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专题 02 与旋转有关的证明与计算
1．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接AD、BF，且
BF＝AF．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求证：AD＝2AE．
【答案】（1）证明；由旋转的性质可得BD＝BA，∠ABD＝∠ABC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BAD＝∠ABC＝60°，
∴AD∥BC；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，∠BDA＝60°，
又∵BF＝AF，
∴BF＝AF，
∴DF垂直平分AB，
1
∴∠AED=90°，∠ADE= ∠ADB=30°，
2
∴AD＝2AE．
【解答】（1）证明；由旋转的性质可得BD＝BA，∠ABD＝∠ABC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BAD＝∠ABC＝60°，
∴AD∥BC；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，∠BDA＝60°，
又∵BF＝AF，
∴BF＝AF，
∴DF垂直平分AB，1
∴∠AED=90°，∠ADE= ∠ADB=30°，
2
∴AD＝2AE．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为
E，F，且点E恰好落在BA上，连接AF，过点B作BG⊥AF于点G．
（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数．
（2）若AC＝8，BC＝6，求BG的长．
【答案】（1）65°；
（2）4❑√5．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣40°＝50°，
将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠FBE＝∠ABC＝50°，AB＝BF，
1 1
∴∠BAF=∠BFA= (180°−∠ABF)= (180°−50°)=65°；
2 2
（2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√82+62=10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠BEF＝∠C＝90°，BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，AB＝BF，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
∵∠AEF＝180°﹣∠BEF＝180°﹣90°＝90°，
∴在Rt△AEF中，AF=❑√AE2+EF2=❑√42+82=4❑√5．
∵BG⊥AF，
1 1
∴S = AB×EF= AF×BG，
△ABF 2 2
AB⋅EF 10×8
∴BG= = =4❑√5．
AF 4❑√5
3．点P为△ABC中内任一点，连接AP，BP，CP，将△ACP绕点A逆时针旋转60°，得到△AED．
（1）如图，试判断△ADP的形状，并说明理由．
（2）若点p是△ABC内一个动点，试说明当点B，P，D，E四个点满足什么位置条件时，PA+PB+PC
的和最小．【答案】（1）等边三角形，证明见解析．
（2）当点B，P，D，E四个点在一条直线上时，PA+PB+PC的和最小．证明见解析．
【解答】解：（1）由题意可知，
△ADE由△APC旋转得到，
∴△ADE≌△APC（SSS），
∴AD＝AP，
又∵∠PAD＝60°
∴△APD为等边三角形．
（2）当点B，P，D，E四个点在一条直线上时，PA+PB+PC的和最小．
理由：由（1）可知△ADE≌△APC，△ADP为等边三角形．
∴PA＝DA＝DP，PC＝DE，
∴PA+PB+PC＝DP+PB+DE，
由两点间线段距离最短可知，当点B，P，D，E四个点在一条直线上时，PA+PB+PC的和最小．
4．如图，点O是等边△ABC内一点，将BO绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接OD，AO，BO，AD．
（1）求证：△BCO≌△BAD．
（2）若OA＝10，OB＝6，OC＝8，求∠BOC的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）∠BOC＝150°．
【解答】（1）证明：由题意可得：BO＝BD，∠OBD＝60°，
∵△ABC是等边三角形．
∴BA＝BC，∠CBA＝60°，
∴∠OBD＝∠CBA，
∴∠CBO＝∠ABD，
在△BCO和△BAD中，
{
OB=OB
)
∠CBO=∠ABD ，
BC=BA
∴△BCO≌△BAD（SAS）；
（2）解：由题意可得：OD＝OB＝6，∠ODB＝60°，
∵△BCO≌△BAD，
