专题 01 二次函数的图象与系数的关系（举一反三专项训练）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，选择题25题，填空题15题.题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对二次
函数图象与各项系数符号之间的关系的理解！
一、单选题（25题）
1．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则（ ）
A．abc<0 B．2a+b<0 C．2b−c<0 D．a−b+c<0
【答案】C
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与y轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性
质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中a（开口方向）、b
（对称轴与a共同决定）、c（与y轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键．
【详解】解：∵ 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象中，开口向上，
∴a>0．
b
对称轴x=− >0，又a>0，
2a
∴− b>0，即b<0．
抛物线与y轴交点在负半轴，
∴c<0．
选项A：a>0，b<0，c<0，
∵ 两负一正相乘得正，
∴abc>0，该选项错误．
b b
选项B：对称轴x=− ，由图象知对称轴x<1，即− <1，
2a 2a又a>0，两边乘2a得−b<2a，∴2a+b>0，该选项错误．
选项C：当x=−1时，y=a−b+c>0，即4a−4b+4c>0；当x=2时，y=4a+2b+c=0，
∴(4a+2b+c)−(4a−4b+4c)<0
∴2b−c<0，该选项正确．
选项D：当x=−1时，y=a−b+c，由图象知x=−1对应的函数值y>0，
∴a−b+c>0，该选项错误．
故选C．
2．（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，与y轴的交点位于x轴下
方，且x=−1时，y>0，下列结论正确的是（ ）
A．2a=b B．b2 −4ac<0 C．a−2b+4c<0 D．8a+c>0
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴公式
b
可得− =1，即b=−2a，据此可判断A；根据题意可得当x=0时，y<0，再由当x=−1时，y>0，可得
2a
抛物线与x轴的一个交点一定在直线x=−1和y轴之间，则抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x=2和直线
x=3之间，据此可判断B；当x=2时，y=4a+2b+c>0，再由b=−2a，即可判断D；根据抛物线与x轴的
1 1
一个交点一定在直线x=−1和y轴之间，当x=− 时，y= (a−2b+4c)，根据题意不能确定
2 4
1
(a−2b+4c)的符号，则C选项不一定成立．
4
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，故A选项中原结论错误，不符合题意；
∵抛物线与y轴的交点位于x轴下方，
∴当x=0时，y<0，
∵当x=−1时，y>0，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在直线x=−1和y轴之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x=2和直线x=3之间，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相同的实数根，∴b2 −4ac>0，故B选项中原结论错误，不符合题意；
∵当x=0时，y<0，且当x=−1时，y>0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x=2和直线x=3之间，
∴当x=−2时，y=4a−2b+c>0，
∴4a−2(−2a)+c>0，即8a+c>0，故D选项中原结论正确，符合题意；
1 1 1 1
当x=− 时，y= a− b+c= (a−2b+4c)，
2 4 2 4
∵抛物线与x轴的一个交点一定在直线x=−1和y轴之间，
1 1
∴当x=− 时， (a−2b+4c)的符号不确定，即a−2b+4c的符号不确定，
2 4
∴a−2b+4c<0不一定成立，故C选项不正确，不符合题意；
故选：D．
3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A(3,0)、B(−1,0)，与y轴
交于点C(0,m)，其中−4<m<−3．则下列结论：
8 a+b+c
①a−c>0；②方程ax2+bx+c−5=0没有实数根；③− <b<−2； ④ >0．
3 b−a
其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关
键．
b 3−1
根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为− = =1，a>0，则b=−2a，当x=−1时，代入计算可
2a 23
判定①；根据二次函数与直线y=5的位置关系可判定②；根据题意得到c= b，可判定③；根据函数最小
2
值的大小可判定④；由此即可求解．
【详解】解：二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A(3,0)、B(−1,0)，图象开口向上，
b 3−1
∴对称轴直线为− = =1，a>0，
2a 2
∴b=−2a，
当x=−1时，y=a−b+c=0，
∴a−(−2a)+c=0，即3a+c=0，
∴c=−3a，
∴a−c=a−(−3a)=4a>0，故①正确；
图象开口向上，对称轴直线为x=1，
∴当x=1时，函数有最小值，最小值x轴的下方，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=5两个不同的交点，
∴方程ax2+bx+c−5=0有两个不相等的实数根，故②错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c与y轴交于点C(0,m)，其中−4<m<−3，
∴当x=0，y=c=m，
∴−4<c<−3，
∵c=−3a,b=−2a，
3
∴c= b，
2
3
∴−4< b<−3，
2
8
解得，− <b<−2，故③正确；
3
当x=1时，函数有最小值，最小值为y=a+b+c<0，b=−2a，
∴b−a=−2a−a=−3a<0，
a+b+c
∴ >0，故④正确；
b−a
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
∴错误的有1个，
故选：A ．
4．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0)，与y轴交点坐标是(0,m)且2<m<3．有下列结论：
9 27
①abc<0；②9a−3b+c>0；③ <y < ；④关于x的一元二次方程ax2+(b−1)x+c−2=0必有两个
4 最大值 8
不相等实根；⑤若点A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y )在抛物线y=ax2+bx+c上，且
1 1 2 2 3 3
3
n<x <n+1<x <n+2<x <n+3，当y <y <y 时，则n的取值范围为− <n<0．其中正确的有（ ）
1 2 3 1 3 2 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关
键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a，b，c的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一
个交点坐标为(−2,0)，则当x=−3时，y=9a−3b+c<0，即可判断②；根据b=−2a，2<c<3，结合抛物
线的顶点坐标，即可判断③；求得a的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况
3
即可判断④；根据y <y <y ，结合函数图象分析，即可得出− <n<0，进而判断⑤，即可求解．
1 3 2 2
b
【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a<0，对称轴为直线x=1，则− =1
2a
∴b=−2a >0，
又∵抛物线与y轴交点坐标是(0,m)，即c=m，
∵2<m<3，即c>0，
∴abc<0，故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0)，对称轴为直线x=1，
∴另一个交点坐标为(−2,0)，
∴当x=−3时，y=9a−3b+c<0，故②错误；
∵(−2,0)，(4,0)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，
∴4a−2b+c=0，
又∵b=−2a，∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=−8a，
∵2<m<3，即2<c<3，
∴2<−8a<3，
9 9 9 9 27
∴2× <−8a× <3× 即 <−9a< ，
8 8 8 4 8
当x=1时，y取得最大值，最大值为a+b+c=a−2a−8a=−9a，
∴y =−9a，
最大值
9 27
∴ <y < ，故③正确；
4 最大值 8
∵ax2+(b−1)x+c−2=0，b=−2a，c=−8a，
即ax2+(−2a−1)x−8a−2=0，
∵Δ=(−2a−1) 2+4a(8a+2)=36a2+12a+1
12 1 1
对称轴为直线a=− =− ，当a<− 时，Δ的值随a的增大而减小，
2×36 6 6
又∵2<−8a<3，
3 1
∴− <a<− ，
8 4
1 1 2 1 1
∴当a=− 时，Δ=36×( − ) +12×( − )+1= >0，
4 4 4 4
3 1
∴当− <a<− 时，Δ>0恒成立，即ax2+(b−1)x+c−2=0必有两个不相等实根，故④正确；
8 4
∵若点A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )在抛物线y=ax2+bx+c上，且n<x <n+1<x <n+2<x <n+3
1 1 2 2 3 3 1 2 3
，
∴2n+1<x +x <2n+3，2n+3<x +x <2n+5，2n+2<x +x <2n+4，
1 2 2 3 1 3
∵存在y <y <y ，
1 3 2
x +x x +x x +x
∴ 1 2 <1， 2 3 >1， 1 3 <1，
2 2 2
2n+1 2n+5 2n+2
即 <1， >1， <1，
2 2 2
3
解得：− <n<0，故⑤正确；
2
故正确的有①③④⑤，共4个．
故选：C．5．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，O是坐标原点，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交
于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为直线x=−2，其中A(2,0),B(0,c)，且−3<c<−2．以
2
下结论：①abc>0；② <b<1；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+(b−2)x+c=0的两根为x 、
3 1
x (x <x )，则−2<x <4−2❑√7，6<x <4+2❑√7．其中正确结论有（ ）
2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】首先由抛物线开口向上得到a>0，然后由对称轴得到b>0，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到
b 1
c<0，即可判断①；由对称轴为直线x=− =−2得到a= b，然后将A(2,0)代入抛物线得到
2a 4
4a+2b+c=0，代入得到c=−3b，然后根据−3<c<−2得到− 3<−b<3−2，即可判断②；设抛物线对称
轴与x轴交于点E，将x=−2代入抛物线得到y=−4b，求出ED=4b，然后求出AE=4，得到
DE 4b 2
tan∠CAD= = =b<1，得到∠ACD=∠CAD<45°，即可判断③；分别将b= 和b=1代入方程
AE 4 3
ax2+(b−2)x+c=0，整理求出x=4±2❑√7和x=−2或6，进而求解即可．
【详解】∵抛物线开口向上
∴a>0
b
∵对称轴为直线x=− =−2
2a
∴b>0
∵抛物线与y轴交于负半轴
∴c<0
∴abc<0，故①错误；
b
∵对称轴为直线x=− =−2
2a1
∴a= b
4
∵A(2,0)在抛物线上
∴4a+2b+c=0
∴b+2b+c=0
∴c=−3b
∵−3<c<−2
∴− 3<−b<3−2
2
∴ <b<1，故②正确；
3
如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E，
将x=−2代入y=ax2+bx+c=4a−2b+c
1
将a= b，c=−3b代入得，y=−4b
4
∴ED=4b
2
∵ <b<1
3
∵对称轴为直线x=−2，A(2,0)
∴AE=4
DE 4b
∴tan∠CAD= = =b<1
AE 4
∴∠CAD<45°
∵CD=AD
∴∠ACD=∠CAD<45°
∴∠ADC>90°
∴△ACD是钝角三角形，故③正确；2
∵ <b<1
3
2 1 1
∴当b= 时，a= b= ，c=−3b=−2
3 4 6
1 4
∴方程ax2+(b−2)x+c=0转化为 x2 − x−2=0
6 3
解得x=4±2❑√7；
1 1
∴当b=1时，a= b= ，c=−3b=−3
4 4
1
∴方程ax2+(b−2)x+c=0转化为 x2 −x−3=0
4
解得x=−2或6；
∵方程ax2+(b−2)x+c=0的两根为x 、x (x <x )
1 2 1 2
∴−2<x <4−2❑√7，6<x <4+2❑√7，故④正确．
1 2
综上所述，其中正确结论有3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解直角三角形，解一元二次方程
等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
6．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于(−2,0)
和(−1,0)之间，顶点P的坐标为(1,n)．下列结论：①abc<0；②对于任意实数m，都有
am2+bm−a−b≥0；③3b<2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角
3
形，则n=− ．其中所有正确结论的序号是（ ）
a
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【分析】由二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，a<0，
b>0，c>0，可得①符合题意；结合当x=1时，n=a+b+c最大，当x=m时，y=am2+bm+c，可得②不符b
合题意；由− =1，a−b+c>0，可得3b<2c，可得③符合题意；由PH=tan60°⋅ AH，记A,B的横坐
2a
标分别为x ,x ，可得n=
❑√3
⋅❑
√4a−4c
=❑√3⋅❑
√a−c
=❑
√3a−3c
=−
❑√3a2 −3ac
，结合
1 2 2 a a a a
n=a+b+c=c−a，可得a(a−c)=3，可得④符合题意.
