文档内容
合肥市第三十八中学教育集团信心信息卷
数学试题卷
温馨提示：
1．数学试卷6页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间．
2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题．
3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷．
4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查的目的是使学生理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法.
根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数，1的倒数是1，0没有倒数.
【详解】∵ ，
∴ 的倒数是
故选：B.
2. 据统计，截至2025年初引江济淮二期工程累计完成投资 亿元，占二期工程总投资的 ．其中
亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝
对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于 10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，
n是负整数．
【详解】解：将数据102.7 亿= = ；
故选：C．
3. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】考查了由三视图判断几何体的知识，解题时要认真审题，仔细观察，注意合理地判断空间几何体
的形状．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，通过对比组合图形的长、宽、
高的关系即可得到答案．
【详解】解：由几何体的三视图，可得这个几何体是
．
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的
关键．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
5. 已知不等式组 其解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共
部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．因此，
．
不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向
左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，
那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；
“＜”，“＞”要用空心圆点表示．故选D．
6. 点 在反比例函数 图象上，则下列各点在此函数图象上 的是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把点 的坐标代入反比例函数 ，求出k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，
得出答案．
【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴此函数图象上点的坐标特征为： ，
∵ ， ， ， ，
∴ 在此函数图象上，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；掌握反比例函数图象上点的坐标特征，即纵横坐标
的积等于k（定值）是解决问题的关键．
7. “低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合
发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作条告》．如图，这是某研
究院关于低空经济市场规模的统计图：
根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（ ）
A. 2021至2026年低空经济市场规模逐年上升B. 2023年低空经济市场规模增量最多
C. 从2024年开始低空经济市场规模增长率变小
D. 2026年低空经济市场规模将突破万亿元
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图以及折线统计图的相关信息，根据统计图的信息一一计算分析判断即
可．
【详解】解：A．2021至2026年低空经济市场规模逐年上升，说法正确，故该选项不符合题意；
B．2022年到2025年增量分别为：868.9，1278.8，1643，1889.2，2026年增量为：
，故增量最多的年份是2026年，原说法错误，故该选项符合题意；
C．从2024年开始低空经济市场规模增长率变小，说法正确，故该选项不符合题意；
D．2026年低空经济市场规模为 ，原说法正确，故该选项不符合题意；
故选：B．
8. 已知实数 满足 ， ，则（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了完全平方公式，不等式的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
将 代入 得到 ，即可求出 ；然后由 得到 ，代
入 得到 ．
【详解】∵
∴
∴
∴ ；∵
∴
∴ ．
故选：A．
9. 已知反比例函数 的图象如图所示，则一次函数 和二次函数 在同一直角
坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y
轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再
与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数 的图象在二、四象限，
∴b＜0，
A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，B错误；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，C错误；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＜0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进
行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
10. 如图，在 中， ， ，分别以 ， 为边向外作正方形 ，
．连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 分别交 ， ， 于点 ，
， ，则下列比值为定值的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ， ， ，则 ， ，
即可证明 ，有 和 ，根据平行线的性质得
，可得到 ，即可求得 ， ， ，和 即可．
【详解】解：设 ， ， ，
四边形 和 为正方形
∵
， ，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴ ，
∴
则 ， ，
在 ， ，
在 ， ，
即 ，，
那么， ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等
腰三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识点，解题的关键是熟悉解直角三角形和正方形的性质．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 设n为正整数，且n＜ ＜n+1，则n的值为_____．
【答案】8
【解析】
【详解】∵8＜65＜81，
∴8＜ ＜9，
∴n=8．
故答案为8．
12. 化简： _______．
【答案】x
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减．先通分，再利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果．
【详解】解：，
故答案为：x．
13. 在物理课上，某实验的电路图如图所示，其中 表示电路的开关， 表示小灯泡．当随
机闭合开关 中的两个时，有两个灯泡发光的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法与画树状图求概率，采用列表法列出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利
用概率公式进行计算即可求解．
【详解】列表如下：
）
共有6种情况，必须闭合开关 、 有两个灯泡发光，即能让灯泡发光的概率是 ，故答案为： ．14. 如图，在正方形 中，E，F分别是 上的点，且 ，连接 ，点G
是 的中点，连接 并延长交 于点K．
（1） ______ ；
（2）连接 ，当线段 取最小值时， 的值为______．
【答案】 ①. 90 ②.
