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合肥 45 中九年级数学阶段练习（三）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．请在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题
是无效的．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2025 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可．
【详解】解： 的绝对值是 ，
故选：A．
2. 根据统计部门公布的数据，2025年1-2月份，安徽全省共实现地方财政收入 883.5亿元，较上年同期增
加了24.5亿元，同比增长率为2.9%，整体表现较为稳健．其中883.5亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法.直接根据科学记数法的表示方法作答即可.
【详解】883.5亿
故选：B.
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是
站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解
题关键，根据三视图的定义即可解题．
【详解】解：根据三视图可知，B选项中几何体符合题意，
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法以及二次根式的性质，运用相关知识进行
解答即可．
【详解】解：A. 与 不是同类项，不能计算，故此选项不符合题意；
B. ，原式计算正确，符合题意；
C. ，原式计算错误，不符合题意；
D. ，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
5. 已知一次函数 与函数 的图象有两个交点，则关于 的一元二次方程根的情况是（ ）
A. 无实数根 B. 有2个相等的实数根
C. 有2个不相等的实数根 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题；联立两个函数解析式，根据有两个交点可知联立
得到的方程有2个不相等的实数根．
【详解】解：∵一次函数 与函数 的图象有两个交点，
∴方程 有两个不相等的实数根，
方程 整理得 ，
∵一次函数 中 ，
∴关于 的一元二次方程 根的情况是有2个不相等的实数根，
故选：C．
6. 如图， 为 的直径， ，劣弧 的长 ，则弦 的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式，勾股定理；
先利用弧长公式求出 ，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接 ，设 的度数为 ，
∵ ，
∴半径 ，
则 ，
∴ ，
∴弦 ，
故选：C．
7. 如图，在 Rt 中， ，点 在 边上，若 ， ，则
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，由 得 ，由勾股定理得 ，根据
即可作答．
【详解】∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
8. 如图，小云同学在“探索一次函数 中 与图象的关系”活动中，已知点 ，点
在第一象限内，若一次函数 图象经过 ，则下列判断不正确的是（ ）
.
A 当 时， B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数上点的特征，平面直角坐标系及不等式的性质，根据题意可得 ，
且 ，再根据各选项条件利用不等式的性质逐一判断即可 ．
【详解】解：根据题意得 ，且 ，解得： ，
A、当 时， ，故A正确，不符合题意；
B、当 时，则 ，则 ，故B正确，不符合题意；
C、当 时，则 ，且 ，
∴ ，故C正确，不符合题意；
D、当 时，则 ，
当 时，则 ，当 时，则 ，故D错误，符合题意，
故选：D．
9. 如图，正六边形 内部有一个正五边形 ，其中 延长线交 于点 ，
则 的度数为（ ）
A. 72° B. 96° C. 108° D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求正多边形每个内角度数，平行线的性质，三角形内角和.
先求出正六边形 每个内角度数为 ，正五边形 每个内角度数为 ，过 F 作 交 于 M ， 则 ， 可 得 ， 证 明
，得到 ，最后根据三角形内角和计算即可.
【详解】∵正六边形 内部有一个正五边形 ，
∴正六边形 每个内角度数为 ，正五边形 每个内角度数为
.
如图，过F作 交 于M，
∴
∴
∵ ， ， 与 开口方向相同，
∴
∴
∴ .
故选：B.
