文档内容
2025 届九年级教学质量第二次抽测
数学试题
温馨提示：
1．本卷共八大题，23小题，满分150分，考试时间120分钟
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列四个数 ，0，3， 中，最小的数是（ ）
A. B. 0 C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边
的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大
的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【详解】解：∵ ，
∴最小的数是： ．
故选：D．
2. 2025年4月19日，首届人机半程马拉松赛在北京鸣枪开赛，来自北京亦庄的“天工Ultra”夺得全球首
个人形机器人半程马拉松赛事桂冠．半程马拉松赛道长约21100米，数据21100用科学记数法表示为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数，据此解答即可．
【详解】解： ．
故选：C．
3. 如图，公园里的石墩可近似抽象为一个长方体中间挖去一个圆柱得到几何体，这个几何体的俯视图是（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，找到从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：从上面看易得俯视图为长方形，中间有两条虚线，如图：
故选：C．
4. 计算 的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是积的乘方和幂的乘方运算，根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可．
【详解】解： ，故选：B．
5. 已知， ，一副三角板如图放置，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．作 ，利用平行线的性质求得 ，再求
得 ，利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
故选：D．
6. 已知 ， ，则代数式 的值为（ ）
A. 9 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值，因式分解，根据 ，利用
整体代入法求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
∴ ，
故选：C．
7. 如图，矩形 的对角线相交于点O， ， ，点E为 一点，连接 ，F为 的
中点，若 ，则 的长为（ ）
A. B. 5 C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由矩形性质得到 ， ，再根据直角三角形的斜边中线性质、三角形的中位线
性质得到 ， ，进而得到 ，设 ，则 ，利用勾股定理列方程求解x值即可．
【详解】解：在矩形 中， ， ，
∵ F为 的中点，
， ，
，
，
设 ，则 ，
，解得 ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形的斜边中线性质、三角形的中位线性质、勾股定理，熟练掌
握直角三角形的斜边中线性质、三角形的中位线性质，利用勾股定理列方程求解是解答的关键．
8. 五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人
都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，
当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（ ）
A. 是公平的 B. 有利于姐姐 C. 有利于哥哥 D. 有利于妹妹
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了游戏公平的判断，判断游戏的公平性，就要计算每个事件的概率，概率相等就公
平，否则就不公平．首先根据题意列出表格，然后根据表格求出每个事件的概率，比较大小，即可求得游
戏是否公平．根据列表法解答即可．
【详解】解：同时掷两枚筛子，其点数之和的结果如下表所示：
第二
枚 1 2 3 4 5 6
第一枚
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12
由表格可知，共有36种等可能结果，其中点数之和正好能被3整除的有12种，点数之和除以3后余数是1
的有12种，点数之和除以3后余数是2的有12种，他们获得电影票的概率都是 ，即为 ，所以这个游
戏是公平的，
故选：A．
9. 已知实数a，b，c，p（其中 ， ）满足 ，下列说法正确的是（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
首先由由 得 且 ，然后得抛物线 与x轴的交点
， ，进而利用二次函数的图像及性质求解即可．
【详解】解：由 得 且 ，
抛物线 与x轴的交点 ， ，
，
，
，点B在A的左边，
，，
a，b同号，
或 ，
，
故选：A．
