文档内容
第 08 讲 二次函数（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）
【考纲要求】
1．二次函数的概念常为中档题．主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；
2．二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；
3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一
般较难，在解答题中出现．
【知识导图】
【考点梳理】
考点一、二次函数的定义
y ax2 bxc
一般地，如果 （a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．
考点二、二次函数的图象及性质
b 4acb2
,
y ax2 bxc 2a 4a
1.二次函数 (a≠0)的图象是一条抛物线，顶点为 ．
2.当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下．
3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大．
②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；
c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴．
③ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当 ab＝0时，对称轴为y轴；当ab＞0时，对称轴在y轴左侧；
当ab＜0时，对称轴在y轴的右侧．y a(xh)2 k y ax2
4.抛物线 的图象，可以由 的图象移动而得到．
y ax2 y ax2 k
将 向上移动k个单位得： ．
y ax2 y a(xh)2
将 向左移动h个单位得： ．
y ax2 y a(xh)2 k
将 先向上移动k(k＞0)个单位，再向右移动h(h＞0)个单位，即得函数 的图象．
5. 几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
( 轴) (0，0)
( 轴) (0， )
当 时
开口向上 ( ，0)
当 时
( ， )
开口向下
( )
考点三、二次函数的解析式
y ax2+bxc
1.一般式： (a≠0)．
y ax2 bxc
若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为 ，将已知条件代入，求出a、
b、c的值．
y a(xx )(xx )(a 0)
2.交点式（双根式）： 1 2 ．
若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为(x ，0)，(x ，0)，设所求二次函数为
1 2
y a(xx )(xx )
1 2 ，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，
最后将解析式化为一般形式．
y a(xh)2 k(a 0)
3.顶点式： ．
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为
y a(xh)2 k
，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．
y a(xx )(xx )m(a 0)
4.对称点式： 1 2 ．
若已知二次函数图象上两对称点(x，m)，(x，m)，则可设所求二次函数为
1 2
y a(xx )(xx )m(a 0)
1 2 ，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式．
y ax2 bxc
考点四、二次函数 (a≠0) 的图象的位置与系数a、b、c的关系
1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下．b b
0 0
2a 2a
2.对称轴： 时，对称轴在y轴的右侧；当 时，对称轴在y轴的左侧．
b2 4ac0 b2 4ac0 b2 4ac0
3.与x轴交点： 时，有两个交点； 时，有一个交点； 时，没有交点．
考点五、二次函数的最值
1.如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，
b 4acb2
x y
2a 最值 4a
即当 时， ．
b
2a
2.如果自变量的取值范围是x≤x≤x，那么，首先要看 是否在自变量的取值范围x≤x≤x 内．
1 2 1 2
①若在此范围内，则：
4acb2 b
y 此时,x
最小值 4a 2a
当a＞0时， ，
y ax2 bx c ax2 bx cax2 bx c
最大值 1 1 (此时， 1 1 2 2 )；
4acb2 b
y 此时,x
最大值 4a 2a
当a＜0时， ，
y ax2 bx c ax2 bx cax2 bx c
最小值 1 1 (此时， 1 1 2 2 )．
②若不在此范围内，则：
y ax2 bx c x x
当y随x的增大而增大时， 最大值 2 2 (此时， 2)，
y ax2 bx c
最小值 1 1 (此时，x＝x)；
1
y ax2 bx c x x
当y随x的增大而减小时， 最大值 1 1 (此时， 1)，
y ax2 bx c
最小值 2 2 (此时，x＝x)．
2
考点六、二次函数与一元二次方程的关系
函数 ，当 时，得到一元二次方程 ，那么一元
二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二
次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时 ，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
方程有两个相等实数解
方程有两个不等实数解 方程没有实数解
的解
【典型例题】
题型一、应用二次函数的定义求值
例1．已知抛物线y=（m-1）x2+mx+m2-4的图象过原点，且开口向上．
（1）求m= ，并写出函数解析式 ；
（2）写出函数图象的顶点坐标 及对称轴 ．
【思路点拨】
（1）直接根据抛物线的性质可知m-1＞0，m2-4=0，解之即可得到m=2，即y=x2+2x；
（2）y=x2+2x=（x+1）2-1直接可写出顶点坐标及对称轴．
【答案与解析】
（1）∵抛物线y=（m-1）x2+mx+m2-4的图象过原点，且开口向上，
∴m-1＞0，且m2-4=0，
解得m=±2，而m＞1，
∴m=2，
∴y=x2+2x；
（2）∵y=x2+2x=（x+1）2-1，
∴顶点坐标为（-1，-1），对称轴为x=-1．
【总结升华】
主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式和象限内点的坐标特点．
用待定系数法求函数解析式的一般步骤是：（1）写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；
（2）把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式．
y (m1)x2 3xm2 1
【变式】已知抛物线 过原点，求m．
【答案】
m2 10
解：由题意得 ，∴ m＝±1．
又∵ m-1≠0，∴ m≠1，∴ 取m＝-1．
题型二、二次函数的图象及性质的应用
y ax2 bxc
例2．已知点M(-2，5)，N(4，5)在抛物线 ，则抛物线的对称轴为________．
【思路点拨】
M(-2，5)，N(4，5)两点纵坐标相等，根据抛物线的对称性，对称轴为两点横坐标的平均数．
【答案】x＝1；
【解析】因为M(-2，5)，N(4，5)两点纵坐标相等，所以M，N两点关于抛物线的对称轴对称，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1．
【总结升华】抛物线上纵坐标相等的两点是关于抛物线的对称轴对称的两点．抛物线的对称性：当抛物线
上两点纵坐标相等时，对称轴为两点横坐标的平均数．
1
y x2 bxc
2
【变式1】如图，已知二次函数 的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点.
（1）求这个二次函数的解析式；
x
（2）设该二次函数的对称轴与 轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积.
y
A
O C x
B
【答案】
1
y x2 bxc
2
（1）把A（2，0）、B（0，－6）代入
22bc 0
c 6
得：
b 4
c 6
解得
1
y x2 4x6
2
∴这个二次函数的解析式为4
x 4
1
2( )
（2）∵该抛物线对称轴为直线 2
∴点C的坐标为（4，0）
AC OC OA 42 2
∴
1 1
S ACOB 26 6
ABC 2 2
∴ .
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C. 抛物线y=x2+bx+c
经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大
值；
（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M、F、B、P为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.
【答案】
解：（1）当y=0时，-3x-3=0，x=-1
∴A（-1，0）
当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3），
1-bc0 b2
c3 c3
∴ ∴ ，
抛物线的解析式是：y=x2-2x-3．
当y=0时，x2-2x-3=0，
解得：x=-1，x=3
1 2
∴B（3，0）．
（2）由（1）知B（3，0），C（0，-3）直线BC的解析式是：y=x-3，
设M（x，x-3）（0≤x≤3），则E（x，x2-2x-3）3 9
2 4
∴ME=（x-3）-（x2-2x-3）=-x2+3x=-（x- ）2+ ；
3 9
2 4
∴当x= 时，ME的最大值为 ．
（3）答：不存在．
9 3 15 3 3
4 2 4 2 2
由（2）知ME取最大值时ME= ，E（ ， ），M（ ，- ）
3 3
2 2
∴MF= ，BF=OB-OF= ．
设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥MF，BF∥PM．
3 3
2 2
∴P（0，- ）或P（3，- ）
1 2
3 3
2 2
当P（0，- ）时，由（1）知y=x2-2x-3=-3≠-
1
∴P 不在抛物线上．
1
3 3
2 2
当P（3，- ）时，由（1）知y=x2-2x-3=0≠-
2
∴P 不在抛物线上．
2
综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形．
题型三、求二次函数的解析式
y ax2 bxc
例3．抛物线 的顶点为(2，3)，且与x轴的两个交点之间的距离为6，求抛物线解析式．
【思路点拨】
已知了抛物线的对称轴方程和抛物线与x轴两交点间的距离，可求出抛物线与x轴两交点的坐标；然后用
待定系数法求出抛物线的解析式，
【答案与解析】
解：∵ 抛物线的顶点为(2，3)，
∴ 抛物线的对称轴为直线x＝2．
又∵ 抛物线与x轴的两个交点之间的距离为6，
根据抛物线的对称性知抛物线与x轴交点为(-1，0)，(5，0)．
y a(x2)2 3
设抛物线为 ，
∵ 过点(-1，0)，
a(12)2 30
∴ ．1
a
3
∴ ．
1
y (x2)2 3
3
∴ 抛物线解析式为 ．
1 4 5
y x2 x
3 3 3
即 ．
【总结升华】求二次函数解析式选择恰当的方法很重要，可以节省时间.
y ax2 bxc
【变式】请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数 (a≠0)的图象同时满足下列条件：
x2
①开口向下；②当 时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解
析式可以是___ _____．
b
2
2a
【答案】由①知a＜0，由②知抛物线的对称轴为直线x＝2，因此解析式满足 ，且a＜0即可．
y x2 4x5
答案： (答案不唯一)
题型四、二次函数图象的位置与a、b、c的关系
y ax2 bxc(a 0)
例4．已知二次函数 的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；
③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m(am+b)(m≠1的实数)．其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个 C． 4个 D．5个
【思路点拨】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛
物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【答案】B；
【解析】由图象可知a＜0，b＞0，c＞0，a-b+c＜0，a+b+c＞0，由对称性知，当x＝2时函数值大于零，
b
1
2a
∴ 4a+2b+c＞0，由对称性知9a+3b+c＜0，且 ，
9b
3bc0
2 2c3b
∴ ，∴ ．
b2a
把 代入a+b＞m(am+b)中可验证此项正确，故③④⑤正确．【总结升华】数形结合是解此类题的关键．难度较大，要求有很强的逻辑推理能力．
y ax2 bxc
【变式】如图所示的二次函数 的图象中，张凯同学观察得出了下面四条信息：
b2 4ac0
（1） ；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0.你认为其中错误的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
y
1
-1 O 1 x
【答案】D.（2）错了.
题型五、求二次函数的最值
y x2 10x5
例5．二次函数 的最小值为( )
A．-35 B．-30 C．-5 D．20
4acb2
4a
【思路点拨】直接套用求函数最值的公式即可，即y = ．
最值
【答案】B；
【解析】
y x2 10x5(x5)2 30
解析1：配方法化成顶点式来解， ，
y 30
因此当 x5 ， 最小 ．
b 10
5
2a 21
解析2：用顶点坐标公式： ，
4acb2 41(5)102
30
4a 41
．
【总结升华】求二次函数的最值有两种方法：一是用配方法化成顶点式，顶点纵坐标即为最值，二是用顶
b 4acb2
,
2a 4a
点坐标公式 来求．
题型六、二次函数综合题
例6．如左图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔
水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米(即MO＝6米)，小孔顶点N距水面4.5米(即NC＝4.5米)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助右图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．
【思路点拨】先求出大孔所在抛物线解析式，再由EF所在高度求出相应宽度EF．
【答案与解析】
y ax2 6
解：设抛物线解析式为 ．
依题意得，B(10，0)在图象上，
∴ a×102+6＝0，解得a＝-0.06．
y 0.06x2 6
∴ ．
0.06x2 64.5
当y＝4.5时， ，
x5
解得 ，
∴ DF＝5，EF＝10，即水面宽度为10米．
【总结升华】解决二次函数在物体运动或抛物线建筑方面的应用题，先求抛物线解析式，然后再具体问题
具体分析（即要求横向宽度找纵向条件，要求纵向高度找横向条件），充分体现了函数建模思想．
【变式1】如图所示，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动
员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起。
据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一
半．
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式。
4 3
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取 ≈7)
2 6
(3)运动员乙要抢到第二个落地点D，他应再向前跑多少米?(取 ≈5)
【答案】
y a(x6)2 4
(1)如图所示，设第一次落地时，抛物线的表达式为 ．由已知当x＝0时，y＝1．
1
a
136a4 12
即 ，∴ ．
1
y (x6)2 4
12
∴ 表达式为 ．1
(x6)2 40
12
(2)令y＝0， ．
(x6)2 48
∴ ．
x 4 36≈13 x 4 360
解得 1 ， 2 (舍去)．
∴ 足球第一次落地距守门员约13米．
(3)如图所示，第二次足球弹出后的距离为CD，
根据题意得CD＝EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位)，
1
2 (x6)2 4
12
∴ ，
x 62 6 x 62 6
解得 1 ， 2 ．
|x x |4 6≈10
∴ CD＝ 1 2 ．
∴ BD＝13-6+10＝17(米)．
答：他应再向前跑17米．
(m2)x2 (m1)xm0
【变式2】已知关于x的一元二次方程 .（其中m为实数），
（1）若此方程的一个非零实数根为k，
① 当k=m时，求m的值；
1
m(k )2k5
② 若记 k 为y，求y与m的关系式；
1
（2）当4＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.
【答案】
(m2)x2 (m1)xm0
解：（1）∵ k为 的实数根，
(m2)k2 (m1)km0
∴ .※
① 当k=m时，
∵ k为非零实数根，
(m2)m(m1)10
∴ m≠0，方程※两边都除以m，得 .
整理，得 m2 3m20.m 1 m 2
解得 1 ， 2 .
(m2)x2 (m1)xm0
∵ 是关于x的一元二次方程，∴m≠2.
∴m= 1.
② ∵k为原方程的非零实数根，
m
(m2)k(m1) 0
∴将方程※两边都除以k，得 k .
1
m(k )2k m1
整理，得 k .
1
ym(k )2k5m4
∴ k .
[(m1)]24m(m2)3m26m13m(m2)1
（2）解法一： .
1
当4＜m＜2时，m＞0，m2＜0.
3m(m2) 3m(m2)1
∴ ＞0， ＞1＞0，Δ＞0.
1
∴ 当4＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.
1
y(m2)x2 (m1)xm
解法二：直接分析4＜m＜2时，函数 的图象，
∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交，
∴ 该抛物线必与x轴有两个不同交点.
1
∴ 当4＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.
[(m1)]2 4m(m2)3m2 6m13(m1)2 4
解法三： .
3(m1)2 4
结合 关于m的图象可知，（如图）
1 37
当4＜m≤1时，16 ＜≤4；
当1＜m＜2时，1＜＜4.
1
∴ 当4＜m＜2时，＞0.
