文档内容
安徽省初中学业水平考试模拟（三）数学（试题卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数的减法，结果有理数的减法进行计算即可求解．
【详解】解：
故选：A．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算以及合并同类项，根据同底数幂的乘除法，幂的乘方以及合并同类项进行计
算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3. 如图是用积木搭的一个立体图形，这个立体图的主视图是（ ）A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．从正面观察图形即可得到
主视图．
【详解】解：由题意得，这个立体图的主视图是
故选：B．
4. 下列因式分解正确的是（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义及方法逐项分析即可．
【详解】解：A. ，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．5. 随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商该品牌电动车
今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2100辆．设每个月
销量的平均增长率为 ，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程．设年平均增长率为 x，由题意得出三月份的销量
为： ，再根据3月份的销量比1月份增加了2100辆为等量关系列出方程即可．
【详解】解：设每个月销量的平均增长率为 ，
则三月份的销量为： ，
则根据题意有： ，
故选：D
6. 如图，正六边形 和等腰 的一边重合， ，则 的度数为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正多边形 的内角计算，等腰直角三角形的性质，熟练掌握正多边形的内角计算是
解题的关键．先根据正多边形的内角和公式，可得正六边形的内角，再根据角的和差即可得答案．
【详解】解： 正六边形 的内角为： ，，
为等腰直角三角形， ，
，
∴
∴
故选：D．
7. 我们把十位上数字比百位和个位上数字都大的三位数称为“ ”型数，如586，352等．那么从2，3，4
这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，该数是“A”型数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了列举法求解概率，先列举出所有能组成的三位数，再找到能组成的“A”型数个
数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：2，3，4这三个数可以组成的三位数有 ，共6个，其中是“A”
型数的有 ，共2个，
∴从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，该数是“A”型数的概率为 ，
故选：C．
8. 已知点 在 上，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若半径 平分弦 ，则
B. 若 ，则四边形 是平行四边形
C. 若四边形 是平行四边形，则四边形 是含一个内角为 的菱形D. 若 ，则弦 平分半径
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性
质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假．根据圆的有关性质、垂径定理及其
推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可．
【详解】解：A、当半径 平分弦 ， 不是直径时， ，故本选项命题是假命题，不符
合题意；
B、当 ， 平分 时，四边形 是平行四边形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、若四边形 是平行四边形，则四边形 是含一个内角为 菱形，
如图，在优弧 上取点 ，连接 、 ，
四边形 为平行四边形，
，
由圆周角定理得：
四边形 为 的内接四边形，
，
，
，四边形 是含一个内角为 菱形，
故本选项命题是真命题，符合题意；
D、 时，弦 不一定平分半径 ，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
9. 已知 ，下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键．根据题意用 表示出 ，即
代入 ，即可判断 A，进而得出 ，代入 ，即可判断 B，进而判断
C，根据 ，即可判断D选项，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴ ，故A正确，不符合题意；
∴ ，则 ，故B正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，故C错误，符合题意；
∵
∴∵
∴
∴ ，故D选项正确 ，不符合题意；
故选：C．
10. 在矩形 中， ，若点 是射线 上一个动点，点 关于 的对称点为 ，连
接 ，下列说法错误的是（ ）
A. 当 时，
B. 当 时，
C. 当点 为 中点时，
D. 当 时，
【答案】A
【解析】
【分析】 有两种情况，一种情况点M在矩形内部，一种情况点M在矩形外部，据此可判断A；
当 时，过点M作 于H，证明 ，得到 ，设 ，
则 ，由勾股定理得 ，解得 或 （舍去），则
，可证明此时 垂直平分 ，则 ，据此可判断B；当点 为 中点时，则， 都在以P为圆心， 的长为半径的圆上，据此可判断C；当P，M，C三
点共线时，此时有 ，如图1所示：如图2，当P，M，C三点共线时，此时有
，分两种情况分别求出 即可判断D．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
如图所示，当点M在矩形内部时，过点M作 于H，
当 时，则 ；
由轴对称的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ；如图所示，当点M在矩形外部时，此时
综上所述，A说法错误，不符合题意；
当 时，过点M作 于H，
同理可证明 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 或 （舍去）
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，故B说法正确，不符合题意；