【解析】
【分析】本题考查四边形综合题，涉及 所对的弦是直径、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正切
等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
（1）由正方形的性质及全等三角形的判定得出 ，得到 ，继而根据三角
形内角和 解得 即可解题；
（2）根据 所对的弦是直径，得到 在以 为直径的半圆上，连接 交半圆于点 ，计算
，即可求解．
【详解】解：（1）在正方形 中， ， ，
如图所示，在 与 中，
，
，
，
∵ 是 中点， 是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：90；
（2）解： ，
在以 为直径的半圆 上，如图，连接 交半圆 于点 ，
，
，∵ ，
，
，
，
，
设 ，
，
，
，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先通过特殊角的三角函数值，有理数的乘方，化简绝对值分别计算，
然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将线段 向右平移3个单位，得到 ，请画出 ；
（2）以点B为旋转中心，将 按逆时针方向旋转90°，得到 ，画出 ；
（3）用无刻度直尺过点A作 的垂线，交 于点H，标出点H（保留关键作图痕迹，无需写作法）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】(1)将点B、C分别右平移3个单位，得到点D、E，再连接 即可；
(2)将点A、C绕点B逆时针方向旋转90°得点 、 ，再连接 、 、 即可；
(3)将线段 向右平移1个单位，再向上平移2个单位，则点 平移后与点A重合，并且延长交 于H
即可．
【小问1详解】
解∶如图所示，线段 即为所作；【小问2详解】
解∶如图所示，线段 即为所作；
【小问3详解】
解∶如图所示，直线 即为所作．
由（2）作图可知： ，
又根据平移可知 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了作图 平移变换，旋转变换，熟练掌握根据平移和旋转的性质作图是解题的关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 我国古代数学著作《九章算术》中记载以下问题：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南
海，今凫雁俱起，问何日相逢？意思是：野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海，
野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过几天相遇？请解决上述问题．
【答案】经过 天相遇
【解析】
【分析】把总路程看作单位“1”，从而可得野鸭与大雁每天的速度，即可列出方程，解答即可得到答案．
【详解】解：设经过 天相遇，
根据题意可得：
，
解得： ，
经过 天相遇．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确列出一元一次方程是解题的关键．
18. 观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
第5个等式： ，
……
按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式：___________(用含n的等式表示)，并证明．
【答案】（1） ；（2） ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据观察到的规律写出第6个等式即可；
（2）根据观察到的规律写出第n个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证．
【详解】（1）观察可知第6个等式为： ，
故答案为： ；
（2）猜想： ，
证明：左边= = = =1，
右边=1，
∴左边=右边，
∴原等式成立，
∴第n个等式为： ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了规律题，通过观察、归纳、抽象出等式的规律与序号的关系是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，这是小雅同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置．已知试管 ，
，试管倾斜角 为 ．实验时，导气管紧贴水槽 ，延长 ，交 的延长线于点 ，
且 ， （点 在同一条直线上）．经测量，得 ，， ．请求出铁架杆 与水槽 之间的水平距离 ．（结果精确到 ，
参考数据： ， ， ）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．
如图，过点 分别作 于点 ， 于点 ，在 中，有正余弦可得∴
， ， ， ，
由题意得到， ， ，由
即可求解．
【详解】解：如图，过点 分别作 于点 ， 于点 ，
， ，
．
，
四边形 是矩形，
， ，在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
， ， ，
，
， ，
．
20. 如图，在四边形 中， ，以 为直径作 交 于点E，交 于点H， 平
分 ， 与 相切于点D．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）25
【解析】
【分析】根据角平分线的定义得到 ，由切线的性质证明 ，进一步即可
得到结论；
（2）连接 ，得到 ，进而得出 ，得到 ，根据勾股定理得到 ，即可得到答案．
【小问1详解】
解： 平分 ， 为 的切线，
；
【小问2详解】
连接 ，则 ，
∴
的半径为25．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，三角函数的定义，正确的作辅助线
是解题的关键．
六、（本题满分12分）21. 近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、
家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调
查统计，为人工智能的开发者提供一些参考．