1
∴ 当4＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.【中考过关真题练】
一．选择题（共8小题）
1．（2022•资阳）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以
下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y
有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①：根据二次函数的对称轴 ，c＝1，即可判断出abc＞0；
②：结合图象发现，当x＝﹣1时，函数值大于1，代入即可判断；
③：结合图象发现，当x＝1时，函数值小于0，代入即可判断；
④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1），∴ ，c＝1，
∴ab＞0，
∴abc＞0，故①正确；
从图中可以看出，当x＝﹣1时，函数值大于1，
因此将x＝﹣1代入得，（﹣1）2⋅a+（﹣1）⋅b+c＞1，
即a﹣b+c＞1，故②正确；
∵ ，
∴b＝2a，
从图中可以看出，当x＝1时，函数值小于0，
∴a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，2），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2+2，
将（0，1）代入得，1＝a+2，
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+2，
∴当x＝1时，y＝﹣2；
∴根据二次函数的对称性，得到﹣3≤m≤﹣1，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象
和性质是本题的关键．
2．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的
值为（ ）
A． 或4 B． 或﹣ C．﹣ 或4 D．﹣ 或4
【分析】分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣ ．
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣ ；
综上所述：a的值为4或﹣ ，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指
定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
3．（2022•阜新）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点
【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；
C、根据对称轴公式计算；
D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【解答】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x＝﹣
＝ ，
∴C错误；D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正
比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
4．（2022•济南）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，
木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变
化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【分析】根据题意列出y与x的关系式可得答案．
【解答】解：由题意得，y＝40﹣2x，
所以y与x是一次函数关系，
故选：B．
【点评】此题考查了一次函数的应用等知识，理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数的解析式形式是解
题的关键．
5．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的对
称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④点
（﹣2，y ），（2，y ）都在抛物线上，则有y ＜0＜y .其中结论正确的个数是（ ）
1 2 1 2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称
轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为（3，0）；
①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c已经修改＞0，故abc＜0，
故①正确，符合题意；
②∵x＝﹣ ＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴②正确，符合题意；
③由图象知，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，
∴③错误，不符合题意；
④从图象看，当x＝﹣2时，y ＜0，
1
当x＝2时，y ＞0，
2
∴有y ＜0＜y ，
1 2
故④正确，符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和
二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时
（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物
线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与
x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6．（2022•淄博）若二次函数 y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣
4n+9的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用非负数的性质，利用配方法解决问题即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），
∴3＝a+2，
∴a＝1，
∴y＝x2+2，
∵Q（m，n）在y＝x2+2上，
∴n＝m2+2，
∴n2﹣4m2﹣4n+9＝（m2+2）2﹣4m2﹣4（m2+2）+9＝m4﹣4m2+5＝（m2﹣2）2+1，
∵（m2﹣2）2≥0，
∴n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为1．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图像上的点的坐标特征，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用配方法
解决问题．
7．（2022•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，
若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则
am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与 y轴的交点即可判断①；根据对称轴x＝﹣2，OA＝
5OB，可得OA＝5，OB＝1，点A（﹣5，0），点B（1，0），当x＝1时，y＝0即可判断②；根据对称轴
x＝﹣2，以及，a+b+c＝0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当 x＝﹣2时，y＝4a﹣
2b+c，即可判断④；
【解答】解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵对称轴为直线x＝﹣2，OA＝5OB，
可得OA＝5，OB＝1，
∴点A（﹣5，0），点B（1，0），
∴当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a+c﹣b）＝0，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，即﹣ ＝﹣2，
∴b＝4a，
∵a+b+c＝0，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴9a+4c＝﹣11a，
∵a＞0，
∴9a+4c＜0，故③正确；
④当x＝﹣2时，函数有最小值y＝4a﹣2b+c，
由am2+bm+c≥4a﹣2b+c，可得am2+bm+2b≥4a，
∴若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握
二次函数图象与系数的关系．
8．（2022•济南）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y
轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y ），N（m+1，y ）为图形
1 2
G上两点，若y ＜y ，则m的取值范围是（ ）
1 2
A．m＜﹣1或m＞0 B． ＜m＜ C．0≤m＜ D．﹣1＜m＜1【分析】通过计算可知，（m﹣1，1），（m+1，1）为抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2上关于对称轴对称的两
点，根据y轴与（m﹣1，1），（m+1，1）的相对位置分三种情形：①若m﹣1≥0，即（m﹣1，1）和
（m+1，1）在y轴右侧（包括（m﹣1，1）在y轴上），②当m+1≤0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y
轴左侧（包括（m+1，1）在y轴上），③当m﹣1＜0＜m+1，即（m﹣1，1）在y轴左侧，（m+1，1）在
y轴右侧时，分别讨论求解即可．
【解答】解：在y＝﹣x2+2mx﹣m2+2中，令x＝m﹣1，得y＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）﹣m2+2＝1，
令x＝m+1，得y＝﹣（m+1）2+2m（m+1）﹣m2+2＝1，
∴（m﹣1，1）和（m+1，1）是关于抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2对称轴对称的两点，
①若m﹣1≥0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴右侧（包括（m﹣1，1）在y轴上），
则点（m﹣1，1）经过翻折得M（m﹣1，y ），点（m+1，1）经过翻折得N（m+1，y ），
1 2
如图：
由对称性可知，y ＝y ，
1 2
∴此时不满足y ＜y ；
1 2
②当m+1≤0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴左侧（包括（m+1，1）在y轴上），
则点（m﹣1，1）即为M（m﹣1，y ），点（m+1，1）即为N（m+1，y ），
1 2
∴y ＝y ，
1 2
∴此时不满足y ＜y ；
1 2
③当m﹣1＜0＜m+1，即（m﹣1，1）在y轴左侧，（m+1，1）在y轴右侧时，如图：此时M（m﹣1，1），（m+1，1）翻折后得N，满足y ＜y ；
1 2
由m﹣1＜0＜m+1得：﹣1＜m＜1，
故选：D．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称翻折变换等知识，解题的关键是学会
用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．
二．填空题（共8小题）
9．（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向
击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时
间t为 2 s时，小球达到最高点．
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．
【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∵﹣5＜0，
∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，
已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底
部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝ x2+ x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘
的水平距离为 8 m时，竖直高度达到最大值．【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．
【解答】解：y＝ x2+ x+2＝﹣ （x﹣8）2+4，
∵﹣ ＜0，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为4，
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．
故答案为：8．
【点评】本题考查二次函数的应用，根据函数的性质求解是解题的关键．
11．（2022•六盘水）如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ﹣ 4 ．
【分析】根据二次函数图象得出其对称轴和与x轴交点，进而得出二次函数解析式，即可求出最小值．
【解答】解：由函数图象可得：﹣ ＝﹣ ＝﹣1，
解得：b＝2，
∵图象经过（﹣3，0）点，
∴0＝（﹣3）2﹣3×2+c，
解得：c＝﹣3，
故二次函数解析式为：y＝x2+2x﹣3，则二次函数的最小值为： ＝ ＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值以及二次函数的图象，正确求出二次函数解析式是解题关键．
12．（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平
面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣ x2+ x+ ，
则铅球推出的水平距离OA的长是 1 0 m．
【分析】根据题目中的函数解析式和图象可知，OA的长就是抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标的值，然
后令y＝0求出相应的x的值，即可得到OA的长．
【解答】解：∵y＝﹣ x2+ x+ ，
∴当y＝0时，0＝﹣ x2+ x+ ，
解得x ＝﹣2，x ＝10，
1 2
∴OA＝10m，
故答案为：10．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确OA的长就是抛物线与x轴正半轴的交点的横
坐标的值．
13．（2022•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：
①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜ 时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有
①②③ ．（填写代表正确结论的序号）【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线与y轴交点位置确定①③，根据x＝﹣2时判定②，由抛物
线图像性质判定④．
【解答】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝﹣2时，函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0，故正确；
③与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），则对称轴 ，故a+b＝0，故③正确；
④当 时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而增大．故④错误；
综上所述，正确的为①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，
及这些点代表的意义及函数特征．
14．（2022•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数 y＝ax2+bx+c
（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结
论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和
1；④若点（﹣4，y ），（﹣2，y ），（3，y ）均在二次函数图象上，则y ＜y ＜y ；⑤3a+c＜0，其中
1 2 3 1 2 3
正确的结论有 ①②③ .（填序号，多选、少选、错选都不得分）【分析】由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；
由抛物线的对称性可判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物
线过点（1，0）可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y ＞y ＞y ，④错误．
2 1 3
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及
不等式的关系．15．（2022•湘西州）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象
沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线 y＝﹣x+b与新图象
有4个交点时，b的取值范围是 ﹣ ＜ b ＜﹣ 1 ．
【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y
＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的
值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣
x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围．
【解答】解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x ＝﹣1，x ＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
1 2
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的
实数解，解得b＝﹣ ，
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为﹣ ＜b＜﹣1．
故答案为：﹣ ＜b＜﹣1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
16．（2022•荆门）如图，函数y＝ 的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直
线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）（x ＜x ＜x ）．设t＝
1 1 2 2 3 3 1 2 3
，则t的取值范围是 ＜ t ＜ 1 ．
【分析】根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x +x ＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，
1 2
可以求出x 的取值范围，进而求出t的范围．
3
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x +x ＝2，
1 2
由一次函数y＝﹣ x+ （x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝ ，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）（x ＜x ＜x ），
1 1 2 2 3 3 1 2 3
∴y ＝y ＝y ＝m，2＜m＜3，
1 2 3
∴2＜x ＜ ，
3
∴t＝ ＝ ，
∴ ＜t＜1．
故答案为： ＜t＜1．【点评】本题考查了二次函数的性质，函数的取值范围，数形结合的数学思想，关键是利用图象的特点表
示出各个变量的取值范围．
三．解答题（共9小题）
17．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n
阶方点”．例如，点（ ， ）是函数y＝x图象的“ 阶方点”；点（2，1）是函数y＝ 图象的“2阶方
点”．
（1）在①（﹣2，﹣ ）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝ 图象的“1阶方
点”的有 ②③ （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范
围．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方
点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数 y＝
﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
【解答】解：（1）①（﹣2，﹣ ）到两坐标轴的距离分别是2， ，
∵2＞1， ＜1，
∴（﹣2，﹣ ）不是反比例函数y＝ 图象的“1阶方点”；
②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1，1，
∵≤1，1≤1，
∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y＝ 图象的“1阶方点”；
③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1，1
∵1≤1，1≤1，
∴（1，1）是反比例函数y＝ 图象的“1阶方点”；
故答案为：②③；（2）∵当x＝3时，y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1＝1，
∴函数经过点（3，1），
如图1，在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶
方点”有且只有一个，
由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：a的值为3或﹣1；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数 y＝
﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，
如图2，当n＞0时，A（n，n），C（﹣n，﹣n），B（n，﹣n），D（﹣n，n），
当抛物线经过点B时，n＝1；
当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n＝ ；
∴ ≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；
综上所述：当 ≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．【点评】本题属于二次函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图
象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．
18．（2022•德州）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而
无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+1．
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，1），B（1，﹣2）， ．
求该二次函数的解析式．
（1）请根据已有信息添加一个适当的条件： C （ 2 ，﹣ 3 ）（答案不唯一） ；
（2）当函数值y＜6时，自变量x的取值范围： ﹣ 1 ＜ x ＜ 5 ；
（3）如图1，将函数y＝x2﹣4x+1（x＜0）的图象向右平移4个单位长度，与y＝x2﹣4x+1（x≥4）的图象
组成一个新的函数图象，记为L．若点P（3，m）在L上，求m的值；
（4）如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为（2，0），在L上是否存在点Q，使得S△OAQ ＝9．若存在，
求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；
（2）求出y＝6时，对应的x值，再结合图象写出x的取值范围即可；
（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为y＝（x﹣6）2﹣3，根据题意可知x＝3时，P点在抛物线
y＝（x﹣6）2﹣3的部分上，再求m的值即可；
（4）分两种情况讨论：当Q点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上时，设Q（t，t2﹣12t+33），由S△OAQ
＝ 2×（t2﹣12t+33）＝9，求出Q点坐标即可；当Q点在抛物线y＝x2﹣4x+1的部分上时，设Q（m，
m2﹣4m+1），由S△OAQ ＝ 2×（m2﹣4m+1）＝9，求出Q点坐标即可．
【解答】解：（1）C（2，﹣3），
故答案为：C（2，﹣3）（答案不唯一）；
（2）∵y＝x2﹣4x+1，
∴当x2﹣4x+1＝6时，解得x＝5或x＝﹣1，
∴当y＜6时，﹣1＜x＜5，
故答案为：﹣1＜x＜5；
（3）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为y＝（x﹣6）2﹣3，
当x＝3时，点P在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上，
∴m＝6；
（4）存在点Q，使得S△OAQ ＝9，理由如下：
当Q点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上时，设Q（t，t2﹣12t+33），∴S△OAQ ＝ 2×（t2﹣12t+33）＝9，
解得t＝6+2 或t＝6﹣2 ，
∴t＜4，
∴t＝6﹣2 ，
∴Q（6﹣2 ，9）；
当Q点在抛物线y＝x2﹣4x+1的部分上时，设Q（m，m2﹣4m+1），
∴S△OAQ ＝ 2×（m2﹣4m+1）＝9，
解得m＝2 +2或m＝﹣2 ，
∵m≥4，
∴m＝2 +2，
∴Q（2 +2，9）；
综上所述：Q点坐标为（6﹣2 ，9）或（2 +2，9）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形
结合解题是关键．
19．（2022•攀枝花）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北
京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员
穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角 ＝37°
的跳台A点以速度v
0
沿水平方向跳出，θ 若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重
力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动
员在B点着陆，AB＝150m．且sin37°＝0.6．忽略空气阻力，请回答下列问题：
（1）求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
（2）以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
（3）若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
【分析】（1）如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，过点 B作BD⊥y轴于点D．解直角三角形求出
OD即可；
（2）设抛物线的解析式为y＝ax2，求出点B的坐标，代入求出a即可；
（3）求出x＝﹣60，y的值即可判断．
【解答】解：（1）如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．
过点B作BD⊥y轴于点D．
在Rt△OBD中，OD＝AB•sin37°＝150×0.6＝90（m），
答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；
（2）在Rt△OBD中，BD＝ ＝ ＝120（m），
∴B（﹣120，﹣90），
由题意抛物线顶点为（0，0），经过（﹣120，﹣90）．
设抛物线的解析式为y＝ax2，
则有﹣90＝a×（﹣120）2，
∴a＝﹣ ，∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2．
（3）当x＝﹣60时，y＝﹣22.5，
∴他飞行2s后，垂直下降了22.5m．
【点评】本题考查二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会构建平面直角坐
标系解决问题，属于中考常考题型．
20．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣ ）两点，与x轴的另一个交
点为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，
并求最大面积；（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满
足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M（m，﹣ m2+m+ ），则N（m，﹣ m+ ），可得S△MBC ＝ •MN•OB＝﹣ （m﹣ ）2+ ，再求解即可；
（3）设Q（0，t），P（m，﹣ m2+m+ ），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②
当AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，
利用中点坐标公式求解即可．
【解答】解：（1）将B（3，0），D（﹣2，﹣ ）代入y＝ax2+x+c，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x2+x+ ，
令x＝0，则y＝ ，
∴C（0， ）；
（2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x+
设M（m，﹣ m2+m+ ），则N（m，﹣ m+ ），
∴MN＝﹣ m2+ m，∴S△MBC ＝ •MN•OB＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
当m＝ 时，△MBC的面积有最大值 ，
此时M（ ， ）；
（3）令y＝0，则﹣ x2+x+ ＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
设Q（0，t），P（m，﹣ m2+m+ ），
①当AB为平行四边形的对角线时，m＝3﹣1＝2，
∴P（2， ）；
②当AQ为平行四边形的对角线时，3+m＝﹣1，
解得m＝﹣4，
∴P（﹣4，﹣ ）；
③当AP为平行四边形的对角线时，m﹣1＝3，
解得m＝4，
∴P（4，﹣ ）；
综上所述：P点坐标为（2， ）或（﹣4，﹣ ）或（4，﹣ ）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨
论是解题的关键．
21．（2022•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．
（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于
点Q，求线段PQ长度的最大值．
（3）动点P以每秒 个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长
度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边
形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式求得a，c的值，进而得出解析式，当y＝0时，求出
方程的解，进而求得B点坐标；
（2）由B，C两点求出BC的解析式，进而设出点P和点Q坐标，表示出PQ的长，进一步得出结果；
（3）要使以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分为PM＝BM，PM
＝PB和BP＝BM，结合图象，进一步得出结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴ ，
∴y＝x2+2x﹣3，
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
∴x ＝1，x ＝﹣3，
1 2
∴B（﹣3，0）；
（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣x﹣3，
设点P（m，﹣m﹣3），Q（m，m2+2m﹣3），
∴PQ＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+ ）2+ ，
∴当m＝﹣ 时，PQ最大 ＝ ；
（3）如图1，
∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
作PD⊥y轴于D，
∴CD＝PD＝PC•sin∠OCB＝ ＝t，
当BM＝PM时，
∴∠MPB＝∠OBC＝45°，
∵∠PMO＝∠PDO＝∠MOD＝90°，
∴四边形OMPD是矩形，
∴OM＝PD＝t，
由BM+OM＝OB得，
∴2t＝3，
∴t＝ ，
∴P（﹣ ，﹣ ），∴N（﹣3，﹣ ），
如图2，
当PM＝PB时，作PD⊥y轴于D，作PE⊥x轴于E，
∴BM＝2BE，
可得四边形PDOE是矩形，
∴OE＝PD＝t，
∴BE＝3﹣t，
∴t＝2（3﹣t），
∴t＝2，
∴P（﹣2，﹣1），
∴N（﹣2，1），
如图3，
当PB＝MB时，
3 ﹣ ＝t，
∴t＝6﹣3 ，∴P（3 ，3﹣3 ），
∴N（0，3﹣3 ），
综上所述：N（﹣3，﹣ ）或（﹣2，1）或（0，3﹣3 ）．
【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和
等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．
22．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶
点D的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请
说明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物
线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？
若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线
的解析式；
（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可得出点P的坐标；
（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的
长，可得出△ADE是直角三角形，且DE：AE＝1：3；再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，
由此可得出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），
∴B（3，0），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入抛物线的解析式，
则﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：
∵∠APB+∠ACB＝180°，
∴∠CAP+∠CBP＝180°，
∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，
由（1）知，OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠APC＝∠ABC＝45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴OP＝OA＝1，
∴P（0，﹣1）．
（3）存在，理由如下：
由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∴D（1，4），
由抛物线的对称性可知，E（2，3），
∵A（﹣1，0），∴AD＝2 ，DE＝ ，AE＝3 ．
∴AD2＝DE2+AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．
∵点M在直线l下方的抛物线上，
∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．
∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，
若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，
∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，
解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或 （舍）或﹣ ，
∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣ ， ）．
综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣
3，﹣12）或（﹣ ， ）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形
的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共圆是解题关键；第（3）问得出△ADE是直角三角
形并得出AD：AE的值是解题关键．
23．（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线L ：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴
1
交于点C（0，3）．
（1）求抛物线L 的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
1
（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝
m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L 绕点B旋转180°得抛物线L ，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线
1 2
L 的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合
2
条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的值即可；
（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．首先证明∠DCB
＝90°，利用面积法求出CH，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）如图2中，由题意抛物线L 的对称轴x＝5，M（6，﹣3）．设P（5，m），分三种情形：当BP＝
2
BM＝3 时，当PB＝PM时，当BM＝PM时，分别构建方程求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+2x+b经过B（3，0），C（0，3），
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点D（1，4）；
（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．∵C（0，3），B（3，0），D（1，4），
∴BC＝3 ，CD＝ ，BD＝ ＝2 ，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∵ •CD•CB＝ •BD•CH，
∴CH＝ ＝ ，
∵EF⊥x轴，DT⊥x轴，
∴EF∥DT，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴BE＝ m，BF＝ m，
∴△BFE与△DEC的面积之和S＝ ×（2 ﹣ m）× + ×m× m＝ （m﹣ ）2+ ，
∵ ＞0，
∴S有最小值，最小值为 ，此时m＝ ，
∴m＝ 时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值．解法二：求两个三角形面积和的最小值，即就是求四边形OCEF面积的最大值．求出四边形OCEF的面积
的最大值即可．
（3）存在．
理由：如图2中，由题意抛物线L 的对称轴x＝5，M（6，﹣3）．
2
设P（5，m），
当BP＝BM＝3 时，22+m2＝（3 ）2，
∴m＝± ，
∴P （5， ），P （5，﹣ ），
1 2
当PB＝PM时，22+m2＝12+（m+3）2，
解得，m＝﹣1，
∴P （5，﹣1），
3
当BM＝PM时，（3 ）2＝12+（m+3）2，
解得，m＝﹣3± ，
∴P （5，﹣3+ ），P （5，﹣3﹣ ），
4 5
综上所述，满足条件的点P的坐标为P （5， ），P （5，﹣ ），P （5，﹣1），P （5，﹣3+
1 2 3 4），P （5，﹣3﹣ ）．
5
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，中心对称变换等
知识，解题的关键是学会根据二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
24．（2022•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线
上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点 B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结
BC．当BC＝4时，求点B的坐标；
（3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，
求m的取值范围；
（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为 时，直接写出m的值．
【分析】（1）把（2，0）代入y＝x2﹣bx，得到b＝2，可得结论；
（2）判断出点B的横坐标为﹣1，可得结论；
（3）分两种情形：当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．当抛物线在正方形内部的点
的纵坐标y随x的增大而减小．利用图象法解决问题即可；
（4）分三种情形：如图4﹣1中，当点N（0， ）时，满足条件，如图4﹣2中，当点N（0，﹣ ），满
足条件，如图4﹣3中，当正方形PQMN的边长为 时，满足条件，分别求出点A的坐标，可得结论．
【解答】解：（1）把（2，0）代入y＝x2﹣bx，得到b＝2，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x；
（2）如图1中，∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线的顶点为（1，﹣1），对称轴为直线x＝1，
∵BC∥x，
∴B，C故对称轴x＝1对称，BC＝4，
∴点B的横坐标为﹣1，
∴B（﹣1，3）；
（3）如图2中，
∵点A的横坐标为m，PQ＝2|m|，m＞0，
∴PQ＝PN＝MN＝2m，∴正方形的边MN在y轴上，
当点M与O重合时，
由 ，
解得 或 ，
∴A（3，3），
观察图象可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．
如图3中，当PQ落在抛物线的对称轴上时，m＝ ，观察图象可知，当0＜m≤ 时，抛物线在正方形内
部的点的纵坐标y随x的增大而减小．
综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤ 或m≥3；
（4）如图4﹣1中，当点N（0， ）时，满足条件，此时直线NQ的解析式为y＝﹣x+ ，
由 ，解得， 或 ，
∵点A在第四象限，
∴A（ ，﹣ ），
∴m＝ ．
如图4﹣2中，当点N（0，﹣ ），满足条件，
此时直线NQ是解析式为y＝﹣x﹣ ，由 ，解得 ，
∴A（ ，﹣ ），
∴m＝ ．
解法二：过点A作AH⊥PQ于点H，设抛物线交PQ于点G．
设A（m，m2﹣2m），则PG＝ ．PH＝m，G（2m，4m2﹣4m），
由HG ﹣m，得到（m2﹣2m）﹣（4m2﹣4m）＝ ﹣m，
∴m＝ ．
如图4﹣3中，当正方形PQMN的边长为 时，满足条件，此时m＝﹣ ，综上所述，满足条件的m的值为 或 或﹣ ．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，正方形的性质等知识，解