10. 如图，二次函数 的图象与 轴交于点A、点 ，点 ，点 在 轴下方的抛物线上
点 的横坐标为 ，则下列说法： ； ； ，正确的是（ ）A. ②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象的性质等知识点，掌握数形结合思想
是解题的关键．
由抛物线可知抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴的左侧可得 ， ，进而判定①；由抛物
线过 可得 ，进而判定②；由③可得 ，再根据函数图象可得 ，即
，再将 代入整理即可判定③；由题意易得 ， ，然后整理变形
即可判定④．
【详解】解：∵二次函数 的抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴的左侧，
∴ ， ，
∴ ，即①错误；
∵二次函数 的图象与x轴交于点A，点B，点 ，
∴ ，则 ，即②正确；
∵ ，
∴ ，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴ ，
∴ ，
∴ ，则 ，即③正确；
∵点C在x轴下方的抛物线上，点C的横坐标为m，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即④正确．
综上，正确的有②③④．
故选：D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 比较大小：-2_______ ．
【答案】＞
【解析】
【分析】根据两个负数比大小，绝对值大的数反而小进行实数的大小比较．
【详解】解：∵2＜
∴-2＞
故答案为：＞
【点睛】本题考查实数的大小比较，掌握正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数比大小，
绝对值大的反而小是解题关键．
12. 在学习《酸碱指示剂及其性质》时，我们知道碱性物质可以使得无色酚酞溶液变成红色，酸性物质和中性物质不能使无色酚酞溶液变色，化学老师准备了以下五种溶液： 溶液（碱性物质）、
溶液（碱性物质）、稀硫酸、稀盐酸、 溶液，现让同学们随机选取一种溶液滴入无色酚
酞溶液中，使得酚酞溶液变红的概率是______．
【答案】 ##0.4
【解析】
【分析】本题考查了简单的概率公式， 种溶液中，能使得酚酞溶液变红的有 溶液（碱性物质）、
溶液（碱性物质） 种，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解： 种溶液中，能使得酚酞溶液变红的有 溶液（碱性物质）、 溶液（碱性物
质） 种，
∴随机选取一种溶液滴入无色酚酞溶液中，使得酚酞溶液变红的概率是 ，
故答案为： ．
13. 如图，反比例函数 的图像经过 的顶点 轴，点 在 轴上，若点 的坐标为
，则实数 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质解题的关键．
设点 ，根据题意可得 的值，即可求点 坐标，代入解析式可求解．
【详解】解：∵ 轴，点 的坐标为 ，
设点 ，
∵ ，
解得： ，
∴ ，
．
故答案为： ．
14. 在 中， ， ， ，动点 从点 出发，沿 运动到点 停止，
， ，点 与点 位于 的同一侧，连接 ．
（1）当 时， _______．
（2）连接 ，则在点 运动的整个过程中，线段 长的最小值为______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、等边三角形的判
定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）如图：过 A 作 ，然后根据等腰三角形的性质可得 、
，再求得 ；再证明 是等边三角形，最后运用等边三角形的性质即可解答；（2）如图：过A作 ，延长 到F，使得 ，连接 、 并延长交 于G，根据
等腰三角形的性质和已知条件可得 、 ，再证明
可得 ，解直角三角形可得 ，即 ；证明
可得 ，再说明点Q在直线 上，最后根据垂线段最短以及解直角三角
形即可解答．
【详解】解：（1）如图：过A作 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∵ ， ，
∴点Q在 上， ．
故答案为：2．
（2）如图：过A作 ，延长 到F，使得 ，连接 、 并延长交 于G，∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵F为定点， 为定角，
∴点Q在直线 上，
∵ ，
∴ ，
∴当点Q在点G处时， 取最小值，
在 中， ，即 ，解得： ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值： ．其中 ．
【答案】 ； ．
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值，实数的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根
据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解： 原式当 时，原式
