文档内容
第 07 讲 平面直角坐标系与一次函数、反比例函数
（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）
【考纲要求】
⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想；
⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之
间的关系；
⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基
本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.
【知识导图】【考点梳理】
考点一、平面直角坐标系
1.平面直角坐标系
平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数
对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数
对）紧密结合起来.
2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点
x 0,y 0
点P(x,y)在第一象限 ；
x 0,y 0
点P(x,y)在第二象限 ；
x 0,y 0
点P(x,y)在第三象限 ；
x 0,y 0
点P(x,y)在第四象限 ；
y 0
点P(x,y)在x轴上 ，x为任意实数；
x 0
点P(x,y)在y轴上 ，y为任意实数；
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上 x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）.
3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x与y相等；
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x与y互为相反数.
4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.
5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p′关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数；
点P与点p′关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数；
点P与点p′关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数.
6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离
y
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于 ；
x
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于 ；
x2 y2
（3）点P(x,y)到原点的距离等于 .
考点二、函数
1. 函数的概念
设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的
值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.
2.自变量的取值范围
对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有
意义.
3．表示方法
⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.
4．画函数图象
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.
考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）
1.正比例函数及其图象性质
（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．
（2）正比例函数y=kx（ k≠0)的图象：
过（0，0），（1，K）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质
①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小 .
2.一次函数及其图象性质
（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．
（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象
（3）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象的性质
b
( ,0)
一次函数y＝kx＋b的图象是经过(0，b)点和 k 点的一条直线．
① 当k>0时，y随x的增大而增大；
②当k<0时，y随x的增大而减小．
3.反比例函数及其图象性质k
y
（1）定义：一般地，形如 x （ k 为常数， k o ）的函数称为反比例函数.
k
y
x y kx 1
三种形式： (k≠0)或 (k≠0)或xy=k(k≠0).
（2）反比例函数解析式的特征：
y k k
①等号左边是函数 ，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数 （也叫做比例系数 ），分母中
x
含有自变量 ，且指数为1；
k 0
②比例系数 ；
x
③自变量 的取值为一切非零实数；
y
④函数 的取值是一切非零实数.
（3）反比例函数的图象
①图象的画法：描点法
列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）；
描点（由小到大的顺序）；
连线（从左到右光滑的曲线）.
k
y
x k k 0 x0 y 0
②反比例函数的图象是双曲线， （ 为常数， ）中自变量 ，函数值 ，所以
双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.
y x y x
③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是 和 ）和中心对称图形（对称中心是坐标
原点）.
k k
y y
x k 0 k x k 0
④反比例函数 （ ）中比例系数 的几何意义是：过双曲线 （ ）上任意点
x y k
引 轴、 轴的垂线，所得矩形面积为 .
（4）反比例函数性质：
反比例 k
y (k 0)
函数 x
k的符号 k>0 k<0图像
①x的取值范围是x0， ①x的取值范围是x0，
y的取值范围是y0； y的取值范围是y0；
性质 ②当k>0时，函数图像的两个分支分别 ②当k<0时，函数图像的两个分支分别
在第一、三象限.在每个象限内，y 在第二、四象限.在每个象限内，y
随x 的增大而减小. 随x 的增大而增大.
（5）反比例函数解析式的确定：
k
利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出 ）
（6）“反比例关系”与“反比例函数”：
k
y
x
成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数 中的两个变量必成反比例关系.
【典型例题】
题型一、坐标平面有关的计算
例1． 已知点A(a，-5)，B(8，b)，根据下列要求确定a，b的值.
