文档内容
2025 届九年级教学质量第二次抽测
数学试题
温馨提示：
1．本卷共八大题，23小题，满分150分，考试时间120分钟
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列四个数 ，0，3， 中，最小的数是（ ）
A. B. 0 C. 3 D.
2. 2025年4月19日，首届人机半程马拉松赛在北京鸣枪开赛，来自北京亦庄的“天工Ultra”夺得全球首
个人形机器人半程马拉松赛事桂冠．半程马拉松赛道长约21100米，数据21100用科学记数法表示为（
）
A. B. C. D.
3. 如图，公园里的石墩可近似抽象为一个长方体中间挖去一个圆柱得到几何体，这个几何体的俯视图是（
）
A B.
.
C. D.
4. 计算 的结果为（ ）A. B. C. D.
5. 已知， ，一副三角板如图放置，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 ， ，则代数式 的值为（ ）
A. 9 B. C. D. 2
7. 如图，矩形 的对角线相交于点O， ， ，点E为 一点，连接 ，F为 的
中点，若 ，则 的长为（ ）
A. B. 5 C. D. 6
8. 五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人
都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，
当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（ ）
A. 是公平的 B. 有利于姐姐 C. 有利于哥哥 D. 有利于妹妹
9. 已知实数a，b，c，p（其中 ， ）满足 ，下列说法正确的是（ ）A. 且 B. 且
.
C 且 D. 且
10. 在 中， ， ， ，点P是 上一动点（不与C重合），将
绕点P逆时针旋转 得到 ，作直线 ，点Q为l上一动点，点M为 的中点，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 计算： ______．
12. 如图，四边形 内接于 ，连接 ， ， ，若 的半径为3，则 的
长为______．
13. 反比例函数 与正比例函数 的图象经过点A，将正比例函数 的图象向上平移
3个单位后与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，作 轴于点E，交 于点E．若点E是的中点，则k的值为______．
14. 如图， ， ， 与 相交于点 ，作 于点 ．
（1）若 ，则 ______°；
（2）若 ，则 的值为______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式组 ，并把解集在数轴上表示．
16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 与 的顶点均在格点上，
与 关于点O成中心对称，请按要求完成下列各题．
（1）在图中画出点O的位置．（2）以 ， 为邻边构造平行四边形 ，请画出平行四边形 ；
（3）通过观察发现 可以通过 平移得到，请你描述这种平移．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 受国际政治形式的影响，某公司4月份的营业额为 万元，出口营业额比3月份减少 ，国内
营业额比3月份增加 ，总营业额比3月份增加 万，求该公司3月份出口和国内营业额各是多少万
元？
18. 我军舰在点A的北偏东 方向上的点C处，发现一艘靠近我内海的不明军舰，立即通知我军在点B
的执行任务的军舰进行跟踪伴行．已知点A在点B的南偏西 的方向上，点Ｃ在点B的北偏西 ，点
A，C之间相距 海里，求点B，C之间的距离．（结果保留 海里）参考数据： ，
，
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动．
【思考与推理】老师提供了下列一组等式：
第一个等式： ；
第二个等式： ；
第三个等式： ；
第四个等式： ；
…第n个等式可写为：
老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理：
整理得，
……
…
【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式．
第一个等式： ；
第二个等式： ；
第三个等式： ；
第四个等式： ；
……
【问题解决】
（1）请你完成【思考与推理】中省略的步骤．
（2）你能写出【类比推广】中的第5个等式：__________________________；猜想第n个等式：
___________________，请你证明这个猜想．
的
（3）你能利用【思考与推理】 思路和成果，直接写出关于 的公式．
20. 如图， 为 的直径， 为 的切线，连接 交 于点D， 于点H，E是
的中点，连接 并延长交 于点F，交 ， 于点M，N．（1）求证： ；
（2） ， ，求 的长．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
【项目背景】加强青少年航天航空教育是关乎未来航天航空人才的培养，提升青少年的科学素养和安全意
识都有重要的意义．为此中央电视台多次开设了天空课堂对青少年进行航天航空教育．今年以“海上生明
月，九天揽星河”为主题的中国航天日在上海举行，某中学以此为契机开展航天航空知识竞赛（满分100
分）．
【数据的收集与整理】从七、八年级随机各抽取50名学生的竞赛成绩（分数用x表示），将这些学生的竞
赛成绩分成5个等级：
等级 A B C D E
分数x
对这100名学生的成绩进行收集、整理得到如下信息．
信息1 摘录七年级学生的成绩（从小到大顺序排列）：
．．．．，76，77，77，78，78，79，80，80，81，82，84，84，84，85，87，88，88，90，91，．．．
摘录完后，发现抽取七年级同学竞赛成绩的众数在D等级中；
信息2 绘制了抽取七、八年级同学竞赛成绩的条形统计图：
信息3 绘制了抽取的八年级同学竞赛成绩的扇形统计图：信息4 两个年级抽取同学的竞赛成绩达到E等级占总人数的 ．
【数据的分析和应用】
（1）抽取的七年级同学竞赛成绩的中位数是______，众数是______；
的
（2）抽取 八年级同学成绩的等级D部分的圆心角是______ ，并补全条形统计图；
（3）七、八年级的人数之比为 ，求七、八年级达到80分及80分以上的人数比．
七、（本题满分12分）
22. 在矩形 中，点 是边 的中点，点 是边 上的点， 的延长线与 的延长线交于点
，以 为斜边向下作等腰直角 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）若点 为 的中点，
如图 ，当 在 上时，求 ；
如图 ，连接 ，当 ， 时，求 的长．
八、（本题满分14分）23. 已知抛物线 的顶点为M；抛物线 的顶点为N．
是
（1）点M 否在直线 上，并说明理由；
（2）已知点N在直线 上， ，点 在抛物线 上，且 ，点B在抛物线 上；
若 ，求直线 的解析式（用s表示）；
若点B的坐标为 ，且 ，求q的最小值．
