文档内容
2025 年中考第三次模拟数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上
答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选
项，其中只有一个是符合题目要求的)
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 2025
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相反数与绝对值，掌握绝对值与相反数的意义是解题的关键；选求出绝对值，再求出
相反数即可．
【详解】解： ，而 的相反数为2025，
故选：D．
2. 若分式 有意义，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是熟知分式的分母不为零．根据分式有意义的条件
即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ；
故选：B．3. 下列各式中，计算结果为 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法和合并同类项法则逐项判断即可．
【详解】解：A． 与 不是同类项，不能合并，故A错误；
B． ，故B正确；
C． 与 不是同类项，不能合并，故C错误；
D． ，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘除法运算法则和合并同类项法则，
准确计算．
4. 蹄形磁铁是磁铁的一种，其形状类似于马蹄形，因而称之为蹄形磁铁，它的形状也像英文字母U，又叫
U形磁铁．下图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据左视图的意义，画图解答即可．
本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．【详解】根据题意，得其左视图为 ，
故选B．
5. 下列函数中，函数值 随自变量 的值增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数、一次函数、增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数性质．
根据反比例函数、一次函数的增减性即可得到答案．
【详解】解：A、函数 ，当 时， 随自变量 的值增大而减小，或当 时， 随自变量
的值增大而减小，故A错误，不符合题意；
B、函数 ， ， 随自变量 的值增大而减小，故B正确，符合题意；
C、函数 ，当 时， 随自变量 的值增大而增大，或当 时， 随自变量 的值增大而增
大，故C错误，不符合题意；
D、函数 ， ， 随自变量 的值增大而增大，故D错误，不符合题意；
故选：B．
6. 一元一次不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，即可获得答案．
详解】解： ，
【
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
所以不等式组的解集为 ．
在数轴上表示不等式组的解集为：
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法及其数轴表示，掌握求一元一次不等式组的解的口诀“同
大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”是解题的关键．
7. 如图，在 中， ， 为 上一点， 为 延长线上一点，连接 ， ，使
得 ．若 ，且 ，则 的长为( )
A. 6 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理；过点 作 于点 ，设
，则 ， ，根据 得 ，进
而得 ，由此可得 ， ，设 ，则， ，在 中，根据 得 ，
，在 中，根据 得 ，再由勾股定理即可求出 ，则
， ，然后再根据勾股定理求出 即可．
【详解】解：过点 作 于点 ，如图所示：
设 ，
，
，
是 的外角，
，
，
，
的外角，
，
在 中， ，
，
，
，，
设 ，
，
，
， ，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，由勾股定理得： ，
，整理得： ，
解得： ， 不合题意，舍去 ，
，
在 中，由勾股定理得：
故选：B．
8. 已知实数a，b满足 ， ，则下列判断正确的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可
得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，选项B错误，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，选项A错误，不符合题意；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，选项C正确，符合题意；∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，选项D错误，不符合题意；
故选：C
9. 如图， 是 的角平分线， 平分 交 于点 ， 是 的外角平分线，交
的延长线于点 ，且 ，连接 ．下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线得到角度关系结合平角即可判断A，根据平行及角平分线得到相应的角度关系得到
即可判断B，再证明 是平行四边形即可判断C，最后证明 垂直平分 即可判断D，
即可得到答案．
【详解】解 平分 ， 平分 ，
， ，
，选项A正
确，不符合题意；， 平分 ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，选项B正确，不符合题意；
， ，
四边形 是平行四边形．
， ，
由上面知： ，
， 均为等边三角形，
由三线合一易知 ， ，
在 中，由角平分线定义知 ， ，
，
易知 ，
，选项C错误，符合题意；
， 平分 ，
结合 易证 全等于 ，
易知 垂直平分 ，
，又 ，
，选项D正确，不符合题意；
综上，故选C．
【点睛】本题考查角平分线，平行四边形判定与性质，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角
形性质和判定，解题的关键是从选项出发，找相应条件．
10. 如图，在 中， ， ， ，点D，E分别在线段 ， 上，且
是 的中位线，点P从点D出发沿 向点E运动，点Q在 上且满足 ，连接 ，
过点Q作 交 于点R，设点P运动的路程为x， 的面积为y，则y关于x的函数图象为
（ ）
A. B. C.
D.
