文档内容
专题 03 二次函数与角度（举一反三专项训练）
【人教版】
【题型1 二次函数与特殊角】..................................................................................................................................1
【题型2 二次函数与等角】......................................................................................................................................4
【题型3 二次函数与二倍角】..................................................................................................................................6
【题型4 二次函数与角度和差倍分】......................................................................................................................8
【题型5 二次函数与角度之间关系】....................................................................................................................10
知识点 1 特殊角与等角
类型一 特殊角
图示
条件 ∠PAB=45°
构等腰Rt△ABQ，得△ABO≌△BQH⇒Q点坐标⇒直线PA解析式⇒P点坐标（联立
解题思路
直线PA与抛物线解析式）
类型二 等角⟶平行
图示
条件 ∠PBA=∠CAB
∠PBA=∠CAB⇒PB∥AC⇒直线AC和直线PB斜率相等⇒直线PB解析式⇒P点坐标
解题思路
（联立直线PB与抛物线解析式）
类型三 等角⟶全等
图示条件 ∠PBA=∠DBC，CD∥x轴，OC=OB
∠CBO=∠DCB=∠BCO=45°⇒△BCE≌△BCD⇒E点坐标⇒直线PB解析式⇒P
解题思路
点坐标（联立直线PB与抛物线解析式）
知识点 2 二倍角（一题多法）
类型一 二倍角⟶加倍
图示
条件 ∠PBA=2∠OAB
解题思路 翻折△BAO得△DAO⇒∠PBA=∠BAD⇒PB∥AD
类型二 二倍角⟶减半
图示
条件 ∠PBA=2∠OAB
解题思路 延长PB交x轴于点D⇒∠BDA=∠BAD⇒OA=OD
类型三 二倍角⟶减半
图示
条件 ∠PBA=2∠OAB
作AD⊥x作轴，交BP的延长线于点D，BH⊥AD于点H
解题思路
⇒∠DBH=∠ABH⇒AD=2OB
【题型1 二次函数与特殊角】
【例1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数y=x2−2tx−t−3．(1)求出该二次函数的顶点坐标（用含t的式子表示）；
(2)当0≤x≤3时，y的最小值为−5，求出t的值；
(3)如图，若该二次函数的图象过点B(5,0)，且与x轴交于另一点A，与y轴交于点C，在对称轴上是否存
在点P，使得∠APC=45°，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
( 5 7)
【变式1-1】（24-25九年级上·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点P − , 的抛物线
2 6
2
y=− x2+bx+2．分别交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
3
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点Q是抛物线对称轴上一点，当△BCQ的周长取得最小值时，求点Q的坐标及△BCQ的周长．
5
(3)当M(m,0)，N(0,n)两点满足：− 0，且∠PMN=90°时，若符合条件的M点的个数有
2
2个，请直接写出n的取值范围．
【变式1-2】（2024·山东枣庄·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于两点
( 1 )，B（点A在B左边），交y轴于C，点 ( 7)是抛物线上一点．
A − ,0 P 3,
2 2(1)求抛物线的关系式；
(2)在对称轴上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
(3)如图2，抛物线上是否存在点Q，使∠QCP=45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理
由．
1
【变式1-3】（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与x轴
2
交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC,BC，且B(−2,0)，AB=6．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点P为直线AC下方抛物线上一动点，过P作PD⊥AC交AC于点D，过P作PG⊥x轴交x轴
❑√2
于点G、交AC于点E，点M为直线PG上一动点，当△DEP周长最大时，求OM+ PM的最小值及此
2
时点M的坐标；
1
(3)如图2，将抛物线y= x2+bx+c沿射线BC方向平移2❑√5个单位，得到新抛物线y′，点F是新抛物线y′
2
上一点，点Q为点B关于y轴的对称点，当∠FQC=45°时，请直接写出所有符合条件的F点的坐标．【题型2 二次函数与等角】
【例2】（2025·山东济宁·二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(−5,0)，B(−4,−3)两点，与x
轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上存在点P，使得∠PBC=∠BCD，请直接写出所有点P的坐标．
【变式2-1】（2025·河北邯郸·三模）已知抛物线y=x2+ax+b经过A(−5,0)，B(−4,−3)两点，与x轴的
另一个交点为C，顶点为D，连接CD．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点M从点C出发，在线段CB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点A出
发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另外一个点也停止运动，设运动
时间为t秒，求t为多少时，△MNC的面积最大，并求出最大面积；
(3)如图2，P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），连接BP．该抛物线上是否存在点P，使得
∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：当直线y=k x+b
1 1
与直线y=k x+b 垂直时，k ⋅k =−1）
2 2 1 2
【变式2-2】（2025·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2−2ax−3a与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OC=OB．
(1)直接写出a的值；
(2)如图1，点P为第一象限的抛物线上一点，且满足∠BCP=∠ACO，求点P的坐标；
(3)如图2，点Q为第四象限的抛物线上一点，直线BQ交y轴于点M，过点B作直线NB∥AQ，交y轴于
点N，当Q点运动时，线段MN的长度不会变化．试求其值．
( 3)
【变式2-3】（2025·四川南充·一模）如图，顶点为A的拋物线经过B(5,4),C(7,−2),D 0, ．Rt
2
△ABE的顶点E在x轴正半轴上．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求点E的坐标．
(3)在拋物线上求出点P，使∠PBE=∠AEB．
【题型3 二次函数与二倍角】
【例3】（2025·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交
