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2024－2025 学年第二学期九年级一模
数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 下列为负数的是（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查负数、无理数，根据负数小于0求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴为负数的是 ，
故选：B．
2. 2024年合肥市 约为13500亿元，同比增长 ．其中，13500亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法： 为整数，进行表示即
可．
【详解】解：13500亿 ；
故选B．
3. 如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的俯视图是（ ）
A. B.C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接从上往下看，看到的平面图形就是俯视图，据此作答即可．
【详解】根据题意，从上面看原图形可得到
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握知识点是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，实数的运算，完全平方公式，根据以上运算法则进行计算即
可求解．
用合并同类项 的法则可判断A，用完全平方公式可判断B，用幂的乘方运算法则可判断C，用二次根式
的加减运算法则可判断D．
【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，故该选项不正确，不符合题意；
D． ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
5. 如图， 是圆 的直径，点 、 在圆 上， ， 与 交于 ， ，则
的度数为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系
是解题的关键．
根据直径所对的圆周角为 90 度可知 ，根据 ，可知 ，进而可得
，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得 ，最
后根据三角形外角的定义和性质即可求出 的度数．
【详解】解：∵ 是圆 的直径，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
，
故选：B．
6. 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的
一人，如此传球两次，最后球在乙手上的概率为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】题目主要考查利用列举法求概率，求出所有的传球方法共有多少种，找出最后球在乙手上的的情
况，即可得最后球在乙手上的概率．
【详解】解：用甲→乙→丙表示一种传球方法，
所有传球方法共有：甲→乙→甲；
甲→乙→丙；
甲→丙→甲；
甲→丙→乙；
则共有4种传球方法，最后球在乙手上的有1种情况，
∴最后球在乙手上的概率为 ，
故选：A
7. 如图，在 中，点 在 边上， ， ，若 ， ，
则 的长为（ ）
A. 10 B. C. 8 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 ， 得到 垂直平分 ，继而得到 ，得到
，结合 ， ，得到 ，于是
，解答即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，线段
的和差，关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质．
8. 已知 ， ， 是互不相等的实数，且 ， ，那么 ， ， 中最大的数为
（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了代数式的大小比较，熟练掌握代数式的大小比较方法是解题的关键；
根据作差法，分别比较 和 的大小关系，即可求解；
【详解】解： ， ，
，
， ， 是互不相等的实数，
，
，
，
， ， 是互不相等的实数，
，
；
最大；
故选：A9. 如图，已知菱形 的边长为3，点 从点 处出发，以每秒1个单位长度的速度，顺着菱形的边
顺时针运动一周 后停止，设 为点 运动 秒后 的面积，当 、 、
三点共线时 ．那么， 关于 的函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形的性质，可得 ， ，
， ，过点 作 的垂
线，垂足为点 ，设 ，根据三角函数可得
，结合点 走的路程为 ，在分别分析 ， ，
， 四种情况时， 关于 的函数的大致图象，即可求解．【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
，
过点 作 的垂线，垂足为点 ，设 ，如图所示：
∵ ，
∴
∵点 从点 处出发，以每秒1个单位长度的速度，
∴点 走的路程为 ，
在
当 时，点 上运动， ，
∴
∴
∵
∴当 时， 关于 的函数的图象大致为上升的直线；
当 时，点 在 上运动， ，
∴
∴
∵
∴当 时， 关于 的函数的图象大致为下降的直线；同理可得，当 时， 关于 的函数的图象大致为上升的直线；当 时， 关于 的函数的图
象大致为下降的直线；
