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2025 年模拟练习（三）
数学学科试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2025 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可．
【详解】解： 的绝对值是 ，
故选：A．
2. 今年春节电影《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《蛟龙行动》《射雕英雄
传：侠之大者》和《熊出没·重启未来》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月5日发布数据，我国
2025年春节档电影票房达95.10亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据95.10亿用科学记数法表示
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，
其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值
与小数点移动的位数相同，据此求解即可．
【详解】数据95.10亿用科学记数法表示为 ．
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方逐项判断即可得．
【详解】解：A、 与 不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；
B、 ，则此项错误，不符合题意；
C、 ，则此项错误，不符合题意；
D、 ，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题
关键．
4. 如图是由几个大小相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，则这个立体图形可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌
握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．由俯视图判断出组合的正方体
的几何体的列数即可．
【详解】解：根据给出的俯视图，这个立体图形的左上边有2个叠放在一起的正方体，右边一列上有各有
1个正方体．
故选：D
5. 已知反比例函数 与二次函数 的图象有一个交点的横坐标为 ，则k的值
为（ ）
A. B. 1 C. D. 3【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了二次函数与反比例函数的交点问题，利用二次函数的解析式求得交点坐标，然后代入
，即可求得k的值．
【详解】解：将 代入 得： ，
∴此点为 ，
代入反比例函数 得： ，
解得： ．
故选：D．
6. 如图， 都是 的半径， 交于点D．若 ，则 的
长为（ ）．
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得出 根据勾股定理求出 ，进一步可求出 的长．
【详解】解：∵
∴点 为 的中点，
∵
∴ ，由勾股定理得，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题
的关键
7. 在正五边形 中， 相交于点F，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正多边形有关的角，多边形内角求法，等腰三角形的性质，三角形内角和与外角的性质，
利用数形结合求解是解答此题的关键．首先根据正五边形的性质得到
，然后利用三角形内角和定理得
，最后利用三角形外角的性质即可得到 ．
【详解】解：∵五边形 为正五边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故选：C．
8. 如图，点A，B，C，D，E均为小正方形的顶点，先从A，B，C中任意取两点，再从D，E中任取一点
画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率．列表得出所有等可能结果，从中找到所画三角形是等腰三
角形的情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
由表知，共有6种等可能结果，其中所画三角形是等腰三角形的有 、 这2种情况，
所以所画三角形是等腰三角形的概率是 ，
故选：A．
9. 已知二次函数 的图像如图，其对称轴为 ，它与x轴的一个交点的横坐标为 ，
则一次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）．A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据二次函数图像开口向下可得 ，根据二次函数图像的对称轴可知 ，然后由二
次函数图像经过y轴正半轴可知 ，利用a与b和c的关系求得一次函数和反比例函数是否有交点，再
利用排除法即可求解．
【详解】解：∵二次函数 图像开口向下，
∴ ，
∵二次函数 图像对称轴为 ，
∴ ，
∵次函数 图像经过 轴正半轴，
∴ ，
由 ， 可知：直线 经过第一、二、四象限，由 可知：反比例函数 图像经
过第一、三象限，
∵二次函数 图像过 ，
∴ ，即 ，令 ，即 ，
∵ ，
∴一次函数 与反比例函数 有交点，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与性质、一次函数的图像与性质、反比例函数图像与性质，解题的关
键是熟练掌握以上函数图像与性质．
10. 如图， ， ， ， ，点D为 的中点，点E为斜边 上一个动
点，将 沿 折叠得到 ，连接 ， ，下列结论错误的是（ ）
A. 若点 与点C不重合时， 的面积最大值为4.5
B. 若点 不在斜边 上时， 的周长最小值为
C. 若 时， 的长为
D. 若 时， 的长为
【答案】C
【解析】
【分析】由折叠性质得对应线段相等，对应角相等，根据点 与点C不重合时， ， 的
面积最大值为4.5；当 在 上时取等号时最小周长；作 于点 ，在 中，， ， ；在 中，
.