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，
∴a<0，b>0，c>0，
∴abc<0，故①符合题意；
∵顶点P的坐标为(1,n)，
∴当x=1时，n=a+b+c最大，
当x=m时，y=am2+bm+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴am2+bm−a−b≤0，故②不符合题意；
∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于(−2,0)和(−1,0)之间，对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，a−b+c>0，
2a
1 1
∴a=− b，− b−b+c>0，
2 2
∴3b<2c，故③符合题意；
如图，△PAB为等边三角形，
∴PA=AB=PB，PH⊥AB，HA=HB，∠PAB=60°，
∴PH=tan60°⋅ AH，
记A,B的横坐标分别为x ,x ，
1 2
∴n=❑√3(x −1)=❑√3(1− x )，
2 1
∴2n=❑√3(x −x )，
2 1b c
当y=ax2+bx+c=0，则x +x =− =2，x x = ，
1 2 a 1 2 a
∴x −x =❑√(x +x ) 2 −4x x =❑ √ 4− 4c ，
2 1 1 2 1 2 a
❑√3 √4a−4c √a−c √3a−3c ❑√3a2 −3ac
∴n= ⋅❑ =❑√3⋅❑ =❑ =− ，
2 a a a a
∵n=a+b+c=c−a，
❑√3a2 −3ac
∴c−a=− ，
a
∴a(a−c)=3，
❑√3a(a−c) 3
∴n=− =− ，
a a
故④符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，熟练的利用等
边三角形的性质结合二次函数的图象解题是关键.
7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于两点
(−1,0)，(x ,0)，且2<x <3．下列结论：①abc>0；②2a+c<0；③4a−b+2c<0；④若m和n是关于
1 1
x的一元二次方程a(x+1)(x−x )+c=0 (a≠0)的两根，且m<n，则m<−1，n>2；⑤关于x的不等式
1
c
ax2+bx+c>− x+c (a≠0)的解集为0<x<x ．其中正确结论的个数是（ ）
x 1
1
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与y轴的交点，确定a,b,c的
符号，即可判断①，根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过(−1,0)，得出a−b+c=0，进而判断
1 b
对称轴 <− <1，得出a<− b<2a，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出
2 2ab=a(1− x )，c=− ax 化简不等式为x2 −x x>0，求得解集，即可求解．
1 1 1
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴的右侧，
b
∴x=− >0，
2a
∴b<0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①正确，
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于两点(−1,0)，(x ,0)，且2<x <3．
1 1
−1+2 −1+3 1 b
∴对称轴 <x< ，即 <− <1，
2 2 2 2a
∴a<− b<2a，
∴a−b+c>a+a+c=2a+c，2a+b>0
∴2a+c<0，故②正确；
∵b=a+c，
∴4a−b+2c
=4a−b+2(b−a)
=2a+b>0，
∴4a−b+2c>0，故③错误；
④如图，
关于x的一元二次方程a(x+1)(x−x )+c=0 (a≠0)的两个根，即函数y=ax2+bx+c(a≠0)与
1
y=− c的交点的横坐标，
∵m<−1<2< n，∴若m和n是关于x的一元二次方程a(x+1)(x−x )+c=0 (a≠0)的两根，且m<n，则m<−1，n>2；故
1
④正确；
⑤∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于两点(−1,0)，(x ,0)，
1
∴y=ax2+bx+c=a(x+1)(x−x )
1
=ax2+a(1− x )x−ax ，
1 1
∴b=a(1− x )，c=− ax ，
1 1
c −ax
∴b−a=− ax ，− =− 1 =a，
1 x x
1 1
c
∴ ax2+bx+c>− x+c 可化为ax2+(b−a)x>0，
x
1
即ax2 −ax x>0，
1
∵a>0，
∴x2 −x x>0，
1
解得：x<0或x>x ，
1
c
∴关于x的不等式 ax2+bx+c>− x+c (a≠0)的解集为x<0或x>x 不是0<x<x 故⑤错误
x 1 1
1
故正确的有①②④，共3个，
故选：B
8．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象交x轴
于A，B两点，点A的坐标是(−1,0)，点B的坐标是(n,0)，有下列结论：①abc<0；②4a+c>2b；③关
b n−1
于x的方程ax2+bx+c=0的解是x =−1，x =n；④− = ．其中正确的有（ ）
1 2 2a 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得a<0,c>0，进而可判断b>0，即可判断结论
①；当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对
称性即可判断结论③④，可得答案.
【详解】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，
∴a<0,c>0，
又∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
b
∴x=− >0，
2a
∴b>0，
∴abc<0，故结论①正确；
由函数的图象可得：当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，
即4a+c<2b，故结论②错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，点A(−1,0)，点B(n,0)，
b −1+n
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x =−1，x =n，− = ，故结论③④正确；
1 2 2a 2
综上，结论正确的有3个，
故选：C.
9．（2025·四川达州·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0)，点B(3,0)，
下列结论：①abc<0；②4a+b=0；③b2 −4ac>0；④a−b+c>0．正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图
象与性质是解题的关键；
根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得a>0,c>0，根据抛物线与x轴交于点A(1,0)，点B(3,0)
，当x=−1时y>0，即可逐一判断，进而求解.【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴a>0,c>0，
∵抛物线与x轴交于点A(1,0)，点B(3,0)，当x=−1时y>0，
∴抛物线的对称轴是直线x=2，b2 −4ac>0，a−b+c>0，
故结论③④正确；
b
∴− =2，即b=−4a<0，b+4a=0，
2a
故结论②正确；
∴abc<0，
故结论①正确；
综上，说法正确的有4个；
故选：D.