题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
25．（2022•烟台）如图，已知直线y＝ x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过
A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D
点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角
线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面
积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时， x+4＝0，
∴x＝﹣3，∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣ ，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣ （x﹣1）•（x+3）＝﹣ x2﹣ x+4；
（2）如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣ ﹣ m+4），E（m， m+4），
∴DE＝﹣ ﹣ m+4﹣（ m+4）＝﹣ m2﹣4m，
∴S△ADC ＝ OA＝ •（﹣ m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC ＝ ＝ ＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+ ）2+ ，
∴当m＝﹣ 时，S最大 ＝ ，当m＝﹣ 时，y＝﹣ ＝5，
∴D（﹣ ，5）；
（3）存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，理由如下：
设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝ ，
∴P（﹣1， ），
∵x +x ＝x +x ，y +y ＝y +y
P Q A C P Q A C
∴x ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，y ＝4﹣ ＝ ，
Q Q
∴Q（﹣2， ）．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相
关二次函数和菱形性质．
【中考挑战满分模拟练】
一．选择题（共6小题）
1．（2023•武汉模拟）在二次函数y＝﹣x2+2x中，若函数值大于0，则结合函数图象判断x的取值范围是
（ ）
A．x＜0或x＞2 B．x＞0或x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0 D．0＜x＜2
【分析】先令y＝0，解方程求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据函数的图象求出函数值大于0时x的取
值范围．
【解答】解：令y＝0，则﹣x2+2x＝0，
解得x＝0或x＝2，
∵﹣1＜0，抛物线开口向下，
∴函数值大于0时x的取值范围为0＜x＜2，故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的
性质解答．
2．（2023•碑林区校级二模）已知点A（x ，y ），B（x ，y ）在抛物线y＝﹣（x﹣3）2+m（m是常数）
1 1 2 2
上，若x ＜3＜x ，x +x ＞6，则下列大小比较正确的是（ ）
1 2 1 2
A．y ＞y ＞m B．y ＞y ＞m C．m＞y ＞y D．m＞y ＞y
1 2 2 1 1 2 2 1
【分析】由解析式可知抛物线开口向下，对称轴为x＝3．函数的最大值是m，然后根据x ＜3＜x ，x +x ＞
1 2 1 2
6，得出x ﹣3＞3﹣x ，即可判断点A（x ，y ）离对称轴较近，根据与对称轴的远近即可判断y ＞y ．
2 1 1 1 1 2
【解答】解：由抛物线y＝﹣（x﹣3）2+m（m是常数）可知抛物线开口向下，对称轴为x＝3，由最大值y
＝m，
∵点A（x ，y ），B（x ，y ）在抛物线上，若x ＜3＜x ，x +x ＞6，
1 1 1 1 1 2 1 2
∴x ﹣3＞3﹣x ，
2 1
∴点A（x ，y ）离对称轴较近，
1 1
∴y ＞y ，
1 2
故m＞y ＞y ，
1 2
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，则抛
物线上的点的坐标满足其解析式；当a＜0，抛物线开口向下；对称轴为直线x＝﹣ ，在对称轴左侧，y
随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小．
3．（2023•邢台一模）关于抛物线 C ：y ＝2x2﹣1与C ：y ＝2（x﹣2）2﹣3，下列说法不正确的是
1 1 2 2
（ ）
A．两条抛物线的形状相同
B．抛物线C 通过平移可以与C 重合
1 2
C．抛物线C 与C 的对称轴相同
1 2
D．两条抛物线均与x轴有两个交点
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可得出答案．
【解答】解：y ＝2x2﹣1与C ：y ＝2（x﹣2）2﹣3的形状相同，故A正确，不符合题意；
1 2 2
将抛物线y ＝2x2﹣1向右平移2个单位，向下平移2个单位，得到y ＝2（x﹣2）2﹣3，所以抛物线C 通过
1 2 1
平移可以与C 重合，故B正确，不符合题意；
2
抛物线y ＝2x2﹣1关于y轴对称，y ＝2（x﹣2）2﹣3的顶点坐标为（2，﹣3），对称轴是直线x＝2，抛物
1 2线C 与C 的对称轴不相同，故C不正确，符合题意；
1 2
当y ＝2x2﹣1＝0时，Δ＝0﹣4×2×（﹣1）＝8＞0，故抛物线与x轴有两个交点，当y ＝2（x﹣2）2﹣39＝0
1 2
时，Δ＝64﹣4×2×5＝24＞0，故抛物线与x轴有两个交点，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中熟练的掌握给定函数解析式求顶点坐标，对称
轴方程，是解答的关键．
4．（2023•雁塔区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象过A（0，1），B
（1，1），且当 时，对应的函数值y＜0．若点P （t﹣1，y ）和P （t+1，y ）在该二次函数的图象上，
1 1 2 2
则当实数 时，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y ≥y D．y ≤y
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】把A（0，1），B（1，1）代入可得y＝ax2﹣ax+1，由当 时，对应的函数值y＜0，有a＜﹣
，又y ﹣y ＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+1﹣[a（t+1）2﹣a（t+1）+1]＝﹣2a（2t﹣1），结合a＜﹣ ，t≤
1 2
，可得答案．
【解答】解：把A（0，1），B（1，1）代入y＝ax2+bx+c得：
，
∴ ，
∴y＝ax2﹣ax+1，
∵当 时，对应的函数值y＜0，
∴ a﹣ a+1＜0，
解得a＜﹣ ，
∵P （t﹣1，y ）和P （t+1，y ）在该二次函数的图象上，
1 1 2 2
∴y ＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+1，y ＝a（t+1）2﹣a（t+1）+1，
1 2
∴y ﹣y ＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+1﹣[a（t+1）2﹣a（t+1）+1]＝﹣2a（2t﹣1），
1 2∵a＜﹣ ，t≤ ，
∴﹣2a＞ ，2t﹣1≤﹣ ，
∴y ﹣y ＜0，
1 2
∴y ＜y ，
1 2
故选：B．
【点评】本题考查二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是掌握函数图象上点坐标的特征．
5．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，点A（x ，y ）、B（x ，y ）在该函数图象上，
1 1 2 2
若x +x ＞2，x ＞x ，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．y ＜y B．y ＞y C．y ＝y D．无法判断
1 2 1 2 1 2
【分析】根据二次项的解析式判断出函数图象开口向下，对称轴为直线 x＝1，然后根据x +x ＞2，x ＞x
1 2 1 2
写出大小关系即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵x +x ＞2，x ＞x ，
1 2 1 2
∴y ﹣y ＝（﹣x 2+2x ﹣3）﹣（﹣x 2+2x ﹣3）＝﹣（x ﹣x ）（x +x ﹣2）＜0
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
∴y ＜y ．
1 2
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断出对称轴和开口方向是解题的关键．
6．（2023•邢台一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两
点，且OA＝5OB，下列结论不正确的是（ ）
A．abc＞0
B．b﹣4a＝0
C．a+b+c＞0
D．若m为任意实数，则am2+bm≤4a﹣2b
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点可得a，b，c的符号及a与b的关系，从而判断A、B，由OA＝5OB及对称轴可得点B坐标，从而判断C，由x＝﹣2时y取最大值可判断D．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣2，
∴b＝4a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，故A正确，不合题意．
∵∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣2，
∴b＝4a，
∴b﹣4a＝0，故B正确，不合题意；
∵OA＝5OB，对称轴为直线x＝﹣2，
∴点B坐标为（1，0），
∴x＝1时，y＝a+b+c＝0，故C错误，符合题意．
∵x＝﹣2时y取最大值，
∴am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即则am2+bm≤4a﹣2b，故D正确，不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及
不等式的关系．
二．填空题（共11小题）
7．（2023•鼓楼区校级一模）东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能
卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则
应降价 5 元．
【分析】设降价x元时，则日销售可以获得最大利润为W，由销售问题的数量关系表示出W与x之间的关
系，根据关系式的性质就可以求出结论．【解答】解：设降价x元时，则日销售可以获得最大利润为W，由题意，得
W＝（100﹣70﹣x）（20+x），
∴W＝﹣x2+10x+600，
∴W＝﹣（x﹣5）2+625，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝5时，W最大 ＝625．
故答案为：5．
【点评】本题考查了销售问题的数量关系的运用，利润＝（售价﹣进价）×销量的运用，二次函数的顶点
式的运用，解答时求出二次函数的解析式是解题的关键．
8．（2023•临川区校级一模）抛物线y＝ x2﹣2x﹣1的顶点坐标为 （ 2 ，﹣ 3 ） ．
【分析】将解析式化为顶点式进而即可求得顶点坐标．
【解答】解：y＝ x2﹣2x﹣1
＝ （x2﹣4x+4）﹣2﹣1
＝ （x﹣2）2﹣3．
则其顶点坐标为（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查了将一般式化为顶点式求顶点坐标，掌握配方法求顶点式是解题的关键．
9．（2023•丰台区校级模拟）把抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得
到的抛物线的解析式为 y ＝ x 2 + x ．
【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
【解答】解：把抛物线y＝ x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析
式为：y＝ （x+1）2+1﹣3，即y＝ x2+x ．
故答案为：y＝ x2+x ．
【点评】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
10．（2023•汉阳区校级一模）将抛物线y＝10（x+1）2﹣3向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位
长度，平移后抛物线的解析式是 y ＝ 1 0 （ x ﹣ 4 ） 2 ﹣ 4 ．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：y＝10（x+1）2﹣3向右平移5个单位所得抛物线解析式为：y＝10（x﹣4）2﹣3；
再向下平移1个单位为：y＝10（x﹣4）2﹣4．
故答案为：y＝10（x﹣4）2﹣4．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
11．（2023•蜀山区校级一模）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是﹣1和2，则抛物线y＝bx2﹣ax+c
的对称轴为 直线 x ＝﹣ ．
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到 ＝﹣1，再根据抛物线对称轴公式即可得到抛物线的对
称轴为直线x＝ ＝ ＝﹣ ．
【解答】解：∵﹣元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是﹣1和2，
∴﹣1+2＝ ，即 ＝﹣1，
∴抛物线y＝bx2﹣ax+c的对称轴为直线x＝ ＝ ＝﹣ ，
故答案为：直线x＝﹣ ．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，抛物线的对称轴，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．（2023•镇海区模拟）教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析，发现实心球在行进过程中
高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣ （x﹣4）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是 9
m．
【分析】当y＝0时代入解析式y＝﹣ （x﹣4）2+2，求出x的值就可以求出结论．
【解答】解：由题意得，
当y＝0时，﹣ （x﹣4）2+2＝0，
化简，得：（x﹣2）2＝25，解得：x ＝9，x ＝﹣1（舍去），
1 2
故答案为：9．
【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
13．（2023•汉阳区校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤5）的图象如图所示，关于该函数在所给
自变量取值范围内，y的取值范围为 0 ≤ y ≤ 9 ．
【分析】由图象可得函数最大值与最小值．
【解答】解：当0≤x≤5时，由图象可得y＝9为函数最大值，y＝0为函数最小值，
故答案为：0≤y≤9．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
14．（2023•庐江县模拟）已知：抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）．
（1）此抛物线的对称轴为直线x＝ 1 ；
（2）当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a＝ 4 或﹣ ．
【分析】（1）直接根据对称轴公式x＝﹣ 得出答案；
（2）分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得
a＝﹣ ．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax（a≠0），
∴此抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1；
故答案为：x＝1；
（2）∵y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣ ；
综上所述：a的值为4或﹣ ．
故答案为：4或﹣ ．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指
定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
15．（2023•定远县校级一模）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝1，与y
轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则下列结论：①abc＞0；②二次函数的最大值为
a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．⑥3a+c＝0；其中正确的结论有
②⑤⑥ ．
【分析】根据对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴，可判断①；由顶点坐标可判断②；由B坐标可判断
③；由抛物线与x轴交点坐标个数可判断④；由抛物线与x轴交点的横坐标可判断⑤；由对称轴方程得
到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，故⑥正确．
【解答】解：∵二次函数对称轴在y轴右侧，与y轴交在正半轴，
∴ab＜0，c＞0，abc＜0．
∴故①不正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，
∴顶点坐标为（1，a+b+c），且开口向下，二次函数的最大值为a+b+c，
故②正确；
∵抛物线过B（﹣1，0），
∴x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
故③不正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故④不正确；
∵对称轴为直线x＝1，B（﹣1，0），
∴A（3，0），
由图象可知，﹣1＜x＜3时，y＞0，
故⑤正确；
∵x＝﹣ ＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴c+3a＝0．
故⑥正确．
故答案为：②⑤⑥．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与 x轴的交点等知识点，明确二次函
数的相关性质是解题的关键．
16．（2023•武汉模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（﹣1，0），下列结
论：
①b＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
③当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；
④m为任意实数，若c＝3a，则代数式am2+bm+c的最小值是﹣a．
其中正确的是 ①②④ （填写序号）．
【分析】利用待定系数法，抛物线与x轴的交点的性质，二次函数的图象与性质对每个结论进行逐一判断，
即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0．
∴b＝a+c，
∵a，b，c是常数，0＜a＜c，
∴b＞0．
∴①的结论正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
∵b＝a+c，
∴ax2+（a+c）x+c＝0．
∵Δ＝（a+c）2﹣4ac
＝a2+2ac+c2﹣4ac
＝a2﹣2ac+c2
＝（a﹣c）2，
又∵c＞a＞0，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
∴②的结论正确；
∵c＞a＞0，b＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向上，对称轴在y轴的左侧，抛物线与y轴交于y轴的正半轴，
∴当点（﹣1，0）在对称轴的左侧时，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
当点（﹣1，0）在对称轴的右侧时，当x＜﹣1时，y随x的变化而变化是不确定的．
∴③的说法不正确；
∵b＝a+c，c＝3a，
∴b＝4a．
∴代数式am2+bm+c
＝am2+4am+3a
＝a（m+2）2﹣a，
∵a＞0，
∴当m＝﹣2时，代数式am2+bm+c有最小值为﹣a．
∴④说法正确．
综上，正确的是：①②④．
故答案为：①②④．【点评】本题主要考查了二次函数与图象的关系，一元二次方程根的判别式，抛物线上点的坐标的特征，
待定系数法，抛物线与x轴的交点，二次函数的极值，配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．（2023•宁波模拟）如图，抛物线y＝ax2+5ax+4与x轴交于C、D两点，与y轴交于点B，过点B作平
行于x轴的直线，交抛物线于点A，连结AD、BC，若点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上，则
a＝ ﹣ ．
【分析】令y＝4代入y＝ax2+5ax+4得x ＝0或x ＝﹣5，则A（﹣5，4），过B作BE⊥x轴，E为垂足，则
1 2
BE＝4，而AB∥x轴，则∠ABD＝∠BDO，又点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上，则∠ADB＝
∠BDO，即∠ABD＝∠ADB，故AB＝AD＝5，即可求得D（﹣8，0），把D点的坐标代入y＝ax2+5ax+4，
即可求解．
【解答】解：令y＝4代入y＝ax2+5ax+4得x ＝0或x ＝﹣5，
1 2
∴A（﹣5，4），
过A作AE⊥x轴，E为垂足，则AE＝4，
∵AB∥x轴，
∴∠ABD＝∠BDO，
又点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上，
