专题 01 二次函数的图象与系数的关系（举一反三专项训练）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，选择题25题，填空题15题.题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对二次
函数图象与各项系数符号之间的关系的理解！
一、单选题（25题）
1．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则（ ）
A．abc<0 B．2a+b<0 C．2b−c<0 D．a−b+c<0
2．（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，与y轴的交点位于x轴下
方，且x=−1时，y>0，下列结论正确的是（ ）
A．2a=b B．b2 −4ac<0 C．a−2b+4c<0 D．8a+c>0
3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A(3,0)、B(−1,0)，与y轴
交于点C(0,m)，其中−4<m<−3．则下列结论：
8 a+b+c
①a−c>0；②方程ax2+bx+c−5=0没有实数根；③− <b<−2； ④ >0．
3 b−a
其中错误的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称
轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0)，与y轴交点坐标是(0,m)且2<m<3．有下列结论：
9 27
①abc<0；②9a−3b+c>0；③ <y < ；④关于x的一元二次方程ax2+(b−1)x+c−2=0必有两个
4 最大值 8
不相等实根；⑤若点A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y )在抛物线y=ax2+bx+c上，且
1 1 2 2 3 3
3
n<x <n+1<x <n+2<x <n+3，当y <y <y 时，则n的取值范围为− <n<0．其中正确的有（ ）
1 2 3 1 3 2 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，O是坐标原点，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交
于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为直线x=−2，其中A(2,0),B(0,c)，且−3<c<−2．以
2
下结论：①abc>0；② <b<1；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+(b−2)x+c=0的两根为x 、
3 1
x (x <x )，则−2<x <4−2❑√7，6<x <4+2❑√7．其中正确结论有（ ）
2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于(−2,0)
和(−1,0)之间，顶点P的坐标为(1,n)．下列结论：①abc<0；②对于任意实数m，都有
am2+bm−a−b≥0；③3b<2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角
3
形，则n=− ．其中所有正确结论的序号是（ ）
aA．①② B．①③ C．①④ D．①③④
7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于两点
(−1,0)，(x ,0)，且2<x <3．下列结论：①abc>0；②2a+c<0；③4a−b+2c<0；④若m和n是关于
1 1
x的一元二次方程a(x+1)(x−x )+c=0 (a≠0)的两根，且m<n，则m<−1，n>2；⑤关于x的不等式
1
c
ax2+bx+c>− x+c (a≠0)的解集为0<x<x ．其中正确结论的个数是（ ）
x 1
1
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象交x轴
于A，B两点，点A的坐标是(−1,0)，点B的坐标是(n,0)，有下列结论：①abc<0；②4a+c>2b；③关
b n−1
于x的方程ax2+bx+c=0的解是x =−1，x =n；④− = ．其中正确的有（ ）
1 2 2a 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2025·四川达州·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0)，点B(3,0)，
下列结论：①abc<0；②4a+b=0；③b2 −4ac>0；④a−b+c>0．正确的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025·四川凉山·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，其对称轴为x=2，且图像
经过点(6,0)，则下列结论错误的是（ ）
A．bc>0
B．4a+b=0
C．若ax2+bx =ax2+bx 且x ≠x ，则x +x =4
1 1 2 2 1 2 1 2
D．若(−1,y ),(3,y )两点都在抛物线y=ax2+bx+c的图像上，则y <y
1 2 2 1
11．（2025·湖北十堰·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+c（a为常数且a<0），过点A(−1,0)，B(m,0)且
1<m<2，下列结论：①abc>0；②2a+c<0；③a(m−1)−b−c>0；④若关于x的方程a(x+1)(x−m)=3
有实数根，则4ac−b2≤12a．其中正确的结论有（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．②④
12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点
A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③方程
8 4
ax2+bx+c−1=0的两根和为1；④若 −2<c<−1，则− <a+b+c<− ，⑤点A(m−2,y ) ，B(m+1,y )
3 3 1 2
3
在抛物线上，且当y >y 时，m< ；其中正确结论的个数为（ ）
1 2 2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2025·江苏无锡·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向上，过
A(1,0),B(m,0)两点，且−2<m<−1．下列四个结论中正确的结论有（ ）
4
①b<0；②若m=− 时，则4a+3c=0；
3
③若点M(x ,y ),N(x ,y )在拋物线上，x <x ，且x +x <−1，则y <y ；
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
④a≥1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1必有两个不相等的实数根．