【详解】解：A.若点 与点C不重合时， 在以点 为圆心的圆上，则当 时 的面积
最大，则 ，
∴ ，故A选项正确，不符合题意；
B.在 ，得 ，
由折叠性质： ， 周长为：
，由于 ，如图：
因为
当 在 上时取等号，最小周长： ，故B选项正确，不符合题意；
C.如图，作 于点F ，为 中点 ，
当 由折叠对称性得 ，
在 中， ，
， ，故C选项不正确，符合题意；
D.若 时，则 ，在 中，
，故D选项正确，不符合题意.
故选：C.
【点睛】本题考查了折叠问题中的对称性问题，从而求最小面积和运动轨迹，圆的相关内容知识，勾股定
理求线段长，三角函数求线段，解题关键在于熟练掌握各个知识点联系.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 因式分解： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解
是解题的关键．
根据综合提公因式和公式法进行因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 若二次根式 有意义，则 的取值范围为______．【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出 的范围，
解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，则 ，
故答案为： ．
13. 如图， 与 相交于点 ，点 在线段 上，且 ，若 ， ，
，则 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
设 ，则 ，求出 ，再由 ，即可求出答案．
【详解】解：设 ，
，
，
，解得 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
14. 对于一个函数，自变量x取m时，函数值y等于2m，则称点 是这个函数的“二倍点”，已
知二次函数 ．
（1）若点 是此函数的“二倍点”，则此函数另一个“二倍点”B的坐标是_______，
（2）若此函数有两个相异的“二倍点” 、 ，且 ，则k的取值范围_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数结合，解题的关键是理解同值点的定义，并根据定义列
方程求解．
（1）根据题意将点A代入确定 ，再由 “二倍点”的定义得出方程求解即可；
（2）根据题意得出 ， ，然后利用一元二次方程的解及根与系数的关系
求解不等式即可．
【详解】解：（1）把点 代入 中得 ，
解得 ，，
∴
根据题意得： ，
解得： ，
当 时， ，
∴
，
∴
故答案为：
（2）∵二次函数 图象上有两个相异的“二倍点” 、 ，
∴二次函数 与直线 有两个交点 、 ，
联立 得 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ ；
，
∵
∴ ， ，
解得 ，
综上所述，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式：【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一次不等式，解题关键是熟悉一元一次不等式得到解法；根据解法去分母，移向，
合并同类项，化系数为1，得到答案.
【详解】
解：
.
16. 在如图的方格中，每个小正方形的边长都为 ， 的顶点均在格点上．在建立平面直角坐标系后，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（1）把 向下平移8个单位后得到对应的 ，画出 ；
（2）以原点 为对称中心，画出与 关于原点 对称的 ；
（3）用无刻度直尺找出 的三边中线的交点 ，请在图中标出点 的位置．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）见详解
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，作中心对称图形，掌握平移和中心对称图形的性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质画出图形即可；
（2）根据中心对称图形的性质画出图形即可；（3）利用网格找到中线的位置即可．
【小问1详解】
解：根据题意得，
即为所求；
【小问2详解】
解：根据题意得，
即为所求；
【小问3详解】
解：根据题意得，点 即为所求．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各
点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，
对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……
设图（n）中的“沙漏形”的个数为 （n为正整数）．观察以上图形，解答下列问题：
（1）填空： ， （用含n的式子表示）：
（2）当n的值为多少时， 的值开始大于2025．
【答案】（1）31，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，同底数幂乘法的逆运算，正确找到规律是解题的关键．
（1）先观察图形找到规律即可求出答案；
（2）根据（1）可得 ，然后代入式子 中进行求解即可．【小问1详解】
解：第一个图形有1个“沙漏型”，
第二个图形有 个“沙漏型”，
第三个图形有 个“沙漏型”，
…．
由此可得到规律，第n个图形有个 图形，即
∴ ，
故答案为：31； ；
【小问2详解】
解：∵
∴
∴
则当 成立， .
