文档内容
2025 年中考第三次模拟数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上
答题是无效的．
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选
项，其中只有一个是符合题目要求的)
1. 下列四个数中，与 的乘积为 的数是（ ）
A. B. C. 2025 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查倒数的定义，根据乘积为 的两数互为倒数，即可求解．
【详解】解：与 的乘积为 的数是 ；
故选：B．
2. 2025年《哪吒之魔童闹海》的票房为152亿元，这部电影不仅在中国国内取得了巨大成功，还在全球范
围内产生了广泛影响．其中152亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为
整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：152亿 ，
故选B．
3. 计算 的结果是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方法则
计算即可得．
【详解】解： ，
故选：C．
4. 如图所示的几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】该题考查了几何体的三视图，根据左视图定义求解即可．
【详解】解：根据题意可得，该几何体的左视图是 ，
故选：A．
5. 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根 ，则下列关于 的值判断正确的
是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系得出答案．
【详解】 一元二次方程 有两个相等的实数根 ，，
，即
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，即 ， ，熟练掌握并会应用是解
题的关键．
6. 如图， 是 的直径， ， 是的弦，过点 作 交于点 ，连接 ，若
，则劣弧 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接CO，首先判断OD⊥BC，由直角三角形两锐角互余可得∠BOD=66°，从而可得
∠COD=66°，利用弧长公式即可求得结论.
【详解】∵ 是 的直径，
∴∠ACB=90°
∵
∴∠BEO=90°
∵
∴∠BOE=66°
连接CO，如图，则∠COE=∠BOE=66°所以，劣弧 的长为：
故选：B.
【点睛】此题主要考查了弧长的计算，同时也考查了垂径定理以及圆周角定理，熟练掌握计算公式是解答
本题的关键.
7. 如图，在正六边形 中， 分别是边 的中点，连接 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接 ，过点B作 ，设正六边形的边长为a，求出 ，由等腰三角形的性
质得到 ，由 分别是边 的中点得到 ，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接 ，过点B作 ，设正六边形的边长为a，∵六边形 是正六边形，
∴ ，
,
∴ ，
在正六边形中， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 分别是边 的中点，
∴
∴
故选：A
【点睛】此题考查了正多边形的性质、含 角的直角三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、等
腰三角形的判定和性质等知识，求出 的长度是关键．8. 已知三个实数a，b，c满足 ， ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了等式的性质，因式分解的应用．熟练掌握完全平方公式，根据相等关系，代入消
元，运用完全平方公式分解因式，判断各选项即可．
【详解】A．若 ，则 ，即 ，则：
，故A正确；
B．若 ，则 ，
把 代入 得：
，
∴ ，
把 ， 代入 得：
，
分解因式得： ，
∴ 或
∴ 或 ，故B错误；
C．若 ，则 ，
∴ ，
∴ ，故C错误；D．若 ，则
把 代入 得： ，
∴ ，故D错误．
故选：A．
9. 如图，在 中， ， ， ，点 D，E 分别在 边上，且
， 平分 ，则 的长为（ ）
A. 4 B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，熟知
相关性质是正确解决本题的关键．
由 中， ， ， 可求出 的长，由 及 平分 ，
可证明 ，再利用相似三角形的性质和判定即可求出 的长．
【
详解】解： 中， ， ， ，
，
，
，
平分 ，，
，
，
，
，
，即 ，
，
故答案为：C．
10. 如图在平面直角坐标系中，点 、点 在反比例函数 的图象上．过点 作． 轴
于点 ，点 作 轴于点 ，若 ，且 的面积为12，则 的值是（ ）
A. 12 B. 16 C. 18 D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长 交于点E，已知
，表示出各点坐标，根据 的面积为12，列出方程，求出k．
【详解】解：延长 交于点E．∵ ，点A、点B在反比例函数 的图象上，
∴ ．
∴ ，
∵ 的面积为， 的面积为 ， 的面积为 ，
∴ ，
解得， ，
∵函数图象在第一象限， ，负数舍去，
∴ ．
故选：B．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分 20分)
.