【答案】C【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，二次函
数的图象性质，先证明四边形 为平行四边形，所以 ，再证 ，列比例式
，得到 ， ，所以 ，再根据三角形面积公式列出
关于 的函数表达式，利用函数性质解题．，掌握以上内容是解题关键．
【详解】解： 是 的中位线，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
，
，
， ，
，
故 ，
所以抛物线的开口向下，顶点为 ，
自变量的取值范围为 ，以点 和 为端点的 抛物线上的一段．
故选：C．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分 20分)
11. 2025年，电影“哪吒之魔童闹海”票房突破153.86亿，将数据153.86亿用科学记数法表示为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．
【详解】解：153.86亿=15386000000= ，
故答案为： ．
12. 若 、 、 的平均数为 ，则 、 、 的平均数为______．
【答案】9
【解析】
【分析】根据 、 、 的平均数为7可得 ，再列出计算 、 、 的平均数的代数
式，整理即可得出答案．
【详解】解：∵ 、 、 的平均数为7，
∴ ，
∴ ，
故答案为：9
【点睛】本题考查计算平均数．掌握平均数的计算公式是解题关键．
13. 如图，正方形 内接于 ，点 为 上一点，连接 ．若 ，，则 的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角
形，连接 ，过点 作 于 ，由正方形可得 ， ，进而得
为 的直径，即 ，又由圆周角定理可得 ，即可得 为
等腰直角三角形，可得 ，由此可得 ，即得
，再由三角函数得 ，由勾股定理即可得到 的长，正确
作出辅助线是解题的关键．
【
详解】解：连接 ，过点 作 于 ，则 ，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，∴ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14. 如图，现有矩形纸片 ， ， ，将边 沿折痕 折叠，使点B落在边 上点
F处，再沿折痕 折叠，使点C落在矩形所在平面内的点 处，边 与 交于点G，然后还原．（1） 的长为________；
（2）在边 上取点H，满足 ，沿 折叠使点C落在矩形所在平面内的点 处，作
的平分线分别交 于点P，M，则 的长为________．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质可得 ，结合
，易证四边形 都是矩形，得到 ，求出
，推出 ，易证四边形 是正方形，进而求出
，设 ，则 ，证明 ，推出 ，利
用勾股定理建立方程即可求解；
（2）延长 交于点Q，由折叠的性质可得 ，结合 平分 ，得到
，求出 ，进而证明 ，利用正切的定义结合结合
，求出 ，证明 ，求出 ，进而求出 ，证明
，推出 ，再利用勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解：（1）由折叠的性质可得 ，
∵ 是矩形， ， ，∴ ，
∴四边形 都是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
由折叠的性质得： ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，则 ，
故答案为： ；（2）延长 交于点Q，
由折叠的性质可得 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查的是矩形的判定性质、折叠的性质、正方形的判定与性质，相似三角形判定与性质，全
等三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，掌握矩形的性质、折叠的性质、用勾股定理和锐角三
角函数解直角三角形是解决此题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题综合考查零指数、负指数、绝对值及特殊角三角函数的计算．关键点在于正确处理各运算符
号及顺序，尤其注意绝对值的非负性与负指数的倒数关系，最终结果为常数项的合并．【详解】解：原式
．
16. 七年级某班要召开期末总结表彰会，班主任安排甲、乙两名同学去商店购买奖品，甲、乙两名同学共
的
购买了10支钢笔和15本笔记本，共用去95元，已知每支钢笔比每本笔记本 价格多2元，问钢笔和
笔记本的单价各为多少元？
【答案】钢笔每支5元，笔记本每本3元
【解析】
【分析】设钢笔和笔记本的单价分别为 ， 元，列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设钢笔和笔记本的单价分别为 ， 元，
依题意可得：
解得：
答：钢笔每支5元，笔记本每本3元
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，理解题意列出二元一次方程组是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）
和点A．
1
（1）画出一个格点△AB C ，并使之是由△ABC平移后得到，且A与A 是对应点；
1 1 1 1
（2）画出点B关于直线AC的对称点D，并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得的；
（3）将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，使得AB落在（2）中的线段AD的位置，请作出旋转后的三
角形，并求在这一旋转过程中△ABC扫过的面积．【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，AD可看作由AB绕A点逆时针旋转90°而得；（3）图见解析；
△ABC扫过的面积为 π 7.5
+
【解析】
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后对应点进而得出答案；
（2）根据网格结构找出点B的对应点的位置即可得出答案；
的
（3）根据图形可知，扫过 面积是以A点为圆心，AC长为半径的扇形的面积加上△ABC的面积，据
此进一步列式求解即可.
【详解】
（1）如图所示：△AB C 即为所求；
1 1 1
（2）如图所示：AD即为所求，且可看作由AB绕A点逆时针旋转90°而得；
（3）如图所示，△ADE即为所求作的三角形，
根据勾股定理，AC＝ ，∴扇形AEC的面积＝ ＝ π，
△ABC的面积＝6 4 3 4 1 3 6 3＝7.5，
× − × × − × × − × ×
所以，△ABC扫过的面积为 π 7.5．
+
【点睛】本题主要考查了图形的平移与旋转变换以及扇形的面积公式，熟练掌握相关概念是解题关键.
