文档内容
2025 年中考第三次模拟数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上
答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 在下列各数中，绝对值最大的数是（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较，理解绝对值的意义是解题关键．先求出各数的绝对值，
再比较大小取最大值即可．
详解】解： ， ， ， ，
【
，
绝对值最大的数是 ，
故选：A．
2. 据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）破100亿
元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 ，其中 ，n为整数，确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对
值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于10时，n是负数，由此进行求解即可得到答案．【详解】解：100亿 ，
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，掌握上述法则是解题关键．
利用幂的乘方可验证A；利用同底数幂相乘法则可验证B；利用同底数幂相除法则可验证C；利用合并同
类项可验证D．
【详解】解： ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，
故D错误．
故选：C．
4. 如图，某几何体由8个完全相同的小正方体搭成，其箭头所指为主视方向，则该几何体的左视图是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三视图，根据左视图的定义即可作答．
【详解】根据左视图的定义：：由物体左边向右做正投影得到的视图，也就是从图的左边往右边看．
所以，从左往右看可以得到：故选：C．
5. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查根的判别式．分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间
的关系得出答案．
【详解】解：A、 ，
方程没有实数根，不符合题意；
B、 ，
方程有两个相等的实数根，不符合题意；
C、 ，
方程有两个不相等的实数根，符合题意；
D、 ，
方程没有实数根，不符合题意；
故选：C．
6. 如图，五边形 为 的内接正五边形，点P为劣弧 上的任意一点（不与D，E重合），则
的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理，圆内接四边形的性质．连接 ，根
据正五边形的性质可得 ，再由圆周角定理可得 ，然后根据圆内接
四边形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵五边形 为 的内接正五边形，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ．
故选：B
7. 在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氯化钠、稀盐
酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两
瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液分别用 表示，列表如下：
（ ， ） （ ， ） （ ， ）
（ ， ） （ ， ） （ ， ）
（ ， ） （ ， ） （ ， ）
（ ， ） （ ， ） （ ， ）
由表可知共有12种可能的结果，其中抽到2个都是酸性溶液的情况有2种，
则抽到的2个都是酸性溶液的概率为 ．
故选D．
8. 如图，在 中， ， ， ．E为边 上一动点，F为射线 上一
动点，射线 ， 相交于点M，且满足 ．D是 的中点，连接 ，当
的长度最小时， 的长是（ ）A. 3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系、三角形中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识，
解题关键是正确作出辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边上的中线解决问题．
由 证明 ，得出 ．取 的中点T，连接 ，
利用三角形的中位线定理求出 的值，再由直角三角形斜边上中线的性质求出 ，并确定点M的运动
轨迹，然后由 求出 的长再运用平行线分线段成比例即可获得结论．
【详解】解： 中， ， ， ，
， ， ，
，即 ，
，
，
，
取 的中点T，连接 ，
∵D是 的中点，T是 的中点，
， ，
，，
，
∵点F为射线 上一动点， ，
∴点M的运动轨迹是以T为圆心， 为半径的圆，
，
的最小值为1，如下图所示
，
，
，
，
．
故答案为：C．
9. 已知二次函数 的图象如图所示，图象与x轴交于 ，顶点是 ，则一次函
数 的图象和反比例函数 的图象在同一坐标系中大致为（ ）A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数 的图像，一次函数和反比例函数的图像，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由二次函数的图像来确定 ， 的符号，再由顶点坐标的位置确定 的符号即可
【详解】解：图象与x轴交于 ，顶点是 ，
∴对称轴为直线 ，
∴图像与x轴另一交点为 ，
∴设 ，
化简得： ，
∴ ，有图像可知， ，与x轴有两个交点，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴图像经过第一、二、四象限，
∵顶点 在第三象限，∴ ，∴
而 ，
∴反比例函数解析式为 ，
∴图像过第一、三象限，
综上，可知A选项符合题意．
故选：A．
10. 如图，在矩形 中，已知 ， ，E为 边上一动点，将 沿 翻折到
的位置，点A与点F重合，连接 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关
键．在 上取点 G，使 ，连接 FG，DG，证明 ，可得出 ，则，当 、 、 三点共线时， 最小，在 中，利用
勾股定理求出 即可．
【详解】解：如图，在 上取点G，使 ，连接 ， ．
沿 边翻折到 ，
，
又 ，
， ，
，
又 ，
，
，
，
，
当 、 、 三点共线时， 最小，
在 中， ，
， ，，
即 的最小值为 ．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分）
11. 计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，根据有理数的乘方，算术平方根及零指数幂将原式化简，再进行加减运算