10．（2025·四川凉山·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，其对称轴为x=2，且图像
经过点(6,0)，则下列结论错误的是（ ）
A．bc>0
B．4a+b=0
C．若ax2+bx =ax2+bx 且x ≠x ，则x +x =4
1 1 2 2 1 2 1 2
D．若(−1,y ),(3,y )两点都在抛物线y=ax2+bx+c的图像上，则y <y
1 2 2 1
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函
数的对称性，增减性，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0,c>0，
b
∵对称轴为直线x=− =2，
2a
∴b=−4a>0，
∴bc>0，4a+b=0，故选项A，B正确，不符合题意；∵ax2+bx =ax2+bx 且x ≠x ，
1 1 2 2 1 2
∴ax2+bx +c=ax2+bx +c，
1 1 2 2
∴x=x 和x=x 关于对称轴x=2对称，
1 2
∴x +x =4；故选项C正确；不符合题意；
1 2
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
若(−1,y ),(3,y )两点都在抛物线y=ax2+bx+c的图像上，
1 2
∵|− 1−)>2|3−2)，
∴y <y ；故选项D错误，符合题意；
1 2
故选D．
11．（2025·湖北十堰·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+c（a为常数且a<0），过点A(−1,0)，B(m,0)且
1<m<2，下列结论：①abc>0；②2a+c<0；③a(m−1)−b−c>0；④若关于x的方程a(x+1)(x−m)=3
有实数根，则4ac−b2≤12a．其中正确的结论有（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．②④
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象
与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
根据a<0及过点A(−1,0)，B(m,0)且1<m<2，结合二次函数的性质与判别式条件，逐一分析各结论的正确
性．
【详解】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a为常数且a<0），过点A(−1,0)，B(m,0)
∴抛物线可表示为y=a(x+1)(x−m)=ax2+a(1− m)x−am，
∴a(1− m)=b，c=− am
∵1<m<2
∴1− m<0，
∴b=a(1− m)>0，c=− am>0
∴abc<0，结论①错误；
②将c=− am代入2a+c，得2a−am=a(2− m)
∵1<m<2，
∴0<2− m<1，
∵a<0，
∴a(2− m)<0，结论②正确；③∵b=a(1− m)，c=− am
∴a(m−1)−b−c
=a(m−1)−a(1− m)−(−am)
=am−a−a+am+am
=a(3m−2)
∵1<m<2
∴3<3m<6
∴1<3m−2<4
∵a<0
∴a(3m−2)<0，结论③错误；
④∵a(x+1)(x−m)=3
∴ax2+a(1− m)x−am−3=0
2
∴Δ=[a(1− m)) −4a×(−am−3)≥0
∴a2 (m+1) 2+12a≥0
∴a2 (m+1) 2≥−12 a
∵b=a(1− m)，c=− am
∵4ac−b2=4a(−am)−a2 (1− m) 2=− a2 (m+1) 2≤12a，结论④正确．
综上，正确结论为②④，
故选：D．
12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点
A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③方程
8 4
ax2+bx+c−1=0的两根和为1；④若−2<c<−1，则− <a+b+c<− ，⑤点A(m−2,y )，B(m+1,y )
3 3 1 2
3
在抛物线上，且当y >y 时，m< ；其中正确结论的个数为（ ）
1 2 2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可
b
判断 ，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断 由根与系数的关系可得出x +x =− ，由b=−2a代入
1 2 a
① ②
1 2
即可判断 ，求出c=−3a，进一步得到 <a< ，又根据b=−2a得到a+b+c=a−2a−3a=−4a，即可
3 3
③
判断 ． 当点A(m−2,y )和B(m+1,y )关于对称轴对称时，解得m，若点A和点B向左移动时结合对
1 2
称轴④左侧的⑤递减性，以及m−2<m+1即可得到m的取值范围．
【详解】解： ∵函数图象开口方向向上，
∴a>0；
①
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b<0，
抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴
∵
c<0，
∴bc>0，故 错误；
∵二次函数①y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，
∴
②
x=−1时，y=0，
∴a−b+c=0，
b
∴− =1，
2a
∵b=−2a，
∴3a+c=0，
c<0，
∴ ∵ 3a+2c<0，故 正确；
设方程ax2+bx②+c−1=0的两根为x
1
和x
2
，
③ b
x +x =− ，
1 2 a
∴
∵b=−2a，
b −2a
x +x =− =− =2≠1，故 错误．
1 2 a a
∴ ③∵−2< c<−1，
④ c
根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得x x =(−1)×3=−3= ，
1 2 a
∴
∴c=−3a，
∴− a2<<−−31，
1 2
∴ <a< ，
3 3
∵b=−2a，
∴a+b+c=a−2a−3a=−4a，
8 4
∴− <a+b+c<− ，
3 3
故 正确；
④点A(m−2,y
1
)，B(m+1,y
2
)在抛物线上，
⑤ 3
当y =y 时，m−2+m+1=2，解得m= ，
1 2 2
y >y ，
1 2
∵ 3
m< ，则 正确；
2
∴ ⑤
故选：C．
13．（2025·江苏无锡·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向上，过
A(1,0),B(m,0)两点，且−2<m<−1．下列四个结论中正确的结论有（ ）
4
①b<0；②若m=− 时，则4a+3c=0；
3
③若点M(x ,y ),N(x ,y )在拋物线上，x <x ，且x +x <−1，则y <y ；
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
④a≥1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1必有两个不相等的实数根．
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的对称性，
增减性，二次函数与x轴的交点，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
1+m b
根据二次函数图象开口向上，即a>0，对称轴直线为x= =− ，且−2<m<−1可判定①；根据二次
2 2a
函数对称轴直线的计算方法，图象过点A(1,0)的知识结合可判定②；根据题意可得点M到对称轴的距离大
于点N到对称轴的距离，图象开口向下，由离对称轴越远值越小可判定③；根据二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系可判定④；由此即可求解．
【详解】解：抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向上，
∴a>0，
∵二次函数图象过A(1,0),B(m,0)两点，
1+m b
∴对称轴直线为x= =− ，
2 2a
∵−2<m<−1，
1+m b
∴ =− <0，
2 2a
∴b>0，故①错误；
4
4 1−
若m=− ，则 b 3 1，
3 − = =−
2a 2 6
a
∴b= ，
3
把A(1,0)代入抛物线解析式得，a+b+c=0，
a
∴a+ +c=0，
3
∴4a+3c=0，故②正确；
1+m b
∵对称轴直线为x= =− ，且−2<m<−1，
2 2a
1 b
∴− <− <0，
2 2a
已知点M(x ,y )，N(x ,y )在抛物线上，x <x ，且x +x <−1，
1 1 2 2 1 2 1 2
x +x 1
∴ 1 2 <− ，
2 2
∴点M到对称轴的距离大于点N到对称轴的距离，
∴y >y ，故③错误；
1 2
已知抛物线y=ax2+bx+c过A(1,0),B(m,0)两点，
∴设抛物线解析式为：y=a(x−1)(x−m)，
令a(x−1)(x−m)=−1，整理得，ax2 −a(m+1)x+am+1=0，
2
∴Δ=[−a(m+1)) −4a(am+1)，
=a2[ (m+1) 2 −4m− 4 )
a=a2[ (m−1) 2 − 4 )
a
∵−2<m<−1，a≥1，
4
∴−3<m<−2， ≤4，
a
∴(m−1) 2>4，
4
∴(m−1) 2 − >0
a
∴Δ=a2[ (m+1) 2+ 4 ] >0，
a
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1必有两个不相等的实数根，故④正确．
综上所述，正确的有②④，
故选：C．
14．（2025·青海·三模）如图是抛物线y =ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，其顶点坐标为A(− 1,)−，3
1
与x轴的一个交点为B(−3,0)，直线y =mx+n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc>0；②
2
b=2a；③抛物线与x轴的另一个交点是(3,0)；④不等式ax2+(b−m)x+c−n<0的解集为−3<x<−1；
⑤方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根；其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由题意a>0，b>0，c<0，abc<0可判断①错误；观察对称轴即可判断②正确；根据对称性求出
抛物线与x轴的另一个交点是(1,0)可判断④错误；抛物线y =ax2+bx+c(a≠0) 图象与直线y=−3只有一
1
个交点，方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根，故⑤正确．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c<0，∵对称轴在y轴右边，
b
∴− <0，
2a
∴b>0，
∴abc<0，故①错误，
∵顶点坐标为A(− 1,)−，3
b
∴− =−1，
2a
∴b=2a，故②正确；
∵B(−3,0)，对称轴为直线x=−1，
∴抛物线与x轴的另一个交点是(1,0)，故③错误，
由题意：y =ax2+bx+c(a≠0)图象与直线y =mx+n(m≠0)交于A，B两点，
1 2
∴当y <y 时，即不等式ax2+(b−m)x+c−n<0的解集为−3<x<−1，故④正确，
1 2
∵抛物线y =ax2+bx+c(a≠0) 图象与直线y=−3只有一个交点，
1
∴方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根，故⑤正确，
故选C．
【点睛】此题考查了二次函数的性质、二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．
15．（2025·陕西西安·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，与x轴的一个交点
A在点(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图所示，以下结论正确的有（ ）
①abc>0；②3a+c<0；③若m为任意实数，则有a−bm≥am2+b；④点P(x ,y )，Q(x ,y )在其图象
1 1 2 2
上，若x <x ，且x +x >−2，则一定有y >y ．
1 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数对称轴和图象得出a、b、c的符号，即可判
