文档内容
2025 年中考第三次模拟数学试卷
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上
答题是无效的．
3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 下列四个数中最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“正数大于0，0大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小”进行判断即可．
【详解】
故选A．
【点睛】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握比较两个实数的大小可以采用作差法和取近似值法是解题
的关键．
2. 根据安徽省文化和旅游厅数据显示，2025年“五一”5天假期，安徽省接待游客4974.6万人次，同比增
长 ．数据“4974.6万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为
整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：4974.6万 ，
故选：B．
3. 古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构，榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，
是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
根据三视图的定义求解即可．
【详解】解：从正面看整体是一个长方形，但是长方形上方有一部分没有封闭，故A、B不符合题意，而
从正面看立体图形中的小长方形的棱是能看见的，故不能是虚线，故D不符合题意，
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，解题关键是熟悉上述法则并能熟练运用求
解．
根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方法则，分别对四个式子计算后作出判断，再作出选择．
【详解】解： ，故A不正确，不符合题意；
，故B不正确，不符合题意；，故C正确，符合题意；
，故D不正确，不符合题意．
故选：C．
5. 如图，正五边形 中，点F 是 的中点，连接 ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接 ，根据正五边形的性质和内角和定理，等腰三角形的性质，计算 ，
，利用等腰三角形三线合一，得到 ，判断即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵五边形 是正五边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
点F 是 的中点，∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查了正五边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等与性质，熟练掌握等腰三角形的
性质是解题的关键．
6. 已知反比例函数 与一次函数 的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（
）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出 ，代入反比例函
数求解即可
【详解】解： 反比例函数 与一次函数 的图象的一个交点的横坐标为3，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
故选：A
7. 一个不透明的盒子里有红、黄、蓝三个小球，它们只有颜色不同，先摸一个小球，记录下颜色后放回，
摇匀后再摸一次，并记录摸出小球的颜色，则至少有一次摸到红色小球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查的是利用列表法或画树状图法求概率，熟练应用列表法或画树状图法是解题的关键；
先画出树状图，根据树状图得出所有等可能的结果，然后得出至少有一次摸到红色小球的情况数，再利用概率公式，即可解答．
【详解】解：画树状图如图所示：
通过树状图可以清晰看到，总共有 种等可能的结果，，
至少有一次摸到红色小球的情况有：（红，红）、（红，黄）、（红，蓝）、（黄，红）、（蓝，红），
共5种．
∴至少有一次摸到红色小球的概率是 ．
故选：D．
8. 如图，在 中， ， ， 为 延长线上一点． ，则
的长为（ ）
A. 3 B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】过点D作 交 的延长线于点E，根据三角形外角的性质得 ，
由 得 ，由平行线的性质得 ，可得 ，
再证明 ，由相似三角形的性质得 ，进一步可得 ．
【详解】解：过点D作 交 的延长线于点E，如图，是 的外角，
又
故选：D【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造
等腰三角形是解答本题的关键．
9. 已知三个实数 ， ， 满足 ， ，则以下结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据题意可得 ， ， ，再根据
，分别消去a、b、c即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，故A结论正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故B结论正确，不符合题意；
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故C结论错误，符合题意，D结论正确，不符合题意；
故选：C．
10. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E为BC边上的任意一点(不与点B、C重合)，连接AE，∠BAE的
平分线交BC于点P，过P作PF⊥AE于点F，∠FPE的平分线交DC于点Q，设PF＝x，CQ＝y，则y关于
x的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】证明△ABP≌△AFP（AAS），AP⊥PQ，进而求解．
【详解】解：∵∠BAE的平分线交BC于点P，PB⊥AB，PF⊥AE，
∴BP=PF=x，
∵∠BAP=∠FAP，∠ABP=∠AFP=90°，PB=PF，∴△ABP≌△AFP（AAS），
∴∠APB=∠APF，
∵PQ平分∠FPC，故∠FPQ=∠CPQ，
∵∠APB+∠APF+∠FPQ+∠CPQ=180°，
∴∠APF+∠QPF=90°，即AP⊥PQ，
∵∠APB+∠QPC=90°，∠QPC+∠PQC=90°，
∴∠APB=∠PQC，
∴tan∠APB=tan∠PQC，则 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，涉及到二次函数、三角形全等、解直角三角形等知识，确定
PA、PQ相互垂直是本题解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分）
11. 计算： __________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了涉及零指数幂和负整数指数幂的运算，熟练掌握负整数指数幂的性质和零指数幂的性
