×（﹣3）＝12．
8
故选：A．
【点评】本题主要考查等比数列的基本计算．考查了方程思想，定义法，整体思想，以及逻辑推理能力
和数学运算能力．本题属基础题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）已知菱形纸片ABCD的边长为2，且∠ABC＝60°，将△ABC绕AC旋转180°，旋转过
程中记点B位置为点P，则（ ）
A．直线AC与点P的轨迹所在平面始终垂直
B．PB+PD的最大值为
学科网（北京）股份有限公司 5C．二面角A﹣PD﹣C的大小与点P的位置无关
D．旋转形成的几何体的体积为
【分析】由题知，点P的轨迹所π在平面为平面BDP，再结合题意依次分析各选项即可得答案．
【解答】解：如图，点P的轨迹为以菱形对角线的交点为圆心的半圆弧，
即点P的轨迹所在平面为平面BDP，由于在菱形ABCD中，AC⊥BD，
所以在旋转过程中，AC⊥OP，
因为OP∩BD＝O，OP，BD 平面BDP，
所以AC⊥平面BDP，故A正⊂确；
对于B选项，因为PD2+PB2＝BD2＝12，
所以由不等式 ，得 ，
当且仅当PD＝PB时等号成立，故B正确；
对于C，取PD中点E，连接AE，CE，OE，由AP＝AD＝PC＝PD得PD⊥AE，PD⊥CE，
所以，∠AEC是二面角A﹣PD﹣C的平面角，
所以，由对称性可知∠AEC＝2∠AEO， ，
因为OE的长度随着P的位置的变化而变化，
所以，∠AEO随着P的位置的变化而变化，即∠AEC的大小与点P的位置有关，故C错误；
对于D选项，由题知旋转形成的几何体为两个半圆锥，底面半径为 ，高为1，
故其体积为 ，故D正确．
故选：ABD．
学科网（北京）股份有限公司 6【点评】本题主要考查旋转体的结构特征，二面角的求法，组合体的体积，考查运算求解能力与逻辑推
理能力，属于中档题．
（多选）10．（5分）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称
轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点．已知平行
于x轴的光线l 从点M射入，经过抛物线C：y2＝8x上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直
1
线l 射出，经过点N，则（ ）
2
A．若l 的方程为y＝2，则|PQ|＝8
1
B．若l 的方程为y＝2，且∠PQM＝∠MQN，则M（13，2）
1
C．分别延长PO，NQ交于点D，则点D在C的准线上
D．抛物线C在点P处的切线分别与直线FP，l 所成角相等
1
【分析】分别求出P、Q的坐标，利用焦点弦公式|PQ|＝x +x +p求出弦长可得选项A错；求解角的平分
1 2
线方程求解M的坐标，可得选项B正误；通过求解D的坐标，即可判断C正确；求出抛物线在P处的
切线方程及其斜率，再求出切线与直线l 及直线FP所成角的正切值，可得选项D正确．
1
【解答】解：由题意可得P（ ，2），又F（2，0），
学科网（北京）股份有限公司 7∴直线PF的斜率k＝ ＝− ，
∴直线PF的方程为：y＝− （x−2），
联立 ，得2x2﹣17x+8＝0，
∴x ＝ ，x ＝8，∴Q（8，﹣8），
1 2
∴|PQ|＝x +x +4＝ ，∴A选项错误；
1 2
直线PF的斜率k＝ ＝− ，
设MQ的斜率为k，k＞0，可得 ，可得2k2﹣3k﹣2＝0，
可得k＝2，
又直线MQ的斜率k ＝2，∴直线MQ的方程为：y+8＝2（x﹣8），即2x﹣y﹣24＝0，
MQ
，则M（13，2），∴B选项正确；
设P（ ，b），PO的方程为：y＝ ，PF的方程为：y＝ ，与y2＝8x联立，可得by2
﹣（b2﹣16）y﹣16b＝0，可得y ＝﹣ ，
Q
，可得D（﹣2， ），分别延长PO，NQ交于点D，则点D在C的准线上，
所以C选项正确；
设抛物线在P处的切线方程为：y−2＝k（x− ）（k≠0），
学科网（北京）股份有限公司 8联立 ，得ky2﹣8y+16﹣4k＝0，
由Δ＝64﹣4k（16﹣4k）＝0，解得k＝2．
∴抛物线在P处的切线方程为：y＝2x+1，
∴该切线与直线l 所成角的正切值为2．
1
设该切线与直线FP所成角为 ，
θ
则tan ＝| |＝| |＝2，
θ
∴该切线与直线l 所成角的正切值与该切线与直线FP所成角的正切值相同，
1
即抛物线C在点P处的切线分别与直线l 、FP所成角相等，∴D选项正确．
1
故选：BCD．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，属中
档题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝xcosx﹣sinx，下列结论中正确的是（ ）
A．函数f（x）在x＝ 时取得极小值﹣1
B． x [0， ]，f（x）≤0恒成立
∀ ∈ π
C．若0＜x ＜x ＜ ，则 ＜
1 2
π
D．若a＜ ＜b， x （0， ）恒成立，则a的最大值为 ，b的最小值为1
【分析】利用可导函数∀极∈值点处的导数为零判断A，通过f′（x）的符号确定f（x）在[0， ]上的单调