(1)A，B两点关于y轴对称；
(2)A，B两点关于原点对称；
(3)AB∥x轴；
(4)A，B两点都在一、三象限的角平分线上．
【变式】已知点A的坐标为(-2，-1)．
AB 10
(1)如果B为x轴上一点，且 ，求B点的坐标；
(2)如果C为y轴上的一点，并且C到原点的距离为3，求线段AC的长；AD 5
(3)如果D为函数y＝2x-1图象上一点， ，求D点的坐标．
例2．已知某一函数图象如图所示．
(1)求自变量x的取值范围和函数y的取值范围；
(2)求当x＝0时，y的对应值；
(3)求当y＝0时，x的对应值；
(4)当x为何值时，函数值最大；
(5)当x为何值时，函数值最小；
(6)当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；
(7)当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．【变式1】下图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象．若用黑点表示韩老师家的
位置，则韩老师散步行走的路线可能是( )
【变式2】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是( )．
题型二、一次函数
例3．盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，
节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费
用为y元，非节假日门票费用y （元）及节假日门票费用y （元）与游客x（人）之间的函数关系如图所
1 2
示．
（1）a= ，b= ；
（2）直接写出y 、y 与x之间的函数关系式；
1 2
（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，
两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？【变式1】
(1)直线y＝2x+1向下平移2个单位，再向右平移2个单位后的直线的解析式是_____ ___.
(2)直线y＝2x+1关于x轴对称的直线的解析式是___ _____；
直线y＝2x+l关于y轴对称的直线的解析式是___ ______；
直线y＝2x+1关于原点对称的直线的解析式是____ _____．
(3)如图所示，已知点C为直线y＝x上在第一象限内一点，直线y＝2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直
线AB平移后经过(3，4)点，则平移后的直线的解析式是__ ______．
【变式2】某地夏天旱情严重．该地10号、15号的人日均用水量的变化情况如图所示．若该地10号、15
号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量低于10千克时，政
府将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为( )
A．23 B．24 C．25 D．26题型三、反比例函数
m
y
x
例4．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象交于A（2，
3）、B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．
5k
y
y kx k k 0 x k k 0
【变式】已知正比例函数 （ 为常数， ）的图象与反比例函数 （ 为常数，
）的图象有一个交点的横坐标是2．（1）求两个函数图象的交点坐标；
5k
y
A(x，y ) B(x，y ) x x y，y
x
（2）若点 1 1 ， 2 2 是反比例函数 图象上的两点，且 1 2，试比较 1 2的大
小．
题型四、函数综合应用
k
y
例5．如图，直线 y xb （ b ＞0）与双曲线 x （ k ＞0）在第一象限的一支相交于A、B两点，与
PO PD
坐标轴交于C、D两点，P是双曲线上一点，且 .
k b
（1）试用 、 表示C、P两点的坐标；
（2）若△POD的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式；
4 3
（3）若△OAB的面积等于 ，试求△COA与△BOD的面积之和.m
y
2 x
【变式1】如图所示是一次函数y＝kx+b和反比例函数 的图象，观察图象写出y＞y 时x的取值范
1 1 2
围________．
y
(2m1)x3m22
【变式2】已知函数 ，m为何值时，
(1)y是x的正比例函数，且y随x的增大而增大?
(2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线?
n1 1
l : y x
n n n l : y 2x1
例6．已知直线 (n是不为零的自然数)．当n＝1时，直线 1 与x轴和y轴
分别交于点 A 和 B ，设△AOB(其中 O 是平面直角坐标系的原点)的面积为 S ；当 n＝2 时，直线
1 1 1 1 1
3 1
l : y x
2 2 2 l
与x轴和y轴分别交于点A 和B ，设△AOB 的面积为S ，…，依此类推，直线 n与x轴
2 2 2 2 2
和y轴分别交于点A 和B，设△AOB 的面积为S．
n n n n n
△AOB
(1)求 1 1的面积S；
1
(2)求S+S+S+…+S 的面积．
1 2 3 6【中考过关真题练】
一．选择题（共9小题）
1．（2022•攀枝花）若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022•攀枝花）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅
安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高
的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段 OM表
示货车离西昌距离y （km）与时间x（h）之间的函数关系：折线OABN表示轿车离西昌距离y （km）
1 2
与时间x（h）之间的函数关系，则以下结论错误的是（ ）
A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为60km/h
C．轿车从西昌到雅安的速度为110km/h
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有20km
3．（2022•阜新）如图，平面直角坐标系中，在直线y＝x+1和x轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在 x轴上，另一条直角边与x轴垂直，则第100个等
腰直角三角形的面积是（ ）
A．298 B．299 C．2197 D．2198