16. 某进出口公司进口汽车和出口机械设备．已知某月该公司进口的汽车数量比出口的机械设备多 8辆．
每辆汽车需缴纳进口关税 元，每台机械设备可享受出口退税 元．若该公司实际支付的关税总额比
获得的退税总额多 元，求进口汽车和出口机械设备各多少辆？
【答案】出口的机械设备 辆，进口汽车 辆．
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题设出口的机械设备 辆，则进口汽车 辆，然后列出方程，即可求解；
【详解】解：设出口的机械设备 辆，则进口汽车 辆，
由题意知： ，
解得： ，
，
答：出口的机械设备 辆，进口汽车 辆；
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知 ．
（1）将 绕点 逆时针旋转 得到 ，请画出 ；（2）以坐标原点 为位似中心，在 轴下方，画出 的位似图形 ，使它与 的位似比
为 ．
（3）在 轴上找一点 ，使得 ，并直接写出点 的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换、旋转变换、等腰三角形的性质等知识点，掌握位似变换和旋转变换的
定义是解题的关键．
（1）先利用旋转的性质确定 的对应点 的位置，然后再顺次连接即可；
（2）先利用旋转的性质确定 的对应点 的位置，然后再顺次连接即可；
（3）先根据等腰三角形的性质求得点M的位置，然后再写出坐标即可．
【小问1详解】
解：如图： 即为所求．
【小问2详解】
解：如图： 即为所求．【小问3详解】
解：如图： 轴上的点 ，使得 ，此时M的坐标为 ．
18. 观察下列等式：
①
②
③
④
（1）请按以上规律写出第⑥个等式：___________；
（2）猜想并写出符合上述规律的第 个等式：___________；并证明猜想的正确性．
【答案】（1） ；（2） ，证明见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查根据规律运算、完全平方公式应用、整式 的混合运算法则等知识点，根据题干
得到式子之间存在的规律是解题的关键．
（1）根据题干规律直接写出答案即可；
（2）找出分子两个数之间关系直接写出答案，利用完全平方公式以及整式的相关运算法则即可证明．
【小问1详解】
解：由题意可得，第⑥个等式为： ．
故答案为： ．
【小问2详解】
解：第 个： ，证明如下：
∵左边 ，右边 ，
∴左边 右边，
∴ ．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 综合实践
在一次综合实践活动中，九年级某实践小组对如何设计平开窗 的窗户限位器位置进行了探究，经历了
以下过程：
【问题背景】平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物
展示图．【数学抽象】把上述实物图抽象成如图示意图．已知滑撑支架的滑动轨道 固定在窗框底边， 固定
在窗页底边，点 ， ， 三点固定在同一直线上．推拉窗户时，点 随之移动．当窗户关闭时点 与
点 重合， 和 均落在 上，此时有 ．在点 向点 滑动过程中，四边形
始终为平行四边形，其中 ．
【安全规范】窗户打开一定角度后， 与 形成一个角 ．出于安全考虑，部分公共场合的平
开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在 以内（即 ）．
【任务1】滑撑支架中 的长度为___________ ，滑动轨道 的长度是___________ ．
【任务2】确定安装方案为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道 上安装一个限位器
，控制平开窗的开启角度，当点 滑动到点 时 ，则限位器 应装在离点 多远的位置？
（结果保留根号）
【答案】任务1：10，56；任务2：限位器 应装在离 点 的位置．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
任务1：根据题意，可得 ，从而得到结果；
任务2：作 ，在 中，求出 ，从而得到 长，即可得到结果．
【详解】解：任务1： 四边形 始终为平行四边形， ，
，
当窗户关闭时，点 与点 重合， 和 均落在 上，
，故答案为：10，56；
任务2：过点 作 交 于点 ，依题意得 ，
四边形 为平行四边形，
，
，
在 中， ，
又 ，
根据勾股定理可得 ，
，
限位器 的位置离 点 ，
答：限位器 应装在离 点 的位置．
20. 如图，已知 内接于 ， 为直径，过点 作 的切线交 延长线于 ， 为 上的
一点，连接 ，交 于 ，且 ．（1）求证： ；
（2）若 的半径为 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2） ．
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理和切线的性质得到 ，利用等角的余角相等求得
，即可证明 ；
（2）作 于点 ，利用角平分线的性质求得 ，证明 ，求得
，设 ，在 中，由勾股定理列式计算即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ 为 的直径， 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：作 于点 ，∵ 为 的直径， 的半径为5，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．正