断①；由x=1时，y<0，即可判断②；最值判断③；根据二次函数性质可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为x=−1，
b
∴− =−1，
2a
∴b=2a，
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴b<0，
∵抛物线对称轴为x=−1，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点A在点(0,0)和(1,0)之间，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c>0，
∴abc>0，故①正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点A在点(0,0)和(1,0)之间，
∴x=1时，y<0，
即a+b+c<0，
∵b=2a，
∴3a+c<0，故②正确；
∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=−1，
∴当x=−1时，函数值最大，
∴当m为任意实数时，则：a−b+c≥am2+bm+c，
∴a−bm≥am2+b，故③正确；
∵抛物线开口向下，图象上有两点P(x ,y )和Q(x ,y )，对称轴为x=−1 ，x <x ，且x +x >−2，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴点Q(x ,y )在对称轴x=−1右侧，
2 2
当x ≥−1时， 在抛物线x=−1的右侧，y随x的增大而减小，
1
∵x <x ，
1 2
∴y >y ，
1 2
当x <−1时，点Q到对称轴的距离为x −(−1)=x +1，点P到对称轴的距离为− 1−x ，
1 2 2 1
∵x +1− (− 1−x )=x +x +2>0，
2 1 2 1
∴x +1>− x1−，
2 1
又∵抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的越近，函数值越大，
∴y >y ，
1 2∴图象上有两点P(x ,y )和Q(x ,y )，若x <x ，且x +x >−2，则一定有y >y ，
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
故④正确；
∴结论正确的有4个，
故选：D．
16．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，该函数图象
1
的对称轴是直线x=1,图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b=0；②方程ax2 −bx+ =0一定
2
1
有两个不相等的实数根：③当−1≤x≤2时，3a+2≤y≤2；④b−a<2；⑤抛物线上有两点P( ，y )
2 1
3
，Q(m，y ),若y >y ，则m> ．其中正确结论的个数有（ ）
2 1 2 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线的对称轴可得b=−2a，进而判断结论①，结合一元二次方程跟的判别式和抛物线的
1
开口方向，可得Δ=4a(a− )>0，进而判断结论②，根据抛物线的增减性，函数值可判断结论③，根据
2
抛物线的对称性得出抛物线与x轴的另一个交点在−1和0之间，结合函数值得出a−b<−2，进而判断结论
1 3
④，根据抛物线的对称性得出点P( ，y ) 关于对称轴的对称点坐标为P′( ，y ) ，结合抛物线的增减
2 1 2 1
1 3
性即可得出y >y 时， <m< ，进而判断结论⑤，即可求解．
1 2 2 2
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，
b
即− =1，
2a
∴b=−2a，∴2a+b=2a−2a=0，故①结论正确；
∵b=−2a，
1 1
∴ax2 −bx+ =ax2 −(−2a)x+ =0，
2 2
1
整理得ax2+2ax+ =0，
2
1 1
则Δ=(2a) 2 −4× a=4a2 −2a=4a(a− ) ，
2 2
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
1
故4a<0，a− <0，
2
1
∴Δ=4a(a− )>0，
2
1
故方程ax2 −bx+ =0一定有两个不相等的实数根，②结论正确；
2
∵b=−2a，c=2，
故抛物线的解析式为y=ax2 −2ax+2，
当x=−1时，y=a+2a+2=3a+2，
当x=1时，y=a−2a+2=− a+2，
∵a<0，
∴−a+2>2，
∵抛物线的对称轴是x=1，故抛物线y=ax2 −2ax+2的最大值为−a+2；
当x=2时，y=4a−4a+2=2，
故当−1≤x≤2时，3a+2≤y≤2；即③结论正确；
根据图象可得：抛物线与x轴的一个交点在2和3之间，抛物线的对称轴为x=1，
故抛物线与x轴的另一个交点在−1和0之间，
当x=−1时，y=a−b+c<0，
∵b=−2a，c=2，
∴a−b<−2，
∴b−a>2，故④结论错误；
∵抛物线的对称轴为x=1，
1 3
故点P( ，y ) 关于对称轴的对称点坐标为P′( ，y ) ，
2 1 2 1∵抛物线的开口向下，
故抛物线在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，抛物线在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
若y >y ，
1 2
1 3
则 <m< ，故⑤结论错误；
2 2
综上，结论正确的有①②③，有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点问题，抛物线与y轴的交点问题，二次函数图象
与系数的关系，一元二次方程跟的判别式等．解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
17．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(−1,0)，
开口向下，对称轴为直线x=1．下列结论正确的是（ ）
A．ac>0 B．b²−4ac<0
C．9a+3b+c>0 D．at²+bt<a+b(t≠1)
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数的对称性，熟练掌握以上知识点
是解题的关键．根据对称轴x=1，可知b=−2a，结合该抛物线过(−1,0)，可知a−b+c=0，从而知道
c=−3a，判断出A；可知该抛物线与x轴的另一个交点是(3,0)，将其代入抛物线可判断C，根据抛物线
与x轴的交点个数，可判断B，从开口向下以及对称轴，可判断x=1时，抛物线取得最大值，可判断D，从
而得出答案．
【详解】解：∵ y=ax²+bx+c开口向下，
∴a<0，
∵ y=ax²+bx+c对称轴为直线x=1，
b
∴x=− =1，
2a
∴b=−2a，
∵ y=ax²+bx+c过(−1,0)，对称轴为直线x=1，
∴当x=3时，y=0，
∴ 9a+3b+c=0，故C错误；
∵ y=ax²+bx+c过(−1,0)，b=−2a，
∴{0=a−b+c
)
，
b=−2a
∴c=−3a，∵a<0，
∴c>0，
∴ac<0，故A错误；
∵ y=ax²+bx+c过(−1,0)，(3,0)，
∴b2 −4ac>0，故B错误；
∵抛物线y=ax²+bx+c开口向下，对称轴为直线x=1，
∴x=1时，y=ax²+bx+c取最大值，
∴at²+bt+c<a+b+c(t≠1)，
∴at²+bt<a+b(t≠1)，故D正确；
故选：D．
1
18．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c，其对称轴为x= ．现有以下五个结论：
10
4ac−b2 b3 −4abc
①abc>0；②b2<4ac；③ <0；④− >0；⑤a+5b=0．其中正确的是________．
4a 8a2
A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．②③④ D．①②⑤
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，最值等
解答即可.
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c开口向上，
∴a>0，
∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点在负半轴上，
∴c<0；
1
∵对称轴为直线x= ，
10b 1
∴x=− = ,
2a 10
1
∴b=− a<0,
5
∴abc>0,
故①正确；
∵a>0，c<0，
∴4ac<0,，
∴b2>4ac，
故②错误；
∵抛物线的顶点在第四象限，
4ac−b2
∴ <0，
4a
故③正确；
1
∵对称轴为直线x= ，
10
b 1
∴x=− = >0,
2a 10
4ac−b2
∵ <0，
4a
b3 −4abc2
∴ <0，
8a2
b3 −4abc
∴− >0，
8a2
故④正确；
1
∵对称轴为直线x= ，
10
b 1
∴x=− = ,
2a 10
1
∴b=− a,
5
∴a+5b=0,
故⑤正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，抛物线的顶点坐标属性，根的判别式，抛物线与各项系数的符号关系，熟练掌握性质是解题的关键.
19．（2025·福建福州·三模）已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于点(x ，0),(−3，0)，其中
1
b c
0<x <2．以下四个结论：①abc<0；②b>a；③函数的最小值大于c− ；④不等式ax2+bx+c> x+c
1 4 3
的解集为−3<x<0．其中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决
问题是关键．
3 b 1 b
根据题意画出函数大致图象，得到a、b同号，c<0，可判断①结论；根据− <− <− ，得1< <3，
2 2a 2 a
a(x +3) 2
可判断②结论；根据b=a(3− x ),c=−3ax ，二次函数最小值为− 1 ，可判断③结论；根据函数
1 1
4
c
y=ax2+bx+c(a>0)与函数y= x+c的交点为(−3,0)和(0,c)，利用图象可判断④结论．
3
【详解】解：根据题意画出函数大致图象如下：
∵抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于点(x ，0),(−3，0)，其中0<x <2，
1 1
3 1
∴抛物线开口向上，对称轴在− ∼− 之间，与y轴交点在负半轴，
2 2
∴a、b同号，c<0，
∴abc<0，
∴①结论正确；
3 b 1
∵− <− <− ，
2 2a 2
b
∴1< <3，
a
∴b>a，
∴②结论正确；
y=a(x−x )(x+3)=ax2+a(3− x )x−3ax =a ( x−
x
1
−3
)
2
−
a(x
1
+3) 2
，
1 1 1 2 4
b a(3− x ) a(13x +3)
∵c− =−3ax − 1 =− 1 ，
4 1 4 4∴−
a(x
1
+3) 2
− (c−
b
)=−
a(x
1
+3) 2
−
[
−
a(13x
1
+3))
=
−a(x
1
−1)(x
1
−6)
，
4 4 4 4 4
∵0<x <2，
1
∴当0<x <1时，
1
a(x +3) 2 b
−
1
−
(c− )<0，
4 4
∴③结论错误；
c
∵函数y= x+c中，当y=0时，x=−3，当x=0时，y=c，
3
c
∴函数y=ax2+bx+c(a>0)与函数y= x+c的交点为(−3,0)和(0,c)，
3
c
∴不等式ax2+bx+c> x+c的解集为x<−3或x>0，
3
∴④结论错误．
故选：A．
20．（2025·浙江绍兴·三模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于
点C．下列结论：①ac>0；②3a+c=0；③a+b≤am2+bm；④当x>0时，y随x的增大而增大．其中正
确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】此题考查了二次函数的图象，二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的正负，正确理解二次函数的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质解答即可．
【详解】解：由图象可知，开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0,c>0，
∴ac<0，故①不正确；
∵二次函数y=a2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，