当点 为 中点时，则 ，∴ 都在以P为圆心， 的长为半径的圆上，
又∵ 为直径，
∴ ，故C说法正确，不符合题意；
当P，M，C三点共线时，此时有 ，如图1所示：
在矩形 中， ，
∵点A关于直线 的对称点为M，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图2，当P，M，C三点共线时，此时有 ，
由轴对称的性质得 ，
由平行线的性质得 ，
，
，综上所述：当 时， 的长为8，故D说法正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，
圆周角定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ___________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算．熟练掌握算术平方根，0指数运算是解题的关键．
根据算术平方根，0指计算即得．
【详解】解： ．
故答案为：3．
12. 2025年4月24日神舟二十号载人飞船成功发射．据报道，神舟二十号在发射准备阶段需要使用大量的
特种电缆，其中由安徽某电缆企业生产的一种耐高温特种电缆就用了5200000米．将5200000用科学记数
法表示为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： ，
故答案为： ．
13. 点 是反比例函数 在第一象限图象上一点，连接 ，过 作 轴，截取
（ 在 右侧），连接 ，则点 的坐标为___________．【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据点 的坐标求出 的长，再根据 轴，
，求出点 的坐标即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴， 在 右侧，
∴ ，即： ；
故答案为： ．
14. 如图，正方形 的边长为4，点 为射线 上一动点，连接 、 ，在 上取一点E，使
，连接 ．
（1）求 ___________．（2）则 的最小值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，证明
是解题的关键．
（1）证明 得到 ，由正方形的性质得到 ，则
，据此可证明 ，得到 ；
（2）由相似三角形的性质得到 ，则 ，当 有最小值时， 有最小值；
故当点E在线段 上时， 有最小值，最小值为 的值，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 有最小值时， 有最小值；
如图所示，取 中点O，连接 ，
∵ ，O为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴当点E在线段 上时， 有最小值，最小值为 的值，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的最小值为 ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 化简： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减运算，先化为同分母，进而根据同分母的分式的减法进行计算即可求解．
【详解】解：
．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知 的为格点三角形，即三角形三个顶点都在小方格格点上．
（1）以 为位似中心，将 在第二象限内放大2倍得到 ；
（2）将 绕点 顺时针旋转 得到 ，请画出 ；
（3）用无刻度的直尺作出 的高 （保留作图痕迹）．【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了画位似图形，画旋转图形，画三角形的高，掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据位似的性质，找到 的对应点，顺次连接，即可求解；
（2）根据旋转的性质，找到 的对应点，顺次连接，即可求解；
（3）根据网格的特点，三角形的高的定义，画出 ，即可求解．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求
【小问2详解】
解：如图， 即为所求【小问3详解】
解：如图， 即为所求，
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：
人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，
又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？
【答案】人数为 人，买鸡的钱为 钱
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找等量关系是解题的关键．设人数为 ，根据题意列
出方程，解方程即可求解．【详解】解：设人数为 ，根据题意得 ，
解得： ，
∴买鸡的钱数为： ，
答：人数为 人，买鸡的钱为 钱．
18. 【观察思考】
【规律发现】
（1）若图1中小正方形个数记作 ，图2中小正方形个数记作 ， ，图 中小正方形个数记作 ，则
______， ______；（用含 的式子表示）
【规律应用】
（2）结合上述规律，试说明是否存在正整数 ，使得 等于 的4倍？
【答案】（1） ， ；（2）存在，理由见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了图形规律探索以及一元二次方程的应用．
（1）根据图形规律总结出规律并表示出来即可，并计算出结果．
（2）根据题意列出关于n的一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：（1）图1中小正方形的数量是： （个）
图2中小正方形的数量是： （个）
图3中小正方形的数量是： （个）
…图n中小正方形的数量是： 个，
，
故答案为： ，
（2）存在，理由如下：
根据题意： ，
整理得： ，
即 ，
∴ ， （舍去）
的
故 时，使得 等于 4倍．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图是处于工作状态的机械臂示意图， 是垂直于工作台的移动基座， 、 为机械臂，
， ，工作时，机械壁伸展开到 ，求 、 两点之间的距离．（结果精
确到 ，参考数据： ）【答案】 、 两点之间的距离约为 ．
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先作辅助线，在 中，求出 ， ，然后根
