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2024-2025 学年第二学期九年级核心素养调研三
数学试卷
（考试时间：120分钟；满分：150分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 的倒数是（ ）
A. ﹣2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【详解】解： 的倒数是：-2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题关键．
2. 清代 袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花
的花粉直径约为 米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000084=8.4×10-6．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第
一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 如图，该几何体的俯视图（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了几何体三视图，从上面看几何体得到的图形为俯视图，熟练掌握几何体的三视图
是解题关键．
根据图形，看得见的轮廓用实线画出，即可求解．
【详解】解：由图可知：该几何体的俯视图是一个大四边形，右下角有一个小四边形，且看得见的轮廓用
实线表示，
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式进行判断即可．
【详解】解：A、x2和x3不是同类项，不能合并，此选项错误；
B、 ，此选项错误；
C、 ，此选项错误；
D、 ，此选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了同类项、积的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，掌握运算法则是解答的
关键．
5. 如图，已知直线 ， 平分 ，若 ，则 等于（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 ，得 ，又因为 平分 ， ，
再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得 的值．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及两直线平行，同旁内角互补等知识内容，难度
较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
6. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文
足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3
文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的
数量为 株，则符合题意的方程是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价
钱”列出方程解答．
【详解】解：由题意得： ，
故选A.
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的
等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．
7. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板 摆
放在平面直角坐标系中，使其两条直角边 分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然
后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移 个单位长度后，小明发现 两点恰好都落在函数
的图象上，则a的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 2或3 D. 3或4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．先得出点 A和点B的坐标，再得出平移后点A
和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数 的图象上，列出方程求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
设平移后点A、B的对应点分别为 ，
∴ ，
∵ 两点恰好都落在函数 的图象上，
∴把 代入 得： ，
∴
整理得
解得： 或 ．
故选：C
8. 已知反比例函数 在第二象限内的图象与一次函数 的图象如图所示，则函数
的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数 的图象与性质，根据题意可知 ， ，，据此判断函数 的图象大致位置即可．
【详解】解：根据图示可知， ， ， ，
∴ ，对称轴 ， ，
∴函数 的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴相交，
故选：B．
9. 已知实数 ， ， ，满足 ， ， ，则下列判断错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减，方程组的解法，不等式的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
先由 ， ，整理得 ， ，然后通过整式的加减，方
程组的解法，不等式解法逐一排除即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
、 得： ，
∴ ，原选项正确，不符合题意；
、 得 ，
∵ ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，原选项错误，符合题意；
、 得 ，原选项正确，不符合题意；
、∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，原选项正确，不符合题意；
故选： ．
的
10. 如图，在正方形 中，点 ， 分别是 ， 中点， ， 交于点G，连接 ，
， ，则下列说法正确的个数为（ ）
① ；
② ；
③依次连接 ， ， ， 的中点 ， ， ， ，则四边形 为正方形；
④ ．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定得到 ，可判断①；根据全等三角形的性
质得出 ， ，进而得到 ，设正方形 的边长为 ，利用勾股定
理表示出 、 的长，可判断②；根据中点四边形的性质，结合 和 ，利用正方
形的判定可判断③；延长 和 交于点 ，通过证明 ，得到 ，利用斜边中线
定理得到 ，则有 ，再利用角的和差和等量代换可判断④，即可得出答
案．
【详解】解： 正方形 ，
， ，
点 ， 分别是 ， 的中点，
， ，
，
，故①正确；
， ，
，
，
，即 ，
设正方形 的边长为 ，则 ，
，
，，
，故②正确；
点 ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点，
， ， ， ，
，
，
四边形 是菱形，
，
，即 ，
菱形 是正方形，故③正确；
延长 和 交于点 ，
， ， ，
，
， ，
， ，
，即 ，
，
，
，，
，故④正确；
综上所述，说法正确的个数为4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质和判定、中点四边形、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性
质、全等三角形的性质和判定等知识点，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题
属于正方形综合题，有一定难度，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 分解因式： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法、平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
