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2025 年初中毕业学业考试模拟试卷
数学试题卷2025.3
一、选择题（本大题共10小题．每小题4分，满分40分）
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. 2 B. 0 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数大小的比较方法求解是解题的关键．
有理数的大小比较，其方法如下：
（1）负数 正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小；逐一比较即可．
【详解】解： ，
是最小的；
故选：D．
2. 2025年春节档电影（哪吒2）爆火，截至3月1日全球票房累计142亿，其中142亿用科学记数法表示
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值大于 的数，理解表示方法 “一般形式为 ，其中
，n为整数，且n比原来的整数位数少1．”是解题的关键．根据科学记数法表示方法求解即可．
【详解】解：由题意得
142亿 ，
故选：B．
3. 一个几何体如图水平放置，其俯视图是（ ）A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是立体几何的三视图，理解各视图的特点是解题的关键．
俯视图是从上往下看，能看到的面与线用实线表示，看不到又确实存在的用虚线表示，由此即可求解．
【详解】解：根据几何体俯视图的特点得，能看到的是顶面，长方形中间有两条实线，两条虚线；A、长
方形中间有两条实线，两条虚线，符合题意故选A；
B、没有虚线，不符合题意，故B错误；
C、是左视图，不符合题意，故C错误；
D、是主视图，不符合题意，故D错误；
故选：A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方和化简二次根式，掌握合并同类项、
、 、 是解题的关键．
【详解】解：A. ，结论错误，不符合题意；
B. ，结论错误，不符合题意；C. ，结论正确，符合题意；
D. ，结论错误，不符合题意；
故选：C．
5. 如图所示，在 中进行折叠操作，使得点 恰好落在 边上的点 处．已知 ，
，那么 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等；由平行四边形的性质及平
行线的性质得 ，由折叠的性质得 ，由三角形的内角和定理即可求
解；掌握平行四边形的性质，折叠的性质是解题的关键．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，
，
由折叠得： ，
，
故选：B．
6. 根据乘联会数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势， 年1月新能源车国内月销量达到 万辆，预计 年第一季度新能源车国内总销量可以达到 万辆．若设 年1月至3月新
能源车销量的月平均增长率为 ，依题意，可列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
利用 月的销量 1月的销量 （1+平均增长率 ）， 月的销量 1月的销量 （1+平均增长率 ） ，即可
得出关于 的一元二次方程，即可得解．
【详解】解： 设 年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为 ，
根据题意，可列方程为： ；
故选：A．
7. 2025年新学期，合肥市义务教育阶段学校课间由原先的10分钟延长至15分钟．某校课间开展跳绳、踢
毽子、趣味游戏三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率；画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公
式 ，进行计算即可；用列表或画树状图求概率是解题的关键．
【详解】解： ：跳绳、 ：踢毽子、 ：趣味游戏
列表如下：
列表如下：共有 种等可能结果，他们选择同一项活动的有 种结果，
他们选择同一项活动的概率是 ；
故选：C．
8. 如图， 为 的直径， 、 是 上的两点， ，过点 作 的切线交 的延
长线于点 ，则 的度数为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质；连接 ，由圆周角定理得 ，由
切线的性质得 ，即可求解；掌握圆周角定理，切线的性质是解题的关键．
【详解】解：连接 ，
，，
是 的切线，
，
；
故选：B．
9. 已知实数 满足 ，则下列判断正确的是（ ）
A. 的取值范围为 B. 的最大整数值为1
C. 的最大值为1 D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组，二次函数的图像和性质，解题的关键是学会用转化的思想思考问
题．
由 ，得到 ，再由 可得的 ， ，可判断A、B；
把 代入 和 可转化为二次函数，根据二次函数的性质可判断C、D．
【详解】解：由 得 ，
，
，
解得 ，
