文档内容
2025 年九年级质量调研检测
数学试卷
温馨提示：
1．数学试卷6页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间．
2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题．
3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷．
4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ）
A. a B. b C. c D. d
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断．
【详解】解：由数轴知， ，
则最小的实数为a，
故选：A．
2. 下列各式中，计算结果等于 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，解题的关键是熟悉各个
法则．
利用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法运算法则，对各个选项分别进行求解，将结果与 比较后作出判断．
【详解】A、 ，故不符合；
B、 ，故不符合；
C、 ，故不符合；
D、 ，故符合．
故选：D．
3. 全称“杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司”，截至2025年3月， 的
月访问量和 下载总量已经达到 亿次．其中 亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整
数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：10.19亿 ，
故选：C．
4. “月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料，采用一种真空烧结的方式，对模拟月壤进行烧结成
型，由我国科学家自主研制．它采用的是榫卯结构的连接方式．如图所示是其中一种“月壤砖”，该“月
壤砖”卯结构的左视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．根据从左面看得到的图形是左
视图，可得答案．
【详解】解：某种型号的“月壤砖”的示意图，则其左视图是：
故选：B．
5. 如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知 ，光从M点平行于
进入棱镜，在 边上点G处反射，到达 边点F处，经过再一次反射，然后沿垂直 边方向，
从点N处离开棱镜，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据光的反射的特点可得 ， ，
再根据 即可求解．
【详解】解：如图，由题意知 ， ， ，
， ，
，
，
．
故选C．
6. 由化学知识可知，用 值表示溶液酸碱性的强弱程度，当 时溶液呈碱性，当 时溶液呈
酸性，若将给定的稀 溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映稀 溶液的 与所加
水的体积V之间对应关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要了函数的图象，掌握学科间的结合是解题的关键．
根据盐酸的酸性指数以及函数图象解答．
【详解】解：盐酸是酸性，并且随着浓度变大，酸性越弱，函数值越接近于7．
故选A．7. 寿县古城位于安徽省淮南市，淮河南岸，依八公山．寿县古城始建于宋朝（1068－1224年），是棋盘
式布局的一座宋城．寿县古城有东门“宾阳门”，南门“通淝门”，西门“定湖门”，北门“靖淮门”四
个城门供游客出入，某个周末小浩、小凡在寿县古城内游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个城门离
开，则他们恰好从同一个城门出城的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：东门“宾阳门”，南门“通淝门”，西门“定湖门”，北门“靖淮门”四个城门分别用1，
2，3，4表示，由题意可画树状图为：
由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，他们恰好从同一个城门出城的结果数有4种，
∴他们恰好从同一个城门出城的概率是 ，
故选：B．
8. 如图， 为 的直径，弦 交 于点E，点C为 中点，若 的度数为 ，点O到
的距离为2，则 的长为（ ）
A. B. C. 3 D. 2【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质．连接 ， ，作 于点 ，
先求得 ，利用垂径定理求得 ，证明 ，利用角平分
线的性质即可求解．
【详解】解：连接 ， ，作 于点 ，则 ，
∵点C为 中点， 的度数为 ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：D．
9. 已知实数 ， ， ， ， 其中 ，满足 ， ．则以下说法： ；， 是关于 的一元二次方程 的两个根； ； 若 ， ，
均为奇数，则 ， 可能都为整数．其中正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关
键．
由 ， ，得出 ，可判断 ；若 ， 是关于 的一元二次方
程 的两个根，则 ， ，可判断 ；由 ， ，则
，可判断 ；当 ， ， 均为奇数时，则 为奇数，即
中一奇一偶； 为奇数，即 中全为奇数，可判断 ．
【详解】解： ∵ ， ，
