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高三入学考试(二)
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ， ，下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先解绝对值不等式求出集合 ，再根据对数函数的性质求出集合 ，图中阴影部分表示
，根据交集、补集的定义计算可得.
【详解】由 ，即 或 ，解得 或 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
图中阴影部分表示 .
故选：C
2．设i为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】先求出复数 ，再求 .
【详解】∵ ，∴ .
故选：A
3．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善
良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如
图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧 ， 所在圆的半径分别是3和
6，且 ，则关于该圆台下列说法错误的是（ ）
A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．内切球的半径为
【答案】B
【分析】设圆台的上底面半径为 ，下底面半径为 ，根据圆弧所在圆的半径和圆心角，求出 ，计算
圆台的高、体积、表面积以及内切球的半径即可判断.
【详解】设圆台的上底面半径为 ，下底面半径为 ，
则 ，即 ； ，即 ；
又圆台的母线长 ，
所以圆台的高 ，A正确；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2圆台的体积 ，B错误；
圆台的表面积 ，C正确；
由于圆台的母线长等于上下底面半径和，所以圆台的高即为内切球的直径，
所以内切球的半径为 ，D正确.
故选：B.
4．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 及其准线分别交于 两点，
，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过P点作PH⊥准线，根据抛物线的定义及向量的线性关系求出 ，再转化为求
，即可得直线斜率.
【详解】如图，
过 点作 准线，垂足为 点，则 ，
由 ，得 ，
则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3则 ，
则 ，
根据抛物线的对称性可得直线 的斜率为 .
故选：C
5．黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比值为 的点．利用线段
上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知C，D为AB的两个黄金分割点，研究发现如下规
律： ．若等腰△CDE的顶角 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，根据已知可求出 ， .取 中点为 ，在 中，
求得 ，然后根据二倍角的余弦公式，计算，即可得出答案.
【详解】设 ，由已知可得 ，
则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4所以， .
如图，取 中点为 ，连接 ，则 .
在 中，有 ， ， ，
则 ，
所以， .
故选：B.
6．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）
A．将总体划分为 层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 、 和 ，且
已知 ，则总体方差
B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 越接近于
C．若 ， ，则事件 、 相互独立
D．某医院住院的 位新冠患者的潜伏天数分别为 、 、 、 、 、 、 、 ，则该样本数据的第
百分位数为
【答案】C
【分析】利用方差公式可判断A选项；利用相关系数与线性相关关系可判断B选项；利用条件概率公式以
及独立事件的定义可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，设 层数据分别为 、 、 、 ； 、 、 、 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5因为 ，所以，总体平均数为 ，
所以， ， ，
所以，总体方差为
，
则 ，
所以，当 或 时， ，否则 ，A错；
对于B选项，在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 的绝对值越接近于 ，B错；
对于C选项，由条件概率公式可得 ，所以， ，
所以， ，故 ，
所以，事件 、 相互独立，C对；
对于D选项，将样本数据由小到大排列分别为 、 、 、 、 、 、 、 ，
所以，该样本数据的第 百分位数为 ，D错.
故选：C.
7．在三棱锥 中， 平面 ，且 ，当三棱锥 的体
积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，根据已知条件用 把三棱锥 的体积表示出来，然后利用导数确定体积取最大
值时 的值，进而确定出三棱锥外接球的半径，从而求出体积.
【详解】设 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6故三棱锥 的体积 .
设 ，则 .
由 ，得 ；由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
即三棱锥 体积的最大值是 ，此时 ，即 .
因为 平面 ，
所以三棱锥 外接球的半径 ，
则三棱锥 外接球的体积为 .
故选：B.
8．设函数 ， ，若存在直线 既是曲线 的切线，也是曲线 的
切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别设出直线 与两曲线的切点坐标 ， ，利用导数的几何意义求出切线方程，
根据题意得到 ，记 且 ，利用导数与函数的单调性即可求解.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7【详解】设直线 为曲线 在点 处的切线， ，
所以 ，即 ；
设直线 为曲线 在点 处的切线， ，
所以 ，即 ，
由题意知 ，因为 ，
由 可得 ，
将其代入 可得： ，
显然 ，整理得 .
记 且 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，则 ，即 ，
化简得 ，解得 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．如图所示，该曲线W是由4个圆： ， ， ， 的
一部分所构成，则下列叙述正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2π
B．若圆 与曲线W有8个交点，则
C． 与 的公切线方程为
D．曲线W上的点到直线 的距离的最小值为4
【答案】ACD
【分析】A选项可将曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，
即可判断；
B选项可直接由图讨论判断对错；
C选项可由圆心到直线的距离等于半径，求出公切线；
D选项可先找到 ， 的公切线方程为 ，曲线W上的点到直线 的距
离的最小值即为平行线间的距离.