∴AD＝OC＝8，∠BOC＝∠ADB，
∵OA＝10，
∴AD2+OD2＝82+62＝100，OA2＝100，
∴OA2＝AD2+OD2，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ADB＝∠ADO+∠BDO＝150°，
∴∠BOC＝∠ADB＝150°．
5．如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG，点E恰好落在边CD上，连接BE，
BG，且BG与AE相交于点P；
1
（1）求证：∠CBE= ∠BAE；
2
（2）若AB=❑√41，BC＝3，求BG的长．
【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CBE+∠ABE＝90°．
由旋转的性质可得AE＝AB，
180°−∠BAE 1
∴∠ABE=∠AEB= =90°− ∠BAE．
2 2
1
∴∠CBE+90°− ∠BAE=90°，
21
∴∠CBE= ∠BAE；
2
（2）2❑√17．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CBE+∠ABE＝90°．
由旋转的性质可得AE＝AB，
180°−∠BAE 1
∴∠ABE=∠AEB= =90°− ∠BAE．
2 2
1
∴∠CBE+90°− ∠BAE=90°，
2
1
∴∠CBE= ∠BAE；
2
（2）解：如图，过点B作BM⊥AE于点M，过点E作EN⊥AB于点N．
在△BEC和△BEM中，
{
∠C=∠BME=90°
)
∠BEC=∠NBE=∠BEM ，
BE=BE
∴△BEC≌△BEM（AAS），
∴BM＝BC＝GA＝3，EC＝EM．
在△BMP和△GAP中，
{∠GAP=∠BMP=90°
)
∠APG=∠MPB ，
GA=BM
∴△GAP≌△BMP（AAS），
∴GP＝BP，AP＝MP（全等三角形对应边相等）．
∵AN=❑√AE2−EN2=❑√(❑√41) 2−32=4❑√2，
∴EM=EC=NB=AB−AN=❑√41−4❑√2，
1 1
∴AM=AE−EM=❑√41−(❑√41−4❑√2)=4❑√2，PM = AM = ×4❑√2=2❑√2，
2 2
∴BP=❑√PM2+BM2=❑√(2❑√2) 2+32=❑√17，
∴BG＝2BP＝2×❑√17=2❑√17，
即BG的长为2❑√17．6．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转 （0°＜ ＜90°）后得到△ADE．
（1）如图1，当AB的对应边AD恰好经过点C时，若AE＝5，AB＝8，求CD的长；
α α
（2）将△ABC继续旋转至如图2的位置，若∠BAE＝4∠CAD＝80°，求旋转角的度数．
【答案】（1）3；
（2）50°．
【解答】解：（1）由旋转可知AC＝AE＝5，AD＝AB＝8，
∴CD＝AD﹣AC＝8﹣5＝3；
（2）∵∠BAE＝4∠CAD＝80°，
∴∠CAD＝20°，
由旋转可知∠BAC＝∠DAE，
1 1
∴∠BAC= (∠BAE−∠CAD)= (80°−20°)=30°，
2 2
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝30°+20°＝50°，
即旋转角为50°．
7．根据题意，寻找规律，解答问题：
（1）如图1，在△ABC中，AB＝1，AC＝2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，连接
AB′，并且AB′＝3，求∠B′A′C的大小；
（2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2❑√3、❑√2、4，求
∠APB的大小．
【答案】（1）135°；
（2）135°．
【解答】解：（1）连接AA′，∵AB＝1，AC＝2，由题意得：AC＝A′C＝2，A′B＝AB＝1，∠ACA′＝90°，
∴∠AA′C＝45°，AA′2＝22+22＝8，
∴AB′2＝32＝9，A′B2＝12＝1，
∴AB′2＝AA′2+A′B′2，
∴∠AA′B′＝90°，
∴∠B′A′C＝135°；
（2）将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，连接PE，
∴AP=CE=2❑√3，PB=PE=❑√2，∠PBE＝90°，
∴∠BPE＝∠BEP＝45°，
∴PE＝2，
∵PC2＝16，PE2+CE2＝16，
∴PC2＝PE2+CE2，
∴∠PEC＝90°，
∴∠BEC＝135°，
∴∠APB＝∠BEC＝135°．
8．面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，
这就是特殊化策略．有一个边长为3的正方形ABCD和腰足够长的等腰直角三角形EFG，其中等腰直角
三角形的直角顶点E与正方形的中心重合．现将等腰直角三角形 EFG绕着点E进行旋转，请采用特殊
化策略探究两个图形重叠部分的面积．
（1）先考虑特殊情形，如图1，当点C，D分别在边EF，EG上时，求重叠部分的△CDE的面积；
（2）再探究一般情形，如图2，当边EF，EG分别交边BC，CD于点M，N时，求重叠部分的四边形