质是解答本题的关键．根据负整数指数幂的性质和零指数幂的性质运算即可．
【详解】解：
，
故答案为：2．
12. 若分式 的值为0，则实数x的值为______．
【答案】-1【解析】
【分析】根据分式值为0的条件确定出 的值即可．
【详解】解： 分式 的值为0，
且 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件为：分母不为零且分子为零，掌握分式为零
的条件是解决问题的关键．
13. 如图，半圆 的直径 ，点 在弦 上， ， ， ，交半圆
于 ，则 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形，连接 ，由题意得 ，
，解直角三角形得出 ，最后由勾股定理即可得出答案．
【详解】解：如图， ，
， ，
，
，
，，
，
，
故答案为： ．
14. 如图，矩形 中， ， ， 为 边上一动点，过 点作 ，垂足为 ，
连接 ，以 为轴将 进行翻折，得到 ，连接 ．
（1）若 ， ， ，三点在同一条直线上时， 的长度为______．
（2）若 点落在线段 上时， 的长度为______．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
的
【分析】（1）由勾股定理可得 ，由折叠 性质可得 ，
， ，求出 ，在 中由勾股定理可求解；
（2）过点 作 于 ，过点 作 于 ，由 可证 ，可得
，可证四边形 是平行四边形，可得 ，可证四边形 是平行四边形，可
得 ，即可求解．
【详解】解：（1）如图，∵ ， ，
， ，
以 为轴将 进行翻折，得到 ，
∴ ， ， ，
，
在 中， ，
，
解得： ，
故答案为： ；
（2）如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
以 为轴将 进行翻折，得到 ，
∴ ， ，
，
，
四边形 是矩形，， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
， ，
∴ ，
四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ，
又∵ ，
四边形 是平行四边形，
，
，
当 与点 重合时， ，则
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的
判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法
则是解本题的关键．根据利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数
值计算即可求出值．【详解】解：
．
16. 如图，在平面直角坐标系内， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．
（1）作出 关于 轴对称的 ．
（2）作出 绕点 按顺时针方向旋转90°得到的 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A、B、C 的坐标，然后描点即可；
1 1 1
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A、B、C 即可．
2 2 2
【详解】解：（1）如图，△ABC 为所作；
1 1 1
（2）如图，△ABC 为所作．
2 2 2【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相
等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的
图形．也考查了轴对称变换．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某蔬菜种植户有甲、乙两块菜地，甲菜地去年收获 西蓝花，乙菜地去年收获 西蓝花，今年在
县技术专家的帮助下，甲菜地增收 ，乙菜地增收 ．
（1）今年两块菜地共收获__________ 西蓝花；（用含 ， 的代数式表示）
（2）若去年两块菜地共收获 西蓝花，今年共收获 西蓝花，求甲、乙两块菜地今年分别
收获多少千克西蓝花．
【答案】（1）
（2）甲菜地今年收获 西蓝花，乙菜地今年收获 西蓝花．
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，列代数式：
（1）分别求出甲、乙两块菜地的收获，然后求和即可得到答案；
（2）根据去年两块菜地共收获 西蓝花，今年共收获 西蓝花，结合（1）所求列出方程
组求解即可．
【小问1详解】解： ，
∴今年两块菜地共收获 西蓝花，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：根据题意，得
解得 ，
∴ ， ．
答：甲菜地今年收获 西蓝花，乙菜地今年收获 西蓝花．
18. 【观察思考】
如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案．
【规律总结】
的
请用含n 式子填空：
（1）第n个图案中黄梅花的盆数为______；
（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为 ，第2个图案中红梅花的盆数可表示为 ，第3个图案
中红梅花的盆数可表示为 ，第4个图案中红梅花的盆数可表示为 ，…；第n个图案中红梅花的
盆数可表示为______；
【问题解决】
（3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄
梅花的排列方式及上述规律，求n的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）【解析】
【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程；
（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）第1个图案中黄梅花的盆数可表示为 ，
第2个图案中黄梅花的盆数可表示为 ，
第3个图案中黄梅花的盆数可表示为 ，
第4个图案中黄梅花的盆数可表示为 ，
…；
第n个图案中黄梅花的盆数可表示为 ；
故答案为： ；
（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为 ，
第2个图案中红梅花的盆数可表示为 ，
第3个图案中红梅花的盆数可表示为 ，
第4个图案中红梅花的盆数可表示为 ，
…；
第n个图案中红梅花的盆数可表示为 ；
故答案为： ；
（3）根据题意得 ，
整理得 ，即 ，
解得 （舍去）或 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（ ）的高度为 米，在测点A处
安置测倾器，测得点M的仰角 ，在与点A相距 米的测点D处安置测倾器，测得点M的
仰角 （点A，D与N在一条直线上， ， ， ， 于
点 F ， 米 ） ， 求 电 池 板 离 地 面 的 高 度 ． （ 参 考 数 据 ：
）
【答案】7.7米
【解析】
【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
由题意得 米， 米， ．设 米，在 中，
根据锐角三角函数可得 米，从而得到 米，然后在 中，根据锐角三角函数
可得 米，即可求解．
【详解】解：由题意得， 米， 米， ．
设 米，
在 中， ，
米，
在 中， ，，
解得 ，
经检验 是原方程的根．