【详解】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，
所以其面积为 ，故A选项正确.
当 时，交点为B，D，F，H；当 时，交点为A，C，E，G；
当 或 时，没有交点；当 时，交点个数为8，故B选项错误.
设 与 的公切线方程为 ，
由直线和圆相切的条件可得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9解得 ， （ 舍去），
则其公切线方程为 ，即 ，故C选项正确.
同理可得 ， 的公切线方程为 ，
则两平行线的距离 ，故D选项正确.
故选：ACD.
10．已知函数 的图象关于 对称，则（ ）
A． 的最大值为2
B． 是偶函数
C． 在 上单调递增
D．把 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于点 对称
【答案】AB
【分析】依题意可求出 ，从而可得 ，结合函数的图象性质逐一判断即可.
【详解】因为函数 的图象关于 对称，
所以 ，解得 ，
所以 ，其最大值为2，故A正确；
令 ，
定义域为 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10所以 即 是偶函数，故B正确；
时， ， 在 单调递增，
在 单调递减，故C错误；
把 的图象向左平移 个单位长度，得到函数
的图象，
因为 ，
所以 的图象不关于点 对称，故D错误.
故选：AB
11．已知 ， 是椭圆 ： 与双曲线 ： 的公共焦点， ，
分别是 与 的离心率，且P是 与 的一个公共点，满足 ，则下列结论中正确的是
（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D． 的最大值为
【答案】BD
【分析】根据椭圆和双曲线的焦点可判断A,由圆锥曲线的定义以及离心率的计算公式可判断B，结合对勾
函数的性质可判断C，利用三角换元可判断D.
【详解】对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故 ，故A错误；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11对选项B： ，不妨设 为第一象限的点，即 ，由于 ， ，
故 ， ，故 ，即 ，即 ，故B正确；
对选项C：由 得 ，则 ，令 ，所以
，
由于 ，所以对勾函数 在 单调递增，故 ,
没有最小值，故C错误，
对选项D：设 ， ， ，
，若最大值为 ，则 ， ， ，即 ，
， ，成立，故D正确；
故选：BD
12．已知函数 的定义域为 为奇函
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12数，则（ ）
A．函数 的图象关于 对称
B．函数 是周期函数
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据函数的对称性可得 的图象关于 对称，结合函数变换可推出函数 是周期为 的
函数，结合对称性与周期性逐项判断即可得答案.
【详解】因为 为奇函数，则 ，所以 ，则函数 的图象
关于 对称，故A正确；
因为 ①， ②，
则①+②得： ，即 ③，
②-①得： ，即 ④，
由③得 代入④得 ，所以 ，则 ，则
函数 是周期为 的函数，故B正确；
由于 的图象关于 对称， 是周期为 的函数，无法确定是否关于点 对称，故C不正确；
将③代入①可得 ，
所以 ， ， ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13， ， ，
，
累加得： ，故可得
，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13． 的展开式中 的系数为 ．（用数字作答）
【答案】
【分析】依题意 ，再写出 展开式的通项，从而求出展开
式中 的系数.
【详解】因为 ，
其中 展开式的通项公式为 （ 且 ），
所以 的展开式中含 的项为 ，
所以 的展开式中 的系数为 ．
故答案为：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1414．已知向量 ， ， ，满足 ，且 ， ，则 与 的夹角为 ．
【答案】 或
【分析】根据给定条件，求出向量 ， 的夹角，借助几何图形求出垂直于向量 的向量与 的夹角，
再结合共线向量求解作答.
【详解】依题意， ， ，则 ，而 ，于是 ，
作向量 ，有 ， 是边长为1的正三角形，如图，
取 的中点 ，连接 ，则 ，且 ，
而 ，因此 ，则 与 共线，
所以向量 与 的夹角为 或 .
故答案为： 或
15．已知函数 有两个极值点 ， ，且 ，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据极值点的定义，结合函数零点的定义，通过构造函数，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】由 有两个不同实根 ，
且 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15设 ，
当 时， ，当 时， ，
在 单调递减，在 单调递增，所以 ，
显然当 时， ，当 时， ，
图象如下：
所以有 ，则有 ，
当 时，即. ，
时， ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据函数极值的定义，结合构造函数法、数形结合法进行求解是解题的关键.
16．已知数列 的通项公式是 ，记 为 在区间 内项的个数，则
，不等式 成立的 的最小值为 ．
【答案】 14 13
【分析】①根据 ，得 ，代入即可得解；②根据 ，得
，对 分奇偶讨论即可得解.
【详解】令 ，得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
所以 .
当 为奇数时， ，
即 ，因为 ，所以 ，即 ，
因为 为奇数，所以 的最小值为 ；
当 为偶数时， ，
因为 ，所以 ， ，
因为 为偶数，所以 的最小值为 .