∴ ， ，
∴
，故 正确；
若 ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，则 ， ，
∴与题中 不符，故 错误；
∵ ， ，
∴
，
∴ ，故 正确；
设 ， 为整数，
当 ， ， 均为奇数时，
∴ 为奇数，即 中一奇一偶； 为奇数，即 中全为奇数，
∴ ， 相矛盾，故 错误；
综上可知： 正确，共 个，
故选： ．
10. 如图，正方形 的边长为8，点E，P在边 上运动，点F在边 上运动， ，连接
交于点G，过点C作 于点H，连接 ，下列结论中错误的是（ ）A. B. 的面积有最大值为16
C. 有最大值为 D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】先证明 得到 ，根据 即可判断A；取 中点
G，连接 ，证明 ，得到 ，设点G到 的距离为h，根据
，得到 ，据此可判断B；证明 ，得到 ，
则 ；设 ，由勾股定理得 ，再由三角形面积计算
公式得到 ，即 ，则可求出 ，据此可判断C；作点C关于 的对称点N，连
接 ，则当 四点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，最小
值为 ；过点O作 于M，则四边形 是矩形，可得
，利用勾股定理求出 的长即可判断D．【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故A结论正确，不符合题意；
如图所示，取 中点O，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设点G到 的距离为h，
由垂线段最短可知 ，
∴ ，
∴ 的面积有最大值为16，故B结论正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
设 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ， 的最大值为 ，故C结论正确，不符合题意；
如图所示，作点C关于 的对称点N，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 四点共线时， 有最小值，即此时 有最小值，最小值为 ；
如图所示，过点O作 于M，则四边形 是矩形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，故D结论错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角
三角形的性质等等，通过证明三角形全等转换线段之间的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查求算术平方根，绝对值，先根据算术平方根，绝对值进行化简，再计算加法即可．
【详解】解： ．
故答案为：5
12. 如图，在 中，分别以点B，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D
恰好在 边上，直线 与 交于点O，连接 ．若 ，则线段 的
长为______．【答案】8
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线的作法，勾股定理，由作法可知 垂直平分 ，推出 ，
，再利用勾股定理解 求出 即可．
【详解】解：由作法可知 垂直平分 ，
， ，
在 中， ，
，
故答案为：8．
13. 如图，一次函数 的图象与 轴和 轴分别交于点 和点 ．与反比例函数
的图象在第一象限内交于点 ，过点 作 轴， 轴．垂足分别为点 ， ．当
矩形 的面积是 的面积的2倍时， 的值为______．
【答案】【解析】
【分析】分别求出矩形 与 的面积，再根据“矩形 的面积是 的面积的2倍”
列出方程求解即可．
【详解】解：∵一次函数 的图象与 轴和 轴分别交于点 和点 ，
∴取 ，则 ；取 ，则 ，解得： ．
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∵ ，
∴ ， ，
，
∵点 是反比例函数 的图象在第一象限内一点，
∴矩形 的面积为 ，
当矩形 的面积是 的面积的2倍时， ，
解得： （舍去）或 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数 的几何意义，矩形的性质，求三角形的面积，一元二次方程的解法
等知识点，解题的关键是利用矩形与三角形的面积关系列出方程求解．
14. 在平面直角坐标系 中，将抛物线 向右平移2个单位得到抛物线 ，点
在抛物线 上，点 在抛物线 上．
（1）当 时，抛物线 的对称轴为直线 ______；（2）当 ， 时，总有 ，则 的取值范围是______．
【答案】 ①. 3； ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴，平移的性质，二次函数和不等式的综合等，解题的关键是熟
练掌握二次函数的性质和求不等式组的解集．
（1）利用对称轴的公式求出抛物线 的对称轴，再利用平移的性质可求得抛物线 的对称轴；
（2）根据题意求出 ， ，把两个点的坐标代入解析式再求出
，整理表示出 ，再根据 即可求解．
【详解】解：（1）抛物线 的对称轴为直线 ，
当 时，直线 ，
所以，抛物线 的对称轴为直线 ，
故答案为：3；
（2）已知 ，则抛物线 ，
∴ 的表达式为 ，
∵点 在抛物线 上，把 代入 ，可得
，
点 在抛物线 上，把 代入 ，可得 ，
∵ ，
∴ ，整理得 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解不等式 可得 ；
解不等式 可得 ；