10. 在 中， ， ， ，点P是 上一动点（不与C重合），将
绕点P逆时针旋转 得到 ，作直线 ，点Q为l上一动点，点M为 的中点，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接 ， ，证明 为等边三角形， ， ，证明 ，
垂直平分 ，可得点M在 平分线 （O是 的中点）上，作点A关于直线 的对称
点 ，则 在 延长线上，连接 ， 与 的交点为M， 的值最小，即为 的长，
再进一步求解即可．
【详解】解：连接 ， ，由旋转可知，
， ，
为等边三角形， ， ，
，点M为 的中点，
， 垂直平分 ，
，即点M在 平分线 （O是 的中点）上，
作点A关于直线 的对称点 ，则 在 延长线上，
连接 ， 与 的交点为M， 的值最小，即为 的长．
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
．
故选：B
【点睛】本题考查的轴对称的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，化为最简二次根式，旋
转的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 计算： ______．
【答案】
【解析】【分析】首先计算零指数幂和立方根，然后计算加减即可．
此题考查了零指数幂和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则．
【详解】解：
．
故答案为： ．
12. 如图，四边形 内接于 ，连接 ， ， ，若 的半径为3，则 的
长为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，连接 ，首先根据等边对等角得出 ， ，然后求出
，然后利用圆周角定理求出 ，然后利用弧长公式求解即可．
此题考查了等边对等角，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是掌握以上知识点．
【详解】如图所示，连接
∵ ，
∴ ，∴
∴
∵ 的半径为3
∴ 的长 ．
故答案为： ．
13. 反比例函数 与正比例函数 的图象经过点A，将正比例函数 的图象向上平移
3个单位后与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，作 轴于点E，交 于点E．若点E是
的中点，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数平移问题，一次函数与反比例函数交点问题，根据一次函数平移规律可得直
线 的解析式为 ，设 ，求出 ，根据点E是 的中点，可得 ，由
轴可得 点横坐标为 ，代入反比例函数求出 点纵坐标为 ，即 ，将其代入直线解析式，求出 ，即可解答．
的
【详解】解：根据题意得：直线 解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵点E是 的中点， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ 点横坐标为 ，
将 代入反比例函数，则 ，
∴ ，
将 ，代入直线 解析式，得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．14. 如图， ， ， 与 相交于点 ，作 于点 ．
（1）若 ，则 ______°；
（2）若 ，则 的值为______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判
定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用等腰三角形得到 ， ， ，
求出 ，得到 ，即可得到答案；
（2）作 于点 ， 于点 ，交 的延长线于点 ，得到四边形 为矩形，由
（1）知 ，得到 ，求出 ，可证明
，得到 ， ，由 得到 ，由
得到 ，即可得到答案．
【详解】解：（1） ， ，
， ， ，，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）如图，作 于点 ， 于点 ，交 的延长线于点 ．
， ， ，
四边形 为矩形，
， ．
由（1）知 ，
，
， ，
，
，
，
，
，， ，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 解不等式组 ，并把解集在数轴上表示．
【答案】 ，数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查的是求解不等式组的解集，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分
即可．
【详解】解： ，
由①得： ：
由②得： ，
其解集在数轴上表示如图所示：
不等式组的解集为 ．
16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 与 的顶点均在格点上，
与 关于点O成中心对称，请按要求完成下列各题．
（1）在图中画出点O的位置．
（2）以 ， 为邻边构造平行四边形 ，请画出平行四边形 ；