π
性，判断B，再构造函数g（x）＝ ，研究其单调性判断C，D选项．
【解答】解：f′（x）＝﹣xsinx，
对于A， ＝﹣ ≠0，A错；
对于B，当x [0， ]时，f′（x）≤0恒成立，f（x）单调递减，所以f（x） ＝f（0）＝0，B对；
max
∈ π
学科网（北京）股份有限公司 9对于CD，令g（x）＝ ，则g′（x）＝ ，由B知，g′（x）＜0在（0， ）上恒成
π
立，所以g（x）在（0， ）上是减函数，
π
所以由0＜x ＜x ＜ ，则 ，结合sinx ＞0，sinx ＞0得 ＜ ，C对；
1 2 1 2
π
显然g（x）在（0， ）上单调递减，所以 ＝ 在（0， ）上恒成立，
再令h（x）＝x﹣sinx，0 ，h′（x）＝1﹣cosx≥0在（0， ）上恒成立，h（x）是增函数，
所以h（x）＝x﹣sinx＞0，即 ＜1在（0， ）上恒成立，
综上 ＜1在（0， ）上恒成立，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了导数的综合应用，侧重考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值等，属于难题．
（多选）12．（5分）某社团开展“建党100周年主题活动﹣﹣学党史知识竞赛“，甲、乙两人能得满分
的概率分别为 ， ，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是（ ）
A．两人均获得满分的概率为
B．两人至少一人获得满分的概率为
C．两人恰好只有甲获得满分的概率为
D．两人至多一人获得满分的概率为
【分析】根据已知条件，结合独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式，即可求解．
【解答】解：∵甲，乙两人能得满分的概率分别为 ， ，两人能否获得满分相互独立，
分别记甲，乙能得满分的事件为M，N，P（M）＝ ， ，M，N独立，
∴两人均获得满分的概率为P（MN）＝P（M）P（N）＝ ，故A正确，
学科网（北京）股份有限公司 10两人至少一人获得满分的概率为 ＝[1﹣P（M）][1﹣P（N）]＝ ，故
B错误，
两人恰好只有甲获得满分的概率为 ＝ ，故C错误，
两人至多一人获得满分的概率为1﹣P（MN）＝1﹣ ，故D错误．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式，需要学生熟练掌握公式，属于
基础题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线
x+y﹣4＝0上的动点，则 的最小值为 ．
【分析】根据题意，设AB的中点为N，设N的坐标为（x，y），分析可得x2+y2＝ ，即N的轨迹是以
O为圆心，半径为 的圆，又由 + ＝2 ，则| + |＝2| |，分析| |的几何意义，结合直线与
圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设AB的中点为N（x，y），A在x轴上，B在y轴上，
|AB|＝3，且的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，
则设A（2x，0），B（0，2y），且（2x﹣0）2+（2y﹣0）2＝9，
变形可得：x2+y2＝ ，即N的轨迹是以O为圆心，半径为 的圆，设该圆为圆O，
又由 + ＝2 ，则| + |＝2| |，
| |的几何意义为圆O上任意的一点到直线x+y﹣4＝0上任意一点的距离，
又由点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离d＝ ＝2 ，
则| |的最小值d′＝d﹣r＝2 ﹣ ，
故 的最小值为4 ﹣3；
学科网（北京）股份有限公司 11故答案为：4 ﹣3．
【点评】本题考查直线与圆为位置关系，涉及向量加法的几何意义以及向量的线性运算，属于中档题．
14．（5分）四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为3的正方形，四条侧棱的长均为 ，
则该四棱台的体积为 ．
【分析】如图，过B 作B E⊥BD，垂足为E，求出|BE|、|B E|，利用相似三角形的性质求出|PQ |，结合
1 1 1 1
锥体的体积公式分别求出四棱锥P﹣A B C D 和P﹣ABCD的体积即可．
1 1 1 1
【解答】解：如图，该四棱台为ABCD﹣A B C D ，
1 1 1 1
四棱锥P﹣ABCD的高PO交BD于O，交B D 于O ，
1 1 1
由题意知，|BD|＝3 ，|B D |＝2 ，过B 作B E⊥BD，垂足为E，
1 1 1 1
则|BE|＝ ＝ ，又|BB |＝ ，所以|B E|＝ ＝ ，
1 1
在四棱锥P﹣ABCD中， ＝ ， ＝ ，
所以 ＝ ＝ ＝ ，而|OO |＝|B E|＝ ，
1 1
解得|PO |＝ ，
1
所以四棱锥P﹣A B C D 的体积为 ＝ •|PO |＝ ，
1 1 1 1 1