b −1+3
∴对称轴为直线x=− = =1，a−b+c=0，
2a 2
∴b=−2a，a+2a+c=3a+c=0，故②正确；
∴当x=1时，图象有最高点，即函数最大值为a+b+c，
∴当x=m时，y=am2+bm+c≤a+b+c，
∴a+b≥am2+bm，故③不正确；
∵对称轴为直线x=1，开口向下，
当x>1时，y随x的增大而减小，
∴当x>0时，y随x的增大而先增大后减小．故④不正确；
∴正确的为②，共1个，
故选：A．
21．（2025·贵州铜仁·三模）已知：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论中：①
abc<0；②b+2a=0；③a−b<am2+bm(m≠−1)；④ax2+bx+c=0两根分别为x =−1，x =1；⑤
1 2
4a+2b+c>0．其中正确的项有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，牢记公式和数形结合是解题的关键．由抛物线开口向上
知：a>0，抛物线与y轴的负半轴相交可知：c<0，对称轴在y轴的左侧可知：b>0，即可判断①；根据对
b
称轴为直线x=−1，得出− =−1，从而得出b=2a，即可判断②；由抛物线的性质可知，当x=−1时，y
2a
有最小值，得出a−b+c<am2+bm+c(m≠−1)，即可判断③；根据抛物线的对称轴为x=−1， 且与x轴的一个交点的横坐标为1， 得出另一个交点的横坐标为−3，即可判断④；根据当x=2时，y>0，得出
4a+2b+c>0，即可判断⑤．
【详解】解：①由抛物线开口向上知：a>0，抛物线与y轴的负半轴相交可知：c<0，对称轴在y轴的左侧
可知：b>0，
∴abc<0，故①正确；
②∵对称轴为直线x=−1，
b
∴− =−1，即b=2a，
2a
∴b−2a=0，故②错误；
③由抛物线的性质可知，当时x=−1，y有最小值，
∴a−b+c<am2+bm+c(m≠−1)，
即a−b<am2+bm(m≠−1)，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为x=−1， 且与x轴的一个交点的横坐标为1，
∴另一个交点的横坐标为−3，
∴方程的两根分别是1，−3，故④错误；
⑤由图像可得，当x=2时，y>0，即：4a+2b+c>0，故⑤正确；
故正确选项有①③⑤共3个，
故选：B．
22．（2025·贵州黔西·二模）如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，已知抛物线的对称轴为
直线x=−1，若点A的坐标为(−3,0)，则以下结论错误的是（ ）
A．方程ax2+bx+c=0的两根为x =−3，x =1
1 2
B．8a+c>0
C．ac<0
D．若(x ,y )，(x ,y )是抛物线上的两点，且x <x <−1，则y <y
1 1 2 2 1 2 1 2
【答案】B【分析】此题考查二次函数的图象和性质以及二次函数与x轴交点，数形结合是解题的关键．
根据题意求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1,0)，即可判断A；首先由对称轴得到b=2a，然后将
(1,0)代入解析式得到a+b+c=0，然后推出3a+c=0，根据a<0，即可得到8a+c<0，进而判断B；然后
由抛物线y轴交于正半轴得到c>0，即可判断C；根据题意得到当x<−1时，y随x的增大而增大，即可判
断D．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=−1，若点A的坐标为(−3,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1,0)
∴方程ax2+bx+c=0的两根为x =−3，x =1，故A正确；
1 2
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
b
∴− =−1
2a
∴b=2a
将(1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)得，a+b+c=0
∴将b=2a代入得，3a+c=0
∵抛物线开口向下
∴a<0
∴8a+c=5a<0，故B错误；
∵抛物线y轴交于正半轴
∴c>0
∴ac<0，故C正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，开口向下
∴当x<−1时，y随x的增大而增大
∵若(x ,y )，(x ,y )是抛物线上的两点，且x <x <−1，
1 1 2 2 1 2
∴y <y ，故D正确．
1 2
故选：B．
23．（2025·湖北·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的对称轴为直
线x=−1，且该抛物线与x轴交于点A(1,0)，与y轴的交点B在(0,−2)，(0,−3)之间（不含端点），有
bc 2
下列结论：① >0；②9a−3b+c=0；③ <a<1；④若方程ax2+bx+c−x−2=0的两根为m，
a 3
n(m<n)，则−3<m<1<n．其中正确的个数为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，根据二次函数
图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、根与系数的关系等知识，逐个判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴为直线x=−1<0，a、b同号，
∴b>0，
∵抛物线与y轴的交点B在(0,−2)，(0,−3)之间，
∴−3<c<−2<0，
bc
∴ <0，故①不正确；
a
∵对称轴为直线x=−1，且该抛物线与x轴交于点A(1,0)，
∴与x轴交于另一点(−3,0)，
∴当x=−3时，y=9a−3b+c=0，故②正确；
由题意可得，方程ax2+bx+c=0的两个根为x =1，x =−3，
1 2
c
又∵x ⋅x = ，即c=−3a，
1 2 a
∵−3<c<−2，
∴− 3<−a<3−2，
2
因此 <a<1，故③正确；
3
若方程ax2+bx+c−x−2=0的两根为m，n(m<n)，即方程为：ax2+bx+c=x+2，则直线y=x+2与抛
物线的交点的横坐标为m，n，
∵直线y=x+2过一、二、三象限，且过点(−2,0)，∴直线y=x+2与抛物线的交点在第一、第三象限，
由图象可知−3<m<1<n．故④正确；
综上所述，正确的结论有②③④，共3个，
故选：B．
24．（2025·江西新余·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴
为直线x=1，以下4个结论：①abc<0；②4a+2b+c>0；③若点A(m,n)在该抛物线上，且m>1，则
am+a+b<0；④3a+c>0．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉函数的图像和性质是解题关键．
利用二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点坐标即可求出①；令x=2即可判断②；利用x=1
时函数值最大，即可判断③；令x=3即可判断④．
【详解】①由图象可知：a<0，c>0
b
∵− >0
2a
∴b>0
∴abc<0，故①正确；
②当x=0时，y>0，对称轴为直线x=1，
∴当x=2时，y>0，
∴4a+2b+c>0，故②正确；
③当x=1时，y的值最大，此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
∴a+b+c>am2+bm+c，
∴am2 −a+bm−b<0，
∴a(m−1)(m+1)+b(m−1)<0，即(m−1)(am+a+b)<0，
∵m>1，∴m−1>0，
∴am+a+b<0，故③正确；
b
④当x=−1时，y<0，对称轴为直线x=− =1
2a
∴b=−2a
∴当x=3时，y<0，
∴9a+3b+c<0，
∴3a+c<0，故④错误；
故选：C．
25．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，该函数图象
的对称轴是直线x=1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b=0；②方程ax2+bx+c=0一
定有一个根在−2和−1之间；③方程ax2+bx+c−a=0一定有两个不相等的实数根；④点A(x ,y )，
1 1
8
B(x ,y )在抛物线上，且x <1<x ，当x +x >2时，y >y ；⑤函数y的最大值大于 ．其中正确结论的个
2 2 1 2 1 2 1 2 3
数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特
征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合的方法解决问题．根据二次函数的对称
性，开口方向等来判断结论①②，根据二次函数与一元二次方程的关系来判断结论③，根据函数的增减
性，函数值判断结论④⑤即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，即2a+b=1，故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间，∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在−1和0之间，
∴方程ax2+bx+c=0一定有一个根在−1和0之间，故②错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴c=2，
∴ax2 −2ax+2− a=0，
∴Δ=(−2a) 2 −4a×(2− a)=8a2 −8a=8a(a−1)，
令Δ=0，得8a2 −8a=8a(a−1)=0，
∴a=0或a=1，
∵a<0，
∴Δ>0，
∴方程ax2+bx+c−a=0一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点距离对称轴越远y值越小，距离对称轴越近y值越大，
∵x +x >2，
1 2
∴x >2− x ，
1 2
∴− x <−2+ x ，
1 2
∴1− x <−2+ x +1，
1 2
∴1− x <x −1，
1 2
∵A点到对称轴的距离是1− x ，B点到对称轴的距离是x −1，
1 2
∴y >y ，故④正确；
1 2
如图，当x=3时，y<0，
∴9a−6a+2<0，
2
∴− a> ，
3
8
∴2− a> ，
3
8
当x=1时，y =a−2a+2=2− a> ，
最大 3
8
∴函数y的最大值大于 ，故⑤正确，
3
综上所述，正确的结论有：①③④⑤，共4个，
故选：B．
二、填空题（15题）26．（2025·四川绵阳·三模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据已知信息有下列结论：①
2a+b<0；②a+b>0；③abc<0；④b2 −2ac>3ab．其中正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，做题时会用数形结合的思想进行思考，从而判断函数解析
式中各系数关系的正负性是解题的关键．由二次函数的图象及性质，逐个结论进行判段，从而解答本题．
【详解】解：由抛物线的开口方向可知：a<0，
b 1 b
由对称轴x=− 的位置，可知： <− <1，
2a 2 2a
不等式两边同时乘以2a得：a>− b>2a，
可得：a+b>0，2a+b<0，
∴结论①2a+b<0正确；②a+b>0正确；
由a+b>0，a<0，可知：b>0，
由抛物线与y轴的交点可知：c<0，
∴ abc>0，
∴结论③错误；
由二次函数与一元二次方程的联系得，关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b2 −4ac>0，
∴b2 −2ac>2ac，
由上可知，a<0，b>0，c<0，
∴b2 −2ac>2ac>0，3ab<0，
∴b2 −2ac>0>3ab，
∴结论④正确；
综上所述：①②④正确；故答案为：①②④．
27．（2025·四川自贡·二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交
于点B，对称轴为直线x=1，下面五个结论正确的序号为 ．
①abc<0； ②a−b+c=0； ③3a+2c<0；④ax2+bx≥a+b；⑤−3≤c<0时，−2≤3 a+b+c<0
【答案】②③④⑤
【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
根据对称轴位置及图象开口向上可判断出a、b、c的符号，从而判断①；利用对称轴，可判断②；利用
对称轴和开口向上，即可判断最小值，从而判断③的正误；由二次函数的性质即可判断④；由
1 2 1 2 2