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
14．（2025·青海·三模）如图是抛物线y =ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，其顶点坐标为A(− 1,)−，3
1
与x轴的一个交点为B(−3,0)，直线y =mx+n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc>0；②
2
b=2a；③抛物线与x轴的另一个交点是(3,0)；④不等式ax2+(b−m)x+c−n<0的解集为−3<x<−1；
⑤方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根；其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2025·陕西西安·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，与x轴的一个交点
A在点(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图所示，以下结论正确的有（ ）①abc>0；②3a+c<0；③若m为任意实数，则有a−bm≥am2+b；④点P(x ,y )，Q(x ,y )在其图象
1 1 2 2
上，若x <x ，且x +x >−2，则一定有y >y ．
1 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，该函数图象
1
的对称轴是直线x=1,图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b=0；②方程ax2 −bx+ =0一定
2
1
有两个不相等的实数根：③当−1≤x≤2时，3a+2≤y≤2；④b−a<2；⑤抛物线上有两点P( ，y )
2 1
3
，Q(m，y ),若y >y ，则m> ．其中正确结论的个数有（ ）
2 1 2 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(−1,0)，
开口向下，对称轴为直线x=1．下列结论正确的是（ ）
A．ac>0 B．b²−4ac<0
C．9a+3b+c>0 D．at²+bt<a+b(t≠1)
1
18．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c，其对称轴为x= ．现有以下五个结论：
10
4ac−b2 b3 −4abc
①abc>0；②b2<4ac；③ <0；④− >0；⑤a+5b=0．其中正确的是________．
4a 8a2A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．②③④ D．①②⑤
19．（2025·福建福州·三模）已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于点(x ，0),(−3，0)，其中
1
b c
0<x <2．以下四个结论：①abc<0；②b>a；③函数的最小值大于c− ；④不等式ax2+bx+c> x+c
1 4 3
的解集为−3<x<0．其中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
20．（2025·浙江绍兴·三模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于
点C．下列结论：①ac>0；②3a+c=0；③a+b≤am2+bm；④当x>0时，y随x的增大而增大．其中正
确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．（2025·贵州铜仁·三模）已知：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论中：①
abc<0；②b+2a=0；③a−b<am2+bm(m≠−1)；④ax2+bx+c=0两根分别为x =−1，x =1；⑤
1 2
4a+2b+c>0．其中正确的项有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
22．（2025·贵州黔西·二模）如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，已知抛物线的对称轴为
直线x=−1，若点A的坐标为(−3,0)，则以下结论错误的是（ ）
A．方程ax2+bx+c=0的两根为x =−3，x =1
1 2
B．8a+c>0
C．ac<0
D．若(x ,y )，(x ,y )是抛物线上的两点，且x <x <−1，则y <y
1 1 2 2 1 2 1 2
23．（2025·湖北·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的对称轴为直
线x=−1，且该抛物线与x轴交于点A(1,0)，与y轴的交点B在(0,−2)，(0,−3)之间（不含端点），有
bc 2
下列结论：① >0；②9a−3b+c=0；③ <a<1；④若方程ax2+bx+c−x−2=0的两根为m，
a 3
n(m<n)，则−3<m<1<n．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
24．（2025·江西新余·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴
为直线x=1，以下4个结论：①abc<0；②4a+2b+c>0；③若点A(m,n)在该抛物线上，且m>1，则
am+a+b<0；④3a+c>0．其中正确结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
25．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，该函数图象
的对称轴是直线x=1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b=0；②方程ax2+bx+c=0一
定有一个根在−2和−1之间；③方程ax2+bx+c−a=0一定有两个不相等的实数根；④点A(x ,y )，
1 1
8
B(x ,y )在抛物线上，且x <1<x ，当x +x >2时，y >y ；⑤函数y的最大值大于 ．其中正确结论的个
2 2 1 2 1 2 1 2 3
数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（15题）
26．（2025·四川绵阳·三模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据已知信息有下列结论：①
2a+b<0；②a+b>0；③abc<0；④b2 −2ac>3ab．其中正确的是 ．
27．（2025·四川自贡·二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下面五个结论正确的序号为 ．
①abc<0； ②a−b+c=0； ③3a+2c<0；④ax2+bx≥a+b；⑤−3≤c<0时，−2≤3 a+b+c<0
28．（2025·山东烟台·一模）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且0<c<a）经过点(1,0)，