故选：A．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、图象面积计算、三角函数，菱形的性质，此类问
题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
10. 如图，矩形 中， ， ，以 为圆心，2为半径作 ．动点 在线段 上（可
以与 和 重合），连接 ，与 的交点为点 ．连接 ．下列结论错误的是（ ）
A. 的最小值是8
B. 若 是 的切线，则
C. 面积的最大值为
D. 的最小值是32
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆的综合应用．作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 点，如图所示，
此时， 最小，最小值为 ，根据轴对称的性质和勾股定理求出 ，
即可求出 的最小值；若 是 的切线，则 ，在 中，勾股定理求出
，根据 ，即可求出 ；根据 ，得
出当 的面积最小时， 的面积最大，过点E作 ，得出 ，根据相似三角形的性质求出 ，根据当底边 上的高 最小时， 的面积最小，求出 面
积的最小值为 ，即可求出 的面积最大值为 ；设 ，则 ，根据
，即可得出当 时， 的值最小，最
小值为 34．
【详解】解：作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 点，如图所示，
为
此时， 最小，最小值 ，
∵矩形 中， ， ，
，
，
∴ 的最小值是： ，故A正确；
若 是 的切线，则 ，在 中， ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，故B项正确；
∵ ，
∴当 的面积最小时， 的面积最大，
在 中， ，
过点E作 ，则 ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∵ 底边为 ，故当底边 上的高 最小时， 的面积最小，
∴当 与 重合时， 的面积最小，
此时， ，
即 面积的最小值为 ，
则 的面积最大值为 ，故C项正确；
设 ，则 ，
则
，
的
∴当 时， 值最小，最小值为 34，故D项错误．
故选：D．
【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的最值求解，勾股定理，矩形的
性质，切线的性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11. 不等式 的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法步骤是解题关键．按照去
括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．
【详解】解：2(x−3)>6，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
故答案为： ．
12. 分解因式： ____．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行分解．
【详解】解： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是先提取公因式，再利用公式进行分解．注意：因式分解要彻底．
13. 如图，点 和点 在反比例函数 图象上，点 和点 的横坐标分别为1和 ．过 作
轴，交反比例函数 图象于点 ，过 作 轴，交反比例函数 图象于点 ．
连接 ， ．若四边形 的面积为12，则 的值为______．【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象与几何图形的综合，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
根据题意得到 ，则 ， ，即
，且 轴，可证四边形 是平行四边形，点 到 的距离为 ，由面积公
式计算即可求解．
【详解】解：点 和点 在反比例函数 图象上，点 和点 的横坐标分别为1和 ，
∴ ，
∵ 轴，点 在反比例函数 图象上， 轴，点 在反比例函数 图象上，
∴ ，
∴ ，即 ，且 轴，
∴四边形 是平行四边形，
∴点 到 的距离为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2 ．
14. 如图， 是等腰三角形， ， ， 的顶点 、 、 分别在边 ，， 上，且 ， ， ．
（1） 中 边上的高的长度为______．
（2） 的长度为______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】（1）作 于点 ，利用等腰三角形的性质结合勾股定理求解即可；
（2）求得 ，设 ，则 ， ，证明
和 ，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：（1）作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∴ 中 边上的高的长度为 ；故答案为： ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确引出
辅助线解决问题是解题的关键．
三、本大题共2小题，每小题8分，满分16分．
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的化简，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，正确