EMCN的面积．9
【答案】（1）重叠部分的△CDE的面积为 ；
4
9
（2）重叠部分的四边形EMCN的面积为 ．
4
【解答】解：（1）如图1，连接AE、BE，
∵正方形ABCD的边长为3，
∴S正方形ABCD ＝32＝9，
∵等腰直角三角形EFG的直角顶点E与正方形ABCD的中心重合，点C，D分别在边EF，EG上，
1
∴DE＝CE＝BE＝AE，∠DEC＝∠CEB＝∠AEB＝∠AED= ×360°＝90°，
4
1 1 9
∴S
△DEC
＝S
△CEB
＝S
△AEB
＝S
△AED
=
2
DE2=
4
S正方形ABCD =
4
，
9
∴重叠部分的△CDE的面积为 ．
4
9
（2）如图2，连接DE、CE，由（1）得S = ，
△DEC 4
∵DE＝CE，∠DEC＝90°，
∴∠EDN＝∠ECD＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠ECM＝∠BCD﹣∠ECD＝45°，
∴∠EDN＝∠ECM，
∵∠DEC＝∠MEN＝90°，
∴∠DEN＝∠CEM＝90°﹣∠CEN，
在△DEN和△CEM中，
{∠DEN=∠CEM
)
DE=CE ，
∠EDN=∠ECM
∴△DEN≌△CEM（ASA），
∴S ＝S ，
△DEN △CEM9
∴S四边形EMCN ＝S
△CEM
+S
△CEN
＝S
△DEN
+S
△CEN
＝S
△DEC
=
4
，
9
∴重叠部分的四边形EMCN的面积为 ．
4
9．如图，在正方形ABCD中，按要求补全图形，并解答问题．
（1）在图①中，以点B为旋转中心，将BA顺时针旋转 °（0＜ ＜90），点A的对应点为点E，连结
AE、EC，证明∠AEC的度数为定值，并求出这个值．
α α
（2）在图②中，以点B为旋转中心，将BC顺时针旋转 °（0＜ ＜90），点C的对应点为点E，连结
AE、EC，试探究：∠AEC的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．
β β
【答案】（1）补全图形如图①，证明见解答，这个值为135°；
（2）补全图形如图②，∠AEC的度数为定值，这个值为45°．
【解答】解：（1）补全图形如图①，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，
由旋转得BE＝BA，∴BE＝BC，
∵∠BAE＝∠BEA，∠BCE＝∠BEC，
∴∠BAE+∠BCE＝∠BEA+∠BEC＝∠AEC，
∵∠BAE+∠BCE+∠AEC+∠ABC＝360°，
∴2∠AEC+∠ABC＝360°，
1
∴∠AEC＝180°− ∠ABC，
2
∵∠ABC＝90°，
1
∴∠AEC＝180°− ×90°＝135°，
2
∴∠AEC的度数为定值，这个值为135°．
（2）补全图形如图②，∠AEC的度数为定值，
由旋转得BE＝BA＝BC，
1 1
∴∠BEA＝∠BAE= （180°﹣∠ABE），∠BEC＝∠BCE= （180°﹣∠CBE），
2 2
1 1
∴∠AEC＝∠BEC﹣∠BEA= （180°﹣∠CBE﹣180°+∠ABE）= （∠ABE﹣∠CBE），
2 2
∵∠ABE﹣∠CBE＝∠ABC＝90°，
∴∠AEC＝45°，
∴∠AEC的度数为定值，这个值为45°．
10．已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A顺时针或逆时针旋转一个角度 （0＜ ＜90°）
得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF．
α α
（1）如图1，若BC＝AB， ＝30°，求证：DE=❑√2AF；
α（2）如图2，若∠BAC＝90°，BC=❑√2，在旋转的过程中，BE在BC的下方，且∠CBE＝15°，求AF
的长．
【答案】（1）见解析；
❑√3
（2） ．
2
【解答】（1）证明：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，
∵BC＝AB， ＝30°，
∴△ABC为等边三角形，
α
∵△ADE是△ABC逆时针旋转30°得到，
∴AB＝AE，
∴AB＝AE，
∴△ABE为等腰三角形，
∵点F是BE的中点，
∴AF是△ABE的高线和角平分线，
∴∠AEB＝90°，且∠BAF＝∠EAF，
又∵∠BAE＝30°+60°＝90°，
∴∠BAF＝∠EAF＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
AF AF
AB= = =❑√2AF
∴ cos45° ❑√2 ，
2
又∵AB＝DE，
∴DE=❑√2AF；
（2）解：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，
∵∠BAC=90°，BC=❑√2，
∴△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC＝1，∠ABC＝45°，
∵△ADE是△ABC旋转得到，
∴△ADE为等腰直角三角形，且AD＝AE＝1，
∴△ABE为等腰三角形，
∵点F是BE的中点，
∴AF是△ABE的高线，∵∠CBE＝15°，
