文档内容
2024-2025 学年第二学期九年级核心素养调研三
数学试卷
（考试时间：120分钟；满分：150分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 的倒数是（ ）
A. ﹣2 B. C. D.
2. 清代 袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花
的花粉直径约为 米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，该几何体的俯视图（ ）
A. B. C. D.
的
4. 下列运算正确 是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，已知直线 ， 平分 ，若 ，则 等于（ ）A. B. C. D.
6. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文
的
足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽 价钱为6210文．如果每件椽的运费
是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批
椽的数量为 株，则符合题意的方程是（ ）
A. B. C. D.
7. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板 摆
放在平面直角坐标系中，使其两条直角边 分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然
后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移 个单位长度后，小明发现 两点恰好都落在函数
的图象上，则a的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 2或3 D. 3或4
8. 已知反比例函数 在第二象限内的图象与一次函数 的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知实数 ， ， ，满足 ， ， ，则下列判断错误的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在正方形 中，点 ， 分别是 ， 的中点， ， 交于点G，连接 ，
， ，则下列说法正确的个数为（ ）
① ；
② ；
③依次连接 ， ， ， 的中点 ， ， ， ，则四边形 为正方形；
④ ．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 分解因式： ________．12. 如图， 是 的直径， 是 的弦，连接 ，若 ，则
________ ．
13. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，
六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点 O， 所在圆的圆心 C恰好是 的内心，若
，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ______．（结果保留 ）
14. 如图，在菱形 中，点 是边 的中点，点 是线段 的中点， 的延长线交边 于点
，连接 ．则
（1） ________；
（2）若 ，则 ________．
三、（本大题共2小题，共16分）15. 计算： ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点 都在网格线的格点上，点 的坐标分别为
．
（1）以原点O为位似中心，在O点同侧将 放大为原来的2倍，得到 ，画出 ；（点
A的对应点为D，点B的对应点为E）
（2）若 由 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为________；
（3）请仅用无刻度的直尺，在线段 上找一点 ．
四、（本大题共2小题，共16分）
17. 2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机
器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买 两种型号智能机器人进行快递分拣，
相关信息如下：
信息一
A型机器人台 B型机器人台
总费用（单位：万元）
数 数
1 3 260
3 2 360信息二
A型机器人每台每天可分拣快递33万件；
B型机器人每台每天可分拣快递27万件．
的
（1）求 两种型号智能机器人 单价；
（2）现该企业准备购买 两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于300万件，且购买
总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？
18. 观察下列图形与等式的关系：
第1个图
第2个图
第3个图
第4个图
……
根据图形及等式 的关系，解决下列问题：
的
（1）第5个图中空白部分小正方形 个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：
______；
（2）用含 的等式表示第 个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______；
（3）运用上述规律计算： ．
五、（本大题共2小题，共20分）
19. 如图，滑动调节式遮阳伞的立柱 垂直于地面 ， 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为 ， 为 的中点， ， ， ， ．根据生活经验，
当太阳光线与 垂直时，遮阳效果最佳．若太阳光线与地面的夹角为 时，要使遮阳效果最佳，求
的长．（结果精确到 ；参考数据： ， ， ，
）
20. 如图， 是 的直径，点 ，点 在 上，且位于 的两侧，点 在 的延长线上，
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．
六、（本题满分12分）
21. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展
学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；
D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据
统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，
请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，点E为矩形 边 上一点，连接 交对角线 于点F，且
（1）求证：
（2）当点E为 中点时，如图2，连接 ．
（i）求证：
（ii）求 的值．
八、（本题满分14分）
23. 某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央 O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子
，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距 的水平距离为1米
时达到最大高度，此时离地面2.25米．
（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到 水平距离为x米，水流喷出的高度为y
米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，
此时他离花形柱子 的距离为d米，求d的取值范围；
（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成 角，如图3
所示，光线交汇点P在花形柱子 的正上方，其中光线 所在的直线解析式为 ，求光线与
抛物线水流之间的最小垂直距离．