又∵ 时，总有 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查异分母分式的加减，根据异分母分式的加减法法则计算即可．
【详解】解：16. 某市2023年的耕地面积和林地面积共有1000万亩，2024年该市响应国家“退耕还林”号召，将一部
分耕地恢复为林地后，耕地面积减少了 ，林地面积增加了 ．求2023年耕地面积和林地面积分别
是多少万亩？
【答案】2023年耕地面积和林地面积分别是750万亩，250万亩
【解析】
【分析】本题考查了元一次方程组的实际应用．设2023年耕地面积为x万亩，林地面积为y万亩，根据题
意列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设2023年耕地面积为x万亩，林地面积为y万亩，
由题意知： ，
解得： ，
答：2023年耕地面积和林地面积分别是750万亩，250万亩．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ，格点（网格线的
交点） ， ， 的坐标分别为 ， ， ．（1）画出 关于 轴对称的 ；（ ， ， 的对应点分别为 ， ， ）
（2）以原点 为旋转中心，将 按逆时针方向旋转 ，得到 ，请画出 ；（ ，
， 的对应点分别为 ， ， ）
（3）直接写出 的外心坐标．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了在平面直角坐标系内画轴对称图形，在平面直角坐标系内画旋转后的图形，勾股定理，
作已知线段的垂直平分线等知识点，解题的关键是根据轴对称图形、旋转对称的意义找出对应点．
（1）分别作出 关于 轴对称的对应点 ， ， ，再顺次连结得到 ；
（2）以原点 为旋转中心，将 按逆时针方向旋转 ，得到三个顶点对应点 ， ， ，再
顺次连结得到 ；
（3）根据三角形的外心的意义，找出 与 的垂直平分线交点，再写出其坐标即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求作的三角形；
【小问2详解】
如图， 即为所求作的三角形；【小问3详解】
如图，分别作 ， 的垂直平分线 ， ，直线 与 交点为 的外心，
∴ 的外心的坐标为 ．
18. 如图，将一张等边三角形纸片剪成4个大小、形状一样的小等边三角形，记为第1次操作，然后将其
中左下角的等边三角形又按同样的方法剪成四个小等边三角形，共得到7个等边三角形，记为第2次操作，
若每次都把左下角的等边三角形按此方法剪成四个小等边三角形，如此循环进行下去…．
（1）第4次操作后共得到等边三角形的个数为______，第n次操作后共得到等边三角形的个数为______；
（2）若原等边三角形的边长为1，设 表示第n次操作后所得的最小等边三角形的边长，例如： ，
，求：（ⅰ） ______；
（ⅱ） ______．
【答案】（1） ，
（2） ；
【解析】
【分析】本题主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边
长的变化规律是解题的关键．
（1）观察发现：每剪一次，等边三角形的个数增加3，据此写出代数式即可；
（2）（ⅰ）依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答；
（ⅱ）运用（ⅰ）中的结论进行解答即可．
【小问1详解】
解：由题意可知：
剪1次共得到的等边三角形个数为： ；
剪2次共得到的等边三角形个数为： ；
剪3次共得到的等边三角形个数为： ；
剪3次共得到的等边三角形个数为： ；
…，
所以剪n次共得到的等边三角形个数为 个．
故答案为： ， ．
【小问2详解】
解：（ⅰ）因为原等边三角形的边长为1，
所以第1次所剪出的小等边三角形的边长为： ；
第2次所剪出的小等边三角形的边长为： ；第3次所剪出的小等边三角形的边长为： ；
…，
所以第n次所剪出的小等边三角形的边长为： ，即 ，
故答案为： ；
（ⅱ）由（ⅰ）题可知：
；
令 ①，
则 ②，
得： ，
即 ．
∴
故答案为： ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，一船以20海里/时的速度向西航行，在A处测得灯塔B在北偏西 的方向上，继续航行1小时到达C处，再测得灯塔B在北偏西 的方向上．已知灯塔B四周15海里内有暗礁，问该船继续向西航行
是否安全？
【答案】该船继续向西航行是安全的
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点B作 于点B，在 和 中，利
用正切函数分别求得 ， ，根据 ，列式计算即可求解．
【详解】解：过点B作 于点B，设 海里．
在 中， ，
在 中， ，
由 得 ，
解方程，得 ．
答：该船继续向西航行是安全的．20. 如图， 是 的直径， 与 相切于点B，D，过点C作 分别交 ，
于E，F两点，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 的半径为 ， ，求 的长．
【答案】（1）详见解析
（2）2
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质、圆的切线的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，
熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）如图：连接 ，根据切线的性质 ，再根据角平分线的判定定理可得 平
分 ，进而得到 ，然后角的和差以及三角形外角的性质可得 ，
则 ，最后结合 即可证明结论；
（2）由平行线的性质可得 ，再结合 ，进而得到