下列结论：①abc<0；②2a+b>0；③当x>1时y随x的增大而增大；④关于x的方程ax2+bx+b+c=0有
两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是 个．
1
29．（2025·江苏淮安·二模）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 图象的一部分，对称轴为x= ，且经
2
5 5
过点(2,0) ．以下说法：①abc<0；②−2b+c=0；③4a+2b+c=0；④若 ( − ,y ),( ,y ) 是抛物线
2 1 2 2
1 1
上的两点，则y <y ；⑤ b>m(am+b)（其中m≠ ），其中说法正确的是 ．
1 2 4 2
30．（2025·江苏扬州·一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c图像的对称轴是直线x=−1，下列结论：①
abc<0；②3a+c>0；③am2+b(m+1)≥a（m为常数）；④若关于x的方程|ax2+bx+c)−k=0恰有三
个解，则a−c=k，其中正确的是 （填序号）．31．（2025·湖北武汉·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a>0）经过点(− 1,)−和1
(n,−1)两点，且−2<n<−1．以下四个结论：①b>0；②若−2<x<−1，则a(x+1) 2+b(x+1)+c>−1；③
若a=1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c+1=0必有两个相等的实数根；④点A(x ,y )、B(x ,y )在抛
1 1 2 2
3
物线上，若x +x <−2，x >x ，总有y >y ，则−2<n<− ．其中正确的是 （填写序号）．
1 2 1 2 1 2 2
32．（2025·四川南充·一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(−1,0)，与y轴的交点
1
B在(0,2)与(0,3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc<0；②若点M( ,y )
2 1
5 1
，点N( ,y ) 是函数图象上两点，则y >y ；③当a=− 时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移
2 2 1 2 2
1 3 2
1个单位，得到抛物线y=− (x−3) 2+13；④− <a<− ；⑤b>am2+bm(m≠2)．
2 5 5
其中正确的有 （填序号）
33．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c(0<a<c)经过第四象限点A(1,m)，下列四
b m
个结论： b<0； b2 −4ac≥−4 am； 若抛物线经过点B( − ,n)，则m<n； <3．其中正确
a b−a
① ② ③ ④
的结论是 ．（只填序号）34．（2025·吉林长春·一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)
两点，与y轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b=0；②2c=3b；③若△ABC是等腰三角形，a
❑√2
的值有2个；④当△BCD是直角三角形时a= ．其中正确的是 ．（只需填写序号）
2
35．（2025·湖北武汉·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a>0)经过(−2,0),( m,0)两
点，且2<m<3．
下列五个结论：
①b<0；
②b2 −4ac<0；
1 1
③若抛物线经过点(− 1，,− 则1) <a< ；
4 3
④若关于x的不等式2ax2+2bx<− cx的解集为0<x<t，则2<t<3；
1 5
⑤点A(x ,y ),B(x ,y )在抛物线上，若x +x > ,x <x ，总有y <y ，则2<m≤ ．
1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2
其中正确的结论是 （填写序号）．
36．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A、B两点，与轴的
正半轴交于点C，对称轴是直线x=−1，其顶点在第二象限，给出以下结论：①abc>0；②2a−b=0；③
1
若OA=OC，则OB=− ；④不论m取任何实数，均有a−b>am2+bm．其中正确的有 ．
a37．（2025·湖北武汉·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a>0）经过(0，−3)，
(m，−3)两点，且1<m<2，下列四个结论：
①b<0；
②若a=1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−4没有实数解；
③点(x ,y )，(x ,y )在抛物线上y=ax2+(a+b)x+b上，若x +x >1，x >x ，总有y <y ；
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
④若抛物线的顶点的轨迹上有两点(p,k)，(q,k−1)，则关于x的方程px2 −qx+k=0的两根之和大于1．
其中正确的是 （填写序号）．
38．（24-25九年级上·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M(m,0)，N(n,0)，其中
m+n=−2，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点M和N，以下四个结论：
①abc>0；②3a+c>0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+2c=0无实根；④点(x ,y )，(x ,y )在抛物线
1 1 2 2
3
上且在对称轴的同侧，当|x −x )=2时，总有|y −y )≥3时，则a≥ ．其中所有正确结论的序号是
1 2 1 2 4
．
39．（2025·湖北武汉·一模）开口向下的抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0)，B(m,0)，且−2<m<−1．
1
下列结论：①b>0；②2a+c<0；③已知点P(x ,y )，Q(x ,y )在抛物线上，若x <x <− ，则y >y ；
1 1 2 2 1 2 2 1 2
④若方程a(x−m)(x−1)=1有两个不相等的实数根，则4ac−b2<4a．其中正确结论的序号是 ．
40．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a<0）经过点(m,0)
，m>0，且4a−2b+c=0，则下列四个结论：①c>0；②b−3a>0；③若方程ax2+bx+c=b有两个不相
3
等的实数根x ,x （且x <x ），则x <m；④若0<m<2，抛物线过点 (0,1) ，且s=a+b+c，则s< ．其
1 2 1 2 2 4
中正确的结论是 （填序号）．
