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2025 届九年级教学质量第一次抽测数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出 四个选
项，其中只有一个是符合题目要求的．）
1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负
数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为 斗，那么损实七斗（减少7斗）记为（ ）
A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【详解】解：若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为 斗，那么损实七斗（减少7斗）记为 斗，
故选：C
2. 中国信息通信研究院测算， 年，中国 商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接
带动经济总产出达 万亿元．其中数据 万亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，
其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小
数点移动的位数相同，据此求解即可．
【详解】数据 万亿用科学记数法表示为 ．
故选：B．
3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视
图为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体
的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可．
【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，
形状如图所示：
故选：C．
4. 下列计算结果为 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐
一判断即可．
【详解】解：A、 与 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、 ，故本选项不合题意；
C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的
关键．5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 的方向竖直向下，支持力 的方向与斜面垂直，
摩擦力 的方向与斜面平行．若斜面的坡角 ，则摩擦力 与重力 方向的夹角 的度数为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知 是重力 与斜面形成的三
角形的外角，从而可求得 的度数．
【详解】解： 重力 的方向竖直向下，
重力 与水平方向夹角为 ，
摩擦力 的方向与斜面平行， ，
，
故选：C．
6. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为 的雷锋雕像，雕像的下部应设计为多高？设雕像
的下部高为 ，则所列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程方程的应用，根据使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，
等于下部与全部的高度比，列出方程即可．
【详解】解：设雕像的下部高为 ，则：雕像的上部高为 ，由题意，得：
，
即： ；
故选A．
7. 已知一次函数 中，y随x的增大而减小，且函数图象经过点 ，则下列结论中不正确的
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图像和性质，熟记“ ，图像经过一、三象限，y随x的增大而增大，
，图像经过二、四象限，y随x的增大而减小”是正确解决本题的关键．
根据“ ，图像经过一、三象限，y随x的增大而增大， ，图像经过二、四象限，y随x的增大而减小”及函数图象经过点 判断k、b的正负即可得出结论．
【详解】解： 一次函数 中，y随x的增大而减小，且函数图象经过点 ，
， ， ，
A． 正确，此选项不符合题意；
B． 正确，此选项不符合题意；
C． ，不正确，此选项符合题意；
D． 正确，此选项不符合题意；
故答案为：C．
8. 如图，在两条横线和四条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以围成一个矩形，从这些矩
形中任选一个，则所选矩形含“ ”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求出两条横线和两条竖线都可以组成矩形个数，再得出含五角星矩形个数，进而利用概
率公式求出即可．
【详解】解：两条横线和两条竖线都可以组成一个矩形，
则如图的两条横线和四条竖线可以组成6个矩形，其中含五角星的矩形有3个，
∴所选矩形含“ ”的概率是
故选：A【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9. 在等腰 中， ，将 绕 点顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，若 的面
积为16，则 的长为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，过 作 于 ，
过 作 于 ，则 ，由旋转得到 ， ，即可证明
，得到 ，再根据 ，求出 的值即可．
【详解】解：如图，当 在 左边时，过 作 于 ，过 作 于 ，则
，
∵将 绕 点顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 （负值已舍去）；
同理，当 在 右边时， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故选：B．
10. 如图，菱形 的边长是 ， ，动点P从点A出发，以 的速度沿
运动至点C，动点Q从点A出发，以 的速度沿 运动至点C．若P，Q同时出发，设运动时
间为 ， 的面积为 （当B，P，Q三点共线时，不妨设 ），则下面图象中能表示S与t
之间的函数关系的是（ ）A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出分段的函数的解析式，即可求解．
【详解】解：当0≤t≤2时，BQ=4﹣2t，AP= t,点P到AB的距离为 t，
S＝ （4﹣2t）× t＝﹣ （t﹣1）2+ ，
∴该函数图象开口向下，
当2＜t≤4时，BQ=4﹣2t，点P在AD上，到BC的距离为 ×4，S＝ ×（2t﹣4）× ×4＝2t﹣4，
∴该函数图象是线段，且y随x的增大而增大，
当4＜t≤8时，S＝ ×4× ×（8﹣t）＝8﹣t，
∴该函数图象是线段，且y随x的增大而减小．
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，求出分段函数解析式是本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式 的解集为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先去分母，再移项，合并同类项即可．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
12. 已知等式： ，若括号内所填的式子记为A，则 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题关键．根据题意有
，结合整式的混合运算法则求解即可．