米，
（米），
答：电池板离地面的高度 约为 米．
20. 如图 为 的直径， 为 延长线上一点， 为 上一点，连结 ，作 于点 ，
交 于点 ，若 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【
分析】（1）连接 ，根据圆周角定理可证得 ，根据平行线的性质和判定
，由等腰三角形的性质得到 ，即可得到 ，
根据切线的判定即可证得结论；（2）过点 作 于点 ，证明四边形 是矩形，根据 ，设 ，则
，勾股定理求得 ，进而可得 ，证明 ，根据相似三角
形的性质得出 的长，进而根据 ，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接 ，
为 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，是 的半径，
与 相切；
【小问2详解】
解：如图所示，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的中与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下
简称乙款）．有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分
数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用 表示，分为四个等级：（ ： ， ：
， ： ， ： ）
下面给出了部分信息：
甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，
86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中 组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
甲、乙款评分统计表：
设 平均 中位 众
备 数 数 数
甲 86 85.5
乙 86 87
根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中 ______， ______
（2）扇形统计图中 组对应的圆心角为______度；
（3）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙
两款聊天机器人非常满意（ ）的用户总人数．
【答案】（1）85，
（2）72 （3）
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，
熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键；
（1）根据中位数的定义可得 的值，根据众数的定义可得 的值；
（2）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得 的值；
（3）由A、B两款的非常满意的人数之和即可得出答案．
【小问1详解】
解：甲款评分数据中，85分出现次数最多，则 ，
根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有 人，
第十个和第十一个评分分别为86、87，所以中位数 ．
故答案为：85， ；
【小问2详解】
解：∵乙款扇形统计图可得，A组B组共有 人，
C组有8人，
∴ 组有 人，
∴扇形统计图中 组对应的圆心角为 ，
故答案为：72；【小问3详解】
解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比 ，
∴对甲、乙两款聊天机器人非常满意 的用户总人数 ．
七、（本题满分12分）
22. 在平面直角坐标系中，抛物线 （m，n是常数且 ）与 轴的一个交点为点 （点
不与原点重合），抛物线的对称轴为直线 且抛物线经过点 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2） ， 都是 上的点，设点 ，点 ，分别过 ， 作 轴交抛物线于点
，作 轴交抛物线于点 ．
（i）当 时，连接 ， ，求 的值；
（ii）当 时，若点B，D，C，E围成的四边形的面积为14，求 的值．
【答案】（1）
（2）（i）16；（ii）t 的值为 或 或
【解析】
【分析】本题是二次函数综合题，二次函数的性质，面积问题，解题的关键是用灵活运用数形结合的思想
及分类讨论的思想．
（1）根据抛物线 （ 是常数且 ）的对称轴为直线 得到点A的坐标为 ，
且抛物线经过点 ，建立关于 的方程组，求解即可；
（2）（i）先求出点 ，根据题意得： ，则 ，进而得到
， 由，代入计算即可；（ii）分 时， 时，
时，画出示意图，根据图形面积建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：由抛物线的对称轴为直线 可知点A的坐标为 ，
把点A和点 代入抛物线的解析式，得
，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
解：（i）由题意知点 ， ，
当 时，如图，
， ， ， ，
；（ii）当 时，如图，
，
整理，得 ，
解得 ， ；
当 时，如图，
，
整理，得 ，解得 ；
当 时，如图，，
整理，得 ，解得 （舍去）， （舍去）．
综上，t的值为 或 或 ．
八、（本题满分14分）
23. 已知：在 中， ，点E是 的中点，F是直线 上一点，连接 ，将 沿
着 折叠，点C的对应点为D，连接 ．
（1）如图1，若点D在线段 上，求证： ；
（2）如图2， 与 交于点M，连接 ，若 ，求证：点M是 的中点；
（3）如图3，点F在 延长线上， 与 交于点M， 交 于点N，若 ， ，
求 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接 ，由折叠性质得到 ， ，由中点性质得到 ，
推出点A、D、C三点在以 为直径的圆上， ，根据垂直同一直线的两直线平行，即可得
到结论；
（2）根据平行线性质得到 ，根据 ，得到 ，推出
，得到点A、F、C三点在以 为直径的圆上， ，设，得到 ，推出 ，推出∠MAF＝
∠MFA，据此即可证明结论；
（3）连接 、 ，设∠C＝α，根据 ，结合折叠与中点性质，得到 ，推
出 ，根据三角形外角性质以及折叠性质，得到 ，根据等边对
等角，得到 ，根据 ，推出 ，得到 ，推出
，得到 ，推出 ，得到 ，
得到 ，推出 ，根据 ，得到 ，得到
．
【小问1详解】
证明：连接 ，
由折叠可知， ， ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
∴点A、D、C三点在以 为直径的圆上，
∴ ，即 ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：由（1）知 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A、F、C三点在以 为直径的圆上，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
即点M是 的中点；
【小问3详解】
解：连接 、 ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，翻折，勾股定理，相似三角形，圆周角，熟练掌握等腰三角形的判
定与性质，翻折的性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定理推论，是解决问
题的关键．