∴∠ADB＝∠BDO，即∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB＝5，
则ED＝ ＝ ＝3，∴D（﹣8，0），
把D（﹣8，0）代入y＝ax2+5ax+4得：0＝64a﹣40a+4，
解得：a＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，用勾股定理求出ED的
长度是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
18．（2023•西安一模）如图，小明站在点O处练习发排球，将球从O点正上2m的A点处发出，把球看成
点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣h）2+k．已知球与O点的水平距
离ON为6m时，达到最高3m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）请确定排球运行的高度y（m）与运行的水平距离满足的函数关系式；
（2）请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由．
【分析】（1）由题意可知：该抛物线顶点M（6，3），可得y＝a（x﹣6）2+3，再把A（0，2）的坐标代
入解析式，即可求得；
（2）令y＝0，求出x的值，即可判定．
【解答】解：（1）由题意可知：该抛物线顶点为M（6，3），
∴y＝a（x﹣6）2+3，
把A（0，2）的坐标代入解析式，得a（0﹣6）2+3＝2，
解得 ，
∴排球运行的高度y（m）与运行的水平距离满足的函数关系式为 ；
（2）设第一次落地点为B，令y＝0，则 ，
解之得： （舍）， ，
∵ ，∴排球第一次落地没出界．
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的应用，正确求得二次函数的解析式
是解决本题的关键．
19．（2023•碑林区校级二模）如图所示，一小球M从地面上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一
部分，以过O的水平线为x轴，以过O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系，OA是一个坡度为
的斜坡，若小球到达最高点的坐标为（4，8），（坡度：坡角的正切）
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）小球在斜坡上的落点A的垂直高度为 米；
（3）若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高6米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过
这个广告牌？通过计算说明理由．
【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+8，把（0，0）代入即可得到答案；
（2）联立抛物线解析式和一次函数解析式，解方程组求出A点坐标即可；
（3）把x＝2分别代入y＝﹣ （x﹣4）2+8和y＝ x，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵小球到达的最高的点坐标为（4，8），
∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+8，
把（0，0）代入得，0＝a（0﹣4）2+8，
解得：a＝﹣ ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣ （x﹣4）2+8；
（2）联立方程组 ，解得 或 ，
∴A（7， ），
∴小球在斜坡上的落点A的垂直高度为 米，
故答案为： ；
（3）当x＝2时，y ＝ x＝1，y ＝﹣ （2﹣4）2+8＝6，
1 2
∵6﹣1＝5＜6，
∴小球M不能飞过这个广告牌．
【点评】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，待定系数法求二次函数的
解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
20．（2023•雁塔区校级模拟）已知抛物线C ：y＝ax2+bx﹣3与x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），与y
1
轴交于点C．
（1）求抛物线C 的解析式；
1
（2）已知抛物线C 与抛物线C 关于y轴对称，过点C作CD∥x轴交抛物线C 于点D，P是抛物线C 上
2 1 1 2
的一个动点，连接PB、PC、BC、BD．若S△PBC ＝S△BCD ，求点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求出C 的解析式即可；
1
（2）根据抛物线C 的解析式求出点C的坐标，再根据CD∥x轴交抛物线C 于点D，求出点D坐标，然
1 1
后求出S△BCD ＝3；再根据抛物线C
2
与抛物线C
1
关于y轴对称，求出抛物线C
2
的解析式，以及用待定系数
法求出直线BC的解析式，设点P为（m，m2+2m﹣3），过点p作x轴的垂线交BC于点N，则点N（m，m
﹣3），PN＝m2+2m﹣3﹣（m﹣3）＝m2+m，然后分三种情况判断出S△PBC ＝ PN（x
B
﹣x
C
）＝ PN＝3，
然后解方程求出m的值即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得： ，
解得 ，
∴抛物线C 的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
1
（2）∵点C是抛物线C y＝x2﹣2x﹣3与y轴的交点，
1∴C（0，﹣3），
∵CD∥x轴，抛物线C 的对称轴为直线x＝1，
1
∴D（2，﹣3），
∴CD＝2，
∴S△BCD ＝ CD•|y
D
|＝ ×2×3＝3．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线C 的顶点为（1，﹣4），
1
∴（1，﹣4）关于y轴的对称顶为（﹣1，﹣4），
∴抛物线C 的解析式为y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3，
2
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴ ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设点P为（m，m2+2m﹣3），过点p作x轴的垂线交BC于点N，
则点N（m，m﹣3），
∴PN＝m2+2m﹣3﹣（m﹣3）＝m2+m，
当0≤m≤3时，S△PBC ＝S△PNC +S△PNB ＝ PN•（x
B
﹣x
C
）；
当m＞3时，S△PBC ＝S△PNC ﹣S△PNB ＝ PN（x
N
﹣x
C
）﹣ PN（x
N
﹣x
B
）＝ PN（x
B
﹣x
C
）；
当m＜0时，S△PBC ＝S△PBN ﹣S△PNC ＝ PN（x
B
﹣x
N
）﹣ PN（x
C
﹣x
N
）＝ PN（x
B
﹣x
C
）；
∴S△PBC ＝ PN（x
B
﹣x
C
）＝ PN＝3，
∴m2+m＝2，
解得m＝﹣2或m＝1，
∴P（﹣2，﹣3）或（1，0）．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，解题关键是
求出抛物线C 、C 的解析式．
1 2
21．（2023•雁塔区校级二模）如图，顶点为 M的抛物线 与x轴交于A（3，0），B
（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线L 顶点M的坐标；
1
（2）平移抛物线L 得到新抛物线L ，使得新抛物线L 经过原点O，且与x轴另一交点为E，若△EAM为
1 2 2
直角三角形，请求出满足条件的新抛物线L 的表达式．
2
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由点A、E、M的坐标得，AM2＝22+42＝20，AE2＝（x﹣3）2，EM2＝（x﹣1）2+16，然后分情况确定
点E的坐标，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
则顶点坐标为（1，4）；
（2）令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，即点A（3，0），
设点E（x，0），
由点A、E、M的坐标得，AM2＝22+42＝20，AE2＝（x﹣3）2，EM2＝（x﹣1）2+16，
当AM是斜边时，则20＝（x﹣3）2+（x﹣1）2+16，
解得：x＝3（舍去）或1，
即点E（1，0）；
当AE是斜边时，则（x﹣3）2＝（x﹣1）2+16+20，
解得：x＝﹣7，即点E（﹣7，0）；
当EM是斜边时，则20+（x﹣3）2+（x﹣1）2+16，
解得：x＝3（舍去）；
综上，点E的坐标为（1，0）或（﹣7，0），
∵新抛物线L 经过原点O，且与x轴另一交点为E，
2
则设抛物线的表达式为：y＝﹣x（x﹣x ），
E
则抛物线的表达式为：y＝﹣x（x﹣1）＝﹣x2+x或y＝﹣x（x+7）＝﹣x2﹣7x，
即抛物线L 的表达式为：y＝﹣x2+x或y＝﹣x2﹣7x．
2
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用等，其中（2），要
注意分类求解，避免遗漏．
22．（2023•武汉模拟）燃放烟花是一种常见的喜庆活动．如图，武汉数学小杰燃放一种手持烟花，这种
烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射
出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间（单位：s）变化的规律如表：
飞行时间t/s 0 0.5 1 4.5 ……
飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5 ……
（1）求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当第一枚花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度；
（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m．小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它
处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求．
【分析】（1）相应的函数解析式为：h＝﹣2（t﹣3）2+19.8；（2）第二发花弹达到的高度为6.28 m；
（3）花弹的爆炸高度符合安全要求．
【解答】解：（1）设其解析式为：h＝at2+bt+c，
把点（0，2），（0.5，9.5），（1，16）代入得： ，
解得 ，
故相应的函数解析式为：h＝﹣2t2+16t+2；
（2）∵h＝﹣2t2+16t+2＝﹣2（t﹣4）2+34，
∴当第一枚花弹到达最高点时，t＝4，
∴第二发花弹发射4﹣2＝2（s），
把t＝2代入h＝﹣2（t﹣4）2+34，
得h＝﹣2×（2﹣4）2+34＝26，
即第二发花弹达到的高度为26m；
（3）∵这种烟花每隔2s发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径、爆炸时的高度均相同，小杰发射出的第
一发花弹的函数表达式为h＝﹣2（t﹣4）2+34，
∴第二发花弹的函数表达式为h′＝﹣2（t﹣6）2+34．
皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，
则令h＝h′，得﹣2（t﹣3）2+34＝﹣2（t﹣6）2+34，
解得t＝4.5，此时h＝h′＝29.5m＜30m，
故花弹的爆炸高度不符合安全要求．
【点评】本题考查了二次函数的应用，需要先根据表格中数据描点，得出函数图象，再求出其解析式，分
析变化趋势，可以代值验算，第三问需要从实际问题分析转变成数学模型，从而得解．
23．（2023•海棠区一模）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，A（0，3），B（﹣1，
0），将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝ax2+bx+c的图象刚好经过A，
B，C三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．
①若S△PMN ＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
【分析】（1）根据旋转变换的性质求出OC，利用待定系数法求出二次函数的解析式，利用配方法把一般
式化为顶点式，求出顶点P的坐标；
（2）①设M（x ，y ），N（x ，y ），根据题意求出PQ＝1，根据三角形的面积公式得到x ﹣x ＝4，根
1 1 2 2 2 1
据一元二次方程根与系数的关系解答即可；
②根据正切的定义得到tan∠PME＝1﹣x ， ，进而证明∠PME＝∠FPN，据此证明结论；
1
③用k表示出MN的中点坐标，计算即可．
【解答】（1）解：∵A（0，3），B（﹣1，0），
∴OA＝3，OB＝1，
根据旋转的性质可得：OC＝OA＝3，
∴C（3，0），
把A（0，3）、C（3，0）分别代入解析式得：
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为P（1，4）；
（2）①解：设M（x ，y ），N（x ，y ），
1 1 2 2
∵直线l：y＝kx﹣k+3过定点Q（1，3），抛物线的顶点坐标为P（1，4），
∴PQ＝1，∴ ，
∴x ﹣x ＝4，
2 1
联立 得：
x2+（k﹣2）x﹣k＝0，
∴x +x ＝2﹣k，x •x ＝﹣k，
1 2 1 2
∴ ，
∴ ．
②证明：过点P作PG⊥x轴，垂足为G，分别过点M，N作PG的垂线，垂足分别为E、F，
设M（x ，y ），N（x ，y ）．
1 1 2 2
∵M，N在二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上，
∴ ， ．
∵P（1，4），
∴ ，
ME＝1﹣x ， ，
1
NF＝x ﹣1，
2
∴ ，，
由①可知：x +x ＝2﹣k，x •x ＝﹣k，
1 2 1 2
∴x +x ＝2+x x ，
1 2 1 2
∴（1﹣x ）（x ﹣1）＝1，
1 2
∴ ，
∴tan∠PME＝tan∠FPN，
∴∠PME＝∠FPN，
∵∠PME+∠MPE＝90°，
∴∠FPN+∠MPE＝90°，即∠MPN＝90°，
∴无论k为何值，△PMN恒为直角三角形．
③解：∵△PMN恒为直角三角形，∠MPN＝90°，
∴△PMN外接圆圆心是线段MN的中点；
设线段MN的中点（x，y），
∵x +x ＝2﹣k，x •x ＝﹣k， ， ．
1 2 1 2
∴y +y ＝﹣（ + ）+2（x +x ）+6＝﹣（x +x ）2+2x x +2（x +x ）+6＝﹣（2﹣k）2﹣2k+2（2﹣k）+6
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
＝﹣k2+6，
∴MN的中点为 ，
∴ ，
化简得：y＝﹣2x2+4x+1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣2x2+4x+1．
【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、直角三角形的判定、正切的概念、
一元二次方程根与系数的关系，特殊三角形的外接圆的圆心，灵活运用二次函数与一元二次方程的关系是
解题的关键．24．（2023•碑林区校级模拟）已知抛物线 与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C．
（1）求点A、点B以及点C的坐标；
（2）将抛物线沿x轴向左平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴的左交点为点D，与y轴的交点为点
E，若∠EDO＝∠CBO，求m的值．
【分析】（1）令x＝0求得y的值，令y＝0求得x的值，进而得出结果；
（2）表示出平移后的抛物线的解析式，从而求得OD和OE的长，根据tan∠EDO＝tan∠CBO列出 ＝
，从而得出m的方程，进而求得结果．
【解答】解：（1）由 ﹣2＝0得，
x ＝3，x ＝﹣2，
1 2
∴A（﹣2，0），B（3，0），
当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2）；
（2）∵平移后的抛物线的解析式为：y＝ ，
∴当x＝0时，y＝ m2﹣ m﹣2＝ （m+2）（m﹣3），
∵∠EDO＝∠CBO，
∴tan∠EDO＝tan∠CBO，∴ ＝ ，
∴ ，
∴m ＝5，m ＝1．
1 2
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解直角三角形，图象平移的规律等知识，解决问题
的关键是求出抛物线平移后的解析式．
25．（2023•槐荫区模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，若A（﹣1，0）且OC＝3OA．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、
BC、BP，当∠PBA＝2∠CBD时，求m的值；
（3）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别交于E，F，已知当直
线l绕点M旋转时， 为定值，请直接写出该定值．
【分析】（1）求出A、C两点，再将所求点代入y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）先判断△BCD是直角三角形，在Rt△BCD中，取DG＝BG，构造∠CGD＝2∠CBD，利用勾股定理
解得CG＝ ，则tan∠GCD＝tan∠HBA＝ ＝ ，由此求出H（0， ），求出直线BH解析式，再求
直线BH与抛物线的交点P即可；
（3）过点M作MT⊥AC交于点T，过点F作FK⊥x轴交于点K，利用△OAC的面积求出OM的长，从而确定M点坐标，设直线EF的解析式为y＝kx+ ，可求E点坐标，通过联立方程组 ，
求出F点坐标，利用tan∠OAC＝tan∠KAF＝ ＝ ，设KF＝a，则AK＝3a，AF＝ a，由3a＝﹣
，求出a＝ ，可求AF＝ ，即可求 ＝ +1．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OC＝3OA，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
将点A、C代入y＝x2+bx+c，
∴ ，
解得 ，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴B（3，0），
∴BC＝3 ，CD＝ ，BD＝2 ，
∴DB2＝BC2+CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BCD＝90°，
在Rt△BCD中，取DG＝BG，
∴∠CBD＝∠BDG，
∴∠CGD＝2∠CBD，
∵∠PBA＝2∠CBD，∴∠PBA＝∠CGD，
在Rt△CDG中，GD2＝CG2+CD2，
∴（3 ﹣CG）2＝CG2+（ ）2，
解得CG＝ ，
∴tan∠GCD＝ ，
∴tan∠HBA＝ ＝ ，
∴OH＝ ，
∴H（0， ），
设直线BH的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x+ ，
联立方程组 ，
解得x＝3（舍）或x＝﹣ ，
∴m＝﹣ ；
（3）过点M作MT⊥AC交于点T，过点F作FK⊥x轴交于点K，
∵AM平分∠BAC，
∴OM＝MT，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝ ，
∵S△AOC ＝ ×OA×OC＝ ×AO×OM+ ×MT×AC，
∴OM＝ ，
∴M（0， ），
设直线EF的解析式为y＝kx+ ，
∴E（ ，0），
∴AE＝ ，
设直线AC的解析式为y＝k'x+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣3x﹣3，
联立方程组 ，
解得 ，
∴F（ ， ），
∵tan∠KAF＝ ＝ ，
设KF＝a，则AK＝3a，AF＝ a，
∴3a＝﹣ ，
∴a＝ ，∴AF＝ ，
∴ ＝ ＝ +1．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，此题计
算量较大，准确的计算是解题的关键．
26．（2023•琼山区一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，
且点D是它的顶点，在y轴上有一点C（0，﹣1）．
（1）求出抛物线的解析式及直线AB的解析式；
（2）点E在直线AB上运动，若△BCE是等腰三角形时，求点E的坐标；
（3）设点N是抛物线上一动点，若S△BDN ＝ S△BDO ，求点N的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可得出答案；
（2）先设出点E的坐标，然后分BC＝BE，BC＝EC，BE＝CE三种情况讨论即可；
（3）先求出直线BD的解析式，然后设出点N的坐标，过点N作NH平行x轴交BD于H点，根据三角形
的面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入抛物线的解析式，
得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4，
设直线AB的解析式为y＝mx+n，把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入直线AB的解析式，
得： ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4；
（2）设E（x，2x+4），
若BC＝BE，
则（4﹣2x﹣4）2+（0﹣x）2＝52，
解得x＝ 或x＝ ，
∴E（﹣ ， ）或（ ，2 +4），
若BC＝EC，
则x2+（﹣1﹣2x﹣4）2＝52，解得x＝﹣4或x＝0（舍），
∴E（﹣4，﹣4），
若BE＝CE，
则x2+（2x）2＝x2+（2x+5）2，
解得x＝﹣ ，
∴E（﹣ ， ），
综上，E的坐标为（﹣ ， ）或（ ，2 +4）或（﹣4，﹣4）或（﹣ ， ）；
（3）设点N的坐标为（a，﹣a2﹣2a+4），由（1）知D（﹣1，5），
∴ ，
∴ ，
∵点D（﹣1，5），B（0，4），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，
过点N作NH平行x轴，交BD于H，
则H（a2+2a，﹣a2﹣2a+4），
∴NH＝a2+a，
∴ ＝ ＝3，
解得a＝﹣3或a＝2，
当a＝﹣3时，﹣a2﹣2a+4＝1，当a＝2时，﹣a2﹣2a+4＝﹣4，
∴N（﹣3，1）或（2，﹣4）．
【点评】本题主要二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线和直线的解析式，牢记等腰三