即可．掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键．
【详解】解： ．
故答案为： ．
12. 因式分解： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为： ．
13. 如图，已知直线 分别与y轴、x轴交于A，B两点，过点B作 ，点P在双曲线上，连接 ．若 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】过P点作 轴于点C，则可得到 ，即 ，
求出A，B两点坐标，进而求出 点坐标，代入求值即可．
【详解】如图，过P点作 轴于点C，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
∵直线 分别与y轴、x轴交于A，B两点，
∴A，B两点坐标为: ，
∴ ，∴
∴ ，
∴
代入 得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴交点，相似三角形形的判定和性质，反比例函数的解析式，作辅助线
构造相似三角形是解题的关键．
14. 如图，在矩形 中， ， ， 是对角线 上的一动点，作 ，垂足为 ，
作 ，垂足为 ，连接 ．
（1）当 是 的中点时，线段 的长度是_______；
（2）线段 长度的最小值是_______．【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短；
（1）连接 ，勾股定理求得 ，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得出
，进而根据 ， 得出四边形 是矩形，根据矩形的对角线相等，
即可求解；
（2）同（1）得出四边形 为矩形，当 时， 取最小值，即 最小，根据等面积法即
可求解．
【详解】（1）连接 ，
∵矩形 中， ， ，
∴ ， ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形
∴ ，
故答案为： ．（2）如图，连接 ．
， ，
．
在矩形 中， ，
四边形 为矩形，
，
的最小值即 的最小值．
当 时， 取最小值．
在 中， ．
，
，即线段 长度的最小值是 ．
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的解法．根据不等式的性质求解即可．【详解】解：
．
16. 某校八年级学生到郊外参加研学活动，已知用 3 辆小客车和 1 辆大客车每次可运送学生 160 人，用
2 辆小客车和 3 辆大客车每次可运送学生 235 人，则每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
【答案】小客车35人，大客车55人
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，根据“用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学
生160人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生235人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，
解之即可得出结论．
【详解】解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，
依题意，得
解得：
答：每辆小客车能坐35名学生，每辆大客车能坐55名学生．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，四边形 的顶点均在格点（网格线的交点）
上，线段 在网格线上．（1）画出四边形 关于线段PQ所在直线对称的四边形 （点 为点A的对应点）；
（2）将四边形 绕 的中点M逆时针旋转 得到四边形 ，画出四边形 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出四边形 关于线段PQ所在直线对称的四边形
（点 为点A的对应点）；
（2）根据旋转的性质即可将四边形 绕 的中点M逆时针旋转 得到四边形 ．
【小问1详解】
如图，四边形 '即为所求；
【小问2详解】
如图，四边形 即为所求．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换，解决
本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质．
18. 观察下列各式规律．
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
………
（1）根据上述规律，请写出第5个等式： ；
（2）请猜想出满足上述规律的第n个等式，并证明．
【答案】（1）
（2） ．证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了分式规律的探索，分式的运算等知识；解题的关键是熟练掌握分式的减法法则，从而
完成求解．
（1）总结前4个分式的规律，即可得到答案；（2）根据（1）的规律，总结得到 ，再利用分式的混合运算，即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
∴第五个等式为： ．
故答案为： ；
【
小问2详解】
解：由（1）猜想，第 个等式为 ．
证明：等式左边
，
左边=右边，
等式成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19. 如图，某数学兴趣小组为了测量塔 的高度，他们先在水平地面上的点E处用高 的测角仪DE
测得塔尖的仰角为 ．然后沿 方向前进 到达点G处，在点G处用同样的测角仪测得塔尖的仰角
为 （C，F，D三点共线，且 ， ）．求塔 的高度．（结果精确到 ，参考
数据： ， ， ， ）
【答案】 米
【解析】
【分析】设 ，在 中，根据正切三角函数关系得到 ，在 中，根据
正切三角函数关系列方程 ，然后解方程求出 ，最后利用 关系即可得解．
【详解】解：连接 并延长，交 于点C，由题意得：
， ， ， ，设 ，则 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
解得 ，经检验： 是原方程的根，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20. 已知A，B，C是半径为2的 上的三个点，四边形 是平行四边形，过点C作 的切线，
交 的延长线于点D．
（1）如图①，求 的大小；
（2）如图②，取 的中点F，连接 ，与 交于点E，求四边形 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）如图1，利用切线的性质得到 ，再根据平行四边形的性质得到 ，所以
，从而得到 的度数；