∴∠ABE＝∠CBE+∠ABC＝15°+45°＝60°，
则∠BAF＝30°，
❑√3
∴在Rt△ABF中，AF=AB⋅cos30°= ．
2
11．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接
BP，DQ，延长BP交直线DQ于点E．
（1）如图1，试猜想线段BP和DQ有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若△BCP是等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
【答案】（1）BP＝DQ，BP⊥DQ，理由见解析过程；
（2）△DEP为等腰直角三角形，理由见解析过程．
【解答】解：（1）BP＝DQ，BP⊥DQ，理由如下：如图1，设直线BP与CD交于点F，
∵∠BCD＝90°，∠PCQ＝90°，
∴∠BCP＝∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，
{
BC=CD
)
∠BCP=∠DCQ ，
PC=QC
∴△BCP≌△DCQ（SAS）；
∴BP＝DQ，∠CBE＝∠CDQ，
又∵∠BFC＝∠DFE，
∴∠DEF＝∠BCF＝90°，
∴BE⊥DQ；
（2）△DEP为等腰直角三角形，理由如下：
如图2，∵△BCP为等边三角形，
∴∠BCP＝60°，
∴∠PCD＝30°，
又∵CP＝CD，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
∵△BCP≌△DCQ，∴∠CDQ＝60°＝∠BPC，
∴∠EPD＝45°，∠EDP＝45°，
∴△DEP为等腰直角三角形．
12．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三
角板PAC，三角板PBD均可以绕点P旋转．
（1）在图1中，∠DPC＝ 75 ° ；
（2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，旋转角度为 （0°＜ ＜
180°），当 等于多少度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直；
α α
②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时
α
三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P顺时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM重合时，两三角
板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？
【答案】（1）75°；
（2）①当 等于165度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直；
75
②旋转的时α间是 或25秒．
7
【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°，
∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案为：75°；
（2）①如图，此时，PC′⊥PD，∴∠DPC＝75°，∠DPC′＝90°，
∴∠CPC′＝75°+90°＝165°，
∴当 等于165度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直；
②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，
α
180°−60°
当PC转到与PM重合时，t= =40（秒），
3°
分两种情况：
当PC转到与PD重合前，∠CPD＝∠BPM时，
∴∠CPD＝180°﹣∠BPD﹣∠BPM﹣∠APN﹣∠APC＝180°﹣45°﹣2t°﹣3t°﹣60°＝（75﹣5t）°
当∠CPD＝∠BPM，即2t＝75﹣5t，
75
解得：t= 秒；
7
当PC转到与PD重合后，∠CPD＝∠BPM时，
∴∠CPD＝∠BPD+∠BPM+∠APN+∠APC﹣180°＝45°+2t°+3t°+60°﹣180°＝（5t﹣75）°
当∠CPD＝∠BPM，即2t＝5t﹣75，
解得：t＝25秒；
75
∴当∠CPD＝∠BPM，旋转的时间是 或25秒．
7
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转
一个角度 （0°＜ ≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．
（1）如图1，在旋转的过程中，写出线段AF与EC的数量关系，并证明；
α α
（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明；
（3）若AB＝1，BC=❑√5，当 ＝ 4 5 °时，线段BF与DF相等．
α