【数据收集与整理】
研究小组对市面上不同的AI软件进行整理，请使用者进行评价打分．从使用较好甲、乙两款AI软件的评
价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理．成绩均高于90分（成绩得分
用x表示，共分为五组：A： ；B： ；C： ；D： ；E：
）
下面给出了部分信息：甲款AI软件20名使用者打分为：
92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100．
乙款AI软件20名使用者打分在B等级的数据是：97，97，98，98，98，98．
乙款AI软件抽取的使用者打扮统计图
甲、乙两款AI软件抽取的使用者打分统计表
类型 平均数 众数 中位数
甲款
AI软 a
件
乙款
AI软 99 b
件
（1）上述表中 __________； __________；
【数据分析与运用】
（2）求扇形统计图中A组所占圆心角的度数．
（3）下列结论一定正确的是__________．
①甲乙两款AI样本数据的中位数均在A组；②得分96分以上的样本数据甲乙一样多；
③甲乙两款AI样本数据的满分一样多．
（4）根据甲、乙两款AI软件样本的特征数，试估计哪款AI软件更优，并说明理由．
【答案】（1） ， （2） （3）②（4）甲款AI软件更优，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据众数的定义，根据中位数的定义计算判断解答即可．
（2）根据圆心角等于所占百分比乘以周角，计算即可．
（3）根据样本，计算各自的中位数，满分人数，96分以上人数，后比较判定解答即可．
（4）根据中位数，众数决策即可．
【详解】（1）解：∵100出现了7次，次数最多，
故 ；
根据题意，得中位数是第10个，第11个数据的平均数，
∵A等级的人数为 人，
B等级从小到大排序为：97，97，98，98，98，98．
第10个，第11个数为98，98，
故中位数为 ．
故答案为：100，98．
（2）解：A等级所占圆心角为： ．
（3）解：根据题意，得甲的中位数是 ，在A组；乙的中位数是 ，在B组；故①错误；
样本数据甲得分96分以上的人数为14人；样本数据乙得分96分以上的人数为 人；
故②正确；
样本数据甲得满分的人数为7人；样本数据乙得满分人数无法确定；
故③错误．
故选：②．
（4）解：∵甲、乙两款AI软件的平均数相同，而甲款AI软件的众数和中位数都大于乙款AI软件的众数
和中位数，
∴甲款AI软件更优．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，众数、中位数的计算，圆心角计算，读懂统计图，熟练掌握圆心角，中位数的计算是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在 和 中， ，连接
．
（1）如图1，求证： ；
（2）当点D恰好落在 的中线 的延长线上时，延长 交 于点G，求 的长；
（3）将 绕点B旋转，试探究A，D，E三点，能否构成以 为直角边的直角三角形；若能，请直
接写出线段 的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）能， 或
【解析】
【分析】（1）根据题意可证明 ，再通过两条边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似
证明即可.
（2）由 是中线，可证 ，则四边形 是平行四边形， 是矩形，再通过
两组对角相等可证 ，然后可得 ，再根据勾股定理得
，最后算出 的值.
（3）分两种情况：如图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答．【小问1详解】
解 ，
，
【
小问2详解】
延长 交 于H，连接 交 于M，
由（1）知 ，
是中线， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
是矩形，，
，
设 ，
，
，
由勾股定理得： ，即 ，解得 ，
；
【小问3详解】
能， 或 ．
分两种情况：①如图， ，过点B作 于点Q，过点D作 于P，
∴∴四边形 是矩形
∴
设
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴ ，即
∴
在 中，
∴
解得： （负值舍去）
∵
∴ ，即∴
①如图， ，过点B作 于点Q，
∴
∴四边形 是矩形
∴
∵
∴
由勾股定理得：
综上， 的长是 或
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形判定与性质、
矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数、中位线定理、直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识点是解
题的关键
八、（本题满分14分）
23. 已知二次函数 ．
（1）求该二次函数图象的对称轴．
（2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后与x轴只有一个交点，求该二次函数的表达式．
（3）已知 ， 和 是该二次函数图象上任意两点，若对 ， ，都满足 ，求证： ．
【答案】（1）直线
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解
此题的关键．
（1）将二次函数的解析式化为一般式，再由二次函数对称轴公式计算即可得解；
（2）先求出平移后的抛物线的解析式，再由该二次函数图象向上平移3个单位长度后与x只有一个交点得
出 ，计算即可得解；
（3）先求出 ，当 时， ，从而得出 ，即可得解．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴该二次函数图象的对称轴为直线 ；
【小问2详解】
解：将二次函数 向上平移3个单位长度后得到的解析式为 ，
∵该二次函数图象向上平移3个单位长度后与x轴只有一个交点，
∴ ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
∴抛物线的解析式为 ；【小问3详解】
证明：∵ 和 是该二次函数图象上任意两点，若对 ， ，都满足 ，
∴ ，
整理可得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，二次函数开口向下，
∴ ．