，的最大整数值为 ，
故 错误， 错误；
，
由 ，函数 的对称轴为 ，在 上函数单调递增，
∴当 时， ，
故 错误；
，
∵ ，二次函数图象开口向上，当 时， 取得最小值 ，
故 正确；
故选：D．
10. 如图1，在 中，连接 ， ， ．动点 从点 出发，沿 边
匀速运动．运动到点 停止．过点 作 交 边于点 ，连接 ， ．设 ，
， 与 的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】延长 至 ，使 ，连接 ，连接 交 于 ， 当 、 、 三点共线
时， 最小，即 最小，当 运动到 时， 最小，由图 得当 时，
，此时 与 重合， 与 重合，结合平行四边形的判定方法及性质和勾股定理，即可求解．
【详解】解：延长 至 ，使 ，连接 ，连接 交 于 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，，
四边形 是矩形，
，
当 、 、 三点共线时， 最小，
即 最小，
当 运动到 时， 最小，
由图 得：当 时， ，
此时 与 重合， 与 重合，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
当 时，，
函数图象最低点坐标为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，线段和最小值的典型问题，平行四边形的判定及性质，矩形的判定
及性质，勾股定理，正切函数等；掌握平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定
理求解及找到取得最小值的条件是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： =___．
【答案】2
【解析】
【分析】根据立方根的定义进行计算．
【详解】解：∵23=8，
∴ ，
故答案为：2．
12. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，由根的判别式得 ，即可求解；掌握根的判别式：“当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程有无的
实数根．”是解题的关键．
【详解】解： 一元二次方程 有两个相等的实数根，
，
解得： ，故答案为： ．
13. 如图，在 中， ，点 、 分别是边 、 上的点，连接 并延长交
延长线于点 ．若 ，则 ___________
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解决问题的关键是构
造相似三角形．
延长 并截取 ，连接 ，即可得出线段 、 、 、 的长，根据勾股定理得出
的长，进而证明 ，根据相似三角形的性质，对应线段成比例，即可得解．
【详解】解：延长 并截取 ，连接 ，如图所示，
，
，
，
，， ， ，
，
， ，
， ，
，
又 ，
，
，
即 ，
；
故答案为： ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点 是反比例函数 图象第一象限分支上任意一点，连接 ，过
点 作 轴，垂足为点 ，过点 作 的平行线，该平行线与 轴交于点 ，并交 图象第三
象限的分支于点 ．（1） ___________；
（2） 的值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）由反比例系数 的几何意义，即可求解；
（2））过 作 轴交于 ，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得
，设 ， ，可求 ， ，即可求解．
【详解】解：（1） ，
故答案为： ；
（2）过 作 轴交于 ，
，
，，
轴，
轴，
四边形 是平行四边形，
，
设 ， ，
，
，
，
，
，
解得： ，
，
整理得： ，
解得： ， （舍去），；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例系数 的几何意义，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等；
能熟练利用反比例系数 的几何意义及相似三角形的判定及性质结合设辅助未知数进行求解是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值，先进行同分母分式加减，在将结果化为最简分式或整式，代值计算，
即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键．
【详解】解：原式
；
当 时，
原式
．
16. 如图①，“燕几”（宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套“燕几”一
共有七张桌子，每张桌子高度相同，其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，每张桌
面的宽都相等．七张桌面可组合成不同的图形．如图②给出了名称为“回文”的桌面拼合方式．若已知
“回文”的桌面总面积是45平方尺，问长桌的长为多少尺？【答案】长桌的长为6尺