4．（2022•攀枝花）如图，正比例函数y＝k x与反比例函数y＝ 的图象交于A（1，m）、B两点，当
1
k x≤ 时，x的取值范围是（ ）
1
A．﹣1≤x＜0或x≥1 B．x≤﹣1或0＜x≤1
C．x≤﹣1或x≥1 D．﹣1≤x＜0或0＜x≤1
5．（2022•阜新）已知反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点（﹣2，4），那么该反比例函数图象也一
定经过点（ ）
A．（4，2） B．（1，8） C．（﹣1，8） D．（﹣1，﹣8）
6．（2022•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），则D的坐标为（
）
A．（﹣2，﹣1） B．（4，﹣1） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣1）
7．（2022•菏泽）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB＝DE＝2，DG＝3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．
等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022•柳州）如图，直线y ＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y ＝﹣x+3分别与x轴、y轴
1 2
交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（
）
A．1 B．2 C．4 D．6
9．（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线
l分别与反比例函数y＝ 和y＝ 的图象交于P、Q两点．若S△POQ ＝15，则k的值为（ ）A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
二．填空题（共3小题）
10．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点 A ，A ，A ，A …在x轴上且 OA ＝1，OA ＝
1 2 3 4 1 2
2OA ，OA ＝2OA ，OA ＝2OA …按此规律，过点A ，A ，A ，A …作x轴的垂线分别与直线y＝ x
1 3 2 4 3 1 2 3 4
交于点B ，B ，B ，B …记△OA B ，△OA B ，△OA B ，△OA B …的面积分别为S ，S ，S ，S …则
1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4
S ＝ ．
2022
11．（2022•遵义）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，
且AN＝CM，AB＝ ．当AM+BN的值最小时，CM的长为 ．
12．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝ （x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC
的面积为9 时， 的值为 ，点F的坐标为 ．
三．解答题（共11小题）
13．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k ＝ 和k ＝
1 2
两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；
（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，
且点P的“倾斜系数”k＜ ，请直接写出a的取值范围．
14．（2022•黑龙江）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动
鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋 甲 乙
价格
进价（元/双） m m﹣20售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且不超
过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠 a
（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
15．（2022•六盘水）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）将直线y＝x向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点 C，与x轴交于点
D，与y轴交于点E，若 ＝ ，求a的值．
16．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数y＝ 的图
象相交于A（a，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设
P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q
两点的坐标．
17．（2022•河北）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣8，19），B（6，5）．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）某同学设计了一个动画：
在函数y＝mx+n（m≠0，y≥0）中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中C（c，0）．当c＝2
时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段 AB就会发光．求此时
整数m的个数．
18．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水
中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天
内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律
如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所
排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天） 3 5 6 9 ……
硫化物的浓度 4.5 2.7 2.25 1.5 ……y（mg/L）
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
19．（2022•济南）如图，一次函数y＝ x+1的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（a，
