文档内容
2025 年初中毕业学业考试模拟试卷数学试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出 四个选
项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是
互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：A．
2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视
图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体
的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可．
【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，
形状如图所示：故选：C．
3. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了乘法公式，合并同类项，幂的乘方，单项式乘法，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、 ，原选项错误，不符合题意；
B、 ，正确，符合题意；
C、 ，原选项错误，不符合题意；
D、 ，原选项错误，不符合题意；
故选：B ．
4. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约
为 ，将数据0.00000117用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为 ，其中 ，n为
由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定 a 与 n 的值是解题的关键．这里的
．
【详解】解： ．
故选：A．5. 如图，已知双曲线 与直线 交于 、 两点（点 在点 的左侧），过点 作 轴垂线，过
点 作 轴垂线，两条垂线交于点 ，若 的面积为8，则 的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想是解题的关键．
设点A的坐标为 ，根据题意可得点B的坐标为 ，从而得到 ，然
后根据 的面积为8，即可求解．
【详解】解：设点A的坐标为 ，
∵双曲线 与直线 交于 、 两点，
∴点A，B两点关于原点对称，
∴点B的坐标为 ，
∵过点 作 轴垂线，过点 作 轴垂线，两条垂线交于点 ，
∴ ，
∵ 的面积为8，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B
6. 如图， 是 的直径且 ，弦 与 相交于点 ，连接 ， ．若 ，则
的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求弧长．连接 ，根据 ，可得 ，从而得到
，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵直径 ，
∴半径为1，
∴ 的长度为 ．
故选：C
7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，
在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的
光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若 ，则 的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质．根据平行可得 ， ，最后代入 计
算即可．
【详解】解： 光线平行，
，
水面和玻璃底部平行，
，
，
∴ ，
故选：A．
8. 在菱形 中，已知 与 相交于点 ，点 为 上一点，将 沿
着 翻折得到 ，使点 落在边 上，则 的长为（ ）A. B. 2.5 C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱
形和折叠的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得 ，
，利用勾股定理可得 ，再设 ，则 ，根
据折叠的性质可得 ，然后证出 ，根据等腰三
角形的判定可得 ，最后在 中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：∵在菱形 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵点 为 上一点，
∴ ，由折叠的性质得： ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得 ，符合题意，
∴ ，
故选：D．
9. 已知一次函数 的图象，那么 的大致图象是（ ）
A. B.C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质．根据一次函数图象可得 ，
，可排除A选项；再由二次函数与x轴的交点坐标为 ，可排除D选项；然后根
据二次函数的顶点纵坐标为 ，可排除B选项．
【详解】解：观察一次函数图象得：一次函数 的图象经过第一，三，四象限，
∴ ， ，
∴二次函数 的图象开口向上，且对称轴 ，故A选项不符合题意；
对于 ，
当 时， ，
解得： ，
∴二次函数与x轴的交点坐标为 ，故D选项不符合题意；
∵ ，∴二次函数的顶点纵坐标为 ，
∵ ，
∴二次函数的顶点在x轴的下方，且到x轴的距离小于 ，故B选项不符合题意；
故选：C
10. 如 图 ， 四 边 形 为 某 个 圆 的 内 接 四 边 形 ， 已 知
，连接 ，点 为 上的一动点，以点 为
顶点构造 ，满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆内接四边形对角互补， ，先证四边形 是等腰梯形，如图，当点E与点C重
合时，点F位于 处，当点E与点A重合时，点F位于 处，连接 交 于点H，证明
，推出 ，由垂线段最短可知当点F与点H重合时， 取最小值，设
，则 ， ，根据 列方程求出x的值
即可．
【详解】解： 四边形 为某个圆的内接四边形，
，，
，
，
四边形 是等腰梯形，
．
，
，
，
， ．
如图，当点E与点C重合时，点F位于 处，当点E与点A重合时，点F位于 处，连接 交 于
点H，
由题意知， ，
，
，即
又 ，即 ，
，
，
，， ，
，
，即 ，垂足为H，
由垂线段最短可知当点F与点H重合时， 取最小值，
设 ，则 ，
在 中， ，
， ，
在 中， ，
，即 ，
解得 ，即 ，
的最小值为 ，
故选C．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，相似三角表的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股
定理，垂线段的性质等，找出 取最小值时点F的位置是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式3x>2x+4的解集是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的性质在不等式的两边同时减去2x即可求出x的取值范围．
【详解】解：3x＞2x+4，
两边同时减去2x，
∴x＞4，
故答案为： .