（3）通过观察发现 可以通过 平移得到，请你描述这种平移．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析（3） 向上平移5个单位得到
【解析】
【分析】本题考查作图-平移变换、中心对称、平行四边形．
（1）连接 ， ， ，交点即为对称中心O；
（2）根据平行四边形的性质作图即可；
（3）根据平移的性质可得答案．
【小问1详解】
解：如图，连接 ， ， ，交于点O，
则点O即为所求．
【小问2详解】
解：如图，平行四边形 即为所求；
【小问3详解】
解： 向上平移5个单位得到 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 受国际政治形式的影响，某公司4月份的营业额为 万元，出口营业额比3月份减少 ，国内
营业额比3月份增加 ，总营业额比3月份增加 万，求该公司3月份出口和国内营业额各是多少万
元？
【答案】该公司3月份出口和国内营业额分别是 万元、 万元
【解析】
【分析】本题主要考查百分比变化的应用及二元一次方程组的建立与求解．通过设定变量表示3月份的出
口和国内营业额，根据题目中的百分比变化和总营业额变化建立方程组，求解即可．
【详解】解：设该公司3月份出口和国内营业额分别是x万元、y万元，由题意得，解得，
答：该公司3月份出口和国内营业额分别是 万元、 万元
18. 我军舰在点A的北偏东 方向上的点C处，发现一艘靠近我内海的不明军舰，立即通知我军在点B
的执行任务的军舰进行跟踪伴行．已知点A在点B的南偏西 的方向上，点Ｃ在点B的北偏西 ，点
A，C之间相距 海里，求点B，C之间的距离．（结果保留 海里）参考数据： ，
，
【答案】点B，C之间的距离为 海里
【解析】
【分析】本题考查了方位角问题，掌握以上知识是解答本题的关键；
作 于点D，根据题意可得 ， ，然后在 中，可得 ，
最后在 中，根据三角函数即可求解；
【详解】作 于点D，如图：，
由题意知， ， ，
在 中， ， ，
∴ （海里），
在 中， ，
，
∴ （海里），
答：点 ， 之间的距离为 海里；
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动．
【思考与推理】老师提供了下列一组等式：
第一个等式： ；
第二个等式： ；
第三个等式： ；
第四个等式： ；
…
第n个等式可写为：
老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理：整理得，
……
…
【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式．
第一个等式： ；
第二个等式： ；
第三个等式： ；
第四个等式： ；
……
【问题解决】
（1）请你完成【思考与推理】中省略的步骤．
（2）你能写出【类比推广】中的第5个等式：__________________________；猜想第n个等式：
___________________，请你证明这个猜想．
（3）你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于 的公式．
【答案】（1）详见解析
（2） ， ，证明见解析
（3） ，见解析
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，数字类规律探索，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键．
（1）根据等式的性质以及完全平方公式计算即可；
（2）根据已知 的前4个等式总结出第5个等式，以及第n个等式的规律，并将等式左右两边利用多项
式乘多项式展开即可证明相等；
（3）先通过 ，将等式中的 从 、 、 、依次取到 时，就可得 个等式，
再累加即可，【小问1详解】
解：剩余步骤为： ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：【类比推广】中的第5个等式： ；猜想第n个等式： ，
证明：左边 ，
右边 ，
∵左边 右边，
∴原式成立；
【小问3详解】
解： ，
当式中的 从 、 、 、依次取到 时，就可得下列 个等式：
，
，
，
，
，
将这 个等式的左右两边分别相加得： ，
即．
20. 如图， 为 的直径， 为 的切线，连接 交 于点D， 于点H，E是
的中点，连接 并延长交 于点F，交 ， 于点M，N．
（1）求证： ；
（2） ， ，求 的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由切线的性质结合 ，求得 ，由 ，推出 ，
据此计算即可证明 ；
（2）证明 ，由角平分线的性质结合面积法求得 ，分别利用勾股定理求得
和 的长，再利用等腰三角形的性质即可求解．
【小问1详解】证明： 为 的切线，
，
，
，
，
，
，
为 的直径，
，
，
E是 的中点，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：连接 ，作 于点G，
，
，， ，
，
， ，
，
，
，
， ，
由（1）知 ，
，
，
，
为 的直径，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．正确引
出辅助线解决问题是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