3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
请求出所有符合条件的点P坐标．20．（2022•攀枝花）如图，直线y＝ x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段AB上一动点（不与
A、B重合），以C为顶点作∠OCD＝∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线OC绕点O顺时针旋
转90°交射线CD于点E，连结BE．
（1）证明： ＝ ；（用图1）
（2）当△BDE为直角三角形时，求DE的长度；（用图2）
（3）点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）21．（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点
B（0，9），与直线OC交于点C（8，3）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，
D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′
＝m，当点A′与点B重合时停止运动．
①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为 （用含有m的代数式表示）；
②当0＜m＜ 时，S与m的关系式为 ；② 当S＝ 时，m的值为 ．
22．（2022•泰州）定义：对于一次函数 y ＝ax+b、y ＝cx+d，我们称函数 y＝m（ax+b）+n（cx+d）
1 2
（ma+nc≠0）为函数y 、y 的“组合函数”．
1 2
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y ＝x+1、y ＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理
1 2
由；
（2）设函数y ＝x﹣p﹣2与y ＝﹣x+3p的图象相交于点P．
1 2
①若m+n＞1，点P在函数y 、y 的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
1 2
②若p≠1，函数y 、y 的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任
1 2
意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；
若不存在，请说明理由．23．（2022•黑龙江）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴
的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的
坐标．
【中考挑战满分模拟练】
一．选择题（共9小题）
1．（2023•鼓楼区校级一模）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，
2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3）
2．（2023•南海区校级模拟）球的体积是 V，球的半径为 R，则 V＝ R3，其中变量和常量分别是
（ ） π
A．变量是V，R；常量是 ， B．变量是R， ；常量是
π πC．变量是V，R， ；常量是 D．变量是V，R3；常量是
3．（2023•奉贤区一模π）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小π的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023•碑林区校级模拟）如图，正比例函数y＝﹣3x与一次函数y＝kx+4的图象交于点P（a，3），则
不等式kx+4＞﹣3x的解集为（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞﹣2 D．x＞0
5．（2023•雁塔区校级模拟）在平面直角坐标系中，若将一次函数 y＝2x+m﹣2的图象向左平移3个单位
后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1
6．（2023•石家庄模拟）若点（﹣1，y ），（2，y ），（3，y ）均在函数y＝ 的图象上，则y ，
1 2 3 1
y ，y 的大小关系是（ ）
2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 1 3 2 3 1 2 2 1 3
7．（2023•榆林一模）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x，y的二
元方程组 的解是（ ）A． B． C． D．
8．（2023•秀英区一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC的边OA在x轴上，点A（5，0），
sin∠COA＝ ，若反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）经过点C，则k的值是（ ）
A．10 B．12 C．48 D．50
9．（2023•鼓楼区校级一模）规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3．那么
函数y＝[x]的图象为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共4小题）10．（2023•奉贤区一模）一次函数y＝3x+1的图像不经过的象限是 ．
11．（2023•包头一模）如图，直线y＝﹣2x+5与双曲线y＝ （k＞0，x＞0）相交于A，B两点，与x轴相
交于点C．S△BOC ＝ ，若将直线y＝﹣2x+5沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线y＝ （k＞
0，x＞0）有且只有一个交点，则n的值为 ．
12．（2023•邢台一模）如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线 y＝ （k＜0，x＜0）把Rt△AOB分成
W ，W 两部分，且与AB，OA交于点C，D，点A的坐标为（﹣6，4）．
1 2
（1）连接OC，若S△OAC ＝9．
①k的值为 ；
②点D的坐标为 ；
（2）若W 内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与W 内（不含边界）的整点个数比为
1 2
3：4，则k的取值范围是 ．
13．（2023•碑林区校级一模）已知一次函数y＝﹣2x+3与反比例函数 的图象有交点，则k
的取值范围是 ．三．解答题（共10小题）