确引出辅助线解决问题是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 某校初三年级两个班要举行团体操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位： ），
数据整理如下：【数据收集与整理】：每班8名选手的具体身高
1班170 171 172 174 174 176 177 186
2班169 170 171 174 176 176 178 186
【数据分析与应用】：每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如下：
班级 平均数 中位数 众数
1班 175 174 174
2班 175
根据以上信息，回答下列问题：
（1） _______， _______；
（2）请计算1班8名选手身高的方差______，2班8名选手身高的方差_______，据此判断：在1班和2班
的选手中，身高比较整齐的是______班（填“1”或“2”）；
（3）现要从每班的8名选手中分别选出6位选手，1班的6位选手的身高分别为171，172，174，174，
176，177．如果2班已经选出的5位选手身高分别为171，174，176，176，178，要使得2班6位选手的平
均身高高于1班6位选手的平均身高，且使得本班选手身高比较整齐，则2班需选出的第6位选手的身高
是_____ ．
【答案】（1）175；176；
（2）22.25； 26.25；1班；
（3）170．
【解析】
【分析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记平均数的计算公式以及方差的意义是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义即可求解；
（2）根据方差公式求解方差，再根据方差越小，数据越稳定判断即可；
（3）先求出 班 位首发选手的平均身高，再求出 班第 位首发选手的身高取值范围，再根据题意和方
差的意义即可确定第六位选手的身高．
【小问1详解】
解：2班数据：169，170，171，174，176，176，178 ，186，
则中位数为： ，
发现176出现的次数最多，因此众数 ，故答案 为：175，176；
【小问2详解】
解：
，
，
∵ ，
∴1班身高比较整齐，
故答案为：22.25； 26.25；1班；
【小问3详解】
解： 班的 位首发选手的平均身高为 厘米，
设 班第六位选手的身高为 厘米，
则 ，
∴ ，
∴第六位可选的人员身高为 ，
若为 时， 班的身高数据分布于 ，
若为 时， 班的身高数据分布于 ，
从中可以看出当身高为 时的数据波动更小，更加稳定，
所以第六位选手的身高应该是 厘米，
故答案为： ．
七、（本题满分12分）22. 在 中， ， 于 ， 平分 交 于 ，交 于 ．
（1）①求证： ；
②若 ，求 的值．
（2）如图2，过点 作 交 于 ，连接 ， ，求证： ．
【答案】（1）①见解析；② ；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查直角三角形性质、角平分线性质、相似三角形判定与性质，解题关键是利用角的关系、
相似三角形及边的比例推导．
（1）①利用直角三角形两锐角互余和角平分线，证角相等，得 ；
②通过角相等得 ，结合边的比例，求 ；
（2）由 得 ，证 ，推出 ．
【小问1详解】
解：①平分
又
②
在 中，
又
【小问2详解】
，平分
，
，且 ，
，
又 ，
，
，
，
，
．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线 与 轴交于 点，顶点为 ．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）如图， 点坐标 ， 为抛物线对称轴上一动点，过点 的直线 平行 轴交抛物线于 、
两点（点 在点 的左侧）．
①若 ，求点 坐标；
②若以 为边构造矩形 （ 、 在线段 、 上），求该矩形周长的最大值．【答案】（1）
（2）① ；②该矩形周长的最大值为
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数与几何综合；
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出B点坐标，设 ，则 ，表示出 和 ，
①根据 列方程求出m，进而可得点 坐标；
②易得直线 解析式，则可知 ， ，用含m的式子表示出矩形 的周长，
再利用二次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解： 与 轴交于 、 ，
，
解得： ，
抛物线的表达式为： ；
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
， ，
① ，，
解得： （舍去）或 ，
；
②∵
∴直线 解析式为 ，
∴ ，
，
设矩形 周长为 ，
则 ，
∴当 时， 的最大值为 ．