据勾股定理求出答案即可．正确作出辅助线是解答本题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，
，
，
在 中， ， ， ，
解得： ， ，
，
在 中， ，
、 两点之间的距离约为 ．
20. 如图， 是 的直径，点 为 上一点，连接 ，过点 作 的垂线交 于点 ，交
于点 与 交于点 ，连接 ， ．（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，熟知圆的
相关知识是解题的关键．
（1）由垂径定理可得 ，即可得到 ；
（2）先证明 ，再解 得到 ，利用勾股定理求出 ，进而可求出
，再求出 的长即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： 为 的直径，
，
在 中， ，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，，
或 （舍），
，
，
，
的半径为 ．
六、（本题满分12分）
21. 2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长约
，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及
“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了部分学生参加“航空航天”知识测试，并将测试成绩
（百分制）整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
成绩
组别 百分比
/分
A组
B组
C组
D组
E组
成绩条形统计图
根据所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的成绩统计表中 ___________，并补全条形统计图；
（2）被抽取的学生成绩的中位数落在___________组（填A，B，C，D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数．
【答案】（1） ，图见解析
（2）
（3）估计该校1200名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数为720名
【解析】
【分析】本题考查了统计表、条形统计图、中位数、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是
解题关键．
（1）利用1减去其他四组所占的百分比即可得 的值，先根据 的条形统计图和统计表信息求出此次调查
抽取的总人数，再乘以 组所占百分比可得 组的人数，据此补全条形统计图即可得；
（2）根据中位数的定义求解即可得；
（3）利用该校学生总人数乘以成绩在80分以上（包括80分）的人数所占的百分比即可得．
【小问1详解】
解： ，
故答案为： ．
此次调查抽取的总人数为 （名），
则 组的人数为 （名），
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
的
解：将被抽取 学生成绩按从小到大进行排序后，第100个数和第101个数的平均数即为中位数，
∵ ， ，
在
∴排 第100个数和第101个数均在 组，
∴被抽取的学生成绩的中位数落在 组，故答案为： ．
【小问3详解】
解： （名），
答：估计该校1200名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数为720名．
七、（本题满分12分）
22. 如图， 为等边 的 边上一点，点 在 边的延长线上， ， 于点 ，
为 外一点，四边形 为平行四边形．
（1）如图1，若 为 的中点，连接 ，交 于点 ．
①若等边 的边长为 ，求 的长；
②求 的值；
（2）如图2，若 与 交于点 ．求 的值．
【答案】（1）① ；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①由等边三角形的性质以及含 的直角三角形的性质得 ，再根据 为 的
中点得 ，所以 ；
②根据平行四边形的性质证明 得 ，结合 得 ，所以 为 的中点，即可求解．
（2）设 ，由等边三角形的性质以及含 的直角三角形的性质得 ，因为
，所以 ，进而得到 ，解得 ，即可求解．
【小问1详解】
解：① 是等边三角形，
，
，
，
，
，
为 的中点，
，
∴ ，
，
② 四边形 为平行四边形，
，
，
，
，
，
，又∵ ，
为 的中点，
∴ ，
∴
【小问2详解】
解：设 ，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，则 ，
，
，
；
八、（本题满分14分）
23. 二次函数 的图象与 轴交于 两点，与 轴正半轴交于点 为抛物线的顶
点．（1）则 、 、 、 四点的坐标分别为___________，___________，___________，___________；
（2）设 点坐标为 ，二次函数 的图象经过点 三点，且与 轴的交点 落在线段
上（不与点 ， 重合），
①二次函数 的对称轴为___________（用 表示）；
②求 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当 时， 为 图象 段上任一点，过 点作 轴的垂线交 的图
象于 点，求四边形 面积的最大值．
【答案】（1） ， ， ，
（2）①直线 ；② 且 ．
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、坐标点的计算以及四边形面积最值问题，解题关键是熟练运
用二次函数的性质，结合已知条件建立方程或函数表达式来求解相关量．
（1）令 ，得出 ， ，从而得到 A， 两点的坐标，令 求得 的坐标，将
化为顶点式，得 ．
（2）①根据题意可得二次函数 对称轴为 ，得出 点坐标．②根据 点落在线段 上且不与 、 重合点位置确定m初步范围，然后根据 、 位置排除特殊值；
（3）根据 求 值及 解析式，并表示 、 坐标并求 的解析式，然后当通过配方得
时， 取最大值 ，根据四边形面积计算方法得出四边形 面积，即可得出 点坐标．
【小问1详解】
解：∵拋物线的解析式为 ．
令 ，
∴C点坐标为 ，
令 ，解得 ， ．
点坐标为 ， 点坐标为 ．
由题意可知， ，
点坐标为 ．
故答案为： ， ， ， ．
【小问2详解】
① 点坐标为 ，
∴二次函数 的图象的对称轴为直线 ，
②∵对称轴为 ， 点坐标为 ．
∴ 点坐标为 ．
点在 上，且不与点 ， 重合，．
．
， 都在二次函数 的图象上，
．
综上所述， 且 ．
【小问3详解】
解：当 时，如图， ，
，
解得 ，
∴此时 的解析式为： ，
设 点坐标为 ，点Q坐标为 ，
当 时， ．
当 时， 有最大值3，此时四边形 的面积为 ．