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）AF＝CE．理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CB，OA＝OC，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF和△COE中
{∠FAO=∠ECO
)
AO=CO ，
∠AOF=∠COE
∴△AOF≌△COE，
∴AF＝CE；
（2）当旋转至90°时，四边形ABEF为平行四边形．理由如下：
∵∠AOF＝90°，∠BAC＝90°，
∴AB∥EF，
而AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形；
（3）在Rt△ABC中，∵AB＝1，BC=❑√5，
∴AC=❑√(❑√5) 2−12=2，
∴OA＝1，
∴△ABO为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
当∠FBD＝∠FDB时，BF＝DF，
而∠FDB＝∠CBD，
∴∠FBD＝∠CBD，
即BO平分∠EBF，
∵OE＝OF，
∴OB⊥EF，
∴∠BOF＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣45°＝45°，
即 ＝45°．
故答案为45．
α
14．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠B A C＝30°，AB＝2BC．
1 1
（1）固定三角板A B C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A C、A B 分
1 1 1 1 1
别交于点D、E，AC与A B 交于点F．
1 1
①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB ＝ 16 0 度；
1
②当旋转角等于多少度时，AB与A B 垂直？请说明理由．
1 1
（2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB
1
，AB与A
1
C交于点D，
试说明A D＝CD．
1【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①由旋转的性质得，∠ACA ＝20°，
1
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACA
1
＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BCB
1
＝∠BCD+∠A
1
CB
1
，
＝70°+90°，
＝160°；
②∵AB⊥A
1
B
1
，
∴∠A
1
DE＝90°﹣∠B
1
A
1
C＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACA
1
＝∠A
1
DE﹣∠BAC＝60°﹣30°＝30°，
∴旋转角为30°；
（2）∵AB∥CB
1
，
∴∠ADC＝180°﹣∠A
1
CB
1
＝180°﹣90°＝90°，
∵∠BAC＝30°，
1
∴CD= AC，
2
又∵由旋转的性质得，A C＝AC，
1
∴A D＝CD．
1
15．已知直角三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°．将三角板ABC绕着点A旋转得到△AB'C'，旋转
角记为∠ ．
（1）当旋转方向为逆时针方向，且∠ ＝75°时（如图1），求∠B′AC和∠BAC′的大小．
α
（2）当旋转方向为逆时针方向，且∠ ＝90°时，在图2中，画出旋转得到的△AB'C'．
α
（3）当0°＜∠ ＜90°时，
α
①若∠BAC'＝3∠BAB'，求∠ 的度数．
α
1
②如图3，当旋转方向为逆时α针方向时，点D为BC上一点.∠CAD= ∠C′ AC．在旋转过程中，若
3
∠C′AD与∠BAD始终满足m∠C′AD﹣∠BAD为定值，求常数m的值．【答案】（1）135°；
（2）见解答；
（3）①∠ 的度数为15°或30°；
1
②常数m的α值为− ．
4
【解答】解：（1）由旋转的性质可得，∠BAB'＝ ＝75°，∠BAC＝∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠BAB﹣∠BAC＝75°﹣60°＝15°，
α
∴∠BAC'＝∠BAB'+∠B'AC'＝75°+60°＝135°；
（2）如图2，△AB′C即为所求；
（3）①如图，当旋转方向为逆时针方向时，∠BAC＝∠ +60°，∠BAB＝∠ ，
α α
∵∠BAC＝3∠BAB，
∴∠ +60°＝3∠ ，
解得∠ ＝30°；
α α
如图，当旋转方向为顺时针方向时，∠BAC＝60°﹣∠ ，∠BAB'＝∠ ，
α
α α∵∠BAC＝3∠BAB，
∴60°﹣∠ ＝3∠ ，解得∠ ＝15°，
综上，∠ 的度数为15°或30°；
α α α
②由旋转性质可得，∠CAC＝∠BAB＝∠ ，
α
1 1
∵∠CAD= ∠C′ AC= ∠α，∠CAB α ＝60°，
3 3
1 4
∴∠BAD＝∠CAB﹣∠CAD＝60°﹣3∠ ，∠C′ AD=∠C′ AC+∠CAD=∠α+ ∠α= ∠α，