四棱锥P﹣ABCD的体积为V P﹣ABCD ＝ S ABCD •（|PO 1 |+|O 1 |O）＝ ，
学科网（北京）股份有限公司 12所以四棱台ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 的体积为V P﹣ABCD ﹣ ＝ ﹣ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查棱锥的体积公式，考查运算求解能力，属于中档题．
15．（5分）已知圆x2+y2+4x﹣6y+a＝0关于直线y＝x+b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是 （﹣∞ ，
8 ） ．
【分析】首先将圆的方程整理为标准形式，然后利用直线过圆心确定 b的值，利用圆的方程确定a的取
值范围即可求得a﹣b的取值范围．
【解答】解：圆的方程化为标准方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝13﹣a，
由题意知，直线y＝x+b过圆心，而圆心坐标为（﹣2，3），
代入直线方程，得b＝5，
由圆的方程可知13﹣a＞0，即a＜13，
由此，得a﹣b＜8，
故答案为：（﹣∞，8）．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的方程的应用，圆中的最值与范围问题等知识，属于基
础题．
16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0）．若f（x）的图象向左平移 个单位所得的图象与
f（x）的图象重合，则 的最小值ω为 φ 6 ．ω
【分析】由条件利用函ω数y＝Asin（ x+ ）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得 的最小值
【解答】解：函数f（x）＝sin（ x+ω ）φ（ ＞0）， ω
ω φ ω
∵把f（x）的图象向左平移 个单位所得的图象为y＝sin[ （x+ ）+ ]＝sin（ x+ + ），
ω φ ω φ
∴ ＝+ + +2k ．即 ＝﹣6k，k z，
∵φ＞0， φ π ω ∈
∴ω的最小值为：6
故ω答案为：6
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ x+ ）的图象变换规律，终边相同的角，属于基础题
四．解答题（共6小题，满分70分） ω φ
17．（10分）在△ABC中，AB＝4，AC＝2 ，点D为BC的中点，连接AD并延长到点E，使AE＝
学科网（北京）股份有限公司 133DE．
（1）若DE＝1，求∠BAC的余弦值；
（2）若∠ABC＝ ，求线段BE的长．
【分析】（1）由题意得AD＝2，cos∠ADB+cos∠ADC＝0，由题意设BD＝DC＝x，利用余弦定理得
cos∠ADB＝ ，cos∠ADC＝ ，求出x，可得BC，利用余弦定理，即可
得出答案；
（2）利用余弦定理可得BC＝2 ，结合题意，利用余弦定理可得AD＝ ，cos∠BAE＝ ，即
可得出答案．
【解答】解：（1）∵DE＝1，AE＝3DE，∴AD＝2，
∵∠ADB+∠ADC＝ ，∴cos∠ADB+cos∠ADC＝0，
由题意设BD＝DC＝πx，AB＝4，AC＝2 ，
则在△ADB中，由余弦定理得cos∠ADB＝ ＝ ＝ ，
在△ADC中，由余弦定理得cos∠ADC＝ ＝ ＝ ，
∴ + ＝0，解得x＝2 ，
∴BC＝2BD＝4 ，
在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝ ＝ ＝﹣ ；
（2）∵AB＝4，AC＝2 ，∠ABC＝ ，
∴在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC，即8＝16+BC2﹣2×4× BC，解得
学科网（北京）股份有限公司 14BC＝2 ，
∵点D为BC的中点，∴BD＝ BC＝ ，
在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABC＝16+2﹣2× ×4× ＝10，即AD＝
，
∵AE＝3DE，∴AE＝ AD＝ ，
在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAE＝ ＝ ＝ ，
在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AB2+AE2﹣2AB•AEcos∠BAE＝16+（ ）2﹣2×4× ×
＝ ，即BE＝ ．
【点评】本题考查三角形中的几何计算和解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属
于中档题．
18．（12分）已知数列{a }满足a ＝ ．
n 1
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）证明：对 n N*，a a a +a a a +…+a a a ＜ ．
1 2 3 2 3 4 n n+1 n+2