【详解】解：
．
为
故答案 ： ．
13. 如图，在扇形 中，点 在 上， 是 的内接正八边形的边， 是 的内接
正六边形的边， 与 交于点 ，则 ___________ ．【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的内接多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理；根据正多边形的内角
与外角的关系得出 ，进而求得中心角 ，根据圆周角定理求得 ，进而
根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的内接正八边形的边，
∴ ， ，
∵ 是 的内接正六边形的边，
∴
∴
∵
∴
∴故答案为： ．
14. 如图，正方形 边长为3，点 ， 分别是边 ， 上的两个动点，且 ，连接
．
（1）若 ，则 ___________；
（2） 的最小值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质和 ，求出，然后利用勾股定理得出 ，即可解答；
（2）连接 ，证明 ，得出 ，推出 的最小值等于 的
最小值，作点 关于 的对称点 ，连接 ，则 、 、 三点共线，连接 ， 与 的交
点即为所求的 点，根据对称性可得 ，得到 ，由勾股定理求出
的长即可得解．
为
【详解】解：（1）∵正方形 边长 3， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；故答案为：；
（2）如图，连接 ，
，
∵四边形 是正方形，
∴， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值等于 的最小值，
如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，则 、 、 三点共线，
连接 ， 与 的交点即为所求的 点，
根据对称性可得 ，
∴ ，在 中， ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本考查了正方形的性质、轴对称的性质，直角三角形三角函数、三角形全等的判定与性质、勾股
定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键；
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查幂的运算，绝对值的性质，实数的运算；根据负整数指数幂运算法则， 指数幂运算法
则，绝对值的性质，实数的运算法则计算即可求解．
【详解】解：
．
16. 网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形， 位置如图所示，且 ， ．（1）画出平面直角坐标系 ，写出点 的坐标；
（2）平移 ，使点 移动到点 ．画出平移后的 ，其中点 与点 对应（不写画
法）；写出点 的坐标．
【答案】（1）见解析，点 的坐标
（2）见解析，点 的坐标为
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，图形的平移，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键．
（1）根据点 ， 的坐标确定坐标系，由坐标系的特点可写出点C的坐标；
（2）根据图形平移的方法作图即可；直接写出点D的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图所示，建立平面直角坐标系；点 的坐标 ；
【小问2详解】
如图所示， 为所求；点 的坐标为 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某地区2023年进出口总额为320亿元．2024年进出口总额比2023年有所变化，其中进口额减少了
，出口额增加了 ．（注：进出口总额 进口额 出口额）．
（1）设2023年进口额为 亿元，出口额为 亿元，请用含 的代数式完成下表：
年 进口额（亿 出口额（亿
份 元） 元）
202
y
3
202
4
（2）已知2024年进出口总额比2023年增加了6亿元，求2023年进口额和出口额分别是多少亿元？
【答案】（1）填表见解析
（2）2023年进口额和出口额分别是120亿元，200亿元
【解析】【分析】本题考查列代数式，二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出代数式和方程组，
是解题的关键：
（1）根据进口额减少了 ，出口额增加了 ，列出代数式即可；
（2）根据2023年进出口总额为320亿元，2024年进出口总额比2023年增加了6亿元，列出方程组进行求
解即可．
【小问1详解】
由题意，填表如下：
年份 进口额（亿元） 出口额（亿元）
2023 y
2024
【小问2详解】根据题意得： ，
解得： ．
答：2023年进口额和出口额分别是120亿元，200亿元．
18. 观察以下等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；
第3个等式： ；第4个等式： ；…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：______________________________；
（2）写出你猜想的第n个等式：______________________________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式，不难得出第 个等式为： ，通过对等式的左边的运算即
可证明．
【小问1详解】
解：第5个等式为： ，
故答案为： ；
【小问2详解】
猜想：第 个等式为： ，
证明：等式左边
右边，
故猜想成立．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，列代数式，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 项目式学习
2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合
项
支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检
目
等任务．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理
背
和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好
景
地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务．
图
如图所示， 是垂直于工作台的移动基座， 为机械臂， ，
示．
及
说
明
任
务 求机械臂端点 到工作台的距离 的长；（结果精确到 ）
1
任
务 求 的长．（结果精确到 ）
2
参
考
数
据
【答案】任务1：6.6米；任务2：3.8米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关
键．
任务1：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于 ，在
中，求得 ，在 中，求得 ，最后求得 的长即可；
任务2：在 中，求得 的长，在 中，求得 的长，最后求得 的长．
【详解】任务1：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于 ，
四边形 ，四边形 都是矩形，，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，
，
答：机械臂端点 到工作台的距离 的长约为6.6米.
任务2：在 中，由勾股定理可知：
，
在 中，
，
，
．
答： 的长约为3.8米.