3 3
∴m∠CAD﹣∠BAD＝m•3∠ ﹣60°+3∠ α ＝（3m+3）∠ ﹣60°，
∵∠CAD与∠BAD始终满足m∠CAD+∠BAD为定值，
α α α
4 1
∴ m+ =0，
3 3
1
解得m=− ，
4
1
∴常数m的值为− ．
4
16．如图所示，在△ABC中，∠ACB≥90°．初始时，点B、C位于直线EF上．现△ABC围绕点B，以每秒
5°的速度顺时针转动t秒，0＜t＜36．旋转过程中，始终保持GH过顶点A且GH∥EF．
（1）如图①，若∠ACB＝100°，当t＝6时，求∠CAG的度数；
（2）已知图形在旋转 t（t＜18）秒后同时满足以下两个条件：①∠GAC＝∠CAB；②∠CBE＝
∠ABC．请判断△ABC的形状，并给出证明过程．
（3）若∠ACB＝120°，探索在旋转过程中∠GAC与∠CBE之间的数量关系．
【答案】（1）70°；
（2）直角三角形，证明见解析；（3）∠GAC+∠EBC＝120°或240°．
【解答】解（1）延长AC交EF于D，如图：
∵t＝6，
∴∠EBC＝30°，
∵∠ACB＝100°，
∴∠BCD＝80°，
∴∠ADB＝180°﹣30°﹣80°＝70°，
∵GH∥EF，
∴∠GAC＝∠ADB＝70°；
（2）直角三角形，
证明：∵GH∥EF，
∴∠GAB+∠EBA＝180°，
∵∠GAC＝∠CAB，∠CBE＝∠ABC，
1 1
∴∠CAB= ∠GAB，∠CBA= ∠ABE，
2 2
1
∴∠CAB+∠CBA= （∠GAB+∠EBA）＝90°，
2
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝90°，
∴△ABC为直角三角形；
（3）延长AC交EF于D，
当C在AB左侧时，如图：
∵GH∥EF，
∴∠ADB＝∠GAC，
∵∠ACB＝120°，
∴∠BCD＝60°，
∵∠BCD+∠ADB+∠EBC＝180°，
∴∠GAC+∠EBC＝120°；
当C在AB右侧时，如图：∴∠GAC＝∠ADF，∠BCD＝60°，
∴∠CBD＝180°﹣∠EBC，∠CDB＝180°﹣∠CDF＝180°﹣∠GAC，
∵∠BCD+∠CBD+∠CDB＝180°，
∴60°+180°﹣∠EBC+180°﹣∠GAC＝180°，
∴∠GAC+∠EBC＝240°；
综上所述，∠GAC+∠EBC＝120°或240°．
17．在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”
进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．例如，图 1四边形ABCD中，AC
＝BD且AC⊥BD，那么四边形ABCD就叫作对等垂美四边形．
（1）如图2，在对等垂美四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OD，OB＝OC，将
△COB绕点O逆时针旋转（点B′在点A的顺时针方向，0°＜∠AOB′≤90°）B、C的对应点分别为B′、
C′．请判断如图3中四边形AB′C′D是否为对等垂美四边形，并说明理由（仅就图3的情况证明即可）；
（2）在（1）的条件下，若OB＝3，OA＝5，当△OAB为直角三角形时，则四边形AB′C′D的面积是
32 或 29 ．
【答案】（1）四边形AB′C′D是对等垂美四边形，理由见解答．
（2）32或29．
【解答】解：（1）四边形AB′C′D是对等垂美四边形，理由如下：
连接AC′，BD′，交于点N，设OA与BD交于点E，由题意知OA＝OD，OB′＝OC′，∠AOD＝∠B'OC'＝
90°，
∴∠AOD+∠AOB'＝∠B'OC'+∠AOB'，即∠DOB'＝∠AOC'，
∴△AOC'≌△DOB'（SAS），
∴AC′＝DB′，∠C′AO＝∠B′DO．
∵∠DEO＝∠AEN，
∴∠AOD＝∠AND＝90°，
∴AC′⊥B′D，在四边形ABCD中，AC′⊥B′D，AC′＝DB′，∴四边形AB′C′D是对等垂美四边形；
（2）①当∠AOB是直角时，如图，
∵OB＝3，OB＝OC，
∴OC＝3．
1 1 1 1
∴S = OA⋅OB′+ OC⋅OB′+ OD⋅OA+ OC⋅OD
四 边 形ABC2D 2 2 2
1 1 1 1
= ×3×5+ ×3×3+ ×5×5+ ×3×5=32；
2 2 2 2
当∠ABO为直角时，如图，过点D作OC的垂线，垂足为H，
∵OD＝OA，∠OHD＝∠ABO，∠AOB'+∠HOA＝90°，∠DOH+∠AOH＝90°，
∴∠DOH＝∠AOB，
∴△DOH≌△AOB（AAS），
∴DH＝AB．
∵OB＝3，OA＝5，
∴AB′=❑√OA2−OB′2=❑√52−32=4=DH，1 1 1 1
∴四边形ABCD的面积= OC′•OB′+ B′A•OB′+ OD•OA+ OC′•DH
2 2 2 2
1 1 1 1
= ×5×5+ ×4×3+ ×3×3+ ×3×4=29．
2 2 2 2
综上所述，四边形AB′C′D的面积是32或29．
故答案为：32或29．
18．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD＝5，BE＝2，求线段DE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