11 比较大小： ________ ．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的大小比较方法，用平方比较法或小数估算法来处理根号的比较题，平方
比较法是解题的关键．先将两个数平方，根据被开方数越大，算术平方根越大的规律比较即可．
【详解】解： ， ，，
故答案为： ．
12. 晓明和迎奥相约星期天到图书馆看书，他们分别从图书馆的“科技”“文学”“艺术”三类书籍中随
机地抽取一本，他们抽到同一类书籍的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求事件的概率，熟练掌握画树状图是解题的关键．先画出树状图求出所有等可能的结
果数，再找出抽到同一类书籍的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：所有可能出现的结果如下图，
由上图可知，共有 种等可能的结果数，其中抽到同一类书籍的结果数有 种，
∴抽到同一类书籍的概率 ．
故答案为： ．
13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上，边 在 轴上，点 的坐标为 ，
反比例函数 的图像与矩形 的边 ， 分别相交于点 ，若点 为 的中点，
且 的面积为3，则 的值为______．【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数k的几何意义，解题关键是利用反比例函数k的几何意义求
出相关几何图形的面积．
连 接 ， ， 由 矩 形 的 性 质 用 表 示 出 ， ， 求 出 ， 再 根 据
，得到关于 的方程求解．
【详解】解：连接 ， ，
∵四边形 是矩形，点 的坐标为 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵点 为 的中点，
∴ ，即 ，∵点E，D在反比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∵ 的面积为3，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
故答案为： ．
14. 如图，在边长为 的正方形 中， 是 边上一动点（不与 ， 两点重合），将 沿直
线 翻折，点 落在点 处；在 上取一点 ，使得将 沿直线 翻折后，点 落在直线
上的点 处，直线 交 于点 ，连接 ， ．
（1） 的周长为_______；
（2）当 在 边上运动时， 的面积的最小值为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】【分析】本题考查相似形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定
理等知识，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，添加常用辅助线．
（1）利用翻折的性质和正方形的性质证明 ，得出 ，进而即可得出
的周长；
（ 2 ） 证 明 ， 进 而 证 明 ， 设 ， 则 ， 得 出
，作 于G，所以 最小时 的面积最小，构建二次函数，求得
的最小值，进而根据三角形的面积公式进行计算．
【详解】解：（1）∵将 沿直线 翻折，点B落在点E处，
∴ ， ， ，且四边形 是正方形，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为： ；
故答案为： ．
（2）∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，∴ ， ，
∴ ．
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
过点 作 于G，
∴ 最小时 的面积最小，
∵ ，
∴ 时， 最小值 ，
∴ 的面积的最小值为
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15. 先化简，再求值： ，其中
【答案】 ；13
【解析】【分析】本题主要考查了整式化简求值，先计算整式的四则混合运算，然后再 代入计算后的结果
求值即可．
【详解】解：原式
，
当 时，
原式 ．
16. 随着合肥都市圈的成立，合肥市将加大对都市圈内基础设施投入，尽快形成合肥都市圈“1小时通勤
圈”和“1小时生活圈”．在都市圈内，计划四年完成对某条重要道路改造工程，2019年投入资金2000万
元，2021年投入的资金为2420万元，设这两年间每年投入资金的年平均增长率相同．
（1）求出这两年间的年平均增长率．
（2）若对该道路投入资金的年平均增长率不变，预计完成这条道路改造工程的总投入．
【答案】（1）10% （2）9282万元
【解析】
【分析】(1)设出相同的增长率,根据” 2019年投入资金2000万元，2021年投入的资金为2420万元，”列出
方程求解；
(2)求出2022年的总投入，求出三年总和．
【小问1详解】
解：设这两年间的年平均增长率为x，根据题意可得：