角形的基本性质，牢记平面直角坐标系中三角形的面积的计算公式．
【名校自招练】
一．选择题（共3小题）
1．（2022•九龙坡区自主招生）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交
于点C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（ ）
①abc＞0；
②4a+b＞0；
③M（x ，y ）与N（x ，y ）是抛物线上两点，若x ＜x ＜0，则y ＜y ＜0；
1 1 2 2 1 2 1 2
④若抛物线的对称轴是直线x＝3，k为任意实数，则a（k﹣3）（k+3）≤b（3﹣k）；
⑤若AB≥3，则4b+3c＞0．
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向下，与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，
∴a＜0，c＜0，a，b异号，
∴b＞0．
∴abc＞0，
∴①正确．
∵c＜0，抛物线过点（4，0），
∴16a+4b+c＝0，
∴4a+b＝﹣ c＞0，
∴②正确．∵抛物线开口向下，当M（x ，y ）与N（x ，y ）两点在对称轴左侧时，y随x的增大而增大，
1 1 2 2
若x ＜x ＜0，则y ＜y ＜0；
1 2 1 2
∴③正确．
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝3，
∴当x＝3时，函数有最大值，
∴对任意实数k，其对应的函数值不大于x＝3对应的函数值，
∴ak2+bk+c≤9a+3b+c，
∴ak2﹣9a≤3b﹣bk，
∴a（k﹣3）（k+3）≤b（3﹣k）．
∴④正确．
当AB≥3时，x＝1时，y≥0，
∴a+b+c≥0，
∵抛物线过点（4，0），
∴16a+4b+c＝0，
消去a得：
4b+5c≥0，
∴4b+3c≥﹣2c＞0．
∴⑤正确．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
2．（2022•温江区校级自主招生）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，
且过点（﹣3，0），下列说法不正确的是（ ）
A．abc＜0
B．2a﹣b＝0
C．3a+c＝0D．若（﹣5，y ），（3，y ）是抛物线上两点，y ＞y
1 2 1 2
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行
判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x＝1时，y
＝0，则得到a+b+c＝0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y ）和点（3，y ）离对称轴的远近对④进行
1 2
判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∴2a﹣b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），
∴图象与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵b＝2a，
∴3a+c＝0，所以③正确；
∵点（﹣5，y ）离对称轴的距离与点（3，y ）离对称轴的距离相等，
1 2
∴y ＝y ，所以④不正确．
1 2
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物
线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次
项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab
＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与 y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：Δ
＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜
0时，抛物线与x轴没有交点．
3．（2022•北碚区自主招生）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值
y的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 …y … m ﹣2 ﹣2 n …
当x＝﹣ 时，与其对应的函数值y＞0，给出下列四个结论：
①b＜0；②关于x的方程ax2+bx+c＝n的两个根是﹣1和2；③m+2n＜10；④t（at+b）≥﹣ （t为任
意实数）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意先求出函数的对称轴，再根据函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：∵x＝0时，y＝﹣2；x＝1时，y＝﹣2，
∴抛物线y＝ax2+bx+c对称轴为x＝﹣ ＝ ，c＝﹣2，
∴b＝﹣a，
∵当x＝﹣ 时，与其对应的函数值y＞0，
∴抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b＝﹣a＜0，
故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c对称轴为x＝ ，
∴（﹣1，m）和（2，n）关于对称轴对称，
∴m＝n，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n的两个根是﹣1和2，
故②正确；
∵当x＝﹣ 时，与其对应的函数值y＞0，
∴ a﹣ b﹣2＞0，
∴a＞ ，
当x＝﹣1时，m＝a﹣b﹣2＝2a﹣2，
∴m+2n＝3m＝3（2a﹣2）＞10，
故③错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c对称轴为x＝ ，图象开口向上，
∴at2+bt﹣2≥ a﹣ b﹣2，
∴t（at+b）≥﹣ ，
故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确
定出对称轴是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
4．（2022•温江区校级自主招生）把抛物线y＝﹣2x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长
度，所得函数的表达式为 y ＝﹣ 2 （ x ﹣ 3 ） 2 ﹣ 1 ．
【分析】根据二次函数的图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：根据题意得，
平移后的函数表达式为：y＝﹣2（x﹣3）2+1﹣2，
即为：y＝﹣2（x﹣3）2﹣1．
故答案为：y＝﹣2（x﹣3）2﹣1．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关
键．
5．（2022•南陵县自主招生）已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝2对称，设x＝1，2，4时对应的函数值
依次为y ，y ，y ，那么y ，y ，y 的大小关系是 y ＜ y ＜ y ．（用“＜”连接）
1 2 4 1 2 4 2 1 4
【分析】抛物线y＝x2+bx+c的开口向上，对称轴是直线x＝2，可知当x＝2时取最小值，又|1﹣2|＜|4﹣2|，
有y ＜y ，即可得答案．
1 4
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的开口向上，对称轴是直线x＝2，
∴当x＝2时取最小值，
又|1﹣2|＜|4﹣2|，
∴y ＜y ，
1 4
故答案为：y ＜y ＜y ．
2 1 4
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性．
6．（2022•相城区校级自主招生）设max{x，y}表示x，y两个数中的最大值．例如“max{1，3}＝3，max{﹣2，0， }＝ ”．则关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值为 ﹣ 1 ．
【分析】根据题目信息将将y＝2x，y＝﹣x﹣2和y＝﹣x2画在同一个坐标系中，利用数形结合确定图形的
三个组成部分，进而确定最小值．
【解答】解：将y＝2x，y＝﹣x﹣2和y＝﹣x2画在同一个坐标系中，如图所示，
易得点A的坐标为（﹣1，﹣1），点B的坐标为（0，0），
由题意可知，
关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}，即y＝2x，y＝﹣x﹣2和y＝﹣x2的不同范围内的部分图形，
即当x≤﹣1时，y＝﹣x﹣2，当x＝﹣1时，有最小值，为﹣1；
当﹣1≤x≤0时，y＝﹣x2，当x＝﹣1时，有最小值，为﹣1；
当x＞0时，y＝2x，当x＝0时，有最小值，为0．
综上关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值为﹣1．
【点评】本题考查二次函数和一次函数的性质，能够准确画出图形是第一步，能够根据题意分类讨论从而
获得不同范围内y的表达式进而求出y的最小值，能够熟练运用数形结合是解答本题的关键．
7．（2022•温江区校级自主招生）若二次函数y＝2x2﹣3x+c与x轴有两个不同交点，则c的取值范围是 c
＜ ．
【分析】由二次函数与x轴交点情况，可知Δ＞0，即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣3x+c与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣8c＞0，
∴c＜ ，故答案为：c＜ ．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数
与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
8．（2022•海曙区自主招生）在平面直角坐标系中，同时满足下列两个条件的点的坐标为 （ 1 ， 1 ）
（ 3 ，﹣ 3 ）（﹣ 3 ， 9 ） ．
（1）直线y＝﹣2x+3通过这样的点；
（2）不论m取何非零实数值，抛物线y＝mx2+（2m﹣1）x﹣3m都不通过这样的点．
【分析】设点（x ，y ）满足上述条件，则y ＝﹣2x +3，对任意实数m都有y ≠mx 2+（2m﹣1）x ﹣3m，
0 0 0 0 0 0 0
解之即可得出答案．
【解答】解：设点（x ，y ）满足上述条件，则y ＝﹣2x +3，对任意实数m都有y ≠mx 2+（2m﹣1）x ﹣
0 0 0 0 0 0 0
3m，
消去y 整理得m（x +3）（x ﹣1）≠3﹣x ，
0 0 0 0
从而可知当x ＝﹣3或1或3时才适合题意，
0
∴适合题意的点为（1，1）（3，﹣3）（﹣3，9），有三个．
故答案为（1，1）（3，﹣3）（﹣3，9）．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，属于基础题，关键是正确根据题意列出不等式．
9．（2022•相城区校级自主招生）已知二次函数y＝ax2+c的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（﹣
2，p），B（1，q）两点，则关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是 x ＜﹣ 2 或 x ＞ 1 或﹣ 2 ＜ x ＜ 1 ．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：分两种情况：
①当a＞0时，当x＜﹣2或x＞1时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，
∴关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣2或x＞1；
②当a＜0时，当﹣2＜x＜1时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，
∴关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是﹣2＜x＜1．
综上，关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣2或x＞1或﹣2＜x＜1．
故答案为：x＜﹣2或x＞1或﹣2＜x＜1．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
10．（2022•瓯海区校级自主招生）已知二次函数y＝x2+ax+b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为
m，n，且|m|+|n|≤1．设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则|p|+|q|＝ ．【分析】先根据根与系数的关系得出m+n＝﹣a，mn＝b，再由|m|+|n|≤1得出|m+n|得取值范围，由△≥0可
得到b与mn的关系，进而可得到b的最大与最小值．代入|p|+|q|求解即可．
【解答】解：根据题意，m，n是一元二次方程x2+ax+b＝0的两根，所以m+n＝﹣a，mn＝b．
∵|m|+|n|≤1，
∴|m+n|≤|m|+|n|≤1，|m﹣n|≤|m|+|n|≤1．
∵方程x2+ax+b＝0的判别式Δ＝a2﹣4b≥0，
∴b≤ ＝ ≤ ．
4b＝4mn＝（m+n）2﹣（m﹣n）2≥（m+n）2﹣1≥﹣1，故b ，等号当且仅当m＝﹣n＝ 时成立；
4b＝4mn＝（m﹣n）2+（m﹣n+1）2≤1﹣（m﹣n）2≤1，故b≤ ，等号当且仅当m＝n＝ 时成立．
∴p＝ ，q＝﹣ ，
∴|p|+|q|＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根与系数的关系及根的判别式、绝对值的性质，解答此
题的关键是根据根与系数的关系及根的判别式得到关于m、n与b的不等式．
11．（2022•鄞州区校级自主招生）已知关于x的方程x2+2bx+3c＝0的两个根分别是x ＝ ，x ＝ ，若
1 2
点A是二次函数y＝x2+2bx+3c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长
为 3 ．
【分析】根据x ＝ ，x ＝ ，求出抛物线的对称轴，再根据点 A横坐标为0，由对称性求出点B横坐
1 2
标，进而求出AB的长．
【解答】解：∵x ＝ ，x ＝ ，
1 2
∴对称轴为x＝ ＝ ，
∵点A的横坐标为0，
∴根据对称性，点B的横坐标为3，∴AB＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、根与系数的关系、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标
特征，掌握这四个知识点的综合应用，根与系数的应用是解题关键．
三．解答题（共15小题）
12．（2022•瓯海区校级自主招生）已知二次函数f（x）＝x2﹣16x+q+3．
（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；
（2）是否存在常数t（t≥0），当x [t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t．
∈
【分析】（1）由二次函数的单调性易得 ，解关于q的不等式组即可；
（2）分三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12﹣t列方程，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x2﹣16x+q+3的对称轴是直线x＝8，
∴f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，
∵函数在区间[﹣1，1]上存在零点，
则有 ，
即 ，
解得﹣20≤q≤12，
∴实数q的取值范围是：﹣20≤q≤12；
（2）∵0≤t＜10，f（x）在区间[0，8]上是减函数，在区间[8，10]上是增函数，且对称轴是直线x＝8，
①当0≤t≤6时，在区间[t，10]上，f（t）最大，f（8）最小，
∴f（t）﹣f（8）＝12﹣t，即t2﹣15t+52＝0，
解得t＝ ，
∵ ＞6，
∴t＝ ；
②当6＜t≤8时，在区间[t，10]上，f（10）最大，f（8）最小，
∴f（10）﹣f（8）＝12﹣t，
解得t＝8；
③当8＜t＜10时，在区间[t，10]上，f（10）最大，f（t）最小，∴f（10）﹣f（t）＝12﹣t，即t2﹣17t+72＝0，解得t＝8或9，
∴t＝9．
综上所述，存在常数t＝ ，8，9满足条件．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，
正确的分类是解答该题的关键．
13．（2022•长寿区自主招生）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），
与x轴交于C、D两点．点P是抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积．
（3）若点P在x轴下方的抛物线上．满足S△PCD ＝ S△BCD ，求点P的坐标．
【分析】（1）设抛物线顶点式解析式y＝a（x﹣1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）令y＝0，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；
（3）先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4，
把点B（0，3）代入得，a+4＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
令y＝0，则0＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴C（﹣1，0），D（3，0）；∴CD＝4，
∴S△BCD ＝ CD×|y
B
|＝ ×4×3＝6；
（3）由（2）知，S△BCD ＝ CD×|y
B
|＝ ×4×3＝6；CD＝4，
∵S△PCD ＝ S△BCD ，
∴S△PCD ＝ CD×|y
P
|＝ ×4×|y
P
|＝2，
∴|y |＝1，
P
∵点P在x轴下方的抛物线上，
∴y ＜0，
P
∴y ＝﹣1，
P
∵抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
∴﹣1＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x＝1± ，
∴P（1+ ，﹣1），或P（1﹣ ，﹣1）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，解本
题的关键是求出抛物线解析式，是一道比较简单的中考常考题．
14．（2022•南陵县自主招生）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、
速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆
数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长
度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系为q＝﹣2v2+120v．
（1）当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？
（2）已知q，v，k满足q＝vk．
①市交通运行监控平台显示，当18≤v≤28该路段不会出现交通拥堵现象．试分析当车流密度k在什么范
围时，该路段不会出现交通拥堵现象；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，当d＝25米时请求出此时的速度v．
【分析】（1）利用配方法，根据二次函数的性质即可解决问题；
（2）①求出v＝28或18时，定义的k的值即可解决问题；②当d＝25时，k＝ ＝40，此时q＝40v，即q＝﹣2v2+120v＝40v，即可求解．
【解答】解：（1）∵函数关系式q＝﹣2v2+120v，化为顶点式得q＝﹣2（v﹣30）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴v＝30时，q达到最大值，q的最大值为1800；
（2）∵q，v，k满足q＝vk，
∴ ．
①当v＝18时，q＝﹣2×182+120×18＝1512，此时 ，
当v＝28时，q＝﹣2×282+120×8＝1792，此时 ，
∴64≤k≤84，即当车流密度k满足64≤k≤84时，该路段不会出现交通拥堵现象；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，且d＝25，
∴ （辆/千米），
∴q＝40v．
又∵q＝﹣2v2+120v，
∴40v＝﹣2v2+120v．
解得：v ＝40，v ＝0（舍去），
1 2
∴v＝40，即此时的速度v＝40千米/小时．
【点评】本题考查二次函数的应用、最值问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问
题，属于中考常考题型．
15．（2022•九龙坡区自主招生）在脐橙丰收时，为了减少脐橙的库存，某脐橙销售公司决定开发市场增
加销售点进行销售，经销售发现，脐橙的每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣
100x+3000，销售单价不低于6元/kg且不高于20元/kg．当每日销售量低于2000kg时，该脐橙的成本价格
为6元kg，当每日销售量不低于2000kg时，该脐橙的成本价格5元/kg，设该公司销售脐橙的日获利为w
（元）．
（1）求该公司销售脐橙的日获利w与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种脐橙日获利最大？最大利润为多少元？
【分析】（1）分两种情况讨论，由日获利＝（销售单价﹣成本）×日销售量，可求解；
（2）分两种情况讨论，由二次函数的性质，分别求出6≤x≤10和10＜x≤20时的最大利润，即可求解．
【解答】解：（1）当y≥2000时，即﹣100x+3000≥2000，解得：x≤10，
∴当6≤x≤10时，w＝（x﹣5）（﹣100x+3000）＝﹣100x2+3500x﹣15000，
当10＜x≤20时，w＝（x﹣6）（﹣100x+3000）＝﹣100x2+3600x﹣18000，
综上所述：日获利w与销售单价x之间的函数关系式为w＝ ；
（2）当6≤x≤10时，w＝﹣100x2+3500x﹣15000＝﹣100 （x﹣17.5）2+15625，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝17.5，
∴当6≤x≤10时，w随x的增大而增大，
∴当x＝10时，w有最大值，最大值为10000，