（2）利用垂径定理得到 ，则可判断四边形 为矩形，连接 ，如图②，证明 为
等边三角形得到 ，则可计算出 ，然后利用矩形的面积公式计算．
【小问1详解】
解：如图1， 为切线，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
；
【小问2详解】
解： 点为 的中点，
，
四边形 为矩形，
连接 ，如图②，
四边形 为平行四边形，
，
而 ，
，
为等边三角形，，
在 中， ， ，
四边形 的面积 ．
【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了平行四
边形的性质．
六、（本题满分12分）
21. 某学校举办的歌唱比赛分为初赛和决赛两个阶段．初赛由8名教师评委和45名学生评委给每位选手打
分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．教师评委打分：85 90 92 92 87 86 93 96
b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组 ，第2组 ，第3组
，第4组 ，第5组 ，第6组 ）：
评委 评委 评委 评委 评委
1 2 3 4 5
甲 91 88 90 91 90
乙 89 90 90 90 90
丙 88 92 88 92 k
（1）根据以上信息，回答下列问题：
①教师评委打分数据的众数为___________，学生评委打分数据的中位数在第___________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为___________；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入
决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如上表．若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排
序最靠前的是___________，表中k（k为整数）的值为___________．
【答案】（1）①92，4；②90
（2）甲，90
【解析】
【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差：
（1）①根据众数和中位数的确定方法进行求解即可；②利用平均数的公式进行计算即可；
（2）根据题意得出 ，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可．
【小问1详解】
解：① 从教师评委打分的情况看，92分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为92，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第23个，从频数分布直方图上看，可得学生评委给每位选手
打分的中位数在第4组 ，
故答案为：92，4；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：90，92，92，87，86，93，
平均数为： ，
故答案为：90；
【小问2详解】
解： ，
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，，
，
解得 ，
当 时， ，
此时， ，
，
乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意；
当 时， ，
此时， ，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲，
故答案为：甲，90．
七、（本题满分12分）
22. 如图，四边形 中，对角线 交于点P， ，垂足为A，过D作 于
E，并延长交 于点F，连接 ，若 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， 时，①求 的长；②求 的面积．【答案】（1）见解析 （2）① ；②
【解析】
【分析】（1）由 ， ，可得 ，进而结论得证；
（2）①由勾股定理得， ，由四边形 是平行四边形，可得 ，
即 ，证明 ，则 ，即 ，可求 ，证明
，则 ，即 ，计算求解即可；②由 ， ，可
知 ，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
【小问2详解】
①解：∵ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
②解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平
行线间的距离等知识．熟练掌握平行线的判定，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾
股定理，平行线间的距离是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，且 ， ．（1）求抛物线的表达式；
（2）若将平面内一点 向左平移 个单位，到达图象上的 点；若将点 向右平移
个单位，则到达图象上的 点，求 点坐标．
（3）动点 在直线 上方的二次函数图像上，连接 ， 相交于 点， 的面积为 ，
的面积为 ，求 的最大值及此时点 的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3） ，
【解析】
【分析】（1）把 ， 代入抛物线 ，再建立方程组求解即可；
（2）先表示平移后 ， ，再利用对称性可得答案；
（3）如图，过 作 轴交 于 ，过 作 轴交 于 ，可得 ，可
得 ，求解直线 为 ， ，可得 ，设 ，
则 ，再进一步求解即可．【小问1详解】
解：把 ， 代入抛物线 ，
得： ，解得： ，
∴该抛物线解析式为 ；
【小问2详解】
解：∵将平面内一点 向左平移 个单位，到达图象上的 点；
∴ ，
∵将点 向右平移 个单位，则到达图象上的 点，
∴ ，
∵ ， 关于抛物线的对称轴对称，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图，过 作 轴交 于 ，过 作 轴交 于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ 的面积为 ， 的面积为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴直线 为 ，
∵当 ，
解得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴
当 时， 的最大值为 ，
此时， ，∴ ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的对称性，平移的性质，相似三
角形的判定与性质，二次函数的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