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键．
设每张桌面的宽为 尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，根据题意列出方程，解方程即可求
解．
【详解】解：设每张桌面的宽为 尺，
根据图形可得：小桌的长为 尺，中桌的长为 尺，长桌的长为 尺，
故可得 ，
解得： ， （舍去），
∴ ，
的
∴长桌 长为6尺．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到 ，画出 ；（2）以点 为位似中心，将 放大至原来的3倍，得到 ，请在网格内画出 ；
（3）直接写出 的面积与四边形 的面积之比为：___________．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】本题考查了网格平移作图，位似图形作图，位似图形的性质，相似三角形的性质；
（1）按平移的要求作图，即可求解；
（2）按位似图形的作法作图，即可求解；
（3）由位似图形的性质得 ， ，由相似三角形的性质即可求解；
能熟练在网格中平移作图及作位似图形，并能由位似图形的性质进行求解是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，
为所求作；
【小问2详解】
解：如图，
为所求作；
【小问3详解】解：由（2）得：
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
18. 数学兴趣小组开展了一项探究活动，主题是“两个相邻奇数/偶数的平方差”．相关内容如下表所示：
类型 两个相邻奇数的平方差 两个相邻偶数的平方差
表示结果
____ ___ ____
．．．．．． ．．．．．．
一般结论 ____ ___ ____
（1）完成上述表格内容；
（2）兴趣小组发现： 这些形如 （ 是正整数）的数都可以用两个相邻奇数/偶数的平方
差来表示，分析过程如下：①设两个相邻奇数分别为： （ 为正整数），
则： ；
②设两个相邻偶数分别为： （ 为正整数），
则：___________
而 能取到所有的正整数，由此可证明结论正确．
【答案】（1） ；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查平方差公式；
（1）根据表格得出规律即可；
（2）根据平方差公式得出结论即可．
【小问1详解】
解：根据表格得出：
；
；
【小问2详解】
解：①设两个相邻奇数分别为： （ 为正整数），
则
而 能取到所有的正整数，由此可证明结论正确；
②设两个相邻偶数分别为： （ 为正整数），则
而 能取到所有的正整数，由此可证明结论正确．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图1所示，在水平桌面上放置着一盏台灯．如图2，水平桌面记为 ，台灯的底座 高度为 ，
支撑架 长度为 ，连接杆 长度为 ，且点 、 、 在一条直线上，灯盘 与连接杆
垂直，其长度为 ．如图2，当连接杆 绕点 逆时针旋转 后得到 ，且灯盘 始终
与连接杆 垂直，求此时点 离桌面 的高度．（结果保留整数．参考数据： ，
， ）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过 作 于 ，过 作 交于 ，过 作交于 ，过 作 交于 ，由三角函数得 ， ，
由线段和差得 ，即可求解；掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
【详解】解：过 作 于 ，过 作 交于 ，过 作 交于 ，过 作
交于 ，
，
，
四边形 和四边形 都是矩形，
，
，
，
，
，
在 中，
，
在 中，
，
（ ），
答：此时点 离桌面 的高度 ．20. 如图，在 中，以 为直径的 分别交 ， 于点 、 ， 与 交于点
．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】 根据直径所对的圆周角为直角，可得： ，根据四边形内角和为 ，
可得： ，又因为 ，可得 ，根据
等量代换可得： ，根据等角对等边可证结论成立；
利用勾股定理可求 ，由 可知 ，又因为 ，所以可求 ，利用勾
股定理可求 ，根据等腰三角形的三线合一定理可得 ．
【
小问1详解】
证明： 为 的直径，
，
，在四边形 中， ，
又 ，
，
，
，
；
【小问2详解】
， ， ，
，
由 可知 ，
，
在 中， ，
， ，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的三线合一定理、四边形的内角和定理，解
题的关键是掌握以上知识点．
六、（本题满分12分）
21. 【调查背景】人工智能作为当下科技领域的热门议题，展现出广泛的应用场景与巨大的发展潜力．某
学校为全面了解该校学生对人工智能的关注和认知程度，对全校学生开展了问卷测试．
【数据收集与整理】测试得分采用得分制．得分越高，表明学生对人工智能 的关注与了解程度就越高．
现从该校学生中随机抽取80名学生的测试得分进行整理和分析（得分用 表示，且 为整数），共分为4