计算是解题的关键．
先分别化简二次根式，计算负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可．
【详解】解：原式
．
16. 如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中， 的顶点均为格点．（1）画出将 向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的 ．
（2）画出将 绕点 逆时针旋转 得到的 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图 旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相
等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的
图形．也考查了平移变换．
（1）利用网格特点和平移的性质写出点 、 、 的对应点 、 、 的坐标，然后描点即可得到
；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点 、 、 的对应点 、 、 ，从而得到 ．
【小问1详解】
解：如图， 为所作；
【小问2详解】
解：如图， 为所作．四、本大题共2小题，每小题8分，满分16分．
17. 2025年首届逍遥津新春灯会，自2025年1月22日开幕，持续了46天，共有超55万人次观展．已知
灯展有两种门票：单人票78元，双人票148元．单人票只能让1人入园观展，双人票可以让两人入园观展．
假设某天有1万人次入园观展，观展的人使用了单人票或双人票入园，这1万人次使用的门票总价为75.2
万元．求这1万人次使用的单人票和双人票各多少张．
【答案】这1万人次使用了单人票3000张，双人票3500张
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确理解题意是解题的关键．设这1万人次使用了单人票
张，双人票 张，根据题意列出二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：设这1万人次使用了单人票 张，双人票 张，
由题意得 ，
解得
答：这1万人次使用了单人票3000张，双人票3500张．
18. 某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图 为有 块六边形地
砖时，正方形地砖有 块，三角形地砖有 块；图 为有 块六边形地砖时，正方形地砖有 块，三角形
地砖有 块；
（1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块；（2）若铺设这条小路共用去 块六边形地砖，用去的正方形地砖数量比用去的三角形地砖数量多 块，
求 的值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（ ）根据图形找出变化规律即可求解；
（ ）根据（ ）得出的规律列出方程计算即可；
本题考查了图形的变化规律，列代数式，一元一次方程应用，根据已知图形找到变化规律是解题的关键．
【小问1详解】
解：第 个图，六边形的个数为 块，正方形地砖有 块，三角形地砖有 块；
第 个图，六边形的个数为 块，正方形地砖有 块，三角形地砖有 块；
第 个图，六边形的个数为 块，正方形地砖有 块，三角形地砖有 块；
，
∴第 个图，六边形的个数为 块，正方形地砖有 块，三角形地砖有
块，
∴每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加 块，三角形地砖会增加 块，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
为
解：当六边形地砖数量 块时，正方形地砖有 块，三角形地砖有 块，
由题意得， ，
解得 ，
∴ 的值是 ．
五、本大题共2小题，每小题10分，满分20分．
19. 数学兴趣小组的成员在观察点 测得观察点 在 的正北方向，古树 在 的东北方向，；在 处测得 在 的南偏东 的方向上，已知 在 正北方向上，即 ，
求古树 ， 之间的距离．（结果精确到 ，参考数据： ， ，
， ， ， ，
【答案】62.9米
【解析】
【分析】过 作 于 ，过 作 于 ，根据矩形的性质得到 ， ，
解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题，正确的作出辅助线是解题的
关键．
【详解】解：过 作 于 ，过 作 于 ，
∵ ， ，点 在 的正北方向
∴四边形 是矩形，
， ，， ，
，
，
（米 ，
，
，
，
（米 ，
（米 ，
答：古树 、 之间的距离约为62.9米．
20. 如图， 为圆 外一点， 、 分别切圆 于 、 ．连接 ，交圆 于点 ，延长 ，交圆
于点 ．连接 ， ．连接 并延长，交 于点 ．
（1）证明：点 是 的中点．
（2）若点 是 的中点，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）30度
【解析】
【分析】本题考查了圆的切线性质，垂径定理以及相关角度计算，解题的关键是熟练运用圆的切线性质和
垂径定理等知识进行推理和计算．
（1）利用切线长定理证明 ，从而得出 ，得到 即可得结果；（2）通过点 是 中点推出 ， ，由（1）得 ， ，
是等边三角形，得到 ，再结合圆的性质和平行线性质，求出 的度数．
【小问1详解】
证明： 、 分别切圆 于 、 ，
， ．
又 ，
，
，即点 是 的中点．
【小问2详解】
点 是 的中点
，
垂直平分 ，连接 ，则 ，