∀ ∈
【分析】（1）求得a ＝ ，判断a ＞0，两边取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得所
n+1 n
求通项公式；
（2）求得a a a ＝ [ ﹣ ]，再由数列的裂项相消求和和不等式的性质，
k k+1 k+2
即可得证．
【解答】解：（1）由a ＝ ，
1
可得a ＝ ，
n+1
学科网（北京）股份有限公司 15由a ＞0，可得a ＞0，
1 n
则 ＝1+ ，
即 ﹣ ＝1，
所以{ }是首项为2，公差为1的等差数列，
则 ＝2+n﹣1＝n+1，即a ＝ ；
n
（2）证明：a ＝ ，对k＝1，2，3，…，a a a ＝
n k k+1 k+2
＝ [ ﹣ ]，
所 以 a a a +a a a +… +a a a ＝ [ ﹣ + ﹣ +… + ﹣
1 2 3 2 3 4 n n+1 n+2
]
＝ [ ﹣ ]＝ ﹣ ＜ ．
【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力、推理能
力，属于中档题．
19．（12分）某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户．根据这100名用户的评分，绘
制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），⋯，[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40，60），[60，80），[80，100）的中抽取20人，
则评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人？
（3）用每组数据的中点值代替该组数据，试估计用户对该APP评分的平均分．
学科网（北京）股份有限公司 16【分析】（1）根据题意，由频率值和等于1，可求频率分布直方图中a的值；
（2）由频率分布直方图可知评分在[40，60），[60，80），[80，100]内的顾客人数之比，进而求出评
分在[40，60）内的顾客应抽取多少人；
（3）根据频率分布直方图中的数据，利用平均数的求法公式即可求出结果．
【解答】解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10＝1，解得a＝0.006；
（2）由频率分布直方图可知，
评分在[40，60），[60，80），[80，100]内的顾客人数之比为：（0.004+0.006）：（0.022+0.028）：
（0.022+0.018）＝1：5：4，
所以评分在[40，60）内的顾客应抽取 （人）；
（ 3 ） 用 户 对 该 APP 评 分 的 平 均 分 为 ：
＝76.2．
【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△APC为等边三角形，AC＝4，平面APC⊥底面ABC，AB＝
BC＝2 ，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，BM＝ BC，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求 的值．
λ λ
学科网（北京）股份有限公司 17【分析】（1）由题意得PO⊥AC，又平面APC⊥底面ABC，根据面面垂直的性质，即可证明结论；
（2）连接BO，由（1）可知建立以O为坐标原点，以AC、OB、OP所在直线为x轴、y轴、z轴的空间
直角坐标系O﹣xyz，利用向量法，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：∵△APC为等边三角形，O为AC的中点，
∴PO⊥AC，
∵平面APC⊥底面ABC，平面APC∩平面ABC＝AC，PO 平面APC，
∴PO⊥平面ABC； ⊂
（2）连接BO，由（1）可知建立以O为坐标原点，以AC、OB、OP所在直线为x轴、y轴、z轴的空间
直角坐标系O﹣xyz，如图所示：
AB＝BC＝2 ，AC＝4，则OP＝2 ，AB2+BC2＝16＝AC2，
∴△ABC等腰直角三角形，则OB＝2，BO⊥AC，
∴C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2 ），A（﹣2，0，0），设M（x，y，0），
则 ＝（x，y﹣2，0）， ＝（2，﹣2，0），
∵BM＝ BC，∴ ，则x＝2 ，y＝2﹣2 ，0≤ ≤1，
∴M（2λ ，2﹣2 ，0），
λ λ λ
∵平面AλPC⊥平λ面ABC，平面APC∩平面ABC＝AC，BO 平面ABC，
∴BO⊥平面PAC， ⊂
∴平面PAC的一个法向量为 ＝（0，2，0），
设平面MPA的一个法向量为 ＝（x，y，z）， ＝（2，0，2 ）， ＝（2 +2，2﹣2 ，0），
λ λ
则 ，取x＝ ，则z＝﹣1，y＝ ，
∴平面MPA的一个法向量为 ＝（ ， ，﹣1），
∵二面角M﹣PA﹣C为30°，
学科网（北京）股份有限公司 18∴cos＜ ， ＞＝ ＝ ＝cos30°＝ ，即（ ）2＝4，解得 ＝3
