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专题 02 根与系数的关系关联根的判别式 （举一反三专项训练）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，其中选择题10题，填空题10题，解答题20题． 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深
度，可加深学生对根与系数的关系与根的判别式的理解！
1．（2025·河北邯郸·三模）嘉嘉在求解关于x的一元二次方程2x2−kx−1=0时，抄错了k值的正负号，解
出x的一个根为−2，则下列结论说法正确的是（ ）
结论一：原方程有两个不相等的实数根；
7
结论二：原方程的两根之和x +x =− ．
1 2 4
A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确
C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确
2．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）已知x ，x 是关于x的方程x2−(k+1)x−k2=0的两个根，下列
1 2
结论一定正确的是（ ）
A．x ≠x B．x =x C．x x >0 D．x +x >0
1 2 1 2 1 2 1 2
3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个实数根x ，x
1 2
，且满足 ，则 （）
x x +x +x =m2+6 m=
1 2 1 2
A．−3或1 B．1 C．3或−1 D．−1
4．（2025·河北邢台·三模）如图，点A，C在不完整的数轴上，对应的数分别为a，c，原点与点A，C均
不重合．若AC=|a)+|c)，则方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
c
C．有两个相等的实数根 D．两根之和为
a
5．（2025·河北邯郸·二模）定义一种运算：a&b=a2−2ab+2，如：3&4=32−2×3×4+2=−13．若
x&(x−1)=−4，则所有满足条件的实数x的和为（ ）A．−2 B．2 C．−6 D．2❑√30
6．（2025·河北邯郸·二模）已知x =−1是关于x的方程x2+bx+c=0的一个解，该方程的另一个解为x ，
1 2
则下列说法正确的是（ ）
A．b−c=−1 B．b2≤4c
C．b=1−x D．c=x
2 2
7．（24-25八年级下·陕西西安·期末）若方程x2−2x+k=0的两根之积为4k−3，则k的值是（ ）
5 5
A．-1 B．1 C．− D．
4 4
8．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若方程 的两根分别为 ， ，且 ，则m的取值
x2−2x−8=m x x |x −x )>6
1 2 1 2
范围为（ ）
A．−2<m<4 B．m<−2或 m>4 C．m<0 D．m>0
9．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实
数根，且满足9a−3b+c=0，则（ ）
A． B．
a(x+3) 2=0 b=a
C． D．
−a(x−3) 2=0 c=3a
10．（2025·广东广州·一模）若关于x的方程x2−2(m−2)x+m2−2m=0有两个实数根，且两根之和不小
于 ，则代数式 化简的结果是（ ）
−6 ❑√(m+2) 2−8m−|m+1)
A．−1 B．1 C．−2m−1 D．−2m+1
11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一定二次方程x2−x+2t=0，有两个实数根m,n．设
y=(m−2)(n−2)则y的最大值为
12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程x2+(2a−4)x+a2−3=0的两个实数根互
为倒数，则a的值为 ．
13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）实数a，b，c满足b+c−1=0,a−bc−1=0．
（1）当b=2时，则a= ；
（2）实数a的取值范围是 ．
14．（24-25九年级下·江苏苏州·自主招生）已知x , x 是一元二次方程x2+(m+1)x+1=0的两个根，且
1 2
0<x <1<x <3，求整数m= ．
1 2
15．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）关于x的一元二次方程x2−4x+k−1=0有两个实数根x ,x ．若
1 2x ,x 分别是一个菱形的两条对角线，菱形的面积是2，则k的值为 ．
1 2
16．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若关于 的一元二次方程 ．
x x2+2x−m2−m=0(m>0)
（1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）；
（2）当m=1，2，3，⋯，2025时，相应的一元二次方程的两个根分别记为