当10＜x≤20时，w＝﹣100x2+3600x﹣18000＝﹣100 （x﹣18）2+14400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝18，
∴当x＝18时，w有最大值为14400，
∵14400＞10000，
∴当销售单价定为18元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为14400元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
16．（2022•瓯海区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点 P从原点O出发，沿x轴向右以每秒
一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点O和点P．
（1）求c，b（用t的代数式表示）；
（2）抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线x＝1和x＝5分别交于M，N两点，当t＞1时，
①在点 P的运动过程中，你认为 sin∠MPO的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出
sin∠MPO的值；
②△MPN的面积S与t的函数关系式；
③是否存在这样的t值，使得以O，M、N，P为顶点的四边形为梯形？如果存在，求出t的值；如果不存
在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点O和点P，将O（0，0），P（t，0），代入求出c，b的值
即可；
（2）①根据（1）中解析式得出M（1，t﹣1），得出AM＝AP，∠PAM＝45°即可得出sin∠MPO的大小
不会变化；
②根据当1＜t≤5时以及当t＞5时，分别得出S△MPN ＝S△APM +S梯形ABNP ﹣S△MBN ，S△MPN ＝S梯形MABN +S△NBP
﹣S△APM ，求出即可；
③根据当MP∥ON时以及当MN∥OP时，分别得出t的值即可．
【解答】解：（1）由题意得O（0，0），P（t，0），
代入y＝﹣x2+bx+c，
得c＝0，
﹣t2+bt＝0，
即b＝t．
即y＝﹣x2+tx．
（2）当t＞1时，①M（1，t﹣1），
即AM＝t﹣1，AP＝t﹣1，
即AM＝AP，∠PAM＝45°，sin∠MPO＝sin45°＝ 是定值．
②当1＜t≤5时，N（5，5t﹣25），
如图1，过点N作AM的垂线，垂足为B，
S△MPN ＝S△APM +S梯形ABNP ﹣S△MBN ，
＝ （t﹣1）2+ （t﹣1+4）×（25﹣5t）﹣ （t﹣1﹣5t+25）×4，
＝﹣2t2+12t﹣10，
当t＞5时，如图2，
S△MPN ＝S梯形MABN +S△NBP ﹣S△APM
＝ （t﹣1+5t﹣25）×4+ （5t﹣25）（t﹣5）﹣ （t﹣1）2，
＝2t2﹣12t+10，
③存在这样的t值，使得以O、M、N、P为顶点的四边形为梯形．
当MP∥ON时，如图3，∵∠OPM＝45°，∴∠PON＝45°，
即N（5，﹣5），代入y＝﹣x2+tx得﹣25+5t＝﹣5．
解得t＝4；
当MN∥OP时，如图4，
则M，N关于对称轴x＝3对称，
即﹣ ＝3，
解得：t＝6．
综上，当t＝4或t＝6时，以O、M、N、P为顶点的四边形为梯形．
【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及梯形的判定和图形面积求法，正确利用数形结合进行分
类讨论得出是解题关键．
17．（2022•巴南区自主招生）已知在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ x2+bx+c与x轴交于A、B两点
（点A在点B左侧），与y轴交于点C，A（﹣4，0），B（12，0），C（0，﹣6）．（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，过点P作
PE∥BC交x轴于点E，求PD+ BE的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移3 个单位，得到新抛物线y'，点F为y'的对称轴上任意一点，
若以点B、C、F为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出符合条件的点F的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（t， t2﹣t﹣6），则D（t， t﹣6），则PD＝﹣ t2+ t，求出直线PE的解析式为y＝ x+
t2+ t﹣6，则 E（﹣ t2﹣3t+12，0），可求 BE＝﹣ t2+3t，所以 PD+ BE＝﹣ （t﹣6）2+
，即可求当t＝6时，PD+ PE有最大值 ，此时P（6，﹣ ）；
（3）求出平移后的抛物线解析式为y＝ （x﹣10）2﹣5，设F（10，n），B（12，0），C（0，﹣6），则
BF2＝4+n2，BC2＝180，FC2＝100+（n+6）2，分三种情况讨论当BF为斜边时，F（10，﹣26）；当BC为
斜边时，F（10，﹣3+ ）或（10，﹣3﹣ ）；当CF为斜边时，100+（n+6F（10，4）．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0），C（0，﹣6）代入y＝ x2+bx+c，
∴ ，
解得 ，∴y＝ x2﹣x﹣6；
（2）设BC的直线解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝ x﹣6，
设P（t， t2﹣t﹣6），则D（t， t﹣6），
∴PD＝﹣ t2+ t，
设直线PE的解析式为y＝ x+m，
将点P代入，可得m＝ t2+ t﹣6，
∴y＝ x+ t2+ t﹣6，
∴E（﹣ t2+3t+12，0），
∴BE＝﹣ t2+3t，
∴PD+ BE＝﹣ t2+ t+ （﹣ t2+3t）＝﹣ （t﹣6）2+ ，
∴当t＝6时，PD+ PE有最大值 ，
此时P（6，﹣ ）；
（3）设抛物线沿x轴正方向平移2m个单位，则沿y轴正方向平移m个单位，
∴3 ＝ m，
解得m＝3，
∴平移后的抛物线解析式为y＝ （x﹣10）2﹣5，∴抛物线的对称轴为直线x＝10，
设F（10，n），B（12，0），C（0，﹣6），
∴BF2＝4+n2，BC2＝180，FC2＝100+（n+6）2，
当BF为斜边时，100+（n+6）2+180＝4+n2，
解得n＝﹣26，
∴F（10，﹣26）；
当BC为斜边时，180＝100+（n+6）2+4+n2，
解得n＝﹣3+ 或n＝﹣3﹣ ，
∴F（10，﹣3+ ）或（10，﹣3﹣ ）；
当CF为斜边时，100+（n+6）2＝180+4+n2，
解得n＝4，
∴F（10，4）；
综上所述：F点坐标为（10，﹣26）或（10，﹣3+ ）或（10，﹣3﹣ ）或（10，4）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求函数的解析式，
直角三角形勾股定理，分类讨论是解题的关键．
18．（2022•北碚区自主招生）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴正半轴交于点A，B，与y轴正
半轴交于点C，且OC＝OB＝3OA，点D为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线BC下方该抛物线上任意一点，点E为直线BC与该抛物线对称轴的交点，求△PBE面积
的最大值；（3）如图2，将该抛物线沿射线CB的方向平移2 个单位后得到新抛物线y'，新抛物线y′的顶点为
D'，过（2）问中使得△PBE面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交新抛物线y'于点M．在新抛物线
y′的对称轴上是否存在点N，使得以点P，D'，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写
出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出A、B点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（t，t2﹣4t+3），先求出直线PB的解析式为y＝（t﹣1）x+3﹣3t，则PB与对称轴的交点为
（2，1﹣t），可得S△PBE ＝﹣ （t﹣ ）2+ ，当t＝ 时，△PBE面积的最大值为 ；
（3）求出平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣3，则D'（4，﹣3），设N（4，t），分两种情况讨论：
①当PD'为平行四边形的对角线时，N（4，﹣7）；②当PN为平行四边形的对角线时，N（4，1）．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
∵OC＝OB＝3OA，
∴OB＝3，OA＝1，
∴A（1，0），B（3，0），
将A（1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴ ，
解得 ，
∴y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x+3，
∴E（2，1），
设P（t，t2﹣4t+3），直线PB的解析式为y＝k'x+b'，∴ ，
解得 ，
∴y＝（t﹣1）x+3﹣3t，
∴PB与对称轴的交点为（2，1﹣t），
∴S△PBE ＝ （1﹣1+t）×（3﹣t）＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
∴当t＝ 时，△PBE面积的最大值为 ；
（3）存在点N，使得以点P，D'，M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴抛物线沿x轴正方向平移2个单位，沿y轴负方向平移2个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣3＝x2﹣8x+13，
∴D'（4，﹣3），
由（2）知，P（ ，﹣ ），
∵PM∥y轴，
∴M（ ， ），
设N（4，t），
∵PM∥ND'，
∴PM与ND'一定是平行四边形的一组对边，
①当PD'为平行四边形的对角线时，
∴﹣ ﹣3＝ +t，
解得t＝﹣7，
∴N（4，﹣7）；
②当PN为平行四边形的对角线时，
∴t﹣ ＝﹣3+ ，
解得t＝1，
∴N（4，1）；综上所述：N点坐标为（4，﹣7）或（4，1）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，函数图
象平移的性质是解题的关键．
19．（2022•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+ x+c（a≠0）与x轴交于A
（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P为直线BC上方的抛物线y＝ax2+ x+c（a≠0）上任意一点，PH⊥BC，垂足为H，求线段
PH长的最大值；
（3）将抛物线y＝ax2+ x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三
角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设过点P与BC平行的直线为y＝﹣ x+t，联立方程组 ，整理得，x2﹣4x+2t﹣4＝
0，当Δ＝16﹣4（2t﹣4）＝0时，PH的值最大，此时y＝﹣ x+4，设直线与y轴的交点G（0，4），过C
作CF⊥GP交于F，利用∠CGF＝∠OCB，求出CF＝ ，即为所求；
（3）设抛物线沿x轴负方向平移2m个单位，则沿y轴正方向平移m个单位，可得M（4﹣2m，m），N
（﹣2m，2+m），用两点间距离公式分别求出AM＝ ，AN＝ ，MN
＝2 ，分两种情况讨论：①当MN＝AM时，M（﹣2 ，2+ ）或（2 ，2﹣ ）；②当MN＝AN时，M（4﹣2 ， ）．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+ x+c，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x2+ x+2；
（2）令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
设BC的直线解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x+2，
设过点P与BC平行的直线为y＝﹣ x+t，
联立方程组 ，
整理得，x2﹣4x+2t﹣4＝0，
当Δ＝16﹣4（2t﹣4）＝0时，PH的值最大，
∴t＝4，
∴y＝﹣ x+4，
∴直线与y轴的交点G（0，4），
过C作CF⊥GP交于F，
∵∠CGF＝∠OCB，∴sin∠OCB＝ ＝ ，
∴CF＝ ，
∴PH的最大值为 ；
（3）设抛物线沿x轴负方向平移2m个单位，则沿y轴正方向平移m个单位，
∴B点平移对应点M（4﹣2m，m），C的对应点N（﹣2m，2+m），
∴AM＝ ，AN＝ ，MN＝2 ，
①当MN＝AM时， ＝2 ，
解得m＝2+ 或m＝2﹣ ，
∴M（﹣2 ，2+ ）或（2 ，2﹣ ）；
②当MN＝AN时， ＝2 ，
解得m＝ 或m＝﹣ （舍），
∴M（4﹣2 ， ）；
综上所述：M点坐标为（﹣2 ，2+ ）或（2 ，2﹣ ）或（4﹣2 ， ）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，等腰
三角形的性质，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
20．（2022•南岸区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2向上平移4个单位，向右平
移1个单位得新抛物线y ＝ax2+bx+c（a≠0），新抛物线交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于
1点C．
（1）求a，b，c的值；
（2）如图1，点P为直线BC上方新抛物线上一动点，过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q．当PQ取最大
值时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，PQ取最大值时，PQ交新抛物线的对称轴于点M，直线BC交新抛物线的对称轴
于点 N．把 Rt△MNQ 绕点 N 逆时针旋转 （0°＜ ＜180°）得到 Rt△M′NQ′．在旋转过程中，当
Rt△M′NQ′的直角边与直线AC平行时，求α直角顶点α M′的坐标．
【分析】（1）由平移可得y ＝﹣（x﹣1）2+4，再求解即可；
1
（2）求出直线BC的解析式，设P（t，﹣t2+2t+3），则Q（t2﹣2t，﹣t2+2t+3），可得PQ＝﹣（t﹣ ）2+
，当t＝ 时，PQ有最大值 ；
（3）分两种情况讨论：①当AC∥M'Q'时，设M'Q'与y轴交于F，过点M'作M'H⊥MN交于H，可得到
∠HM'N＝∠ACO，再由tan∠ACO＝tan∠HM'N＝ ，得到M'H＝3HN，在Rt△HNM'中，利用勾股定理求
出HN＝ ，M'H＝ ，即可求M'（1﹣ ，2+ ）；②当AC∥NM'时，设M'N与x
轴交于D，对称轴与x轴交于G，过点M'作M'K⊥MN交于K，可得到∠M'NK＝∠ACO，同理得到M'K＝
，NK＝ ，即可求M'（1﹣ ，2﹣ ）．
【解答】解：（1）由平移得，y ＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
1
∴a＝﹣1，b＝2，c＝3；
（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0，则 y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x+3，
设P（t，﹣t2+2t+3），则Q（t2﹣2t，﹣t2+2t+3）
∴PQ＝t﹣t2+2t＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣ ）2+ ，
∴当t＝ 时，PQ有最大值 ；
（3）由（2）知，P（ ， ），Q（﹣ ， ），
∵平移后的抛物线的对称轴为x＝1，
∴M（1， ），N（1，2），
①当AC∥M'Q'时，设M'Q'与y轴交于F，过点M'作M'H⊥MN交于H，
∵M'H∥OA，CA∥M'Q'，
∴∠FM'H＝∠CAO，
∵∠Q'M'N＝90°，∠FM'C+∠M'FO＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠HM'N＝∠ACO，
∵OA＝1，CO＝3，
∴tan∠ACO＝ ，
∴tan∠HM'N＝ ＝ ，
∴M'H＝3HN，
∵M'N＝MN＝ ，
∴（ ）2＝（3HN）2+（HN）2，解得HN＝ ，
∴M'H＝ ，
∴M'（1﹣ ，2+ ）；
②当AC∥NM'时，设M'N与x轴交于D，对称轴与x轴交于G，过点M'作M'K⊥MN交于K，
∴∠CAO＝∠NDG，
∵M'K∥DG，
∴∠NM'K＝∠NDG，
∴∠M'NK＝∠ACO，
∵tan∠ACO＝ ，
∴tan∠M'NK＝ ＝ ，
∴NK＝3M'K，
∵M'N＝MN＝ ，
∴（ ）2＝（3M'K）2+（M'K）2，
解得M'K＝ ，
∴NK＝ ，
∴M'（1﹣ ，2﹣ ）；
综上所述：M'点坐标为（1﹣ ，2+ ）或（1﹣ ，2﹣ ）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数平移的性质，平行线的
性质，直角三角形勾股定理，图形旋转的性质是解题的关键．
21．（2022•九龙坡区自主招生）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，
B两点，与y轴交于点C，点A，B分别位于原点的左右两侧，且BO＝3AO＝3．已知直线y＝kx+n过B，C
两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．记△PDC的面积为S ，△ADC的面积为
1S ，若S ：S ＝1：2，求点P的坐标；
2 1 2
②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动
点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P，Q的坐标；若
不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可得A（﹣1，0），B（3，0），代入即可求得抛物线的表达式；
（2）①求出直线BC的表达式为y＝﹣x+3，过P和A作x轴垂线与直线BC交于M和N点，可以证得
△PMD∽△AND，所以 ＝ ，设 P（m，﹣m2+2m+3），则 M（m，﹣m+3），PM＝﹣
m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，N（﹣1，4），AN＝4，即可解决问题．
②根据等腰直角三角形的性质求得的点F坐标为（2，1），分EF为边和EF为对角线两种情况讨论，即
可求解．
【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3．
∴AO＝1．
∴A（﹣1，0），B（3，0），
把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得： ，
解得 ，
抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①∵y＝﹣x2+2x+3，
∴点C坐标为（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得： ，
解得 ，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
过P作PM⊥x轴交BC于M，过A作AN⊥x轴交BC于N，如图1，
AN∥PM，
∴△PMD∽△AND，
∴ ，
∴ ＝ ，
设P（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m+3），
∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵A（﹣1，0），
∴N（﹣1，4），
∴AN＝4，
∴ ＝ ，
∴m＝1或2，
∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）；
②存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图2中，∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，
∴OE＝1，
∵B（3，0），C（0，3）
∴OC＝OB＝3，
又∵∠COB＝90°，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∵∠EFB＝90°，BE＝OB﹣OE＝2，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴FG＝GB＝EG＝1，
∴点F的坐标为（2，1），
当EF为边时，
∵四边形EFPQ为平行四边形，
∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，
当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点P的坐标为（2，3），
∴QE＝PF＝3﹣1＝2，
点Q的坐标为（1，2），
根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形．
当EF为对角线时，如图3中，∵四边形PEQF为平行四边形，
∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，
同理求得：点P的坐标为（2，3），
∴QE＝PF＝3﹣1＝2，
点Q的坐标为（1，﹣2）；
综上，点P的坐标为（2，3）时，点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2），P（0，3）时，Q（1，4）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数的性
质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题
的关键是熟练掌握二次函数的性质以及平行四边形的性质，（3）注意要分EF是对角线与边两种情况讨论．
22．（2022•相城区校级自主招生）已知，如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+ x+4与x轴
交于点A、B，与y轴交于点C，直线AD经过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且点E的横坐标为
5，连接AC．
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图 2，点F为第一象限内抛物线上的动点，过点 F作FG∥y轴交直线 AD于点G，过点 F作