先提公因式，然后用平方差公式即可进行分解因式．
【详解】解： ．
故答案为： ．
的
12. 如图， 是 直径， 是 的弦，连接 ，若 ，则
________ ．【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆中求角度，涉及直径所对的圆周角是直角、圆周角定理、直角三角形两锐角互余等知
识，先由 是 的直径，则 ，再由同弧所对的圆周角相等得到 ，最
后在 中，由直角三角形两锐角互余代值求解即可得到答案．熟记圆周角定理是解决问题的关键．
【详解】解： 是 的直径，
，
，
，
在 中， ， ，则 ，
故答案为： ．
13. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，
六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点 O， 所在圆的圆心 C恰好是 的内心，若
，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ______．（结果保留 ）【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点 C作 ，根据正多边形的性质得
出 为等边三角形，再由内心的性质确定 ，得出 ，
利用余弦得出 ，再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
【详解】解：如图所示：过点C作 ，
∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∵圆心C恰好是 的内心，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为： ，∴花窗的周长为： ，
故答案为： ．
14. 如图，在菱形 中，点 是边 的中点，点 是线段 的中点， 的延长线交边 于点
，连接 ．则
（1） ________；
（2）若 ，则 ________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线截线段成比例，掌握以上知识是关
键．
（1）如图所示，过点 作 ，可得 ，即点 是 中点， ，根据平行线截线
段成比例得到 ，即可求解；
（2）如图，延长 交 的延长线于点 ，延长 交 于 点，设 ，
可证 ，得 ， ，同理 ，，则 ，由 ，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，过点 作 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即点 是 中点，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ；
（2）如图，延长 交 的延长线于点 ，延长 交 于 点，
，点 是边 的中点，
，
∵点 是 的中点，
，
令 ，则 ，
四边形 为菱形，
，
，
又 ，
，
，
，
，，
，
同理 ，
，
，
，
，
是 的中线，
，
，
故答案为：① ；② ．
三、（本大题共2小题，共16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，特殊角三角函数值，掌握零指数幂和负整数指数幂的运
算法则，特殊角锐角三角函数值是解题的关键．先进行零指数幂和负整数指数幂，余弦函数值计算，再计算二次根式的乘法，合并同类项即可．
【详解】解：
．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点 都在网格线的格点上，点 的坐标分别为
．
（1）以原点O为位似中心，在O点同侧将 放大为原来的2倍，得到 ，画出 ；（点
A的对应点为D，点B的对应点为E）
（2）若 由 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为________；
（3）请仅用无刻度的直尺，在线段 上找一点 ．
【答案】（1）作图见解析
（2）
（3）作图见解析【解析】
【分析】本题主要考查了作位似图形，旋转中心的确定，相似三角形的性质和判定，
对于（1），连接 并延长至D，使 ，连接 并延长至E，使 ，连接 并延长
至F，使 ，再连接 ，则 就是所求作的三角形；
对于（2），连接 ，并作 的垂线，交于点H，写出点P的坐标即可；
对 于 （ 3 ） ， 取 ， 连 接 交 于 点 ， 可 知 ， 可 得
.
【小问1详解】
解：如图所示， 就是所求作的三角形；
【小问2详解】
解：如图，点 ；
故答案为： ；【小问3详解】
解：如图所示，取 ，连接 交 于P，点P即为所求作．
四、（本大题共2小题，共16分）
17. 2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机
器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买 两种型号智能机器人进行快递分拣，
相关信息如下：
信息一A型机器人台 B型机器人台
总费用（单位：万元）
数 数
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递33万件；
B型机器人每台每天可分拣快递27万件．
（1）求 两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备购买 两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于300万件，且购买
总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？
【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
（2）应该购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不
等式的应用是解题的关键．
（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结
果即可；
（2）设购进A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人 台，根据题意列不等式，求出不等式的
解集，然后再根据购买总费用最少，确定答案即可．
【小问1详解】
解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得 ，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
【小问2详解】
解：设购进A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人 台，由题意得， ，
解得， ，
∵A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元，
∴购买A型智能机器人越少，费用越少，
∴购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台时，费用最少．
答：应该购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
18. 观察下列图形与等式的关系：
第1个图
第2个图
第3个图
第4个图
……
根据图形及等式的关系，解决下列问题：
（1）第5个图中空白部分小正方形的个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：
______；
（2）用含 的等式表示第 个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______；
（3）运用上述规律计算： ．
【答案】（1）11，
（2）
（3）2025
【解析】
【分析】本题考查图形变化的规律，有理数的混合运算等知识点，
（1）根据题图找出规律即可得解；
（2）根据题图找出规律即可得解；（2）根据题图找出的规律计算即可得解；
能根据所给等式写出图n空白部分小正方形个数满足的等式是解题的关键．
【小问1详解】
解：由图知：第5个空白小正方形的个数为 ，第6个空白小正方形的个数算式应为：
，
故答案为：11， ；
【小问2详解】
解：由题图知，
图①空白部分小正方形的个数是 ；
图②空白部分小正方形的个数是 ；