【点睛】本题主要考查解不等式，要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变，难度不大．
12. 分解因式： _____．
【答案】
【解析】
【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：
原式 ，
故答案为： ．
13. 七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间广为流传的一种智力玩具，也被誉为“东方魔方”，它是由
5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成的．如图1是一个正方形纸板做成的七巧板．图2
是由图1拼成的平行四边形 ，连接 ，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识．过点 D 作
交 的延长线于点E，则 ，求出 ， ，根据正切
的定义即可求出答案．
【详解】解：如图，过点D作 交 的延长线于点E，则 ，设大正方形的边长为 ，则 ,
∴大正方形的对角线长为 ，即 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴
∴
故答案为： ．
14. 某校演讲报告厅的主席台共有7级台阶，上台可以1步登1级，也可以1步登2级，小明同学要登台阶
上台演讲，准备5步走完，则：
（1）小明同学登上主席台_______步登1级，_____步登2级；
（2）小明同学登上主席台，其中第三步走2级的概率为_____．
【答案】 ①. 3 ②. 2 ③.【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，利用列表法或树状图法求概率：
（1）设登上主席台x步登1级，y步登2级，根据“共有7级台阶，准备5步走完”，列出方程组，即可
求解；
（2）根据题意，列出表格，可得1步登2级的共有20中情况，其中第三步走2级的有8种，再根据概率
公式计算，即可解答．
【详解】解：（1）设登上主席台x步登1级，y步登2级，根据题意得：
，
解得： ，
答：有1步登2级有2步，1步登1级有3步；
故答案为：3；2
（2）根据题意，列表如下：
一 二 三 四 五
一 二，一 三，一 四，一 五，一
二 一，二 三，二 四，二 五，二
三 一，三 二，三 四，三 五，三
四 一，四 二，四 三，三 五，四
五 一，五 二，五 三，四 四，五
1步登2级的共有20中情况，其中第三步走2级的有8种，
所以第三步走2级的概率为 ．
故答案为：
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，先计算负整数次幂，二次根式的乘法，特殊角三角函数值，再进行加
减运算．
【详解】解：
．
16. 化简： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算，先化为同分母分式，将分子相加，再观察能否约分化简即可．
【详解】解：
．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ，格点（网格线的
交点） 的坐标分别为 ．（1）将 绕点 顺时针旋转 得到 ，画出 ；
（2）只用无刻度的直尺作出 的垂直平分线交 轴于点 ，并写出点 的坐标．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析，
【解析】
【分析】（1）分别确定 绕点 顺时针旋转 的对应点 ，再顺次连接即可；
（2）如图，取格点 ，作直线 ，则直线 为 的垂直平分线，再结合图形求解 的坐标即可.
【小问1详解】
解：如图， 即为所求；
【小问2详解】解：如图，取格点 ，作直线 ，则直线 为 的垂直平分线；
理由：由勾股定理可得：
， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴直线 为 的垂直平分线，
∴直线 与 轴的交点 与 重合，
∴ .
【点睛】本题考查的是旋转的性质，坐标与图形，线段的垂直平分线的判定，正方形的判定与性质，勾股
定理与勾股定理的逆定理的应用，熟练的画图是解本题的关键.
18. 测角仪的工作原理主要基于光学原理和电子测量技术，某兴趣小组为了探究测角仪器的工作原理，在
物理老师的指导下制作了简易的测角仪器并且用于实践活动中，他们要用测角仪测量安徽境内一座大桥
的高度（如图1），并设计了方案：如图2，点 依次在同一条水平直线上， ，垂足
为 ．在 处测得桥塔顶部 的仰角 为 ，测得桥塔底部 的俯角 为米，在点 处测得桥塔顶部 的仰角 为 ．求桥塔 的高度．（结果精确到
0.1米．参考数据： ．）
【答案】桥塔 的高度约为
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键．设 ，解 ，得到
．解 ，求出 ，再求出求出 ，根据 即可得到答案．
【详解】解：设 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
解得： ．
， ，
．．
答：桥塔 的高度约为 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，以 为直径作 ，弦 ，连接 并延长交圆于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理得出 ，根据平行线的性质得出 ，即可
证明结论；
（2）根据勾股定理求出 ，根据垂径定理得出 ，证明
， 得 出 ， 求 出 ， 根 据 勾 股 定 理 求 出
即可得出答案．
【小问1详解】
证明：如图所示：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
20. 【观察思考】
【规律发现】
请用含 的式子填空：
（1）在第1排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为1，第2个图案中“矩形”的个数可表示为 ，
第 3 个图案中“矩形”的个数可表示为 ，第 4 个图案中“矩形”的个数可表示为
，第 个图案中“矩形”的个数可表示为___________；
（2）在第2排中，第 个图案中“矩形”的个数可表示为___________
（3）在第 排中，第 个图案中“矩形”的个数可表示为___________
【规律应用】
（4）当 时，结合图案中“矩形”的排列方式及上述规律，是否存在正整数 ，使得第 排第 个
图案中“矩形”的个数为225？
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）存在正整数 ，使得第
排第 个图案中“矩形”的个数为225
【解析】
【分析】本题主要考查了图形类规律题，解一元二次方程，根据题意得到规律是解题的关键．
（1）根据题意规律可得第 个图案中“矩形”的个数可表示为
；
（2）根据题意求出在第2排中，前4个图案中“矩形”的个数，可得到规律即可；
（3）求出在第3排中，第 个图案中“矩形”的个数可表示为 ，可得到规律即可；（4）根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：在第1排中，第 个图案中“矩形”的个数可表示为
；
故答案 为：
（2）根据题意得：在第2排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为 ，
在第2排中，第2个图案中“矩形”的个数可表示为 ，
在第2排中，第3个图案中“矩形”的个数可表示为 ，
在第2排中，第4个图案中“矩形”的个数可表示为 ，
……
在第2排中，第 个图案中“矩形”的个数可表示为 ；
故答案为：
（3）根据题意得：在第3排中，第1个图案中“矩形”的个数可表示为 ，
在第3排中，第2个图案中“矩形”的个数可表示为 ，
在第3排中，第3个图案中“矩形”的个数可表示为 ，
在第3排中，第4个图案中“矩形”的个数可表示为 ，
……
在第3排中，第 个图案中“矩形”的个数可表示为 ，
……
在第 排中，第 个图案中“矩形” 的个数可表示为 ；故答案为：
（4）根据题意得： ，
∴ （负值舍去），
解得： 或 （舍去），
∴存在正整数 ，使得第 排第 个图案中“矩形”的个数为225．
21. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取
名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于 分（成绩得分用
表示，共分成四组： ． ； ． ； ． ； ． ），下
面给出了部分信息：
七年级 名学生的竞赛成绩为：
66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，
86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.