14．（2023•雁塔区校级二模）北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世
界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销
售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元．
原料成本（元/件） 生产提成（元/件） 销售单价（元/件）
“冰墩墩” 32 5 45
“雪容融” 28 6 40
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？
15．（2023•西安一模）共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向3～10km的出行市场，现有A、
B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中 A品牌收费方式对应y ，B
1
品牌的收费方式对应y ．
2
（1）B品牌10分钟后，每分钟收费 ；
（2）求出A品牌的函数关系式；
（3）求两种收费相差1.4元时，x的值．
16．（2023•小店区校级一模）已知函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，﹣2）及点B（1，6）．
（1）求此一次函数解析式，并画图象；（2）求函数y＝2x+4图象与坐标轴围成的三角形的面积．
17．（2023•秦都区校级模拟）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所
示：
A B
进价（万 3 2.4
元/套）
售价（万 3.3 2.8
元/套）
（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共 50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进
A，B两种多媒体各多少套？
（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共 50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把
购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
18．（2023•雁塔区校级模拟）我市某镇组织若干辆汽车装运完A、B两种水果共100吨到外地销售．根据
表中的信息，解答以下问题．
水果品种 A B
每辆汽车运载量（吨） 6 4
每吨水果获利（元） 2500 3000（1）设共转运A种水果x吨，获利y元，求y与x之间的函数表达式；
（2）受客观因素限制，每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满．如果20辆车恰好装完所有水果，
请计算所获总利润为多少元？
19．（2023•深圳模拟）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离
的最小值，称为这两个图形之间的距离，即 A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小
时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．
例如，如图1，AB⊥l ，线段AB的长度称为点A与直线l 之间的距离，当l ∥l 时，线段AB的长度也
1 1 2 1
是l 与l 之间的距离．
1 2
【应用】
（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交
AC于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是 ；
（2）如图3，已知直线l ：y＝﹣x+4与双曲线C ：y＝ （x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点
3 1
B之间的距离是 ，点O与双曲线C 之间的距离是 ；
1
【拓展】
（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向
的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线
的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐
标系，此时高速路所在直线l 的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C 的函数表达式为y＝
4 2
（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？20．（2023•天涯区一模）如图，在平面直角坐标系中，点B是第二象限上一个动点，过点B作BA⊥x轴
负半轴于点A，过点B作BC⊥y轴正半轴于点C，过点D的反比例函数 的图象交AB于点
F；
（1）当点B的坐标为（﹣4，2）时，点D恰好在线段AC的中垂线上，求k的值；
（2）在上题中，线段AC的中垂线交线段AO于E，直接写出四边形AEDF面积的数值；
（3）连接DF，判断DF与AC的位置关系并说明理由．
21．（2023•未央区校级三模）如图1，木匠陈师傅现有一块五边形ABFED木板，它是矩形ABCD木板用
去△CEF后的余料，AD＝4，AB＝5，DE＝1，F是BC边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在AD上．
[初步探究]
（1）当BF＝2时．
①若截取的矩形有一边是DE，则截取的矩形面积的最大值是 ；
②若截取的矩形有一边是BF，则截取的矩形面积的最大值是 ；
[问题解决]
（2）如图 2，陈师傅还有另一块余料，∠BAF＝∠AFE＝90°，AB＝EF＝1，CD＝3，AF＝8，
CD∥AF，且CD和AF之间的距离为4，若以AF所在直线为x轴，AF中点为原点构建直角坐标系，则
曲线DE是反比例函数y＝ 图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形MNGH材料，其中一条
边在AF上，所截矩形MNGH材料面积是 ．求GN的长．
22．（2023•槐荫区模拟）如图，在平面直角坐标系第一象限中，已知点 A坐标为（1，0），点D坐标为
（1，3），点G坐标为（1，1），动点E从点G出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点D方向运
动，与此同时，x轴上动点B从点A出发，以相同的速度向右运动，两动点运动时间为t（0＜t＜2），以AD、AB分别为边作矩形ABCD，过点E作双曲线交线段BC于点F，作CD中点M，连接BE、EF、
EM、FM．
（1）当t＝1时，求点F的坐标．
（2）若BE平分∠AEF，则t的值为多少？