图③空白部分小正方形的个数是 ；
…，
所以图n空白部分小正方形的个数是： ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：由（2）问规律可计算得，
．
五、（本大题共2小题，共20分）
19. 如图，滑动调节式遮阳伞的立柱 垂直于地面 ， 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为 ， 为 的中点， ， ， ， ．根据生活经验，
当太阳光线与 垂直时，遮阳效果最佳．若太阳光线与地面的夹角为 时，要使遮阳效果最佳，求
的长．（结果精确到 ；参考数据： ， ， ，
）
【答案】 米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，四边形内角和定理，解决本题的关键是根
据题意构造直角三角形，并解直角三角形．过点 作 于点 ，根据题意可得，当太阳光线与
垂直时，遮阳效果最佳，即 ，再根据四边形内角和定理可得 的度数，再根据等腰
三角形性质和锐角三角函数即可求出 的长，进而可得 的长．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
根据题意可知：当太阳光线与 垂直时，遮阳效果最佳，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
所以 的长约为 米．
20. 如图， 是 的直径，点 ，点 在 上，且位于 的两侧，点 在 的延长线上，
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟
练掌握切线的判定是解题的关键．
（1）连接 ，根据圆周角定理得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，求得，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到 ，求得 ．
【小问1详解】
证明：连接 ，
是 的直径，
，
，
，
，
∵ ， ，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
【小问2详解】
解： ， ，
，，
，
，
，
∴ ，
即 的半径为6．
六、（本题满分12分）
21. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展
学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；
D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据
统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，
请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】（1）见解析 （2）该校参加D组（阅读）的学生980人；
（3）树状图见解析， （恰好抽中甲、乙两人） ．
【解析】【分析】（1）利用 组人数除以 组所占百分比求出调查的总人数，利用 组所占百分比得到 组人数，
再得到 组人数，然后补全统计图即可；
（2）利用总人数乘以 组所占比，即可解题；
（3）根据题意画出树状图，然后求概率即可．
【小问1详解】
解：由图可知，调查的总人数为 （人），
A组的人数为 （人），
C组的人数为 （人），
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解： （人），
答：估计该校参加D组（阅读）的学生980人；
【小问3详解】
解：由题意可画树状图如下：
共有12中等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种，
（恰好抽中甲、乙两人） ．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，画树状图法求概率．从条形统计图，扇
形统计图中获取正确的信息是解题的关键．七、（本题满分12分）
22. 如图1，点E为矩形 边 上一点，连接 交对角线 于点F，且
（1）求证：
（2）当点E为 中点时，如图2，连接 ．
（i）求证：
（ii）求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）（i）见解析；（ii）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形 的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，
熟练运用上述性质是解题的关键．
（1）证 ，得 ，即可解答；
（2）（i）连接 ，证明 四点共圆，可得 ，再证明 即
可解答；
（ii）设 ，则 ，得 ，在利用勾股定理和相似三角形的性质求得 即可解答．
【小问1详解】
证明： 四边形 为矩形，
，
，，
，
，
；
【小问2详解】
证明：（i）如图，连接 ，
，
四点共圆，如图，
，
E为 中点，
,
，
，
，
，
，
解：（ii）如图，设 ，则 ，
由（1） ，得 ，在 中， ，
，
，
，
，
，
．
八、（本题满分14分）
23. 某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央 O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子
，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过
的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距 的水平距离为1米
时达到最大高度，此时离地面2.25米．
（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到 水平距离为x米，水流喷出的高度为y
米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，
此时他离花形柱子 的距离为d米，求d的取值范围；（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成 角，如图3
所示，光线交汇点P在花形柱子 的正上方，其中光线 所在的直线解析式为 ，求光线与
抛物线水流之间的最小垂直距离．
【答案】（1）
（2）
（3） 米
【解析】
【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点 坐标代入
即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令 ，解方程求出 的值，再根据函数的图象和性质，求出 时 的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线 的平行线 ，使它与抛物线相切于点 ，然后设出直线 的解析式，联立
直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线 的解析式，从而得到直线与 轴交点，最
后利用锐角三角函数求出直线 与直线 之间的距离．
【小问1详解】
解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为 ， ，
设第一象限内的抛物线解析式为 ，
将点 代入物线解析式，
，
解得 ，
第一象限内的抛物线解析式为 ；
【小问2详解】
解：根据题意，令 ，即 ，
解得 ， ，
，抛物线开口向下，
当 时， ，
的取值范围为 ；
【小问3详解】
解：作直线 的平行线 ，使它与抛物线相切于点 ，分别交 轴， 轴于点 ， ，过点 ，作
，垂足为 ，如图所示，
，
设直线 的解析式为 ，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得 ，
直线 与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，令 ，则 ，
，
，
即 ，
射灯射出的光线与地面成 角，
，
，
，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为 米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解直角三角形，一次函数的平移与性质，直线和抛物线相切等知识，
关键是求抛物线解析式．