八年级 名学生的竞赛成绩在 组的数据是：81，82，84，87，88，89．
七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
七 年 八 年
年级
级 级
平 均
数
中 位
数
众数根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ______， ______， ______；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由
（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有 名学生，八年级有 名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参
加此次安全知识竞赛成绩优秀 的学生人数是多少？
【答案】（1） ， ， ；
（2）八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析；
（3）该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是 人．
【解析】
【分析】（ ）根据表格及题意可直接进行求解；
（ ）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果；
（ ）由题意可得出参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，然后可进行求解；
本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题
的关键．
【小问1详解】
根据七年级学生竞赛成绩可知： 出现次数最多，则众数为 ，
八年级竞赛成绩中 组： （人），
组： （人），
组： 人，所占百分比为组： （人）所占百分比为 ，则 ，
∴八年级的中位数为第 个同学竞赛成绩的平均数，
即 组第 个同学竞赛成绩的平均数 ，
故答案为： ， ， ；
【小问2详解】
八年级学生竞赛成绩较好，理由：
七、八年级的平均分均为 分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较
好；
【小问3详解】
（人），
答：该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是 人．
22. 如图，五边形 ，延长 交于点 ．
（1）求证∶ 平分 ；
（2）若点 是 的中点，
①求证： ；
②若 ，求点 到 的距离．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②1
【解析】
【分析】本题主要查了三角形中位线定理，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的
判定和性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）根据 以及 ，可得 ，即可求证；
（2）①根据点 是 的中点以及 ，可得 ，从而得到 ，即可求证；②过
点A作 于点G，过点B作 于点H，由①得： 是 的中位线，可得
， ，然后在 和 中，根据勾股定理可得
，从而得到 ，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 平分 ；
【小问2详解】
①证明：∵点 是 的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ；
②解：如图，过点A作 于点G，过点B作 于点H，
由①得： 是 的中位线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即点 到 的距离为1．
23. 如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图 2，以水平地面为 轴，以
停车棚支柱 为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则棚顶的竖直高度 （单位：m）与距离停车棚
支柱 的水平距离 （单位： ）近似满足二次函数关系 的图象，其中点 距地
面 ，点 为车棚最远端上的一点，距离停车棚支柱 的水平距离为 ，距地面 ．
（1）求二次函数的解析式；
的
（2）某校数学兴趣小组研究一辆货车能否在如图2所示 停车棚下避雨，他们将货车截面看作长
，高 的矩形．通过计算，发现货车能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计
算说明理由；
（3）如图，雨点沿着与地面的夹角为 的方向直线落下，若问题（2）中的货车上货箱底部距地面
（货箱和货物都看作一个矩形），请通过计算说明在货箱底部不会淋雨的情况下，货车最多还能装超出货箱多高的货物？（参考数据： ，结果精确到 ）
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数 的应用，根据题意构建二次函数模型是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解；
（2）求出 时对应的y值，与货车的高比较大小即可；
（3）过点B作 轴，垂足为M，设G为货箱底部最外点，过G作 ，垂足为H，计算出
，进而求出点C的横坐标以及对应的y值，减去货车高度即为所求．
【小问1详解】
解：由题意知 ， ，代入 ，得：
，
解得 ，
二次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解：∵ ，棚顶外沿B距车棚支柱 的水平距离为 ，
∴ ，
在 中，当 时， ，
∵ ，
∴可判定货车能完全停到车棚内；
【小问3详解】
解：如图，过点B作 轴，垂足为M，设G为货箱底部最外点，过G作 ，垂足为H，由题意知，在 中， ， ，
，
，
设 ，则 ，
由勾股定理得 ，
解得 ，
则点C的横坐标为： ，
当 时， ，
，
即货车最多还能装超出货箱 的货物．