18. 观察下列各个等式的规律：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
用上述等式反映的规律，解答下列问题．
（1）请直接写出第5个等式：________．
（2）猜想第 个等式（用含 的代数式表示），并证明其正确性．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，
写出相应的猜想并加以证明．
（1）根据题目中给出的等式，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中的式子，可以猜想出第 个等式，并加以证明．
【小问1详解】解：由题意可得，
第5个等式是 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解： ，
证明：右边
，
等号左边等于等号右边的式子，
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19. 图①是一款可调节椅背的沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力．图②是它的侧面示意图，椅背
，将椅背角度从 调节到 （即 ， ）时，分别过点 、
作 于点 ， 于点 ，求水平方向增加的距离 长．（结果精确到 ；参考数
据： ， ， ， ）【答案】水平方向增加的距离 长为 ．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在 与 中，利用三角函数的定义列式计算
即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
在 与 中，
，
，
∴
．
答：水平方向增加的距离 长为 ．
20. 如图， 是 的直径， 是 的一条弦， 于点M，连接 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2） 的延长线相交于点F， 是 的切线，交 于点E，若 ，求证：．
【答案】（1）
（2）见详解
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 到 ， 求 得
，根据垂径定理得到 ，于是得到结论；
（2）连接 ， ，根据切线的性质得到 ，根据平行线的性质得到 ，根据等腰
三角形的性质得到 ，求得 ，根据等腰三角形的性质得到 ，等量代换得到
结论．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助
线是解题的关键．
【小问1详解】
解： ，
，
，
是 的直径， ，
，
，
故 的度数为 ；
【小问2详解】
证明：连接 ， ，是 的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的直径，
，
，
，
，
，
．
六、（本题满分12分)
21. 肥西县某中学全校学生参加了“防溺水”安全知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取
了一部分学生的成绩，分成四组： ； ； ； ，
并绘制出如下不完整的统计图．（1）本次被抽取的学生为____人；
（2）C组所占扇形的圆心角度数为________；
（3）若该学校有2800名学生，估计这次竞赛成绩在 组的学生有多少名？
（4）该校准备从上述D组的五名学生中选取两人参加肥西县举行的“防溺水”安全知识竞赛，已知这五
人中有三名男生（用 ， ， 表示），两名女生（用 ， 表示），请利用树状图法或列表法，求
恰好抽到2名男生的概率．
【答案】（1）60 （2）
（3）840名 （4）
【解析】
【分析】（1）用B组人数除以其所占被抽取人数的百分比即可求得被抽取人数．
（2）根据A组，B组，D组人数和被抽取人数求出C组人数，然后用C组人数除以被抽取人数得到C组
占被抽取人数的百分比，再乘以360°即可．
（3）先求出D组人数占被抽取人数的百分比，再乘以学校总人数即可．
（4）根据题意列表，然后用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：12÷20%=60．
故答案为：60．
【小问2详解】
解：60-6-12-18=24．
24÷60=40%．
360°×40%=144°．
故答案为：144°．
【小问3详解】解：18÷60=30%．
2800×30%=840．
答：这次竞赛成绩在 组的学生有840名．
【小问4详解】
解：两名同学分别记为第一名和第二名，列表如下．
由表格可知，共有20种等可能出现的结果，其中恰好抽到2名男生的结果有6种．
所以恰好抽到2名男生的概率为 ．
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，画树状图求概率，正确从统计图中读取数
据是解题关键．
七、（本题满分12分)
22. 已知，在正方形 中，点 为边 的中点，连接 交对角线于点 ．
（1）连接 ，如图1，求证： ；
（2）如图2，过点 作 于点 ， 平分 交 于点 ．①求 的值；
②求证： ．
【答案】（1）证明见解析
（2）① ②证明见解析
【解析】
【分析】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性
质、勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
（1）证明 ，由全等三角形的性质得出 ；
（2）①设正方形的边长为 ，求出 ， ．证明 ，得出 ，求出 ，
则可得出答案；
②设 ，则 ，过点 分别作 ， 的垂线，垂足分别为 ， ，证出
，求出 ，则可得出结论．
【小问1详解】
证明： 四边形 为正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
；
【小问2详解】①解：设正方形的边长为 ，
点 为边 的中点，
，
，
，
在 中， ，
．
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
；
②证明：设 ，
，， ，
如图，过点 分别作 ， 的垂线，垂足分别为 ， ，
， ， ，
四边形 是矩形，
是 的角平分线，
，
四边形 是正方形，
，
由①得 ， ，
，
则 ，
，
在 中， ，
，
，
．八、（本题满分14分)
23. 已知抛物线 与 轴分别交于点 和点 ，与 轴交于点 ，且点 的坐标为
．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知 为抛物线的顶点， 为抛物线对称轴右侧的一个动点，当 和 的面积相等时，求
点 的坐标．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式及与几何图形结合的综合能力，要会利用数形结合的思想把代
数和几何图形结合起来是解题的关键．（1）代入 坐标可求答案；（2）用等面积法求出直线 解析
式，与抛物线联立即可．
【小问1详解】
解：将点 ，点 代入 ，得 解得
抛物线的表达式为 ．
【小问2详解】
由（1）知 顶点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
设 所在直线的函数表达式为 ．
将点 代入，得 ．
①当点 在直线 下方时，由 和 的面积相等，得 ．
设 所在直线的函数表达式为 ．将点 代入，得 ，
直线 的表达式为 ，与 轴交于点 ．
联立 ，得 ，
点 坐标为 ．
的
②由①可知点 关于点 的对称点 为 ．
当点 在直线 上方时，由 和 的面积相等，得 ．
设 所在直线的函数表达式为 ．
将点 代入，得 ，
直线 的表达式为 ．
联立 ，得 ，
点 的坐标为 ．
综上所述，当 和 的面积相等时，点 的坐标为 或 ．