a−b+c=0,2a=− b推出a=− c，b= c，得到3a+b+c=− c×3+ c+c= c，即可得到
3 3 3 3 3
−2≤3 a+b+c<0，可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∴2a=− b，
∴b<0，
∵抛物线与y轴交于点B在y轴的负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，
故结论①错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0)，对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一
个交点为(−1,0)，
∴a−b+c=0，故结论②正确；
∵A(3,0)
∴9a+3b+c=0，
∵2a=− b，
∴9a+3×(−2a)+c=3a+c=0，
∵c<0，
∴3a+2c<0，
故结论③正确；
∵对称轴为直线x=1，
∴函数的最小值为y=a+b+c，
∴ax2+bx+c≥a+b+c，
∴ax2+bx≥a+b，
故结论④正确；
∵a−b+c=0,2a=− b，
∴3a+c=0，
1
∴a=− c，
3
2
∴b= c，
3
1 2 2
∴3a+b+c=− c×3+ c+c= c，
3 3 3
∵ −3≤c<0，
2
∴−2≤ c<0，
3
∴ −2≤3 a+b+c<0，
故结论⑤正确；
综上所述，结论正确的是②③④⑤；
故答案为：②③④⑤．
28．（2025·山东烟台·一模）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且0<c<a）经过点(1,0)，
下列结论：①abc<0；②2a+b>0；③当x>1时y随x的增大而增大；④关于x的方程ax2+bx+b+c=0有
两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是 个．
【答案】4
【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与x轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据抛物线y=ax2+bx+c经
过点(1,0)、结合题意判断①②；根据抛物线的对称性判断③；根据一元二次方程根的判别式判断④．
【详解】解：②∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0)，
∴a+b+c=0，
∵0<c<a，
∴a+b+a>0，即2a+b>0，故②正确；
①∵a+b+c=0，0<c<a，
∴b<0，
∴abc<0，故①正确；
③∵2a+b>0
b
∴对称轴x=− <1，
2a
∴当x>1时，y随x的增大而增大，故③正确；
④∵a+b+c=0，
∴b+c=− a，
对于方程ax2+bx+b+c=0，Δ=b2 −4×a×(b+c)=b2+4a2>0，
∴方程ax2+bx+b+c=0有两个不相等的实数根，故④正确；
综上所述，其中正确结论的个数是4．
故答案为：4．
1
29．（2025·江苏淮安·二模）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x= ，且经
2
5 5
过点(2,0) ．以下说法：①abc<0；②−2b+c=0；③4a+2b+c=0；④若 ( − ,y ),( ,y ) 是抛物线
2 1 2 2
1 1
上的两点，则y <y ；⑤ b>m(am+b)（其中m≠ ），其中说法正确的是 ．
1 2 4 2
【答案】①②③④⑤【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0
时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位
置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交
点：抛物线与y轴交于(0,c)．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ=b2 −4ac>0时，抛物线与x轴有
2个交点；Δ=b2 −4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2 −4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
利用抛物线开口方向得到a<0，利用抛物线的对称轴方程得到b=− a>0，利用抛物线与y轴的交点在x轴
上方得到c>0，则可对①进行判断；利用抛物线经过点(2,0)得到4a+2b+c=0，则可对③进行判断；同时
5 1 5
得到c=−2a，加上b=− a，则可对②进行判断；通过比较点 ( − ,y ) 到直线x= 的距离与点 ( ,y ) 到
2 1 2 2 1
1 1
直线x= 的距离的大小可对④进行判断；利用x= 时，函数值最大以及b=− a可对⑤进行判断．
2 2
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
b 1
∵抛物线的对称轴为直线x=− = ，
2a 2
∴b=− a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，所以①正确；
∵抛物线经过点(2,0)，
∴4a+2b+c=0，所以③正确；
∴c=−2a，
∴−2b+c=2a−2a=0，所以②正确；
5 1 5 1
∵点 ( − ,y ) 到直线x= 的距离比点 ( ,y ) 到直线x= 的距离大，
2 1 2 2 2 2
∴y <y ；所以④正确；
1 2
1
∵抛物线的对称轴为直线x=
2
1
∴当x= 时，函数值最大，
2
1 1 1
∴ a+ b+c>am2+bm+c(m≠ ) ，
4 2 2∵b=− a，
1 1
即 b>m(am+b) (m≠ ) ，所以⑤正确．
4 2
故答案为：①②③④⑤．
30．（2025·江苏扬州·一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c图像的对称轴是直线x=−1，下列结论：①
abc<0；②3a+c>0；③am2+b(m+1)≥a（m为常数）；④若关于x的方程|ax2+bx+c)−k=0恰有三
个解，则a−c=k，其中正确的是 （填序号）．
【答案】①②③④
【分析】本题考查根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数图象与各项系数符号．熟练掌握二次函数
的图象和性质是解题关键．
根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：由二次函数图象可知a>0,c<0，
∵该二次函数对称轴为x=−1，
b
∴− =−1，
2a
∴b=2a>0，
∴abc<0，故①正确；
由图象可知，当x=1时，y>0，即a+b+c>0．
∵b=2a，
∴3a+c>0，故②正确；
当x=−1时，y取得最小值，
∴am2+bm+c≥a−b+c，即am2+b(m+1)≥a，故③正确；
当x=−1时，y=a−b+c，
∴顶点坐标为(−1,a−b+c)，
根据题意得|ax2+bx+c)=k，即将y=ax2+bx+c位于x轴下方的图像向上翻折，
∴翻折后的顶点坐标为(− 1,a−+b−c)，
∵若关于x的方程|ax2+bx+c)−k=0恰有三个解，
∴即函数y=|ax2+bx+c)与y=k恰有三个解，
即y=k恰好经过向上翻折后的图像的顶点，
∴k=b−a−c，
∵b=2a，
代入得到，则a−c=k，
故④正确；
综上可知正确的结论为①②③④，
故答案为：①②③④．
31．（2025·湖北武汉·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a>0）经过点(− 1,)−和1
(n,−1)两点，且−2<n<−1．以下四个结论：①b>0；②若−2<x<−1，则a(x+1) 2+b(x+1)+c>−1；③
若a=1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c+1=0必有两个相等的实数根；④点A(x ,y )、B(x ,y )在抛
1 1 2 2
3
物线上，若x +x <−2，x >x ，总有y >y ，则−2<n<− ．其中正确的是 （填写序号）．
1 2 1 2 1 2 2
【答案】①②
【分析】本题考查二次函数与方程、不等式的关系，二次函数的图象与性质，根据抛物线y=ax2+bx+c
−1+n
经过点(− 1,)−和1(n,−1)两点得到对称轴为直线x= <0，a−b+c=−1，再据此逐个分析即可．
2
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a>0）经过点(− 1,)−和1(n,−1)两点，且
−2<n<−1，
−1+n
∴对称轴为直线x= <0，
2
b
∴− <0，
2a
∴b>0，
故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a>0）经过点(− 1,)−和1(n,−1)两点，且−2<n<−1，
∴方程ax2+bx+c=−1的解集为x =−1或x =n，
1 2
∴不等式ax2+bx+c>−1的解集为x>−1或x<n，
∴不等式a(x+1) 2+b(x+1)+c>−1解集为x+1>−1或x+1<n，解得x>−2或x<n− 1<，−2
∴若−2<x<−1，则a(x+1) 2+b(x+1)+c>−1；
故②正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(− 1,)−，1
∴a−b+c=−1，
∵a=1，
∴c=b− 1−a=b−2，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c+1=0的判别式Δ=b2 −4a(c+1)=b2 −4×1× (b−2+1)=(b−2) 2≥0
，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c+1=0必有两个实数根，但是不一定是相等实数根，
故③错误；
−1+n
∵抛物线对称轴为直线x= <0，a>0，
2
∴y=ax2+bx+c在对称轴右边y随x的增大而增大，
∵若x >x ，总有y >y ，
1 2 1 2
x +x
∴ 1 2总在对称轴右边，
2
−1+n x +x
∴ < 1 2，
2 2
∵x +x <−2，
1 2
−1+n x +x −2
∴ < 1 2 < ，
2 2 2
解得n<−1，
∵−2<n<−1，
∴−2<n<−1，
故④错误；
综上所述，正确的有①②，
故答案为：①②．
32．（2025·四川南充·一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(−1,0)，与y轴的交点
1
B在(0,2)与(0,3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc<0；②若点M( ,y )
2 15 1
，点N( ,y ) 是函数图象上两点，则y >y ；③当a=− 时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移
2 2 1 2 2
1 3 2
1个单位，得到抛物线y=− (x−3) 2+13；④− <a<− ；⑤b>am2+bm(m≠2)．
2 5 5
其中正确的有 （填序号）
【答案】①④⑤
【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴的位置，与y轴交点的位置判断①符合题意；根据点N坐
3
标和二次函数的对称轴确定二次函数图象过点 ( ,y ) ，再根据二次函数的增减性即可判断②不符合题
2 2
意；使用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数图象平移规律即可判断③不符合题意；把点A坐
标和点A关于对称轴对称的点的坐标代入二次函数解析式，然后用a表示c，再根据点C的位置和不等式
的性质即可判断④符合题意；根据二次函数的最值得到不等式，再根据不等式的性质和等价代换思想即可
判断⑤符合题意．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴，
b
∴a<0，− >0，c>0．
2a
∴b>0．
∴abc<0．故①符合题意．
5
∵点N( ,y ) 是函数图象上一点，对称轴是直线x=2，
2 2
3
∴二次函数图象经过点 ( ,y ) ．
2 2
∵二次函数图象开口方向向下，
∴当x≤2时，y随x的增大而增大．
1
∵M( ,y ) 函数图象上一点，
2 1∴y <y ．故②不符合题意．
1 2
1
∵a=− ，二次函数图象对称轴是直线x=2，
2
1
∴设二次函数解析式为y=− (x−2) 2+k．
2
1
把点A(−1,0)坐标代入二次函数解析式得0=− (− 1−) 22+k．
2
9
解得k= ．