．
解得 （舍去．）
答：这两年间的年平均增长率为 ．
【小问2详解】
根据题意，2020年投入资金为 万元．预计到2022年投入资金为 万元．
∴完成这条道路改造工程的总投入为 万元．
【点睛】本题考查利用一元二次方程解决实际问题——增长率问题，解决问题的关键是确定满足题意的等
量关系列方程．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ．
（1）以O点为旋转中心，将 逆时针旋转 得到 ，请在图中画出 ；
（2）以O点为位似中心，在第三象限内画出 的位似图形 ，使得 与 的位
似比为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和位似：
（1）根据网格的特点结合所给的旋转方式和旋转角度找到A、B、C对应点 的位置，然后描出
，最后顺次连接 即可；
（2）把A、B、C的横纵坐标都分别乘以负2得到其对应点 的坐标，然后描出 ，
最后顺次连接 即可．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；【小问2详解】
解：由题意得 ，
如图所示， 即为所求．
．
18. 观察下列等式：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ……
（1）请按以上规律写出第⑥个等式_________；
（2）猜想并写出第 个等式__________﹔并证明猜想的正确性．
（3）利用上述规律，计算： _________．
【答案】（1）（2） ，见解析
（3）4950
【解析】
【分析】（1）通过观察，即可得到答案．
（2）通过观察得到式子的规律，从而求出答案．
（3）先把式子利用规律进行化简，然后进行计算，即可得到答案．
【小问1详解】
根据题意，第⑥个等式为： ．
故答案为： ．
【小问2详解】
根据题意，由（1）可知第 个等式为： ，
．
故答案为： ．
【小问3详解】
根据题意，
．
故答案为：4950．【点睛】本题考查了数字类规律探索，观察题目找规律是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19. 如图，小明同学为了测量塔 的高度，他在与山脚B处同一水平面的A处测得塔尖点D的仰角为
，再沿 方向前进30米到达山脚B处﹐测得塔尖点D的仰角为 ，塔底点E的仰角为 ，求
塔 的高度．（参考数据： ， ， ， ，
， ， ，结果精确到0.1米）
【答案】塔 的高度约为25.6米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设 米，先在 中，利用锐角三
角函数的定义求出 的长，然后在 中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算
即可求出 的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，进行计算即可解答．
【详解】解：设 米．
在 中，∵ ，
∴ （米）．
∵ 米，
∴ 米．
在 中，∵ ，∴ ，
解得 ，
∴ 米， 米．
在 中， ，
∴ （米），
∴ （米）．
答：塔DE的高度约为25.6米．
20. 如图，已知 内接于 ，过点 的切线 交 的延长线于点 ，过点 作 交
于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，当 时，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质等知识，
利用切线的性质证明是本题的关键．
（1）连接 ，由切线的性质可得 ，由平行线的性质可得 ，从而得出 最后
可得结果；
（2）先证明 ，可得 ，求出 ，再证明 为等腰直角三角形，即可
求解．【小问1详解】
证明：连接 ，
是 的切线，
．
，
，
．
【小问2详解】
解：由（1）得 ．
．
，
，
即 ，
（负值舍去）．，
为等腰直角三角形，
．
六、（本题满分12分)
21. 某校初三年级两个班要举行团体操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位： ），
数据整理如下：
．每班 名选手的具体身高
班： ；
班： ；
．每班 名选手身高的平均数、中位数、众数如下：
班级 平均数 中位数 众数
班
班
根据以上信息，回答下列问题：
（1） ______， ______．
（2）如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高比较整齐．据此推断：在 班和 班的选手
中，身高比较整齐的是______班（填“ ”或“ ”）；
（3） 班的 位首发选手的身高分别为 ， ， ， ， ， ．如果 班已经选出 位首发
选手，身高分别为 ， ， ， ， ，要使得 班 位首发选手的平均身高不低于 班 位首
发选手的平均身高，且比较整齐，则第六位选手的身高是______ ．
【答案】（1） ， ；
（2） ；
（3） ．