，再根据切线的性质可得 ；设 ，则 ，然后
根据勾股定理得到方程求解即可解答．
【小问1详解】
证明：如图：连接 ，∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
设 ，则 ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，即 ．
六、（本题满分12分）
21. 为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中随机抽取20名
学生竞赛成绩（百分制）．数学兴趣小组对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整）：
主题
校园安全知识竞赛成绩分析报告
项目
八年级学生成绩 九年级学生成绩
80，80，100，90，80， 90，90，100，80，80，
数据收集 70，70，80，70，90， 60，70，80，60，100，
70，80，100，90，60， 60，70，90，80，90，
80，90，80，90，90 90，90，70，100，90
数据整理与分析
八、九年级学生成绩分析表
统计量 平均数 中位数 众数 方差年级
八年级 82 80 80 106
九年级 82 n 90 166
①补全条形统计图；
②求“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角度数；
任务1
③直接写出成绩分析表中，九年级学生成绩 的中位数n＝
______．
任务2 该校九年级学生共1200人，请估计成绩不低于80分的人数；
任务3 根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由．
根据所给信息，请完成以上所有任务．
【答案】任务1：①图见解析；② ；③85；任务2：840人；任务3：我认为九年级成绩更好，理由见
解析
【解析】
【分析】本题考查读统计表和统计图，利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，以及概率
的计算．利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
任务一：①由数据收集得到八年级80分的有7人即可补全条形统计图；
②“80分”所在扇形的圆心角的度数为 乘以占比即可；
③根据中位数定义进行求解即可；
任务二：用样本估计总体即可；
任务三：比较中位线，众数，平均数进行分析即可．
【详解】解：任务一：①由数据收集得到八年级80分的有7人，故补全条形统计图，如图所示：②“80分”所在扇形的圆心角的度数为：
；
③将九年级学生成绩从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为80，90，则中位数为
；
任务二：九年级学生成绩不低于80分的人数为：
（人）；
任务三：我认为九年级成绩更好．
理由：由分析表可知两个年级的平均数相同，九年级的中位数高于八年级，所以九年级的成绩更好．
七、（本题满分12分）
22. 如图1， 中， ， 于点 ，点 ， 分别为边 ， 中点，连接 ，
交于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
是
（2）如图2， 边上一点，连接 ，且 ．
求证： ；
若 ， ，求 的长．
【答案】（1）详见解析
（2） 详见解析；
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜得出 ，根据等边对等角得出
，根据 ，得出 ，进而根据三角形内角和定理得出
；
（2）①先证明 ，进而证明 ，根据全等三角形的性质，即可求解．
②连接 ，证明 ，根据相似三角形的性质得出 ，进而证明 ，根据相
似三角形的性质得出 ，即可求解．
【小问1详解】
证明：在 中， ，
，
是 的中点，
，
，
，
，
，
， ，；
【小问2详解】
① ， 是 边的中点，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，即 ，
，
，
．
②连接 ，
， 分别为 ， 中点， ， ，， ，
又 ， ，
，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
，
．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系 中，直线 与抛物线 交于点 、 ，且，点 是该抛物线上位于 ， 两点之间的动点．
的
（1）当 ， 时，求抛物线 解析式；
（2）在（ ）的条件下，当 面积最大时，求点 的坐标；
（3）设抛物线顶点的横坐标为 ，当 ， 且 时，求证： ．
【答案】（1）
（2）
（3）详见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与图形的面积，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用
是解题的关键．
（ ）利用待定系数法求出解析式即可；
（ ）过点 作 轴交直线 于点 ，设点 ，则 ，则
，再通过二次函数的性质即可求解；
（ ）将 ， 代入 得 ， ，
故有 ，则 ，又 ，所以
，从而求证．
【小问1详解】
解：当 时， ， 时， ，∴将 ， 代入 得
，解得 ，
∴ ；
【小问2详解】
解：过点 作 轴交直线 于点 ，
设点 ，则 ，
∴ ，
∵
，
∴当 时， 有最大值，
∴ ；【小问3详解】
解：当 ， ，且 ，
将 ， 代入 得：
， ，
得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