2
1 9
∴二次函数解析式为y=− (x−2) 2+ ．
2 2
∴抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位得到抛物线为
1 9 1 17
y=− (x− 2−) 21+ +4=− (x−3) 2+ ．故③不符合题意．
2 2 2 2
∵二次函数图象过点A(−1,0)，二次函数对称轴是直线x=2，
∴二次函数图象过点(5,0)．
{0=a×(−1) 2+b×(−1)+c,)
把点A(−1,0)和(5,0)代入二次函数解析式y=ax2+bx+c中得
0=a×52+b×5+c．
{b=−4a,
)
用a来表示b和c得
c=−5a．
∵二次函数图象与y轴的交点B在(0,2)与(0,3)之间（不包括这两点），
∴2<c<3．
∴2<−5a<3．
3 2
∴− <a<− ．故④符合题意．
5 5
∵二次函数图象开口方向向下，对称轴为直线x=2，
∴二次函数在x=2时取得最大值．
∴当x=m(m≠2)时，a×22+b×2+c>am2+bm+c，即4a+2b+c>am2+bm+c．
∴4a+2b>am2+bm．
∵b=−4a，
∴4a=− b．
∴4a+2b=− b+2b=b．
∴b>am2+bm(m≠2)．故⑤符合题意．故①④⑤符合题意．
故答案为：①④⑤．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数关系，二次函数的对称性，二次函数的增减性，二次函数图象平
移规律，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，不等式的性质，综合应用这些知识点是解题关
键．
33．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c(0<a<c)经过第四象限点A(1,m)，下列四
b m
个结论： b<0； b2 −4ac≥−4 am； 若抛物线经过点B( − ,n) ，则m<n； <3．其中正确
a b−a
① ② ③ ④
的结论是 ．（只填序号）
【答案】
【分析】①本题②主③要④考查了二次函数的图像和性质，不等式的性质，根据点所在象限可得出m<0，由二次函
数的图像和性质得出m=a+b+c，即b=m−a−c，结合已知条件可判断 ，把b2 −4ac≥−4 am变形成
①
b b 2 b
b2+4a(a+b)≥0即可判断 ， 把B( − ,n) 代入二次函数解析得出n=a( − ) +b( − )+c=c，结合
a a a
②
m=(a+b)+c<c=n即可判断 ，利用不等式的性质即可得出判断 ．
【详解】解： 点A(1,m)在③第四象限， ④
m<0，
∵
∴把A(1,m)代入y=ax2+bx+c，即m=a+b+c，
b=m−a−c
0<a<c，
a+c>0
∵
∴ b=m−a−c=<− a−c<0，故 正确，
∴b2 −4ac≥−4 am ①
b2 −4ac+4am≥0，
∴b2+4a(m−c)≥0，
∴由m=a+b+c可得出b2+4a(a+b)≥0，
b2+4a2+4ab=(b+2a) 2≥0，即b2 −4ac≥−4 am恒成立，故 正确，
∴ 若抛物线经过点B(
−
b ,n)
，
②
a
b 2 b
n=a(
−
) +b(
−
)+c=c，
a a
∴b<− a−c，
∵
a+b<− c，
∴ m=(a+b)+c<c=n，则m<n，故 正确，
∴b<0，a>0， ③
∵
b−a<0，
∴m
<3可变形为：m>3(b−a)，
b−a
∴
即a+b+c>3b−3a，
整理得：a+c>2b−3a，
b<− a−c，
∵
a+c>2(−a−c)−3a
∴ 6a+3c>0，显然成立，故 成立，
∴故答案为： ④
34．（2025①·吉②林长③春④·一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)
两点，与y轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b=0；②2c=3b；③若△ABC是等腰三角形，a
❑√2
的值有2个；④当△BCD是直角三角形时a= ．其中正确的是 ．（只需填写序号）
2
【答案】①②③
b
【分析】由图象可得对称轴为直线x=− =1，可得b=−2a，可判断①；将点A坐标代入解析式可得
2a
c=−3a，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求a的值，可判断③；由直角三角形的性质
❑√2
和两点距离可求a=−1或a=− ，可判断④，即可求解．
2
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，
b
∴对称轴为直线x=− =1，
2a∴b=−2a，
∴2a+b=0，
故①正确，
当x=−1时，0=a−b+c，
∴a+2a+c=0，
∴c=−3a，
∴2c=3b，
故②正确；
∵二次函数y=ax2 −2ax−3a(a<0)，
∴点C(0,−3a)，
∴BC=❑√9+9a2，AC=❑√1+9a2，
当BC=AB时，4=❑√9+9a2，
❑√7
∴a=− （正数值已舍去），
3
当AC=BA时，4=❑√1+9a2，
❑√15
∴a=− （正数值已舍去），
3
∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，
故③正确；
∵二次函数y=ax2 −2ax−3a=a(x−1) 2 −4a，
∴顶点D(1,−4 a)，
∴BD2=4+16a2，BC2=9+9a2，CD2=a2+1，
若∠BDC=90°，可得BC2=BD2+CD2，
∴9+9a2=4+16a2+a2+1，
❑√2
∴a=− ，
2
若∠DCB=90°，可得BD2=CD2+BC2，
∴4+16a2=9+9a2+a2+1，
∴a=−1，
❑√2
∴当△BCD是直角三角形时，a=−1或a=− ，
2
故④错误．
故答案为：①②③．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的
性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
35．（2025·湖北武汉·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a>0)经过(−2,0),( m,0)两
点，且2<m<3．
下列五个结论：
①b<0；
②b2 −4ac<0；
1 1
③若抛物线经过点(− 1，,−则1) <a< ；
4 3
④若关于x的不等式2ax2+2bx<− cx的解集为0<x<t，则2<t<3；
1 5
⑤点A(x ,y ),B(x ,y )在抛物线上，若x +x > ,x <x ，总有y <y ，则2<m≤ ．
1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2
其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①③⑤
【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可.
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a>0)经过(−2,0),( m,0)两点，且2<m<3．
m−2 1
∴a>0，0<m−2<1，0< < ，
2 2
b
∴− >0，
2a
∴b<0；
故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a>0)经过(−2,0),( m,0)两点，且2<m<3．
∴x=−2，x=m是方程ax2+bx+c=0的两个不相等的实数根，
∴b2 −4ac>0；
故②错误；
∵抛物线经过点(− 1，,−1)
∴a−b+c=−1，
∵4a−2b+c=0，
解得b=3a−1，
m−2 1
∵0< < ，
2 2b 1
∴0<− < ，
2a 2
∴0<− b<a；
∴0<1−3 a<a；
1 1
解得 <a< ，
4 3
故③正确；
∵关于x的不等式2ax2+2bx<− cx的解集为0<x<t，
∴2ax2+(2b+c)x<0,
2b+c
∴2ax2+(2b+c)x=0的两个根为x=0,x=− ，
2a
∵关于x的不等式2ax2+2bx<− cx的解集为0<x<t，
2b+c
∴t=− ，
2a
b m−2
∵− = ，
2a 2
∴b=a(2− m)，
∴c=2b−4a=−2am，
∴t=2m−2，
t+2
∴m= ，
2
∵2<m<3，
t+2
∴2< <3,
2
∴2<t<4,
故④错误；
b m−2 1
∵点A(x ,y ),B(x ,y )在抛物线上，抛物线的对称轴为− = ，x +x > ,x <x ，总有y <y ，
1 1 2 2 2a 2 1 2 2 1 2 1 2
x +x 1 1 m−2
∴ 1 2 > ，且 ≥ ，
2 4 4 2
5
解得m≤ ，
2
∵2<m<3
5
∴2<m≤ ．
2故⑤ 正确，
故答案为：①③⑤．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与不等式，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，熟练
掌握性质是解题的关键.
36．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A、B两点，与轴的
正半轴交于点C，对称轴是直线x=−1，其顶点在第二象限，给出以下结论：①abc>0；②2a−b=0；③
1
若OA=OC，则OB=− ；④不论m取任何实数，均有a−b>am2+bm．其中正确的有 ．
a
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了二次函数与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征及抛物线与x轴的交点，
根据所给函数图像，得出a，b，c的符号，再结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即
可．熟知二次函数的图像与性质是解题的关键．
【详解】解：由所给图像可知，
a<0，b<0，c>0，
所以abc>0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线x=−1，
b
所以− =−1，
2a
则2a−b=0．
故②正确．
因为点C坐标为(0,c)，
由OA=OC得，OA=c，
所以点A的坐标为(− c,0)，
则ac2 −bc+c=0，所以ac−b+1=0．
因为抛物线的对称轴为直线x=−1，且点A坐标为(− c,0)，
所以点B的坐标为(c−2,0)．
由ac−b+1=0得，
b−1 2a−1 1
c= = =2− ，
a a a
1 1
所以OB=c− 2=2−− 2=−．
a a
故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线x=−1，且开口向下，
所以当x=−1时，二次函数有最大值a−b+c，
即对于抛物线上的任意一点（横坐标为m)，总有a−b+c≥am2+bm+c，即a−b≥am2+bm．
故④错误．
故答案为：①②③．
37．（2025·湖北武汉·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a>0）经过(0，−3)，
(m，−3)两点，且1<m<2，下列四个结论：
①b<0；
②若a=1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−4没有实数解；
③点(x ,y )，(x ,y )在抛物线上y=ax2+(a+b)x+b上，若x +x >1，x >x ，总有y <y ；
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
④若抛物线的顶点的轨迹上有两点(p,k)，(q,k−1)，则关于x的方程px2 −qx+k=0的两根之和大于1．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a>0）经过(0，−3)，(m，−3)两点，得出抛物线
b 0+m m
的对称轴为直线：x=− = = ，根据1<m<2，得出b<0即可判断①根据抛物线y=ax2+bx+c
2a 2 2
b m
（a，b，c是常数，a>0）经过 (0，−3) ，得出c=−3，根据− = ，a=1，得出b=− m，求出
2a 2
−2<b<−1，得出Δ=b2 −4<0，说明关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−4没有实数解，可判断②，根据
a+b 1 b 1 m
抛物线y=ax2+(a+b)x+b的对称轴为：直线x=− =− − =− + ，设抛物线的对称轴为直线
2a 2 2a 2 21
x=t，得出0<t< ，根据点(x ,y )，(x ,y )在抛物线上y=ax2+(a+b)x+b上，x +x >1，x >x ，