于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C(0,−3)，其顶点的横坐标是−1．(1)b= ________，c= ________；
(2)已知一次函数y=kx−3（k为常数）的图象为直线l，直线l与x轴交于点D．
①连接BC，若S <6，求k的取值范围；
△BCD
②当直线l与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点P，使得直线PC与CD所夹的锐角
是∠DCO的2倍？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式3-1】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知抛物线y=x2−4x+c，与x轴交于点A和点B（A在B的左
侧），与y轴交于点C，且OC=3OA，抛物线的顶点为P．
(1)直接写出这条抛物线的解析式_____和顶点P的坐标_____；
(2)若点M在此抛物线上，MF⊥x轴于点F，MF与直线PQ相交于点E，设点M的横坐标为t(t>3)，且
ME:EF=2:1，求点M的坐标；
(3)在（2）的基础上，在直线AM上是否存在一点N，使直线PN与直线AM的夹角等于∠AMP的2倍．
若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图，抛物线y=x2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两
点，与y轴交于点C(0,−3)，且过点(−2,5)．(1)求抛物线解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点P使PA+PC最小，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理
由．
(3)点M是抛物线上的一点，连接BC、CM，当∠ABC=2∠BCM时，求点M的坐标．
【变式3-3】（2025·四川绵阳·三模） 如图，抛物线y=ax2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原
点的左侧，点B在原点的右侧)，与y轴交于点C，OB=OC=3．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当
S :S =3:2时，求点D的坐标．
△COF △CDF
( 3)
(3)如图2，点E的坐标为 0,− ，点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE，是否存在点P，使
2
∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型4 二次函数与角度和差倍分】
【例4】（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx经过点
(3,3)．点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、m+1，已知点M(1,1)，作点A关于点M的对称点
C，作点B关于点M的对称点D，构造四边形ABCD．(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)当A,B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标；
(3)设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G．当00) x A(−1,0),B
1
两点，交y轴于C．(1)直接写出点B，C的坐标；
(2)如图1，设点N在y轴上，满足∠OCA+∠ANO=∠ABC，求点N的坐标；
(3)如图2，将抛物线C 平移得到抛物线C ，抛物线C 的顶点为坐标原点，直线y =−2x与抛物线C 交于
1 2 2 2
O，M两点，过OM的中点K作直线RQ（异于直线OM）交抛物线C 于R，Q两点，直线QO与直线MR
2
交于点H．探究：点H是否一定在某条确定直线上？若是，求出该直线的解析式；若不是，请说明理由．
1
【变式4-3】（2025·重庆开州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c(a≠0)交x轴于
8
A(−4,0)，B(8,0)两点，交y轴于C，连接AC，BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，点E和点F是直线
BC上的两个动点（点F在点E的下方），且EF=❑√5，连接AF，EP，当PH有最大值时，求
AF+EF+EP的最小值；
(3)将抛物线沿射线CB方向平移2❑√5个单位得新抛物线y′，点Q是新抛物线y′上的一点，连接QB，当
∠QBC=∠ABC+∠ACO时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标．【题型5 二次函数与角度之间关系】
【例5】（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+4x+c(a≠0)与x轴交于点
A(−1,0)和点B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C(0,5)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，直线y=−x+2与x轴交于点D，与y轴交于点E，动点P为抛物线第一象限上的一点，
PG⊥ED于点G，PH ∥ y轴交ED于点H，求△PGH的周长的最大值，及此时点P的坐标；
(3)如图2，连接AE，将原抛物线沿射线ED方向平移得到新抛物线y′，使平移后的新抛物线y′经过点B，
新抛物线y′与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线y′上是否存在一点T，使得∠TMB+∠AEO=90°
？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由．
【变式5-1】（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴
相交于点A(−1,0)、点B(3,0)，与y轴相交于点C，连接AC、BC．
(1)求：a，b的值；
(2)当t≤x≤1时，函数y=ax2+bx+3的最小值是2，求出t的值；
(3)在抛物线上是否存在点P，使得∠CBP+∠ACO=45∘？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
【变式5-2】（2025·山东烟台·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+4(a<0)的图象与x轴交于点A和点B
，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴，交抛物线于点D，且OC=OB=2OA．(1)求抛物线的表达式；
(2)①在图1中，抛物线对称轴上是否存在一点E，使△BDE为等腰三角形，若存在，请求点E的坐标；若
不存在，请说明理由；
②在图2中，点P为抛物线上第四象限上一点，连接DP交y轴于点E，当2∠BDP−∠DEC=90∘时，求
点P的坐标．
【变式5-3】（2025·山东淄博·二模）二次函数y=ax2+bx−3的图象与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，
与y轴交于点C．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，点E是第三象限内的抛物线上的动点，过E作ED∥y轴，交x轴于点D，四边形CDAE的面积
是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由；
(3)如图2，点P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q，已知点N(−5,0)，连接NP，在抛物线
的对称轴上是否存在一点H，使得∠HNP+∠BCO=45°，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存
在，请说明理由．