∴
的
18. 《九章算术》是我国古代重要 数学专著之一，其中记录的一道题译文为把一份文件用慢马送到
900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速
度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天？
【答案】规定时间为8天
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的应用，设规定时间为x天，快马速度是慢马速度的2倍，据此列分式方程，
解方程并检验即可．
【详解】解：设规定时间为x天，由题意得： ，
解得 ，经检验 是所列方程 的根，且符合题意
答：规定时间为8天．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 表示该车的后备厢，在打开后备厢的过程中，箱
盖 可以绕点 逆时针方向旋转，当后备箱从关闭到完全打开时，箱盖 落在 的位置（如
图2）．此时， ，已知 厘米，点 到地面距离为110厘米． 长为40厘米，
求此时点 离地面的高度．（结果取整数）（参考数据： ， ，
）
【答案】190厘米
【解析】
【分析】过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为点 ，过点 作
，垂足为点 ，如图所示，在 中，解直角三角形得到 ，结合矩形性质与旋
转性质得到 ，在 中，求出 ，再由矩形的判定与性质即可得到答案．
【详解】解：过点 作 ，垂足为点 M，过点 作 ，垂足为点 P，过点 作
，垂足为点N，如图所示：由题意得： 厘米， ，
∵ ，
∴ ，则 ，
在 中， （厘米），
∵四边形 是矩形，
∴ ，
由旋转所得 ，则 ，
在 中， （厘米），
∴ （厘米），
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ （厘米），
∵点 到地面的距离是110厘米，
∴点 到地面的距离是 厘米 厘米,
答：点 到地面的距离为190厘米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及点到直线距离、矩形的判定与性质、旋转性质等知识，读懂
题意，建立数学模型，运用所学知识求解是解决问题的关键．
20. 如图，已知 是⊙O的直径，C为⊙O上一点， 的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交 的延长线于点E．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求DE的长．
【答案】（1）见详解 （2）3
【解析】
【分析】（1）连接 ，先由 ，可得 ，再由 是⊙O的切线，可得 ，
，即可求证．
（2）先由 的值得出 和 的关系，在利用勾股定理求得 的长，通过推理可证
，得出成比例线段求解．
【小问1详解】
连接 ，如图
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
的
∵ 是⊙O 切线，
∴ ， ，
∴ ．
【小问2详解】
∵ 是⊙O的直径，
∴ ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及三角函数逆运用，解答此题的关键是作出辅助线．
六、解答题（本题满分12分）
21. 2022年9月开始，劳动课将正式成为中小学的一门独立课程，安庆市某中学提前尝试建立劳动教育实
践基地，将劳动教育纳入日常教育教学中．某日，学校从七、八年级班级管理的花圃中，分别随机抽取了
20个花圃对管理情况进行了评分（满分100分，数据分组为A组， ，B组： ，C
组： ，D组： ， 表示评分的分数），现将评分情况绘制成了不完整的统计图：
（1）补全图①中的条形统计图；图②中C组所对应的圆心角为__________；
（2）若八年级B组得分情况为89，88，87，87，86，85．
①八年级B组得分的方差为__________；
②八年级20个花圃得分的中位数为__________分；
（3）若90分以上为“五星花圃”，七、八年级各有200个花圃，估计七、八年级的花圃中“五星花圃”
共多少个?