2 1 1 2 2 1 2 1 2
a>0，分三种情况：当点(x ,y )，(x ,y )都在对称轴右侧时，当点(x ,y )，(x ,y )在对称轴两侧时，
1 1 2 2 1 1 2 2
1
点(x ,y )在对称轴的左侧，即可判断③；先求出抛物线的顶点坐标在函数y=− ax2 −3( <x<1) 的图象
2 2 2
1
上，根据a>0，得出−a<0，根据抛物线y=− ax2 −3( <x<1) 的开口向下，对称轴为直线x=0，得出在
2
对称轴的右侧y随x的增大而减小，根据根与系数的关系即可判断④．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a>0）经过(0，−3)，(m，−3)两点，且1<m<2
，
b 0+m m
∴抛物线的对称轴为直线：x=− = = ，
2a 2 2
∵1<m<2，
1 m b
∴ < <1，即− >0，
2 2 2a
∵a>0，
∴b<0，故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a>0）经过(0，−3)，
∴c=−3，
b m
∵− = ，a=1，
2a 2
b m
∴− = ，
2 2
∴b=− m，
∵1<m<2，
∴−2<b<−1，
当a=1时，一元二次方程ax2+bx+c=−4为x2+bx− 3=，−4
整理得：x2+bx+1=0，
∵Δ=b2 −4<0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−4没有实数解，故②正确；
抛物线y=ax2+(a+b)x+b的对称轴为：
a+b 1 b 1 m
直线x=− =− − =− + ，
2a 2 2a 2 21 m
∵ < <1，
2 2
1 m 1
∴0<− + < ，
2 2 2
设抛物线的对称轴为直线x=t，
1
∴0<t< ，
2
∵点(x ,y )，(x ,y )在抛物线上y=ax2+(a+b)x+b上，x +x >1，x >x ，a>0，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴当点(x ,y )，(x ,y )都在对称轴右侧时，y >y ，
1 1 2 2 1 2
当点(x ,y )，(x ,y )在对称轴两侧时，点(x ,y )关于对称轴的对称点为(2t−x ,y )，
1 1 2 2 2 2 2 2
∵x −(2t−x )=x +x −2t>1−2t>0，
1 2 1 2
∴x >2t−x ，
1 2
∴y >y ，
1 2
1
∵x +x >1，0<t< ，
1 2 2
∴点(x ,y )不可能都在对称轴的左侧，
2 2
综上分析可知：点(x ,y )，(x ,y )在抛物线上y=ax2+(a+b)x+b上，x +x >1，x >x 时，y >y ，故
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
③错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a>0）经过(0，−3)，(m，−3)两点，
b m
∴顶点坐标的横坐标为x=− = ，c=−3，
2a 2
4ac−b2 b2 b2
顶点坐标的纵坐标为y= =c− =− 3− ，
4a 4a 4a
∴b=− am，
∵1<m<2，
1 m
∴ < <1，
2 2
1
∴顶点坐标的横坐标 <x<1，
2
b2 (−am) 2 am2
把b=− am代入顶点坐标的纵坐标y=− 3− =− 3− =− 3− ，
4a 4a 4
b m
∵顶点坐标的横坐标为x=− = ，
2a 2
∴m=2x，把m=2x代入y=− 3−
am2
得：y=− 3−
a⋅(2x) 2
=− ax2 −3，
4 4
1
∴抛物线的顶点坐标在函数y=− ax2 −3( <x<1) 的图象上，
2
∵a>0，
∴−a<0，
1
∴抛物线y=− ax2 −3( <x<1) 的开口向下，对称轴为直线x=0，
2
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵抛物线的顶点的轨迹上有两点(p,k)，(q,k−1)，
∴p>0，q>0，p<q，
q
∴ >1，
p
q
∴关于x的方程px2 −qx+k=0的两根之和 >1，故④正确．
p
综上所述，①②④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方
程及不等式的关系．
38．（24-25九年级上·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M(m,0)，N(n,0)，其中
m+n=−2，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点M和N，以下四个结论：
①abc>0；②3a+c>0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+2c=0无实根；④点(x ,y )，(x ,y )在抛物线
1 1 2 2
3
上且在对称轴的同侧，当|x −x )=2时，总有|y −y )≥3时，则a≥ ．其中所有正确结论的序号是
1 2 1 2 4
．
【答案】②④
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，对称轴，数形结合法，抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性
质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键．
b 1
①根据题中二次函数y=ax2+bx+c的图像(a>0)判断开口方向，x=− = (m+n)=−1，以及抛物线与y
2a 2
轴的交点，可判断a，b，c的符号，进而可判断；
②由二次函数y=ax2+bx+c的图象知：当x=1时，y=a+b+c>0，3y=3a+3b+3c>0；当x=−3时，
y=9a−3b+c>0，两式相加，化简可得
③一元二次方程ax2+bx+2c=0的判别式Δ =b2 −4a×2c=b2 −8ac，结合a，b，c的关系与符号，进
而可判断；
④设x >x ，且x ,x 在对称轴右侧（在左侧同理），则x =x +2，
1 2 1 2 1 2
y −y =a(x2 −x2)+b(x −x )=4ax +4a+2b，结合a，b，c的关系与符号，进而可判断．
1 2 1 2 1 2 2
【详解】通过读图：
①因为a>0，所以抛物线开口向上，
b b m+n
对称轴x=− ，由于m+n=−2，即对称轴x=− = =−1，
2a 2a 2
可得b=2a>0，
抛物线与y轴交于负半轴，所以c<0，
综上，abc<0，结论①错误；
②： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于N(n,0)由图可知0<n<1，
又∵ m+n=−2，
∴ −3<m<−2，
由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：
当x=1时，y=a+b+c>0 3y=3a+3b+3c>0，当x=−3时，y=9a−3b+c>0，
两式相加，化简可得3a+c>0，结论②正确；
③一元二次方程ax2+bx+2c=0的判别式Δ =b2 −4a×2c=b2 −8ac，
因为b=2a，所以Δ=4a2 −8ac=4(a−2c)，
由c<0,a>0，可得a−2c>0，所以Δ= 4a(a−2c)>0，方程有两个不相等的实根，
结论③错误；
④设x >x ，且x ,x 在对称轴右侧（在左侧同理），
1 2 1 2
则x =x +2，
1 2
y −y =a(x2 −x2)+b(x −x )，
1 2 1 2 1 2
=a[(x +2) 2 −x2)+b×2，
2 2
=a(x2+4x +4− x2)+2b，
2 2 2
=4ax +4a+2b，
2
∵ b=2a，
∴ y −y =4ax +4a+4a =4ax +8a，
1 2 2 2
∵ x ≥−1（在对称轴右侧），
2
∴ 4ax + 8a≥4a×(−1)+8 a=4a，
2
又∵ |y −y )≥3，
1 2
∴ 4a≥3，
3
即a≥ ，结论④正确．
4
综上，正确结论的序号是：②④．
39．（2025·湖北武汉·一模）开口向下的抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0)，B(m,0)，且−2<m<−1．
1
下列结论：①b>0；②2a+c<0；③已知点P(x ,y )，Q(x ,y )在抛物线上，若x <x <− ，则y >y ；
1 1 2 2 1 2 2 1 2
④若方程a(x−m)(x−1)=1有两个不相等的实数根，则4ac−b2<4a．其中正确结论的序号是 ．
【答案】 /④②
②④ 1+m
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由题意可得抛物线的对称轴为直线x= ，进而由
2
b b
−2<m<−1得− <0，得到 >0，即可判断①；由抛物线经过点A(1,0)，得a+b+c=0，得c=− a−b
2a 2ab 1
，即得2a+c=2a−a−b=a−b，又由对称轴得− >− ，可得b>a，即可得2a+c=a−b<0，即可判
2a 2
断②；利用二次函数的性质可判断③；由方程a(x−m)(x−1)=1有两个不相等的实数根，可得抛物线
y=ax2+bx+c−1与x轴有两个不同的交点，根据根的判别式可判断④；综上即可求解，掌握二次函数的
图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,0)，B(m,0)，
1+m
∴抛物线的对称轴为直线x= ，
2
∵−2<m<−1，
1+m b
∴ <0，即− <0，
2 2a
b
∴ >0，
2a
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴b<0，故①错误；
∵抛物线经过点A(1,0)，
∴ a+b+c=0，
∴c=− a−b，
∴2a+c=2a−a−b=a−b，
∵−2<m<−1，
1+m 1
∴ >− ，
2 2
b 1
即− >− ，
2a 2
b
∴ <1，
a
∴b>a，
∴2a+c=a−b<0，故②正确；
b 1
∵对称轴x=− >− ，抛物线开口向下，
2a 2
1
∴当x<− 时，y随x的增大而增大，
21
∵x <x <− ，
1 2 2
∴y <y ，故③错误；
1 2
∵方程a(x−m)(x−1)=1有两个不相等的实数根，
∴抛物线y=a(x−m)(x−1)−1与x轴有两个不同的交点，
即抛物线y=ax2+bx+c−1与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=b2 −4×a×(c−1)=b2 −4ac+4a>0，
∴4ac−b2<4a，故④正确；
综上，正确结论的是②④，
故答案为：②④．
40．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a<0）经过点(m,0)
，m>0，且4a−2b+c=0，则下列四个结论：①c>0；②b−3a>0；③若方程ax2+bx+c=b有两个不相
3
等的实数根x ,x （且x <x ），则x <m；④若0<m<2，抛物线过点(0,1)，且s=a+b+c，则s< ．其
1 2 1 2 2 4
中正确的结论是 （填序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查二次函数符号判断，根据4a−2b+c=0得到抛物线过(−2,0)，再结合已知条件画出大
致的函数图象，然后根据函数图象分析计算即可．
【详解】解：∵4a−2b+c=0，
∴y=ax2+bx+c过(−2,0)，
∵a<0，过点(m,0)，m>0，
∴函数的大致图象如下两种情况：
由函数图象可得c>0，故①正确；
由函数图象可得当x=−1时，y=a−b+c>0，
∵4a−2b+c=0，∴a−b+c=4a−2b+c+(b−3a)>0，
∴b−3a>0，
故②正确；
方程ax2+bx+c=b有两个不相等的实数根x ,x （且x <x ），可以看成抛物线与y=b交点横坐标为
1 2 1 2
x ,x ，
1 2
有函数图象可得：当b>0时，−2<x <x <m；当b<0时，x <−2< m<x ；
1 2 1 2
故③错误；
∵抛物线过点(0,1)，
∴c=1，
1 b 1
∴4a−2b+1=0，整理得b=2a+ ，− =− 1− ，
2 2a 4a
1 3
∴s=a+b+c=a+2a+ +1=3a+ ，
2 2
∵抛物线过点(−2,0)，(m,0)，
b −2+ m
∴抛物线对称轴为直线− = ，
2a 2
∵0<m<2，
−2+ m 1
∴−1< <0，即− 1<− 1− <0，
2 4a
∵a<0，
1
∴解得a<− ，
4
3 3
∴s=a+b+c=3a+ < ，
2 4
故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