{∠CDA=∠BEC
)
∠DAC=∠ECB ，
AC=BC
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DC+CE＝DE，
∴AD+BE＝DE；
（2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
{∠ACD=∠BEC
)
∠ADC=∠BEC
，
AC=BC
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE＝5﹣2＝3．
19．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点
放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．
（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，
求∠CON的度数；
（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 9
或 2 7 秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第 1 2 或 3 0 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．
（直接写出结果）；
（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之
间的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
又∵OM平分∠BOC，
1
∴∠COM= ∠BOC＝60°，
2
∴∠CON＝∠COM+90°＝150°；
（2）∵∠OMN＝30°，
∴∠N＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AOC＝60°，
∴当ON在直线AB上时，MN∥OC，
旋转角为90°或270°，∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为9或27，
直线ON恰好平分锐角∠AOC时，
旋转角为90°+30°＝120°或270°+30°＝300°，
∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为12或30；
故答案为：9或27；12或30．
（3）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AON＝90°﹣∠AOM，
∠AON＝60°﹣∠NOC，
∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，
∴∠AOM﹣∠NOC＝30°，
故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．
20．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，将△ABC绕着点A旋转．
（1）当△ABC旋转到图1位置时，正好使得D、B、C三点共线时，求此时∠ACE的度数；
（2）当△ABC旋转到图2位置时，连接CD、BE，并延长BA交CD于点F，若∠ABE＝90°，求证：CF
＝DF；
（3）当△ABC旋转到图3位置时，连接CD、BE，取CD中点F，连接FA并延长交BE于点H，求证：
FH⊥BE．
【答案】（1）135°；
（2）证明见解答过程；
（3）证明见解答过程．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
{
AB=AC
)
∠DAB=∠EAC ，
AD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝135°，
∴∠ACE＝135°；
（2）证明：过点D作DP⊥BF，交BF的延长线于点P，如图2所示：
∴∠P＝90°，
∵∠ABE＝90°，
∴∠P＝∠ABE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
在△ADP和△EAB中，
{∠P=∠ABE=90°，
)
∠3=∠2 ，
AD=AE
∴△ADP≌△EAB（AAS），
∴PD＝AB，
∵AB＝AC，
∴AC＝PD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAF＝∠P＝90°，
在△CAF和△DPF中，
{∠CAF=∠P=90°
)
∠CFA=∠DFP ，
AC=PD
∴△DPF≌△CAF（AAS），
∴CF＝DF；（3）证明：延长AF到K，使FK＝FA，连接DK，如图3所示：
∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△DKF和△CAF中，
{
FK=FA
)
∠DFK=∠CFA ，
DF=CF
∴△DKF≌△CAF（SAS），
∴DK＝AC，∠K＝∠CAF，
∵AB＝AC，
∴DK＝AB，