1 1 1 1 1 1 1 1
α 、β ，α ，β ，α ，β ，⋯，α ，β ，则 + + + + + +⋯+ + 的
1 1 2 2 3 3 2025 2025 α β α β α β α β
1 1 2 2 3 3 2025 2025
值为 ．
17．（2024·北京东城·二模）若关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+m=0的两个实数根的差等于2，则实
数m的值是 ．
18．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)各项系数满足
a+b+c=0，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当a=c时，有两个相等的实数根；③
当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的序
号是 ．
19．（2024·江西南昌·二模）已知x ，x 为关于x的方程x2−2x+k=0的两个实数根，若
1 2
，则 ．
x2−2x −x x =2 k=
1 1 1 2
20．（2024·北京门头沟·一模）已知一元二次方程x2+ax+b=0，有两个根，两根之和为正数，两根之积是
负数，写出一组符合条件的a、b的值 ．
21．已知x 、x 是关于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的两个实数根，使得(3x -x )(x -3x )=-80成立，求
1 2 1 2 1 2
其实数a的可能值
22．已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k2+k+1=0有两个实数根．
(1)试求k的取值范围；
(2)若 ，求 的值；
x2+x2=10 k
1 2
(3)若此方程的两个实数根为 ， ，且满足 ，试求 的值．
x x |x |+)x )=2 k
1 2 1 2
23．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知关于x的一元二次方程x2−(k−4)x−4k=0．
(1)求证：无论k为何值，该方程都有实数根；
(2)当k=−2时，已知α,β是关于x的一元二次方程x2−(k−4)x−4k=0的两个根，不解方程求α3β+αβ3
的值．24．（2025·四川南充·一模）关于x的方程为x2−(2k−1)x+k2−k=0，其中k为实数．
(1)判断方程根的情况，并说明理由．
(2)当原方程的两根α,β满足(α−2β)(2α−β)+4=0时，求k的值．
m
25．（24-25八年级下·山东威海·期末）关于x的方程mx2−(m−4)x+ =0有两个不相等的实数根．
4
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理
由．
26．（24-25八年级下·安徽池州·期末）已知关于x的一元二次方程x2−2x+a=0有两个不相等的实数根x
1
，x ．
2
(1)求a的取值范围；
(2)若 2 ，求a的值．
[(x −2)(x −2)−2) =9
1 2
27．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）已知x ，x 是方程x2−(2k+1)x+k2+2=0的两个实数根．
1 2
(1)求实数k的取值范围；
(2)求
(x −2) 2+(x −2) 2
的最小值．
1 2
28．（24-25九年级下·全国·假期作业）关于x的一元二次方程mx2−2mx+m−2=0的有两个实数根为x
1
，x ．
2
(1)求m的取值范围；
(2)若|x −x |=1，求m的值．
1 2
29．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的一元二次方程mx2−(2m+1)x+2=0．
(1)判断此方程根的情况，并说明理由．
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数m的值的和．
(3)若此方程的两个实数根分别为
x ,x
，求代数式
m(x5+x5)−(2m+1)(x4+x4)+2(x3+x3)
的值．
1 2 1 2 1 2 1 2
30．（2025·四川南充·中考真题）设x ，x 是关于x的方程(x−1)(x−2)=m2的两根．
1 2
(1)当x =−1时，求x 及m的值．
1 2
(2)求证：(x −1)(x −1)≤0．
1 2
31．（2025·四川南充·二模）已知a、b是一元二次方程x2−2x+k2−2=0的两个实数根．
(1)求整数k的取值；
(2)若等式a2+2b−5=0成立，求整数k的值．32．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程x2−2(k+1)x+k2−3=0．
(1)若该方程有一个根是−1，求k的值．
(2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
(3)若该方程的两个实数根 ， 满足 ，求 的值．
x x (x −1)(x −1)=11 k
1 2 1 2
33．（24-25九年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程x2+px+25=0．