组： 组 ， 组 ， 组 ， 组 ，并绘制了如下不完整的统计图表．
被抽取学生的测试得分频数分布表
组 频 百 分
别 数 比
A
30
24
D 10
被抽取学生的测试得分扇形统计图
【数据分析与应用】
任务一： ___________， ___________，扇形统计图中 组对应的圆心角度数为___________ ．
任务二：计算所抽取学生的测试得分的平均数（取组中值）；
任务三：若得分不少于4分记为“合格”，已知该校共有5000名学生，请估计该校对人工智能的了解程度
“合格”的人数．
【答案】任务一： ， ， ；任务二： 分；任务三：估计该校对人工智能的了解程度“合
格”的人数为 人
【解析】
【分析】本题考查了频数分布表，加权平均数，样本估计总体等；
任务一： ， ， 组对应的圆心角度数为所占百分比 ，即可求
解；
任务二：先求出组中值，由加权平均数的定义即可求解；
任务三： 得分不少于4分记为“合格”所占百分比，即可求解；
能从频数分布表及扇形统计图中获取正确信息，并能熟练求解加权平均数及样本估计总体是解题的关键．【详解】解：任务一：
，
，
组对应的圆心角度数为： ，
故答案为： ， ， ；
任务二： 组 的组中值为 ， 组 的组中值为 ， 组
的组中值为 ， 组 的组中值为 ，
（分），
答：所抽取学生的测试得分的平均数为 分；
任务三： （人），
答：估计该校对人工智能的了解程度“合格”的人数为 人．
七、（本题满分12分）
22. 已知：如图，在矩形 中， ，对角线 交于点 ，点 为对角线
上一动点（不与端点重合），连接 ，过点 作 ． 交线段 于点 ．
（1）当点 与点 重合时，则 ___________
（2）求证： ；（3）求 的值．
【答案】（1） ；
（2）见解析； （3） 的值为 ．
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，涉及全等三角形的性质与判定，勾股定理得知识点，
解题关键是找准相似三角形的对应角及对应边．
（1）证明 即可得解；
（2）先求出 ，再求出 ，即可得解；
（3）由（2）可知， ，进而得出 ，证明 ，根据相似三
角形的对应边成比例即可得解．
【小问1详解】
解：当点 与点 重合时，如图所示，
，
在矩形 中， ，
， ，
，
又 点 与点 重合，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：由（1）可知， ，
在矩形 中， ，
， ，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解： 在矩形 中， ，，
，
由（2）可知， ，
，
又 ，
，
．
的值为 ．
八、（本题满分14分）
23. 如图，已知抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）若点 为线段 上任意一点（不与端点重合），过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，过点
作 轴的垂线交抛物线与点 ，以 为邻边构造矩形 ．
设点 的横坐标为 ，矩形 的周长为 ，求 关于 的函数表达式；
当直线 与 中函数 的图象交点有 个时（从左到右依次为 ），直线 与 中
函数 的图象交点有 个时（从左到右依次为 ），且满足 ，直接写出 的值．【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为 ；
（2） 关于 的函数表达式为 ； 或 ．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，熟练掌握知识点的应用是
解题的关键．
（ ）利用待定系数法即可求解；
（ ） 先求出直线 解析式 ，则 ，所以 ，故有
，然后分当点 在点 左侧时，即 和当点 在点 右侧时，即
两种情况分析即可；
结合题意，结合图形分情况讨论即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与 轴交于点点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线对应的函数表达式为 ；
【小问2详解】
解： 由抛物线对应的函数表达式为 得，抛物线对称轴为直线 ，当 时， ，
∴点 ，
设直线 解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 解析式为 ，
∵点 的横坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图 ，当点 在点 左侧时，即 ，
∵ 关于直线 对称， ，且 轴，
∴ 点横坐标为 ，
∴ ，
∴矩形 的周长为 ；如图 ，当点 在点 右侧时，即 ，
∵ 关于直线 对称， ，且 轴，
∴ 点横坐标为 ，
∴ ，
∴矩形 的周长为 ；
综上可得： 关于 的函数表达式为 ；
的
函数 图象如图 ，
由于两段图象 相同，可以通过平移得到：
，顶点坐标 ，
，顶点坐标 ，当 时， 到直线 的距离等于 到直线 的距离，
∴ ；
如图 ，
直 线 过 顶 点 （ 与 重 合 ） ， 此 时 ， ，
，
∴ 的横坐标 ， 的纵坐标 ，
∴ ，
综上可知： 或 ．