20. 如图，在等腰 中， 为底边 上的高， 的角平分线交 于点D， 经过C、D两点且圆心O在 的腰 上．
（1）请画出 (尺规作图，保留作图痕迹)；
（2）求证： 与 相切；
（3）当 ， 时，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）3
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，根据角平分线的定义得到
，求得 ，根据平行线的性质得到 ，根据切线的判定定理得
到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到 ，求得 ，根据三角函数的定义得到
，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；【小问2详解】
证明：连接 ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
是 的半径，
与 相切；
【小问3详解】
解： ， ，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
的半径为 ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判断，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，线段垂直平
分线的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 为了进一步提高中学生的交通安全意识、文明意识，为“创建文明城市”工作的开展营造浓厚的宣传氛
围，某区创新宣传方式，组织学生利用“参观体验+知识竞赛”新模式开展安全宣传活动，并取得了良好的
效果．赛后区团委为了解竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取部分学生的竞赛成绩，整理绘制出统计表
以及两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下列问题：
成绩
组别 各组总分/分
/分
A 380
2042
1130
390
58（1）补全频数分布直方图，扇形统计图中组别 所在扇形的圆心角度数为___________．所抽取学生的竞
赛成绩的中位数落在___________组；
（2）求所抽取学生竞赛成绩的平均数；
（3）若该区有950名中学生参加了这次竞赛，请估计成绩大于80分的有多少人？
【答案】（1） ；
（2）80分 （3）532人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图与频率分布直方图，平均数以及用样本估计总体，结合扇形统计图与频率分
布直方图求解出样本容量是解题的关键．
（1）用B组的人数除以所占的百分比得出总人数，然后用总人数减去A组、B组、C组、E组的人数即得
D组的人数， 乘C组所占的百分比即得扇形统计图 所在扇形的圆心角度数，补全频数分布直方图；
（2）统计表中各组总分的和除以50即得；
（3）950乘以80分以上的学生数占比即得．
【小问1详解】
解：抽取学生的总数为 （名），
组人数为 （名），
补全频数分布直方图如图，扇形统计图中组别 所在扇形的圆心角度数为 ，
所抽取学生的竞赛成绩的中位数落在 组；
故答案为： ；B
【小问2详解】
解：所抽取学生竞赛成绩的平均数为 （分），
答：所抽取学生竞赛成绩的平均数为80分；
【小问3详解】
解： （人）．
答：估计成绩大于80分的有532人．
七、（本题满分12分）
22. 定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．请利用已有经验对
“等对角四边形”进行探究：
（1）如图1，在 中， 为斜边 上的中线，过点 作 交 于点
，判断四边形 是否为“等对角四边形”，并说明理由；
（2）如图2，在 中， 平分 ，点 在边 上，若以为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段 的长．
【答案】（1）四边形 为“等对角四边形”；见解析
（2）3或
【解析】
【分析】（1）由直角三角形斜边上中线 的性质得到 ，则 ，然后由互余关系
，显然 ，即可证明；
（2）分类讨论，①若 ， ，证明 ，则 ；
②若 ， ，过点 作 ，垂足为点 ，由勾股定
理得 ，由角平分线性质定理可得 ，则 ，可得 ，
求得 ，则 ．
【小问1详解】
解：四边形 为“等对角四边形”；理由如下：
是 斜边 上的中线，
，
，
，
∵ ，
∴在Rt 中， ，，
显然 ，
故四边形 为“等对角四边形”；
【小问2详解】
解：∵ 平分 ，
∴ ，
①若 ， ，
如图2，
在 与 中，
，
；
②若 ， ，如图3，过点 作 ，垂足为点 ，在 中， ， ，
，
平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，即 ，
，
，
综上所述： 的长为3或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，全
等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 已知函数 （a，b为常数）．设自变量x取 时，y取得最小值．
（1）若 ， ，求 的值；（2）在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上，且 ．求点P到y轴的距离；
（3）当 ，且 时，分析并确定整数a的个数．
【答案】（1）
（2）2或1 （3）整数a有4个
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程．
根据题意代入化简得 ，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可；
结合题意得到 ，代入二次函数中化简得 ，利用二次函数的性
质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离；
结合已知得等式化简得 ，结合 的范围求得a的可能值，即可得到整数
a的个数．
【小问1详解】
解：有题意知
，
当 时，y取得最小值8；
【小问2详解】
解： 点 在双曲线 上，
∵
，
∴
∴，
，
∵
，化解得 ，解得 或 ，
∴
则点 或 ，
点P到y轴的距离为2或1；
∴【小问3详解】
解：
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，化简得 ，
∴
，
∴
则整数a有4个．