λ
（不合题意，舍去）或 ＝ ，
λ
故 ＝ ．
λ
【点评】本题考查直线与平面垂直、二面角、空间向量的应用，考查转化思想和数形结合思想，考查逻
辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．
21．（12分）已知双曲线 （其中a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F （﹣c，0）、F （c，
1 2
0）（其中c＞0）．
（1）若双曲线过点（2，1）且一条渐近线方程为 ；直线l的倾斜角为 ，在y轴上的截距为
﹣2．直线l与该双曲线交于两点A、B，M为线段AB的中点，求△MF F 的面积；
1 2
（2）以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为P．过P作圆的切线，若
切线的斜率为 ，求双曲线的离心率．
【分析】（1）根据已知条件，结合渐近线的定义，推得 ，再结合双曲线过点（2，1），即可求
出双曲线的方程，再与直线l联立，并结合韦达定理，即可求解；
（2）先求出圆的方程，再与双曲线联立，求出点P的坐标，再结合斜率公式，以及离心率公式，即可
求解．
【解答】解：（1）双曲线过点（2，1）且一条渐近线方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司 19则 ①，
双曲线过点（2，1），
则 ②，
联立①②解得，a2＝2，b2＝1，
故双曲线的方程为 ，
直线l的倾斜角为 ，在y轴上的截距为﹣2，
则l的方程为y＝x﹣2，代入双曲线方程可得，x2﹣8x+10＝0，
设A（x ，y ），B（x ，y ），M（x，y），
1 1 2 2
则x +x ＝8，
1 2
M为线段AB的中点，
则x＝4，y＝x﹣2＝2，即M（4，2），
∵ ，
∴△MF F 的面积为 ；
1 2
（2）由题意可知，圆的方程为x2+y2＝c2，
联立 ，解得x＝ ，y＝ ，即P（ ， ），
切线的斜率为 ，
则k ＝ ，化简整理可得，3（c2﹣a2）＝ ，
OP
故3c4+4a4﹣8a2c2＝0，即3c4﹣8e2+4＝0，解得e2＝2，
故双曲线的离心率为 ．
【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣axlnx+1+a，a R，f′（x）为f（x）的导函数．
（1）讨论f′（x）的极值； ∈
学科网（北京）股份有限公司 20（2）若存在t [2，e]，使得不等式f（t）＜0成立，求a的取值范围．
∈
【分析】（1）求得f'（x）＝2x﹣a（1+lnx），设g（x）＝2x﹣a（1+lnx），求得 ，分
a≤0和a＞0，两种情况讨论，结合函数的单调性和极值的定义，即可求解；
（2）根据题意转化为存在t [2，e]，使得 ，构造函数 ，求得
∈
，分a+1≤2、2＜a+1＜e和a+1≥e，结合函数h（t）的单调性和极值、最
值，即可求解．
【解答】解：（1）由题意，函数f（x）＝x2﹣axlnx+1+a，a R，
可得函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f'（x）＝2x﹣a（∈1+lnx），
设g（x）＝f'（x）＝2x﹣a（1+lnx），x （0，+∞），则 ，
①当a≤0时，可得g'（x）＞0，所以g∈（x）在（0，+∞）上单调递增，所以f'（x）没有极值；
②当a＞0时，若 ，则g'（x）＜0，f′（x）在 上单调递减，
若 ，则g'（x）＞0，f′（x）在 上单调递增，
所以f′（x）在 处取得极小值，且极小值为 ，在（0，+∞）上没有极大值，
综上，当a≤0时，f′（x）没有极值；当a＞0时，f′（x）的极小值为 ，无极大值．
（2）由题意知，存在t [2，e]，使得f（t）＝t2﹣atlnt+1+a＜0，
∈
即存在t [2，e]，使得 ，
∈
构造函数 ，则 ，
当a+1≤2，即a≤1时，h'（t）≥0在[2，e]上恒成立，h（t）单调递增，
所以h（2）＜0，可得 ，与a≤1矛盾，不满足题意；
当2＜a+1＜e，即1＜a＜e﹣1时，若t [2，a+1]，则h′（t）≤0，h（t）单调递减，
若t [a+1，e]，则h'（t）≥0，h（t）单∈调递增，此时h（t）
min
＝h（a+1），
∈
学科网（北京）股份有限公司 21由h（t） ＝h（a+1）＜0，可得（a+1）﹣aln（a+1）+1＜0，所以a+2＜aln（a+1），
min
因为2＜a+1＜e，所以不等式a+2＜aln（a+1）不成立；
当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h′（t）≤0在t [2，e]上恒成立，h（t）单调递减，
∈
所以h（e）＜0，可得 ，满足题意．
综上，实数a的取值范围为 ．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，恒成立问题的求解，化归转
化思想，属难题．
学科网（北京）股份有限公司 22