【解析】【分析】（ ）根据中位数和众缴的定义求解即可；
（ ）根据方差的定义求解即可；
（ ）先求出 班 位首发选手的平均身高，再求出 班第 位首发选手的身高取值范围，再根据题意和方
差的意义即可确定第六位选手的身高；
本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记平均数的计算公式以及方差的意义是解题的关键．
【小问1详解】
解：由 班数据可得， ， ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦
然．
因为 班的身高分布于 ， 班的身高分布于 , 从中可以看出， 班的数据较 班的数据
波动较小，更加稳定，
所以 班的选手身高比较整齐，
故答案为： ；
【小问3详解】
解： 班的 位首发选手的平均身高为 厘米，
设 班第六位选手的身高为 厘米，
则 ，
∴ ，
∴第六位可选的人员身高为 ，
若为 时， 班的身高数据分布于 ，
若为 时， 班的身高数据分布于 ，从中可以看出当身高为 时的数据波动更小，更加稳定，
所以第六位选手的身高应该是 厘米，
故答案为： ．
七、（本题满分12分)
22. 已知：在 中， ， ，点D在边AB上，且 ，点E是边AC上一动点，将
沿DE折叠得到 ，点A的对应点为点F．
（1）如图1，若CD平分 ，DF交AC于点G．
①求证： ；
②当 时，求 的值；
（2）如图2，若点E为AC中点，且 ，求CD的长．
【答案】（1）①见解析，② ；
（2）
【解析】
【分析】（1）①证明 即可得到 ，再结合角平分线可得
，即可得到 ；
②由翻折可得DF=AD=5，∠F=∠A，由EF∥CD，可得∠F=∠FDC，∠FEC=∠ACD，即可得到GF=GE，
GC=GD，即CE=DF=CD=5，再根据 ABC∽△CBD，得AC=7.5，进而可以解决问题；
（2）E为AC中点，且 可得△ F是BC中点，根据DF=AD=5、BD=4、BF=3即可得到∠B=90°，
根据勾股定理即可求出CD的长．【小问1详解】
①∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵CD平分 ，
∴ ，
∴ ．
②∵ ， ，
∴ ．
由翻折得：DF=AD=5，∠F=∠A．
∵EF∥CD，
∴∠F=∠FDC，∠FEC=∠ACD，
∵ ，
∴ ．
∴GF=GE，GC=GD，
∴GF+GD=GE+GC．
即CE=DF=CD=5，
∵ ，
∴ ，即 ．
解得AC=7.5，
∴AE=AC-CE=2.5．
∴ ；
【小问2详解】
∵E为AC中点，且 ，∴ ．
∴ ．
∵AD=DF=5，BD=4，
∴ ．
∴∠B=90°．
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、翻折变换、勾股定理，解决本题的关键是证明
ABC∽△CBD．
△八、（本题满分14分)
23. 已知，在以 为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为 ，且经过点 ，与 轴分别
交于 、 两点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图（1），点 是抛物线上的一个动点，且在直线 的下方，过点 作 轴的平行线与直线
交于点 ，求 的最大值；
（3）如图（2），过点 的直线交 轴于点 ，且 轴，点 是抛物线上 、 之间的一个动点，
直线 、 与 分别交于 、 两点．当点 运动时， 是否为定值？若是，试求出该定
值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）（2）
（3）为定值8
【解析】
【分析】（1）根据顶点式设二次函数的解析式为 ，结合点 ，求得 即可；
（2）利用待定系数法求得直线 的解析式为 ，设 ， ，则 的横坐标
为 ， 纵 坐 标 为 ， 利 用 平 行 可 得 ， 得 到
即可求得最值；
（ 3 ） 过 点 作 轴 交 轴 于 点 ， 求 得 ， ， 设 ， 则
， ， ，利用平行得 ，有 ，求得
，同理得 ，化简得 即可．
【小问1详解】
解：根据抛物线的顶点为 ，设二次函数的解析式为 ，
抛物线经过点 ，
，
解得 ，
则 ；
【小问2详解】解：设直线 的解析式为 ，过点 ，则 ，
解得 ，
那么直线 的解析式为 ，
设 ， ，
则 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
由 轴，得 ，
解得 ，
当 时， 有最大值，最大值为 ；
【小问3详解】
解： 为定值．理由如下，
如图，过点 作 轴交 轴于点 ，在 中，令 解得 或 ，
故 ， ，
设 ，则 ， ， ，
，
，
，
同理， ，
，
，
故 是定值，且为8．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、两点之间的距离、求二次函数的最值
以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练二次函数的性质和相似三角形的性质．