FH∥AC交直线AD于点H，当△FHG周长最大时，求点F的坐标．此时，点T为y轴上一动点，连接
TA，TF，当|TA﹣TF|最大时求点T的坐标；
（3）如图3，点F仍为第一象限内抛物线上的动点，如（2）中条件得△FHG，边FH交x轴于点M，点N为线段FG上一动点，将△FMN沿着MN翻折得到△PMN，当△PMN与△FGH重叠部分图形为直角三角
形，且PM＝PG时，求线段FN的长．
【分析】（1）求出A、E两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，设F（m，﹣ m2+ m+4），则G（m，﹣ m﹣1），FG＝﹣ m2+ m+5，首先判断当
FG最大时，△FGH的周长最大，利用二次函数的性质，求出点 F坐标，作点F关于y轴的对称点F′，
连接AF′，由此AF′交y轴于T，此时|TA﹣TF|最大，求出直线AF′的解析式即可解决问题．
（3）①如图2中，当∠MNP＝90°，重叠部分是△MNP是直角三角形，②如图3中，当PM⊥GF时，重
叠部分是△MNK是直角三角形．分别列出方程求解即可．
【解答】解：（1）对于抛物线y＝﹣ x2+ x+4，令y＝0得﹣ x2+ x+4＝0，解得x＝﹣3或4．
令x＝0得y＝4，
∴A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），
∵x＝5时，y＝﹣ ，
∴E（5，﹣ ），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，则有 ，解得 ，
∴直线AD的解析式为y＝﹣ x﹣1．
（2）如图1中，设F（m，﹣ m2+ m+4），则G（m，﹣ m﹣1），FG＝﹣ m2+ m+5，∵FG∥CD，FH∥AC，
∴∠FHC＝∠CAD，∠FGH＝∠CDA，
∴∠FGH，∠FHG是定值，
∴当FG最大时，△FGH的周长最短，
∵FG＝﹣ m2+ m+5＝﹣ （m﹣1）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴m＝1时，FG有最大值，此时F（1，4），
作点F关于y轴的对称点F′，连接AF′，由此AF′交y轴于T，此时|TA﹣TF|最大，
∵A（﹣3，0），F′（﹣1，4），
∴直线AF′的解析式为y＝2x+6，
∴点T坐标（0，6）．
（3）①如图2中，当∠MNP＝90°，重叠部分是△MNP是直角三角形，∵△FMN∽△COA，
∴ ＝ ，∵FN＝﹣ m2+ m+4，
∴FM＝PM＝PG＝ FN＝ （﹣ m2+ m+4），
∵2FN+PG＝FG，
∴2（﹣ m2+ m+4）+ （﹣ m2+ m+4）＝﹣ m2+ m+5，
整理得9m2﹣5m﹣96＝0，
解得m＝ 或﹣3（舍弃），
∴FN＝﹣ （ ）2+ × +4＝ ．
②如图3中，当PM⊥GF时，重叠部分是△MNK是直角三角形．∵KM：FK：FM＝3：4：5，PM＝PG，
∴PK：PG＝2：5，
∴KG：PK＝ ：2，
∴（ m+1）： （﹣ m2+ m+4）＝ ：2，
∴（m+3）：[﹣（m﹣4）（m+3）]＝ ：4
m＝4﹣ 或m＝﹣3（舍去），
∴FK＝ ．
∵FN：NK＝FM：MK＝5：3，
∴FN＝ FK＝ ．
③当∠NMF＝90°，不可能得到PM＝PG，故此种情形不存在．
综上所述，当△PMN与△FGH重叠部分图形为直角三角形，且 PM＝PG时，线段FN的长为 或
．
【点评】本题考查二次函数综合题、最值问题、一次函数的应用、勾股定理、直角三角形的判定和性质等
知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，
题目比较难，属于中考压轴题．23．（2022•温江区校级自主招生）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象与x
轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB＝4，与y轴交于点C，E为抛物线的顶点，且tan∠ABE＝
2．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）已知P在第四象限的抛物线上，连接AE交y轴于点M，连接PE交x轴于点N，连接MN，若S△EAP
＝3S△EMN ，求点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿y轴翻折得到一个新抛物线，A点的对应点为点F，过点C作直线l与新抛物线
交于另一点M，与原抛物线交于另一点N，是否存在这样一条直线，使得△FMN的内心在直线EF上？若
存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据二次函数解析式确定出对称轴为直线x＝1，再根据AB的长度确定出点A的坐标，再根
据tan∠ABE＝2求出顶点E的纵坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据点A、E的坐标确定出点M是AE的中点，然后根据等底等高的三角形的面积相等，再根据等底
等高的三角形的面积相等可得点P的纵坐标为﹣2，然后代入抛物线解析式求出横坐标的长度，从而得解；
（3）求出点C的坐标（0，3），再根据对称性求出新抛物线的解析式，然后设直线 l的解析式为y＝
kx+3，再与两抛物线上解析式联立求解得到点 M、N的坐标，过点M作MG⊥x轴于G，过点N作NH⊥x
轴于H，再根据点F的坐标判断出EF⊥x轴，然后根据△FMN的内心在直线EF上，则EF是∠MFN的平
分线，从而得到∠MFG＝∠NFH，再根据△MGF和△NHF相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例
式求出k值，从而得解．
【解答】解：（1）二次函数y＝a（x﹣1）2+k的对称轴为直线x＝1，
又∵AB＝4，
∴点A到y轴的距离为 ×4﹣1＝1，
∴点A的坐标是（﹣1，0），
∵tan∠ABE＝2，∴ ×4×tan∠ABE＝2×2＝4，
∴点E的纵坐标为4，
∴顶点E的坐标为（1，4），
∴k＝4，
∵点A（﹣1，0）在二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象上，
∴a（﹣1﹣1）2+4＝0，
解得a＝﹣1，
故二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）如图1，∵A（﹣1，0），E（1，4），
∴点M是AE的中点，且M（0，2），
根据等底等高的三角形的面积相等可得，S△AMN ＝S△EMN ，
又∵S△EAP ＝3S△EMN ，
∴S△AMN ＝S△APN ，
根据等底等高的三角形的面积相等可得点P的纵坐标为﹣2，
∴﹣（x﹣1）2+4＝﹣2，
解得x ＝1+ ，x ＝1﹣ （舍去），
1 2
故点P的坐标是（1+ ，﹣2）；
（3）存在．
理由如下：如图2，令x＝0，﹣（0﹣1）2+4＝3，
所以，点C的坐标为（0，3），
根据翻折的性质，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4沿y轴翻折得到的新抛物线为y＝﹣（x+1）2+4，
∵A点的对应点为点F，
∴点F的坐标为（1，0），
又∵E（1，4），
∴EF⊥x轴，
设直线l的解析式为y＝kx+3，联立 ，
解得 （为点C，舍去）， ，
∴点N坐标为（2﹣k，﹣k2+2k+3），
联立 ，
解得 （为点C，舍去）， ，
∴点M的坐标为（﹣2﹣k，﹣k2﹣2k+3），
过点M作MG⊥x轴于G，过点N作NH⊥x轴于H，
∵△FMN的内心在直线EF上，
∴EF是∠MFN的平分线，
∴∠MFG＝∠NFH，
又∵∠MGF＝∠NHF＝90°，
∴△MGF∽△NHF，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
整理得，k2﹣2k﹣3＝﹣（k2﹣2k+1），
即k2﹣2k﹣1＝0，
解得k ＝1+ ，k ＝1﹣ ，
1 2
∵点M（﹣2﹣k，﹣k2﹣2k+3）在y轴的左侧，点N（2﹣k，﹣k2+2k+3）在对称轴直线x＝1的右边，
∴ ，
解得﹣2＜k＜1，
∴k＝1﹣ ，故直线EF的解析式为y＝（1﹣ ）x+3．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等底等高的三角形的面积
相等，二次函数的对称性，联立两函数解析式求交点坐标，相似三角形的判定与性质，三角形的内心是角
平分线的交点，综合性较强，难度较大，（3）用k表示出点M、N的坐标，从而得到两相似三角形的边长
是解题的关键．
24．（2022•渝北区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣ 与x轴交于A、B两点
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（1，0），且tan∠OAC＝ ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点M为直线AC下方抛物线上一点，过点M作MD∥y轴交AC于点D，求MD+DC的最大值
及此时点M的坐标；
（3）如图2，连接BC，将△BOC绕着点A逆时针旋转60°得到△B'O'C'，将抛物线y＝ax2+bx﹣ 沿着射
线CB方向平移，使得平移后的新抛物线经过O'，H是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否
存在点P，使以点B'，C'，H，P为顶点的四边形是以B'C'为边的菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用三角形函数的正切值，求出OA，从而确定A点坐标，再由待定系数法求函数的解析式
即可；
（2）求出直线AC的解析式，设M（t， t2+ t﹣ ），则D（t，﹣ t﹣ ），则MD＝﹣
t2﹣ t，过点D作DE⊥y轴交于点E，利用直角三角形的三角函数值求出CD＝﹣ t，则MD+CD＝
﹣ （t+ ）2+ ，当t＝﹣ 时，MD+CD的最大值为 ，
（3）连接AO'，OO'，过点O'作O'H⊥x轴交于点H，由旋转可知，△AOO'是等边三角形，可求O'（﹣
， ），设抛物线沿x轴正方向平移m个单位，则沿y轴正方向平移 m个单位，平移后的抛物线解
析式为y＝ （x+1﹣m）2﹣ + m，再将O'代入抛物线解析式可得m＝ ，则抛物线的解析式为y
＝ （x﹣ ）2+ ，设H（ ，t），P（x，y），连接BB'、AB'，AC、AC'，分别在等边三角形
△ACC'、△ABB'中求出C'（0， ），B'（﹣1，2 ），再分两种情况讨论：①当B'H为菱形的对角线
时，B'C'＝C'H，求得P（﹣ ， +2 ）或（﹣ ，﹣ +2 ）；②当B'P为菱形的对角线时，
B'C'＝B'H，求得P（ ， + ）或（ ，﹣ + ）．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣ ，
∴C（0，﹣ ），
∴OC＝ ，
∵tan∠OAC＝ ，
∴OA＝3，
∴A（﹣3，0），
将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣ ，
∴ ，
解得 ，
∴y＝ x2+ x﹣ ；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x﹣ ，
设M（t， t2+ t﹣ ），则D（t，﹣ t﹣ ），
∴MD＝﹣ t﹣ ﹣ t2﹣ t+ ＝﹣ t2﹣ t，
过点D作DE⊥y轴交于点E，∵tan∠ACO＝ ＝ ，
∴∠ACO＝60°，
∴CD＝ ＝ ED，
∵DE＝﹣t，
∴CD＝﹣ t，
∴MD+CD＝﹣ t2﹣ t﹣ t＝﹣ t2﹣ t＝﹣ （t+ ）2+ ，
∴当t＝﹣ 时，MD+CD的最大值为 ，
此时M（﹣ ，﹣ ）；
（3）存在点P，使以点B'，C'，H，P为顶点的四边形是以B'C'为边的菱形，理由如下：
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝ x﹣ ，
连接AO'，OO'，过点O'作O'H⊥x轴交于点H，
由旋转可知，AO＝AO'＝3，∠OAO'＝60°，
∴△AOO'是等边三角形，
∴OH＝ ，O'H＝ ，
∴O'（﹣ ， ），
设抛物线沿x轴正方向平移m个单位，则沿y轴正方向平移 m个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝ （x+1﹣m）2﹣ + m，
∵O'在新抛物线上，∴ ＝ （﹣ +1﹣m）2﹣ + m，
解得m＝ 或m＝﹣ （舍），
∴抛物线的解析式为y＝ （x﹣ ）2+ ，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，
设H（ ，t），P（x，y），
连接BB'、AB'，AC、AC'，
在△ACC'中，AC＝AC'，∠CAC'＝60°，
∴△ACC'是等边三角形，
∵∠CAO＝30°，
∴C'与C关于AO对称，
∴C'（0， ），
在△ABB'中，AB＝AB'，∠BAB'＝60°，
∴△ABB'是等边三角形，
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4，
∴B'（﹣1，2 ），
①当B'H为菱形的对角线时，B'C'＝C'H，
∴ ，
解得 或 ，
∴P（﹣ ， +2 ）或（﹣ ，﹣ +2 ）；②当B'P为菱形的对角线时，B'C'＝B'H，
∴ ，
解得 或 ，
∴P（ ， + ）或（ ，﹣ + ）；
综上所述：（﹣ ， +2 ）或（﹣ ，﹣ +2 ）或（ ， + ）或（ ，﹣ + ）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，图象
旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．25．（2022•工业园区校级自主招生）如图，边长为 8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点
的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、
E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD、PE、DE．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任
意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好
点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数．并求出△PDE
周长最小时“好点”的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）首先表示出P，F点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD，PF的长，进而求出即可；
（3）根据题意当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，进而得出P点坐标以及利用△PDE的面积可以等于
4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，
∴C（0，8），A（8，0），
设抛物线解析式为：y＝ax2+c，
则 ，
解得： ．
故抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+8；
（2）正确，理由如下：设P（a，﹣ a2+8），则F（a，8），
∵D（0，6），
∴PD＝ ＝ ＝ a2+2，
PF＝8﹣（ a2+8）＝ a2，
∴PD﹣PF＝2；
（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，
∵PD﹣PF＝2，∴PD＝PF+2，
∴PE+PD＝PE+PF+2，
∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，
此时点P，E的横坐标都为4，
将x＝4代入y＝﹣ x2+8，得y＝6，
∴P（4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点，
∴△PDE的周长最小时”好点“的坐标为：（4，6），
由（2）得：P（a，﹣ a2+8），
∵点D、E的坐标分别为（0，6），（4，0），
①当0≤a≤4时，
S△PDE ＝ ×（a+4）×（﹣ a2+8）﹣ ×4×6﹣ a（﹣ a2+8﹣6）
＝﹣ a2+3a+4；
∴4＜S△PDE ≤12，
②当4＜a≤8时，
S△PDE ＝ a（﹣ a2+8﹣6）﹣ ×（a﹣4）×（﹣ a2+8）﹣ ×4×6+＝﹣ a2+3a+4；
∴4＜S△PDE ≤12，
∴12≤S△PDE ≤13，
∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，所以面积为整数时好点有11
个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个，综上所述：11个好点，P（4，6）．
【点评】此题主要考查了二次函数综合，勾股定理的应用以及配方法求二次函数最值等知识，利用“数形
结合”得出符合题意的答案减少了繁琐的计算，且提高了准确率．
26．（2022•渝中区校级自主招生）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+ x+3与x轴交于A、B两点
（A在B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，过点B作BC的垂线，交对称轴于E．
（1）如图1，点P为第一象限内的抛物线上一动点，当△PAE面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴
上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值；
（2）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D'，点A的对应
点A'，设原抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F落在点F′处，在平面上找一点
G，使得以A'、D'、F'、G为顶点的四边形为菱形．直接写出D′的坐标．
【分析】（1）先求得点A，B，C，D的坐标，得到OC，OB的长，记对称轴于x轴的交点为点F，得到
BF的长，然后由BC⊥BE证明△FBE∽△OCB，利用相似三角形的性质求得EF的长，得到点E的坐标，
用待定系数法求得直线AE的解析式，过点P作PQ⊥x轴，交直线AE于点Q，设点P的坐标，得到点Q
的坐标，然后得到△PAE的面积，进而利用二次函数的性质求得△PAE面积最大时点P的坐标，作点P和
点O关于对称轴的对称点P'和O'，连接O'P'，与对称轴交于点M，则OM+MN+NP的最小值即为O'P'的长，
然后求得点O'和P'的坐标，进而得到O'P'的长和直线O'P'的解析式，最后求得点M的坐标；
（2）先求得直线BC的解析式，记FF'与BC的交点为点H，则∠FHB＝90°，点H为F和F'的中点，然后
利用同角三角函数值相等求得BH的长，过点H作HK⊥x轴于点K，利用同角的三角函数值相等求得HK
和BK的长，进而得到点H的坐标，然后求得点F'的坐标，由点A和点D的坐标求得AD的长，即A'D'的
长，设平移的距离为 t，然后求得点A'和点D'的坐标，进而得到A'F'，D'F'的长，根据菱形的性质进行分类讨论，列出方程求得t的值，即可得到点D'的坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，﹣ x2+ x+3＝0，
解得：x＝﹣ 或x＝3 ，
∴点A（﹣ ，0），B（3 ，0），
∴点D的橫坐标为 ＝ ，
∴点D的坐标为（ ，4），
∴OC＝3，OB＝3 ，
如图，记对称轴于x轴的交点为点F，则BF＝3 ﹣ ＝2 ，∠BFE＝∠COB＝90°，
∵BC⊥BE，
∴∠CBF+∠FBE＝90°，
∵∠FBE+∠FEB＝90°，
∴∠CBF＝∠FEB，
∴△FBE∽△OCB，
∴ ，即 ，
∴EF＝4，
∴点E的坐标为（ ，﹣4），
设直线AE的解析式为y＝kx+b，则
，解得： ，
∴直线AE的解析式为y＝﹣ x﹣2，
过点P作PQ⊥x轴，交直线AE于点Q，设点P的坐标为（x，﹣ x2+ x+3），则点Q的坐标为（x，﹣ x﹣2），
∴PQ＝﹣ x2+ x+3﹣（﹣ x﹣2）＝﹣ x2+2 x+5＝﹣ （x﹣2 ）2+9，
∵S△PAE ＝S△PAQ ﹣S△PEQ ＝ ＝ ＝ PQ，
∴S△PAE ＝﹣ （x﹣2 ）2+9 ，
∴当x＝2 ，即点P的坐标为（2 ，3）时，△PAE面积最大，
作点 P 和点 O 关于对称轴的对称点 P'和 O'，连接 O'P'，与对称轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，则
OM+MN+NP的最小值即为O'P'的长，
∵O（0，0），P（2 ，3）
∴O'（2 ，0），P'（﹣2 ，3），
∴O'P'＝ ＝ ，
设直线O'P'的解析式为y＝mx+n，则
，解得： ，
∴直线O'P'的解析式为y＝﹣ x+ ，
当x＝ 时，y＝ ，
∴点M的坐标为（ ， ），OM+MN+NP的最小值为 ．
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，则
，解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣ x+3，
记FF'与BC的交点为点H，则∠FHB＝90°，点H为F和F'的中点，∴cos∠FBH＝cos∠CBO，即 ，
∵BF＝2 ，BO＝3 ，BC＝ ＝3 ，
∴ ，
∴BH＝ ，
过点H作HK⊥x轴于点K，则∠HKB＝90°，
∴sin∠HBK＝sin∠CBO，cos∠HBK＝cos∠CBO，
∴ ， ，
∴ ，
∴HK＝ ，BK＝ ，
∴OK＝OB﹣BK＝3 ﹣ ＝ ，
∴点H的坐标为（ ， ），
∴点F'的坐标为（ ， ），
∵点A（﹣ ，0），点D（ ，4），
∴AD＝2 ，即A'D'＝2 ，
设平移的距离为 t，则点A'的坐标为（﹣ + t，2t），点D'的坐标为（ + t，4+2t），
∴A'F'2＝（﹣ + t﹣ ）2+（2t﹣ ）2＝6t2﹣24t+ ，D'F'2＝（ t+ ﹣ ）2+（4+2t﹣
）2＝6t2+ ，A'D'2＝24，
①以A'F'和D'F'为邻边时，A'F'2＝D'F'2，
∴6t2﹣24t+ ＝6t2+ ，解得：t＝1，
∴点D'的坐标为（2 ，6）；
②以A'F'和A'D'为邻边时，A'F'2＝A'D'2，
∴6t2﹣24t+ ＝24，
解得：t＝2+ 或t＝2﹣ ，
∴点D'的坐标为（3 + ，8+ ）或（3 ﹣ ，8﹣ ）；
③以D'F'和A'D'为邻边时，D'F'2＝A'D'2，
∴6t2+ ＝24，
解得：t＝ 或t＝﹣ （舍），
∴点D'的坐标为（ + ，4+ ）；
综上所述，点D'的坐标为（2 ，6）或（3 + ，8+ ）或（3 ﹣ ，8﹣ ）或（
+ ，4+ ）．【点评】本题考查二次函数综合题，一次函数的应用，菱形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，相
似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题，学会构建二次函数解决
问题，属于中考压轴题．