由（1）得 ，
是等边三角形，
是圆 的切线，
，
六、本题满分12分．21. 春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，Deepseek广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外 模型，
机器人都已获得显著的技术突破．某校为了培养学生对人工智能的学习兴趣，丰富学生的视野，组织全校
800名学生进行了“人工智能知识竞赛”，教务处从中随机抽取了 名学生的竞赛成绩，并得到如下不完
整的频数分布表、扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
分组 频数
18
24
（1） 的值为______， 的值为______， 的值为______；
（2）抽取的 名学生的竞赛成绩的中位数在哪个分组______（填“ ”或“ ”或“ ”或“ ”）；
（3）若规定学生竞赛成绩 为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．
【答案】（1）60，6，12
（2）C （3）全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为480人
【解析】
【分析】本题考查了频数表、求中位数，扇形统计图，利用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题
关键．
（1）用的人数除以所占百分比，即可求出抽取的总人数，再用抽取的总人数乘以所占的百分比，求出的
值，进而求出的值即可；
（2）根据中位数的定义即可判断；
（3）用全校学生人数乘以竞赛成绩为优秀的百分比，即可求解．
【小问1详解】
解： （名）；
（名）；（名）；
故答案为：60，6，12；
【小问2详解】
解：共抽取了60名同学，把这些数据按从小到大的顺序排列，中位数出现在第30和第31个，A组和B组
的人数加起来 ，第30和第31个出现在C组，
故答案为：C；
【小问3详解】
解： （名）；
答：全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为480人．
七、本题满分12分．
22. 已知点 是矩形 边 延长上一点，且 ， 是对角线 和 的交点．连接 ，
交 于 ，交 于 ，连接 ，如图1．
（1）求证： 平分 ．
（2）若 ， ，求 的值．
（3）若 ，如图2，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】【分析】（1）平行得到 ，等边对等角，得到 ，进而得到 ，
即可得证；
（2）过 作 于 ，勾股定理求出 的长，进而求出 的长，角平分线的性质，得到
，证明 ，求出 的长，进而得到 的长，证明 ，推
出 的长，再根据正切的定义，进行求解即可；
（3）易证矩形 是正方形，设 ，进而得到 ，证明
，推出 的长，勾股定理求出 ，证明 ，列出比例式进行求解即
可．
【小问1详解】
证明：∵矩形 ，
∴ ，
，
，
平分 ．
【小问2详解】
过 作 于 ．
在矩形 中， ， ，
， ，， ，
由（1）得 平分 ，
，
，
，
又 ，
，
，
∵ ， ，
∴ ，
，
，
；
【小问3详解】
，
矩形 是正方形，
设 ，则 ，由（2）知： ，
， ，
∴ ，
， 平分 ，
∴ ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，
解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
八、本题满分14分．
23. 已知抛物线 与 轴只有1个交点，且 ．（1）若 ，求 的值．
（2）抛物线将所在平面分成两个区域，若抛物线的开口向上，我们把抛物线上方的区域叫做抛物线的内
部，把抛物线下方的区域叫做抛物线的外部；若抛物线的开口向下，我们把抛物线下方的区域叫做抛物线
的内部，把抛物线上方的区域叫做抛物线的外部．抛物线的内部和外部均不包括抛物线本身．如图，区域
和区域 分别为两条抛物线的内部，区域 和区域 分别为抛物线的外部．点 在抛物线
的内部．
①求 的取值范围．
②点 的坐标为 ．若线段 与抛物线 只有1个公共点，求 的取值范围．
【答案】（1）3 （2）① ；②
【解析】
【分析】本题主要查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）根据二次函数图象与x轴的交点的性质解答，即可求解；
（2）①根据二次函数图象与x轴的交点的性质，可得 ，再由点 在抛物线
的内部，即可求解；②分别求出当 时和当 时的函数值，再由 和 在
对称轴的两侧，可得当线段 与抛物线 只有1个公共点时，可分四种情况讨论，即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴抛物线解析式为 ，∵抛物线 与 轴只有1个交点，
∴ ，
解得 或 ，
，
所以 的值为3．
【小问2详解】
解：①∵抛物线 与 轴只有1个交点，
∴ ，
，
，
，
∴抛物线解析式为 ，
，
，
抛物线开口向上，
点 在抛物线 的内部，
，
解得 ；
②当 时， ，
当 时， ，
∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ 和 在对称轴的两侧，当线段 与抛物线 只有1个公共点时，有以下几种情况：
若 在抛物线外， 在抛物线内，则有 ，无解；
若 在抛物线内， 在抛物线外，则有 ，解得 ；
若 在抛物线上， 在抛物线内，则有 ，无解；
若 在抛物线内， 在抛物线上，则有 ，解得 ；
综上， 的取值范围为 ．