（3）若∠EMF为直角，则t的值为多少？
23．（2023•萧县一模）如图，反比例函数 y ＝ （k≠0）的图象与正比例函数 y ＝ x的图象相交于B
1 2
（a，3），C两点．
（1）求k的值及B点的坐标；
（2）不等式 ≥ x的解集为 ；
（3）已知AB∥x轴，以AB、BC为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．
【名校自招练】
一．选择题（共7小题）
1．（2022•北碚区自主招生）小玲从山脚沿某上山步道“踏青”，匀速行走一段时间后到达山腰平台停下来休息一会儿，休息结束后她加快了速度，匀速直至到达山顶．设从她出发开始所经过的时间为t，她
行走的路程为s，下面能反映s与t的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022•巴南区自主招生）在一条笔直的公路上有 A、B两地，甲、乙两辆车从A地出发，沿相同的路
线匀速行驶，前往B地，甲车先出发1小时后，乙车才出发，乙车比甲车先到达B地并停留1小时，再
按原路原速返回，途中与甲车相遇，甲车到达B地后停止，两车与A地的距离y（单位：km）与乙车行
驶的时间x（单位：h）之间的函数关系如图，下列说法错误的是（ ）
A．乙的速度是120km/h
B．A、B两地相距640km
C．乙出发7.4小时第二次与甲相遇
D．甲从A地出发到达B地需要9小时
3．（2022•荣昌区自主招生）甲、乙两车均从A地开往相距300km的B地，如图，反映了甲、乙两车的路
程y（单位：km）之间的关系，下列结论正确的是（ ）A．甲车的速度为75km/h
B．甲乙两车同时从A地出发
C．乙车比甲车提前1小时到B地
D．甲车行驶1.5小时追上乙车
4．（2022•南岸区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，线段AB是一辆小轿车加满油后油箱剩余油量
y （L）与行驶路程x（km）的函数图象，线段CD是一辆客车加满油后油箱剩余油量y （L）与行驶路
1 2
程x（km）的函数图象．当两车油箱加满油后，下列描述错误的是（ ）
A．当用完油箱的油，小轿车比客车多行驶100km
B．小轿车和客车耗油量分别是0.1L/km和0.2L/km
C．若两车行驶的路程差为10km，两车油箱剩余油量都为18L
D．当两车行驶的路程为300km时，两车油箱剩余油量相同
5．（2022•九龙坡区自主招生）在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙
车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车
晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论错误的是（ ）
A．甲车的行驶速度是60千米/小时
B．乙车的行驶速度是90千米/小时
C．A，B两地的路程为240千米
D．出发4.5小时，甲、乙两车同时到达B地
6．（2022•长寿区自主招生）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时
刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，
容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
7．（2022•瓯海区校级自主招生）如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二．多选题（共2小题）
（多选）8．（2022•工业园区校级自主招生）甲、乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每
分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们
完成任务，甲比乙多加工的零件数量）（个）与加工时间x（分）之间的函数关系如图所示，点A的横
坐标为12，点B的坐标为（20，0），点C的横坐标为128，则下列说法中正确的是（ ）A．甲每分钟加工的零件数量是5个
B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件
C．点D的横坐标是200
D．y的最大值是216
（多选）9．（2022•工业园区校级自主招生）如图，过原点的直线与反比例函数y＝ （k＞0）的图象交
于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为
∠BAC 的平分线，过点 B 作 AE 的垂线，垂足为 E，连接 OD，ED，有下列结论，其中正确的是
（ ）
A．OA＝OB
B．AE⊥OD
C．S△AOD ＝S△AED
D．若AC＝3CD，△AED的面积为4，则k的值为6
三．填空题（共12小题）
10．（2022•相城区校级自主招生）我们引入记号f（x）表示某个函数，用f（a）表示x＝a时的函数值．
例如函数y＝x2+1可以记为f（x）＝x2+1，并有f（﹣2）＝（﹣2）2+1＝5，f（a+1）＝（a+1）2+1＝
a2+2a+2．
狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷函数 f（x）＝的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象
的“概念、性质和结构”．关于狄利克雷函数，下列说法：
①f（ ）＝f（ ）
π
②对于任意的实数a，f（f（a））＝0
③对于任意的实数b，f（b）＝f（﹣b）
④存在一个不等于0的常数t，使得对于任意的x都有f（x+t）＝f（x）
⑤对于任意两个实数m和n，都有f（m）+f（n）≥f（m+n）．
其中正确的有 （填序号）．
11．（2022•徐汇区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣6，0）、B（﹣2，2），动点P在
直线y＝﹣x上，动点Q在x轴上，则AP+PQ+QB的最小值为 ．
12．（2022•宁波自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B是正比例函数y＝
x图象上一动点，点C是y轴上一动点，则△ABC周长的最小值为 ．
13．（2022•鄞州区校级自主招生）老张和小李驾驶货车从某脐橙种植园出发到果园港送货，沿同一条笔
直的马路行驶．老张先出发，2小时后车速降为出发时的 ，此时小李出发，再过3小时后他们相遇，
相遇后老张立即提速至出发时的速度，行驶途中小李停车检修2.5小时，检修结束后小李继续行驶，车
速比出发时快6千米/小时，最终两车同时到达，两车相距的路程y（千米）与老张开车行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，则从两车第一次相遇到小李刚开始检修时经过了 小时．
14．（2022•鄞州区校级自主招生）如图，在平行四边形ABCO中，过点B作BE∥y轴，且OE＝3CE，D