(1)若方程有两个相等的实数根，求p的值．
(2)若方程的两个实数根分别为3+b与3−a，若a,b都为正整数，求证ab为偶数．
34．（24-25八年级下·浙江·期中）关于x的一元二次方程x2−5x+k=0有实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)如果k是符合条件的最大整数，且关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m−3=0与方程x2−5x+k=0有
一个相同的根，求此时m的值．
(3)若方程x2−5x+k=0的两个实数根为x ,x ，满足x =4x ，求此时k的值．
1 2 1 2
35．（2025·福建三明·一模）已知实数k、m、n(m≠n)，且满足m2−2m=3k+1，n2−2n=3k+1．
(1)求证：m+n的值是定值；
(2)若m，n同号，求k的取值范围；
m n
(3)当m、n同号时，设p= + ，求p的取值范围．
n m
36．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读理解：
材料1：如果实数m，n满足 m2+m−1=0,n2+n−1=0，且m≠n，则可利用根的定义构造一元二次方程
x2+x−1=0，将m，n看作是此方程的两个不相等的实数根．
材料2：关于x的一元二次方程 x2+mx−1=0，当m=1时，该方程的正根称为黄金分割数．黄金分割数
广泛应用于建筑、艺术、设计、经济等多个领域．
请根据上述材料解决下面问题：
1 1
(1)已知实数a，b满足：a2+a−1=0,b2+b−1=0，且a≠b，则 + = ．
a b
(2)求黄金分割数；
(3)已知实数m，n，t，满足：m2−4m=11+t,n2−4n=11+t，且0<m<n，求(m+1)(n+1)的取值范围．
37．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）已知关于x的方程x2−2 (k−1)x+k2=0有两个实数根x 、x ．
1 2
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在正数 的值使等式 成立，如果存在，请求出 的值，如果不存在，请说明理
k |x +x )=x ⋅x −1 k
1 2 1 2由．
38．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根分别为x ，x ，那么由求根公式可推出
1 2
b c
x +x =− ，x ⋅x = ．已知关于x的方程x2−(2m+4)x+m2−4=0有两个实根x ，x ，请根据上述结
1 2 a 1 2 a 1 2
论，解决下面问题：
(1)当方程的一个根x =8时，求方程的另一个根x ；
1 2
(2)若 ，求 的值；
x2+x2=90 m
1 2
(3)若x x ，求 的值．
1+ 2+|x +x )=−8 x ⋅x
x x 1 2 1 2
2 1
39．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与
订正》中提出一元二次方程 的两根 ， 有如下的关系（韦达定理）：
ax2+bx+c=0(a≠0,b2−4ac≥0) x x
1 2
b c
x +x =− ，x ⋅x = ；
1 2 a 1 2 a
材料2：如果实数m、n满足m2−m−1=0、n2−n−1=0，且m≠n，则可利用根的定义构造一元二次方程
x2−x−1=0，将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)①已知一元二次方程2x2−3x−5=0的两根分别为x ，x ，则x +x =_______，x ⋅x =_______．
1 2 1 2 1 2
1 1
②已知实数a，b满足：a2+4a−3=0，b2+4b−3=0（a≠b），则 + =_______．
a b
(2)已知实数m、n、t满足：m2−4m=11+t，n2−4n=11+t，且0<m<n，求(m+1)(n+1)的取值范
围．
40．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）约定：当点的横坐标和纵坐标均为整数时，称这个点为整点，
若关于x的一元二次方程 有两个实数根分别是 ， ，则点 称为该方程的“
ax2+bx+c=0 x x (x <x ) (x ,x )
1 2 1 2 1 2
”点，经过点 的直线称为该方程的一条“ ”线．
Deep (x ,x ) Seek
1 2
( 1 )
(1)若关于x的一元二次方程：x2+bx+c=0的“Deep”点为 ,2025 ，求b，c的值；
2023(2)关于x的一元二次方程 的两实根为 ．该方程是否存在一条“ ”线
x2+2mx+m2+m=0 x ,x (x <x ) Seek
1 2 1 2
为y=−2x+2，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；
(3)关于x的一元二次方程 的两实根为 ．若
(m2−5m+6)x2−(2m2−7m+4)x+m2−2m=0 x ,x (x <x )
1 2 1 2
该方程的“Deep”点为整点，请求出所有满足条件的m的值．