综上所述， 的最小值为 .
故答案为： ，
【点睛】关键点点睛：讨论m的奇偶性求出对应 通项公式为关键.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．记 的内角 的对边分别为 ，分别以 为边长的三个正三角形的面积依次为
，已知 .
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据面积公式及余弦定理得到 ，再求出 ，即可求出 ，最后由面积公式计
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17算可得；
（2）由正弦定理求出 ，即可得解.
【详解】（1）由题意得 ， ， ，
则 ，即 ，
由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ，所以 ，则 ；
（2）由正弦定理得 ，
所以 ，
则 或 （舍去），所以 .
18．在直角梯形 中（如图一）， ， ， .将 沿 折起，
使 （如图二）.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)设 为线段 的中点，求点 到直线 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先取 的中点 ，连接 ，根据题意易证 平面 ，从而得到 ，即可
得到 平面 ，再根据面面垂直的判定即可证明平面 平面 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18（2）首先取 的中点 ，连接 ，易证 平面 ，从而得到 ，再计算
的长度即可.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，如图所示：
因为 ， ，
则四边形 为正方形，所以 ，
因为 ，所以 .
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 .
又因为 平面 ，所以 .
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）取 的中点 ，连接 ，
因为 平面 ， ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19因为 ， ，且 ，
所以 ，
即点 E 到直线 CD 的距离为 .
19．记 为数列 的前 项和，已知 的等差中项为 .
(1)求证 为等比数列；
(2)数列 的前 项和为 ，是否存在整数 满足 ？若存在求 ，否则说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）利用等差中项性质化简，再利用 与 的关系求出 ，利用等比数列定义即可
证明；
（2）先求出通项公式，利用放缩法及等比数列前n项和公式求出和的范围即可求出整数k.
【详解】（1）因为 的等差中项为 ，所以 ，
因为 时， ，则 ，所以 ，
由 得 ，
又 ，两式相减得 ，即 ，
所以有 ，所以 ，
所以 是等比数列，其首项为 ，公比为2.
（2）由（1）知 ，所以 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，所以 .
20．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 ， 与 轴交于点 ， 与
双曲线 的一条渐近线交于点 ，且 ， .
(1)求双曲线 的方程；
(2)设过点 与 轴不重合的直线交双曲线 于 两点，直线 分别交 于点 ，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据 ，可求得 ，求出点 的坐标，再根据 ，求出 ，即可得
解；
（2）设 的方程为 ， ，联立方程，利用韦达定理求出 ， ，再
证明 即可.
【详解】（1）设双曲线 的焦距为2c，
其中 ，则 ，
所以 ， ，
由 ，有 ，得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21所以 ， .
因为双曲线 的渐近线方程为 ，有 ，
所以 ， ，
由 ，有 ，即 ，得 ，
所以 ，
所以 的方程为 ；
（2）设 的方程为 ， ，
联立方程组 ，得 ，
所以 ， ，
， ，
所以
，
所以 ，即 ，即 平分 ，
因为 ，所以点 为 的中点，
所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
21．某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规
定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，
且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.
(1)若甲第一关通过的概率为 ，第二关通过的概率为 ，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前
400名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，
请说明理由；
②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，
请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量 ，则 ； ；
.
【答案】(1)
(2)①能，理由见解析②假
【分析】（1）设 为第 次通过第一关， 为第 次通过第二关，计算
即可；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23（2）①由 ，且 ，计算 ，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可；
②假设乙所说为真，由 计算 ，求出 ，利用小概率事件即可得出结
论．
【详解】（1）设 ：第i次通过第一关， ：第i次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为 ，由题意
知
.
（2）设此次闯关活动的分数记为 .①由题意可知 ，因为 ，且
，
所以 ，则 ；而 ，
且 ，
所以前400名参赛者的最低得分高于 ，而甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励；
②假设乙所说为真，则 ，
，
而 ，所以 ，从而 ，
而 ，
所以 为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24生了，所以可认为乙所说为假.
22．已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 的零点分别为 ，且 ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求函数 的定义域和导函数，结合导数与函数单调性的关系判断函数 的单调性；
（2）由已知结合两点定义可得 ，由分析可得要证明 ，只需证明
，
设 ，则只需证明 ，设 ，再利用导数求函数 的最值即可证
明结论.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，导函数 ，
①当 时， ，则 在 上单调递增；
②当 时，令 ，则 ，
∴当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减；
（2）由（1）知，方程 的两个不等的正实根 ，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25亦即 ，从而 ，
设 ，又 ，即 ，
要证 ，即证 ，
只需证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
令 ，则
设 ，则
则 在 上单调递增，有 ，
于是 ，即有 在 上单调递增，
因此 ，即 ，
所以 成立，即 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26