∵∠K＝∠CAF，
∴DK∥AC，
∴∠ADK+∠CAD＝180°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠ADK＝∠BAE，
在△ADK和△EAB中，
{
AD=AE
)
∠ADK=∠BAE ，
DK=AB
∴△ADK≌△EAB（SAS），
∴∠DAK＝∠AEB，
∵∠DAE＝90°，
∴∠DAK+∠EAH＝90°，
∴∠AEB+∠EAH＝90°，
在△AEH中，∠AHE＝180°﹣（∠AEB+∠EAH）＝90°，
∴AH⊥BE，
即FH⊥BE．
21．在几何软件中，将△ABC和△DEF按图1所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，∠D＝45°，
∠ABC＝30°，点D，A，F，B在同一条直线上，E在B的正上方，且EB＜ED．（1）如图1，将△DEF绕点F顺时针旋转，当BC第一次与DE平行时，∠DFA＝ 1 5 °；
（2）如图2，将图1中的△DEF绕点E逆时针旋转一定角度使点D落在边BC上，过E作EG∥BC，直
线DM平分∠FDB，直线EN平分∠GED交直线DM于点N．求∠END的度数．
（3）如图3，将图1中的△ABC绕点B逆时针旋转（点D，F，B在同一条直线上）．
①当BC∥DE时，连接AF，BF，求∠DBA的度数；
②若∠E与∠ABC的角平分线所在直线相交于点Q，∠EQB＝30°，直接写出∠DBA的度数．
【答案】（1）15；
（2）22.5°；
（3）①15°或165°；
②82.5°或97.5°或22.5°或157.5°．
【解答】解：（1）将△DEF绕点F顺时针旋转至第一次BC∥DE，延长DF交BC于点M，如图，
∵BC∥DE，∠D＝45°，
∴∠BMF＝180°﹣45°＝135°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠BFM＝180°﹣135°﹣30°＝15°，
∴∠DFA＝∠BFM＝15°，
故答案为：15；
（2）如图，过点N作NQ∥BC，设∠END＝ ，∠DNQ＝ ，
则∠ENQ＝ + ，
α β
∵EG∥BC，
α β
∴EG∥BC∥NQ，
∴∠GEN＝∠ENQ＝ + ，∠MDB＝∠DNQ＝ ，
∵EN为∠GED的平分线，DM为∠FDB的平分线，
α β β
∴∠GED＝2∠GEN＝2（ + ），∠FDB＝2∠MDB＝2 ，
∵∠EDF＝45°，
α β β
∴∠EDB＝∠EDF+∠FDB＝45°+2 ，
∵EG∥BC，
β
∴EG∥BC∥NQ，
∴∠GEN＝∠ENQ＝ + ，∠MDB＝∠DNQ＝ ，
∵EN为∠GED的平分线，DM为∠FDB的平分线，
α β β
∴∠GED＝2∠GEN＝2（ + ），∠FDB＝2∠MDB＝2 ，
∵∠EDF＝45°，
α β β
∴∠EDB＝∠EDF+∠FDB＝45°+2 ，
∵EG∥BC，
β
∴∠GED＝∠EDB，
∴2（ + ）＝45°+2 ，
解得 ＝22.5°，
α β β
∴∠END＝ ＝22.5°；
α
（3）①当△ABC绕点B逆时针旋转至第一次BC∥DE，且D，F，B同一条直线上，如图，
α
∵ED∥BC，∠D＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABF＝15°，
∴∠DFA﹣∠FAB＝∠ABF＝∠DBA＝15°；
当△ABC绕点B逆时针旋转至第二次BC∥DE时，且D，F，B同一条直线上，如图，∵ED∥BC，∠D＝45°，
∴∠CBD＝180°﹣45°＝135°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABF＝135°+30°＝165°，
∴∠DFA﹣∠FAB＝∠ABF＝∠DBA＝165°；
综上，∠DBA的度数为15°或165°；
②当Q在两条角平分线左下侧时，当△ABC绕点B逆时针旋转会有两种情况，如图，
∵∠ACB＝∠DFE＝90°，∠D＝45°，
∴∠DEF＝45°，
∵QE是∠DEF的角平分线，
1
∴∠DEM=∠MEF= ×45°=22.5°，
2
∴∠DMQ＝45°+22.5°＝67.5°，
又∵∠EQB＝30°，
∴∠MBQ＝∠DMQ﹣∠EQB＝67.5°﹣30°＝37.5°，
∵QB是∠ABC的角平分线，∠ABC＝30°，
1
∴∠ABQ= ×30°=15°，
2
∴∠DBA＝∠MBQ﹣∠ABQ＝37.5°﹣15°＝22.5°，
同理可得∠DBA'＝157.5°；
当Q在两条角平分线右上侧时，当△ABC绕点B逆时针旋转会有两种情况，如图，∵∠ACB＝∠DFE＝90°，∠D＝45°，
∴∠DEF＝45°，
∵QE是∠DEF的角平分线，
1
∴∠DEM=∠MEF= ×45°=22.5°，
2
∴∠DMQ＝45°+22.5°＝67.5°，
又∵∠EQB＝30°，
∴∠MBQ＝180°﹣∠DMQ﹣∠EQB＝180°﹣67.5°﹣30°＝82.5°，
∵QB是∠ABC的角平分线，∠ABC＝30°，
1
∴∠ABQ= ×30°=15°，
2
∴∠DBA＝∠MBQ+∠ABQ＝82.5°+15°＝97.5°，
同理可得∠DBA'＝82.5°，
综上，∠DBA的度数为82.5°或97.5°或22.5°或157.5°．