【答案】（1）图见解析，
（2）① ；②
（3）估计七、八年级的花圃中“五星花圃”的数量为：110个．
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图分析计算即可；
（2）①根据给定的数据先计算 组得分的平均值，再利用方差计算公式计算即可；
②根据扇形统计图分别计算评分为A、B、C、D四组花圃个数，确定按从小到大排列后第10、11两个数据的值，再根据中位数的求法计算即可；
（3）先分别计算抽查的七、八年级管理的花圃得分在90分以上数量，再根据抽查的得分在90分以上的花
圃数量与抽查总数的比值估算七、八年级200个花圃中“五星花圃”的数量．
【小问1详解】
解：由图①可知，七年级管理的花圃中，评分B组的个数为 ，
故可补画条形统计图如下：
由图②可知，八年级班级管理的花圃中，评分C组的占比为 ，
故 部分所占的圆心角为 ．
故答案为： ；
【小问2详解】
解：①由题意可知，B组得分的平均数为： ，
故方差为 ；
②由题意可知，八年级20个花圃得分情况为
A组 个，
若将20个数据按从小到大排列，其中中位数为第10、11两个分数的平均数，即B组中86和87两个分数
的平均数，
所以八年级20个花圃得分的中位数为 ．故答案为：① ；② ；
【小问3详解】
解：抽查的七年级管理的花圃得分在90分以上的有3个，抽查的八年级管理的花圃得分在90分以上的有8
个，
所以可估计七、八年级各200个花圃中“五星花圃”的数量为： 个．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图、方差、中位数的知识以及利用样本所占百分比估计总
体的数量的知识，解题关键是熟练掌握相关概念及计算方法．
七、解答题（本题满分12分）
22. 已知：如图，等腰直角 中， ，点D是直线 上一个动点，以 为底边作等腰
直角 ，连接 并延长交直线 于点F，点G为 的中点，连接 ．
（1）如图1，若点D在线段 上，
求证：① ；
② ．
（2）如图2，若点D在线段 的延长线上， 与 相交于点H，当 与 全等时，求
的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析（2）
【解析】
【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得到 ，则 ，
又 ，即可证明 ；②可得
，则 ，得到E为 的中点，由 ，得到
，则点A，B，D，F在以点E为圆心， 为半径的圆上，故 ；
②先证明 ， 为 的中点，由平行线分线段成比例定理得到E为 的中点，由直角三角形
得到 ，则点A，B，D，F在以点E为圆心， 为半径的圆上，故 ，
则 ；
（2）过E作 ，垂足为M，则 ，那么 ，那么 ，由
与 全等， 为腰，得到 ，而 ， ，故
，可得 由（1）同理得：E为 的中点， ．可得 ，
则 ，设 ， 解三角形得到 ，那么 ，即可求解．
【小问1详解】
证明：①∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，∵点G为 的中点，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
，
，即 ，
又∵ ，
；
② ，
，
G为 的中点，且 ，
，
，
，
，
，
为 的中点，
∴ ，
E为 的中点，
，
，
点A，B，D，F在以点E为圆心， 为半径的圆上，
，；
【小问2详解】
解：过E作 ，垂足为M，
∵
∴ ，
，
，
与 全等， 为腰，
，
， ，
，
，
由（1）同理得：E为 的中点， ．
，
∴ ，，
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，四点共圆，直角三角
形斜边中线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
八、解答题（本题满分14分）
23. 已知：直线 经过点 ，抛物线 与x轴交于B，C两点（点B在点
C的左侧），抛物线 的顶点为D，抛物线 与交y轴于点E．
（1）求点B，点C的坐标（用含字母a的代数式表示）；
（2）连接 ，求线段 的最小值；
（3）当直线 恰好经过点E时，求a的值．
【答案】（1）
（2） 的最小值为1
（3） ，
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与一次函数的综合问题，二次函数图象与坐标轴的交点问题，
熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）令 ，求出 ，再由又点 在直线 ，得到，即可求出点 ；
（2）先表示出 ，而 ，那么 ，化简转化为二次
函数求最值，再求 的最小值；
（3）设直线 为 ，将 代入，求得直线 为 ，可得
，那么 ，由于直线 经过点E，则 ，即可求解．
【小问1详解】
解：令 ，得 ， ，
即 与x轴交点为 ，
又点 在直线 ，
，
点B在点C左边，
；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴对称轴为直线： ，
将 代入 得：
∴ ，
∵ ，
∴ ，当 时 最小值为1，即 的最小值为1
【小问3详解】
解：设直线 为 ，将 代入
求得 ， ，
直线 为 ，
∵
∴ ，
当 时 ，
直线 经过点E，
， ．
