文档内容
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第3课时）
一、教学目标
【知识与技能】
1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象；
2.掌握抛物线y=ax2与y=a(x-h)2+k之间的平移规律；
3.依据具体问题情境建立二次函数y=a(x-h)2+k模型来解决实际问题.
【过程与方法】
通过“活动探究——观察思考——运用迁移”等三个环节来获取新知识，
掌握新技能，解决新问题.
【情感态度与价值观】
进一步培养学生观察能力、抽象概括能力，渗透数形结合、从特殊到一般
的思想方法，了解从特殊到一般的辩证关系.
二、课型
新授课
三、课时
第3课时，共3课时。四、教学重难点
【教学重点】
二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象及其性质.
【教学难点】
1.二次函数y=a(x-h)+k与y=ax2(a≠0)的图象之间的平移关系；
2.通过对图象的观察，分析规律，归纳性质.
五、课前准备
课件、三角尺、铅笔等
六、教学过程
（一）导入新课
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴.（出示课件2）
⑴y=ax2→y=ax2+k.
⑵y=ax2→y=a(x-h)2.
学生口答：⑴k>0，上移；k＜0，下移；顶点（0,k）；对称轴y轴.
⑵左加右减；顶点（h,0）；对称轴x=h.
（二）探索新知
探究一 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.
（出示课件4）
学生自主操作，画图，教师加以巡视，纠正画图过程中可能出现的失误，
并引导他们进行分析，发现规律，获得感性认识.
解：如图所示：
开口方向：向下；
对称轴：x=-1;
顶点：(-1,-1).
请在上面所在的平面直角坐标系内，画出抛物线y=- x2，及抛物线y=-
x2-1,y=- （x+1）2，观察所得到的四个抛物线，你能发现什么？（出示课件
5）
学生自主操作，画图，并整理解：如图所示.
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下 x=0 （0,0）
y= x2
向下 x=0 (0，-1)
y= x2-1
向下 x=-1 (-1，0)
y= （x+1）2
向下 x=-1 (-1，-1)
y= （x+1）2-1
出示课件6：画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称
轴、顶点.
学生独立思考，自主操作.
解：如图所示.
开口方向向上；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2).师生共同总结如下:（出示课件7）
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质:
a>0a>0 a0
图
象
h<0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 （h,k） （h,k）
当xh
减性 当x>h时，y随x增大而增大. 时，y随x增大而减
小.
最值 x=h时，y =k x=h时，y =k
最小值 最大值例 已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c
的大致图象可能是( )（出示课件8）
学生自主思考后，师生共同解决如下：
解析 根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵
坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．
在同一坐标系内，一次函数y=ax+2与二次函数y=x²+a的图象可能是（
）（出示课件9）
生独立解决并口答：C
探究二 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与平移
教师问：怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？（出
示课件10）
教师图形演示后，师生共同总结如下：教师问：还可以怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？
（出示课件11）
教师图形演示后，师生共同总结如下：
出示课件12：二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象：
教师问：这些图象与抛物线y=ax2有什么关系？学生自主思考后，教师归纳：（出示课件13）
一般地,抛物线y=a(x－h)²＋k与y=ax²形状相同,位置不同.把抛物线y=ax²
向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)²＋k.平移的方向、距离要根据
h、k的值来决定.
平移方法:
师生共同总结：抛物线y=a(x－h)2+k的特点（出示课件14）
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时，开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
二次函数y=ax2与y=a（x-h)2+k的关系（出示课件15）
可以看作互相平移得到的.平移规律：简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项
系数a不变.
出示课件16：如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐
标是（4，2），试求这个函数关系式.
学生独立思考后自主解决.
解：
出示课件17：例 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水
管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m
处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
生自主思考后，师生共同解决如下：（出示课件18）
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x－1)2＋3(0≤x≤3).
∵这段抛物线经过点(3,0)，
∴0=a(3－1)2＋3.
解得:a=－ .
因此抛物线的解析式为:y=－ (x－1)2＋3(0≤x≤3).
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
出示课件19：如图所示，已知一个大门呈抛物线型，其地面宽度
AB=18m，一个同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一
根1.7m长的木杆，其顶端恰好定在抛物线形门上C处，请你求出大门的高h的
值.
学生独立思考后自主解决.（出示课件20）
解:如图,建立平面直角坐标系,
设抛物线解析式为y=ax2+k.由题意得B（9,0），C（8,1.7）.
把B、C两点的坐标代入y=ax2+k，得
解得
∴y=-0.1x2+8.1,
∴h=k=8.1,即大门高8.1m.
教师问：此题还可以怎样解决？
学生答：此题还可以以AB所在直线为x轴,A点或B点为原点,建立平面直角
坐标系,求得抛物线的解析式，进而得出顶点坐标,顶点的纵坐标即为h的值.
（三）课堂练习（出示课件21-26）
1.抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1）
C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
2.将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为（ ）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3
3.完成下表:
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
y=－3(x－1)2－2
y=4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
4.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛
物线是___________________.
5.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到
抛物线的解析式为 _____________.
6.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到y=-3x2.
7.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得
到，请直接写出该二次函数的解析式.8.已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二
次函数的关系式．
9.小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y= x2+3.5的一部分(如图)，
若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( )
A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m
参考答案：
1.A
2.A
3.
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 向上 直线x=－3 (－3,5)
y=－3(x－1)2－2 向下 直线x=1 (1,-2)
y=4(x－3)2＋7 向上 直线x=3 (3,7)
y=－5(2－x)2－6 向下 直线x=2 (2,-6)4.
5.
6.答：先向左平移一个单位，再向下平移两个单位.
7.解：设该二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k，由题意得y=5(x+1)2+3.
8.解：由函数顶点坐标是（1，-2），
设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2.
因为图象过点(0，0)，则0=a(0-1)2-2，
解得a=2.
所以这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.
9. 解 析 ： 由 图 可 以 知 道 ， 小 敏 与 篮 底 的 距 离 就 是 AB. 因 为
AB=OA+OB,OA=2.5m，所以要求OB即可，而OB就是篮圈中心的横坐标，设
为 a，则篮圈中心的坐标就是（a，3.5），点在抛物线上，即：3.5=
a2+3.5，整理得：a2=2.25,即a=±1.5,a=-1.5（舍去），故a=1.5，因此AB=4.
（四）课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.
（五）课前预习预习下节课（22.1.4第1课时）的相关内容.
七、课后作业
1.教材习题22.1第5题.
2.配套练习册内容
八、板书设计：
九、教学反思：
前面的几个课时是从最基本的二次函数图象入手开始探索，已初步对二次
函数的性质进行了归纳，因此本课时的内容算是对前面内容的小结.所以教学时
教师应大胆放手让学生自主归纳与探究，教师给予引导和提示并让学生适时进
行练习，以巩固所学，在这一过程中应注意渗透数形结合的思想方法.