【项目背景】加强青少年航天航空教育是关乎未来航天航空人才的培养，提升青少年的科学素养和安全意
识都有重要的意义．为此中央电视台多次开设了天空课堂对青少年进行航天航空教育．今年以“海上生明
月，九天揽星河”为主题的中国航天日在上海举行，某中学以此为契机开展航天航空知识竞赛（满分100
分）．
【数据的收集与整理】从七、八年级随机各抽取50名学生的竞赛成绩（分数用x表示），将这些学生的竞赛成绩分成5个等级：
等级 A B C D E
分数x
对这100名学生的成绩进行收集、整理得到如下信息．
信息1 摘录七年级学生的成绩（从小到大顺序排列）：
．．．．，76，77，77，78，78，79，80，80，81，82，84，84，84，85，87，88，88，90，91，．．．
摘录完后，发现抽取七年级同学竞赛成绩的众数在D等级中；
信息2 绘制了抽取七、八年级同学竞赛成绩的条形统计图：
信息3 绘制了抽取的八年级同学竞赛成绩的扇形统计图：
信息4 两个年级抽取同学的竞赛成绩达到E等级占总人数的 ．
【数据的分析和应用】
（1）抽取的七年级同学竞赛成绩的中位数是______，众数是______；
（2）抽取的八年级同学成绩的等级D部分的圆心角是______ ，并补全条形统计图；
（3）七、八年级的人数之比为 ，求七、八年级达到80分及80分以上的人数比．
【答案】（1）77，84
（2）115.2，图见解析（3）
【解析】
【分析】本题考查求中位数和众数，条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的
关键：
（1）求出七年级 等级的人数，根据中位数和众数的确定方法进行求解即可；
（2）用360度乘以 等级人数所占的比例求出圆心角的度数，求出七年级 等级的人数，补全条形图
即可；
（3）设七、八年级的人数分别为 ，利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵两个年级抽取同学的竞赛成绩达到E等级占总人数的 ，
∴七年级E等级人数为： ，
七年级的将数据排序后，排在第25个和第26个的数据均为77，
∴中位数为77，
由题意，七年级 等级中出现次数最多的数据为84，
∴众数为84；
【小问2详解】
；
故答案为： ；
七年级 等级的人数为：11，由（1）知，E等级人数为10，
∴ 等级的人数为 ；
补全条形图如图：【小问3详解】
由题意，设七、八年级的人数分别为 ，
则：七、八年级达到80分及80分以上 人数比 ．
的
七、（本题满分12分）
22. 在矩形 中，点 是边 的中点，点 是边 上的点， 的延长线与 的延长线交于点
，以 为斜边向下作等腰直角 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）若点 为 的中点，
如图 ，当 在 上时，求 ；
如图 ，连接 ，当 ， 时，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得 ，再结合 ， ，即
可得证；
（2）设 ，则 ，
由 得 ，然后根据矩形的性质、等腰直角三角形的性质证明
， 得 到 ， ， 所 以 ， 最 后 根 据
即可求解；
连接 ，由 得 ，证明点 ， ， 共线，再证明 得
，即 ，解出 的值，即可得解．
【小问1详解】
解： 四边形 是矩形，
，
， ，
；
【
小问2详解】
解：设 ，则 ，
由（1）知 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
， ，为等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
， ，
，
， ，
；
连接 ，由（1）知 ，
，
，
， ，
，
，
，
点 ， ， 共线，
， ，
，
，，即 ，
解得： ，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三
角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线 的顶点为M；抛物线 的顶点为N．
（1）点M是否在直线 上，并说明理由；
（2）已知点N在直线 上， ，点 在抛物线 上，且 ，点B在抛物线 上；
若 ，求直线 的解析式（用s表示）；
若点B的坐标为 ，且 ，求q的最小值．
【答案】（1）在，理由见解析
（2） ；
【解析】
【分析】此题考查的是二次函数与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，掌握其性
质特征是解决此题的关键．
（1）利用配方法求得抛物线 的顶点坐标，再代入 即可判断；
（2） 设直线 的解析式为 ，联立得 ， ，再利用待定系数法即可求得直线 的解析式；
求得 ，由于 ，求得 关于 的二次函数，利用二次函数的性质求解即
可．
【小问1详解】
解：在，理由为： ，
点M为 ，
把 代入 得， ，
点M在直线 上；
【小问2详解】
解： 抛物线 的顶点为N．
点N坐标为 ，
又 点N在直线 上，
，
解得 ，
，
抛物线 ，
点 ，
抛物线 ，顶点为 ，
点 在抛物线 上，
；
①设直线 的解析式为 ，
联立得 ，，
，
，
直线 的解析式为 ，
，
，
直线 的解析式为： ；
② 点 在抛物线 上，
，
，
，
，
，
，
，
q的最小值为 ．