为AB中点，连接BE、DE、DC，反比例函数y＝ 的图象经过D、E两点，若△DEC的面积为3，则k
的值为 ．
15．（2022•鄞州区校级自主招生）如图，一组 x轴正半轴上的点B ，B ，…B 满足条件OB ＝B B ＝
1 2 n 1 1 2
B 2 B 3 …＝B n﹣1 B n ＝2，抛物线的顶点A 1 ，A 2 ，…A n 依次是反比例函数y＝ 图象上的点，第一条抛物线以
A 为顶点且过点O和B ；第二条抛物线以A 为顶点且经过点B 和B ；…第n条抛物线以A 为顶点且
1 1 2 1 2 n
经过点B n﹣1 ，B n ．依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成△OA 1 B 1 、△BA 2 B 2 、…、△B n﹣
A B ．若三角形是一个直角三角形，则它相对应的抛物线的函数表达式为 ．
1 n n16．（2022•相城区校级自主招生）如图，点A，B在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点C，D在反比
例函数y＝ （x＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD
的面积之和为3，则k的值为 ．
17．（2022•渝中区校级自主招生）如图，过原点的直线与反比例函数 y＝ 的图象交于A、B两点，点A
在第二象限，点C在x轴负半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B
作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AD＝2DC，△ADE的面积为16，则k的值为 ．
18．（2022•海曙区自主招生）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在边OC
上，且BD＝OC，以BD为边向下作矩形BDEF，使得点E在边OA上，反比例函数y＝ （k≠0）的图
象经过边EF与AB的交点G．若AG＝ ，DE＝2，则k的值为 ．19．（2022•瓯海区校级自主招生）直线y＝a分别与直线y＝ x和双曲线y＝ 交于D、A两点，过点A、
D分别作x轴的垂线段，垂足为点B，C．若四边形ABCD是正方形，则a的值为 ．
20．（2022•宁波自主招生）如图，在平面直角坐标系 xOy中等边△OAB的顶点A在x轴正半轴上，点B
在第一象限．反比例函数 的图象交AB边于点C．若OB2﹣BC2＝12，则k的值为 ．
21．（2022•温江区校级自主招生）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点
为点D，点B，D都在函数y＝ （x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点
F，当矩形OABC的面积为9 时， 的值为 ，点F的坐标为 ．四．解答题（共6小题）
22．（2022•巴南区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2（a≠0）与反比例函数y＝
（k≠0）的图象相交于点A（﹣1，m），且与x轴相交于点C，点B（2，﹣2）在直线AC上．
（1）求该反比例函数的解析式；并在网格中画出反比例函数图象；
（2）过点B作BD∥x轴交y轴于点D，求△ACD的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于x的不等式ax+2＜ 的解集．
23．（2022•北碚区自主招生）如图，在矩形OABC中，A，C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上．
反比例函数y＝ （m≠0）的图象经过点B（﹣1，2），一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数
的图象交于B，D两点，已知点D的横坐标为2．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△ACD的面积．
24．（2022•九龙坡区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，4），点B的坐标
为（2，0），连结AB，以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD：y＝ax+b交双曲线y＝
（k≠0）于D、E两点，连结CE．
（1）求双曲线y＝ （k≠0）和直线BD的解析式；
（2）求△BEC的面积；
（3）请直接写出不等式ax+b＞ 的解集．
25．（2022•长寿区自主招生）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象与反比例函数y＝ 的图象都经过
点A（a，4），一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面
积为3．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）将直线AB向下平移5个单位长度后与第四象限内的反比例函数图象交于点 D，连接AD、BD，求
△ADB的面积．26．（2022•相城区校级自主招生）阅读材料：对于正数 a、b，有（ ﹣ ）2≥0，所以a+b﹣2
≥0，即a+b≥2 （当且仅当a＝b时取“＝”）．特别地：a+ ≥2 ＝2（当且仅当a＝1时取
“＝”）．
因此，当a＞0时，a+ 有最小值2，此时a＝1．
简单应用：
（1）函数y＝2﹣x﹣ （x＞0）的最大值为 ．
（2）求函数y＝9x+ （x＞1），当x＝ 时，最小值为 ．
解决问题：
（3）已知P（﹣2，3）是反比例函数y＝ 图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过
点Q作直线，使其与双曲线y＝ 只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B．另一直线y＝
x+6与x轴、y轴分别交于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值．27．（2022•温江区校级自主招生）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为
“中国结”．
（1）求函数y＝ x+2的图象上所有“中国结”的坐标；
（2）若函数y＝ （k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应
“中国结”的坐标；
（3）若二次函数y＝（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不
同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国
结”？
