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高三数学开学摸底考试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
测试范围：新高考数学全部内容
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．（5分）已知i为虚数单位，则z＝ 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）设集合M＝{x|x＝2n，n Z}，N＝{x|x＝4n±2，n Z}，则（ ）
A．M⫋N ∈ B．M⫌N ∈
C．M＝N D．以上都不正确
3．（5分）A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻，E不站两端的不同站法的
种数为（ ）
A．48 B．96 C．144 D．288
4．（5分）已知偶函数f（x）＝ax2+bx+1的定义域[a﹣1，2]，则函数f（x）的值域为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．[﹣3，1] D．[1，+∞）
5．（5分）设椭圆 ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F 、F ，P是椭圆上一点，∠F PF ＝
1 2 1 2
60°，|PF |＝ |PF |（ ≤ ≤3），则椭圆的离心率的最小值为（ ）
1 2
λ λ
A． B． C． D．
6．（5分）已知f（x）＝sinx，g（x）＝ln|x|+（ex）2，则f（x）•g（x）＞0的解集是（ ）
A．{x|﹣ ＜x＜0或 ＜x＜ 或2n ＜x＜（2n+1） ，n Z，且n≠0}
π π π ∈
B．{x|﹣ ＜x＜﹣ 或 ＜x＜ 或2n ＜x＜（2n+1） ，n Z，且n≠0}
π π π π ∈
C．{x|﹣ ＜x＜0或0＜x＜ 或2n ＜x＜（2n+1） ，n Z，且n≠0}
π π ∈
D．{x|﹣ ＜x＜0或 ＜x＜ 或（2n﹣1） ＜x＜2n ，n Z，且n≠0}
π π π ∈
学科网（北京）股份有限公司 17．（5分）已知cos ＝ ，则sin ＝（ ）
α
A． B．﹣ C． D．
8．（5分）设S 是等比数列{a }的前n项和．若 ＝2，S ＝4，则S 等于（ ）
n n 4 8
A．12 B．24 C．16 D．32
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
（多选）9．（5分）已知菱形纸片ABCD的边长为2，且∠ABC＝60°，将△ABC绕AC旋转180°，旋转过
程中记点B位置为点P，则（ ）
A．直线AC与点P的轨迹所在平面始终垂直
B．PB+PD的最大值为
C．二面角A﹣PD﹣C的大小与点P的位置无关
D．旋转形成的几何体的体积为
（多选）10．（5分）抛物线有如下π光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称
轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点．已知平行
于x轴的光线l 从点M射入，经过抛物线C：y2＝8x上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直
1
线l 射出，经过点N，则（ ）
2
A．若l 的方程为y＝2，则|PQ|＝8
1
B．若l 的方程为y＝2，且∠PQM＝∠MQN，则M（13，2）
1
C．分别延长PO，NQ交于点D，则点D在C的准线上
D．抛物线C在点P处的切线分别与直线FP，l 所成角相等
1
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝xcosx﹣sinx，下列结论中正确的是（ ）
A．函数f（x）在x＝ 时取得极小值﹣1
学科网（北京）股份有限公司 2B． x [0， ]，f（x）≤0恒成立
∀ ∈ π
C．若0＜x ＜x ＜ ，则 ＜
1 2
π
D．若a＜ ＜b， x （0， ）恒成立，则a的最大值为 ，b的最小值为1
（多选）12．（5分）某∀社∈团开展“建党100周年主题活动﹣﹣学党史知识竞赛“，甲、乙两人能得满分
的概率分别为 ， ，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是（ ）
A．两人均获得满分的概率为
B．两人至少一人获得满分的概率为
C．两人恰好只有甲获得满分的概率为
D．两人至多一人获得满分的概率为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线
x+y﹣4＝0上的动点，则 的最小值为 ．
14．（5分）四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为3的正方形，四条侧棱的长均为 ，
则该四棱台的体积为 ．
15．（5 分）已知圆 x2+y2+4x﹣6y+a＝0 关于直线 y＝x+b 成轴对称图形，则 a﹣b 的取值范围是
．
16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0）．若f（x）的图象向左平移 个单位所得的图象与
f（x）的图象重合，则 的最小值ω为 φ ω．
四、解答题：本大题共6小ω题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在△ABC中，AB＝4，AC＝2 ，点D为BC的中点，连接AD并延长到点E，使AE＝
3DE．
（1）若DE＝1，求∠BAC的余弦值；
学科网（北京）股份有限公司 3（2）若∠ABC＝ ，求线段BE的长．
18．（12分）已知数列{a }满足a ＝ ．
n 1
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）证明：对 n N*，a a a +a a a +…+a a a ＜ ．
1 2 3 2 3 4 n n+1 n+2
∀ ∈
19．（12分）某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户．根据这100名用户的评分，绘
制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），⋯，[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40，60），[60，80），[80，100）的中抽取20人，
则评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人？
（3）用每组数据的中点值代替该组数据，试估计用户对该APP评分的平均分．
学科网（北京）股份有限公司 420．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△APC为等边三角形，AC＝4，平面APC⊥底面ABC，AB＝
BC＝2 ，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，BM＝ BC，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求 的值．
λ λ
21．（12分）已知双曲线 （其中a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F （﹣c，0）、F （c，
1 2
0）（其中c＞0）．
（1）若双曲线过点（2，1）且一条渐近线方程为 ；直线l的倾斜角为 ，在y轴上的截距为
﹣2．直线l与该双曲线交于两点A、B，M为线段AB的中点，求△MF F 的面积；
1 2
（2）以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为P．过P作圆的切线，若
切线的斜率为 ，求双曲线的离心率．
学科网（北京）股份有限公司 522．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣axlnx+1+a，a R，f′（x）为f（x）的导函数．
（1）讨论f′（x）的极值； ∈
（2）若存在t [2，e]，使得不等式f（t）＜0成立，求a的取值范围．
∈
学科网（北京）股份有限公司 6
