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高三数学开学摸底考试卷
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1 2 3 4 5 6 7 8
B B B C A A A A
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9 10 11 12
ABD BCD BCD BCD
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13． 4 ﹣3．
14． ．
15．（﹣∞，8）．
16．6
四．解答题（共6小题，满分70分）
17． 解：（1）∵DE＝1，AE＝3DE，∴AD＝2，
∵∠ADB+∠ADC＝ ，∴cos∠ADB+cos∠ADC＝0，
由题意设BD＝DC＝πx，AB＝4，AC＝2 ，
则在△ADB中，由余弦定理得cos∠ADB＝ ＝ ＝ ，
在△ADC中，由余弦定理得cos∠ADC＝ ＝ ＝ ，
∴ + ＝0，解得x＝2 ，
∴BC＝2BD＝4 ，
学科网（北京）股份有限公司 1在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝ ＝ ＝﹣ ；
（2）∵AB＝4，AC＝2 ，∠ABC＝ ，
∴在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC，即8＝16+BC2﹣2×4× BC，解得
BC＝2 ，
∵点D为BC的中点，∴BD＝ BC＝ ，
在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABC＝16+2﹣2× ×4× ＝10，即AD＝
，
∵AE＝3DE，∴AE＝ AD＝ ，
在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAE＝ ＝ ＝ ，
在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AB2+AE2﹣2AB•AEcos∠BAE＝16+（ ）2﹣2×4× ×
＝ ，即BE＝ ．
18． 解：（1）由a ＝ ，
1
可得a ＝ ，
n+1
由a ＞0，可得a ＞0，
1 n
则 ＝1+ ，
即 ﹣ ＝1，
学科网（北京）股份有限公司 2所以{ }是首项为2，公差为1的等差数列，
则 ＝2+n﹣1＝n+1，即a ＝ ；
n
（2）证明：a ＝ ，对k＝1，2，3，…，a a a ＝
n k k+1 k+2
＝ [ ﹣ ]，
所 以 a a a +a a a +… +a a a ＝ [ ﹣ + ﹣ +… + ﹣
1 2 3 2 3 4 n n+1 n+2
]
＝ [ ﹣ ]＝ ﹣ ＜ ．
19．解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10＝1，解得a＝0.006；
（2）由频率分布直方图可知，
评分在[40，60），[60，80），[80，100]内的顾客人数之比为：（0.004+0.006）：（0.022+0.028）：
（0.022+0.018）＝1：5：4，
所以评分在[40，60）内的顾客应抽取 （人）；
（ 3 ） 用 户 对 该 APP 评 分 的 平 均 分 为 ：
＝76.2．
20．解：（1）证明：∵△APC为等边三角形，O为AC的中点，
∴PO⊥AC，
∵平面APC⊥底面ABC，平面APC∩平面ABC＝AC，PO 平面APC，
∴PO⊥平面ABC； ⊂
（2）连接BO，由（1）可知建立以O为坐标原点，以AC、OB、OP所在直线为x轴、y轴、z轴的空间
直角坐标系O﹣xyz，如图所示：
AB＝BC＝2 ，AC＝4，则OP＝2 ，AB2+BC2＝16＝AC2，
∴△ABC等腰直角三角形，则OB＝2，BO⊥AC，
学科网（北京）股份有限公司 3∴C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2 ），A（﹣2，0，0），设M（x，y，0），
则 ＝（x，y﹣2，0）， ＝（2，﹣2，0），
∵BM＝ BC，∴ ，则x＝2 ，y＝2﹣2 ，0≤ ≤1，
∴M（2λ ，2﹣2 ，0），
λ λ λ
∵平面AλPC⊥平λ面ABC，平面APC∩平面ABC＝AC，BO 平面ABC，
∴BO⊥平面PAC， ⊂
∴平面PAC的一个法向量为 ＝（0，2，0），
设平面MPA的一个法向量为 ＝（x，y，z）， ＝（2，0，2 ）， ＝（2 +2，2﹣2 ，0），
λ λ
则 ，取x＝ ，则z＝﹣1，y＝ ，
∴平面MPA的一个法向量为 ＝（ ， ，﹣1），
∵二面角M﹣PA﹣C为30°，
∴cos＜ ， ＞＝ ＝ ＝cos30°＝ ，即（ ）2＝4，解得 ＝3
λ
（不合题意，舍去）或 ＝ ，
λ
故 ＝ ．
λ
学科网（北京）股份有限公司 421．解：（1）双曲线过点（2，1）且一条渐近线方程为 ，
则 ①，
双曲线过点（2，1），
则 ②，
联立①②解得，a2＝2，b2＝1，
故双曲线的方程为 ，
直线l的倾斜角为 ，在y轴上的截距为﹣2，
则l的方程为y＝x﹣2，代入双曲线方程可得，x2﹣8x+10＝0，
设A（x ，y ），B（x ，y ），M（x，y），
1 1 2 2
则x +x ＝8，
1 2
M为线段AB的中点，
则x＝4，y＝x﹣2＝2，即M（4，2），
∵ ，
∴△MF F 的面积为 ；
1 2
（2）由题意可知，圆的方程为x2+y2＝c2，
联立 ，解得x＝ ，y＝ ，即P（ ， ），
切线的斜率为 ，
则k ＝ ，化简整理可得，3（c2﹣a2）＝ ，
OP
故3c4+4a4﹣8a2c2＝0，即3c4﹣8e2+4＝0，解得e2＝2，
故双曲线的离心率为 ．
22．解：（1）由题意，函数f（x）＝x2﹣axlnx+1+a，a R，
∈
学科网（北京）股份有限公司 5可得函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f'（x）＝2x﹣a（1+lnx），
设g（x）＝f'（x）＝2x﹣a（1+lnx），x （0，+∞），则 ，
①当a≤0时，可得g'（x）＞0，所以g∈（x）在（0，+∞）上单调递增，所以f'（x）没有极值；
②当a＞0时，若 ，则g'（x）＜0，f′（x）在 上单调递减，
若 ，则g'（x）＞0，f′（x）在 上单调递增，
所以f′（x）在 处取得极小值，且极小值为 ，在（0，+∞）上没有极大值，
综上，当a≤0时，f′（x）没有极值；当a＞0时，f′（x）的极小值为 ，无极大值．
（2）由题意知，存在t [2，e]，使得f（t）＝t2﹣atlnt+1+a＜0，
∈
即存在t [2，e]，使得 ，
∈
构造函数 ，则 ，
当a+1≤2，即a≤1时，h'（t）≥0在[2，e]上恒成立，h（t）单调递增，
所以h（2）＜0，可得 ，与a≤1矛盾，不满足题意；
当2＜a+1＜e，即1＜a＜e﹣1时，若t [2，a+1]，则h′（t）≤0，h（t）单调递减，
若t [a+1，e]，则h'（t）≥0，h（t）单∈调递增，此时h（t）
min
＝h（a+1），
由h∈（t） ＝h（a+1）＜0，可得（a+1）﹣aln（a+1）+1＜0，所以a+2＜aln（a+1），
min
因为2＜a+1＜e，所以不等式a+2＜aln（a+1）不成立；
当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h′（t）≤0在t [2，e]上恒成立，h（t）单调递减，
∈
所以h（e）＜0，可得 ，满足题意．
综上，实数a的取值范围为 ．
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