文档内容
2025 年中考模拟试题
数学试题卷
温馨提示：
1．数学试卷8页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟．
2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题．请合理分配时间．
3．请你仔细思考、认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1. 下列四个数中，最大的数是（ ）
A. B. 0 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据正数大于0，0大于负数，以及无理数的大小比较方法即可判断．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故最大的数是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．
2. 截至2025年4月28日，据相关报道，《哪吒之魔童闹海》全球票房为157.28亿元人民币，其中数据
157.28亿用科学记数法可表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握是解答本题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中 ， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解：157.28亿 ．
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则分别计算即可．
【详解】解：A、 ，本选项不符合题意；
B、 ，本选项不符合题意；
C、 ，本选项符合题意；
D、 与 不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4. 某几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，即可得答案．【详解】解：从上面看，是两个圆形，大圆内部有个小圆．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握从上面看得到的图形是俯视图．
5. 一个不等式的解集如图所示，则这个不等式可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式的步骤求出每个不等式的解，再进行判断即可．
【详解】解：A.不等式 的解集为： ，故A不符合题意；
B.不等式 的解集为： ，故B符合题意；
C.不等式 的解集为： ，故C不符合题意；
D.不等式 的解集为： ，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，利用不等式的解集在数轴上表示出来（ ， 向右画；
， 向左画）是解题关键．
6. 如图，直线 ，在等腰 中， ， ，顶点B在直线n上，直线m交 于
点E，交 于点F，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】利用等边对等角求得 ，利用平行线的性质得到 ，再根据三角形
的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵直线 ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟记各图形的性质并准
确识图是解题的关键．
7. 同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如 与 ， 与 ．在一次制
取 的实验中， 与 的原子个数比为 ， 与 的原子个数比为 ，若实验恰好完全反
应生成 ，则反应生成 概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．根据反应的化学方程式，画
树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成 的结果数，然后根据概率公式求解．．
【详解】解：反应的化学方程式为 ，与 的原子个数比为 ， 与 的原子个数比为 ，
反应后生成的 中 来自于反应物C，而 来自于反应物O，
共有6种等可能的结果数，其中反应生成 的结果数为2，
∴反应生成 的概率为 ，
故选：B．
8. 如图，在菱形 中，点E在 的延长线上， ， ， ，求 的
长（ ）
A. 5 B. 6 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用菱形的性质、平行线的性质得到 ，推出 ，
证明 ，利用相似三角形的性质求得 ，据此即可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 的长为6，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，证明 是解题的关键．
9. 甲、乙两车从A城出发前往B城，其中甲先出发 ，如图是甲、乙行驶路程 （km）， （km）与
时间x（h）变化的图像，下列说法不正确的是（ ）
A. 乙车开始行驶时，甲车在乙车前 处 B. 乙车的平均速度是
C. 在距离A城 处，乙车追上甲车 D. 乙车比甲车早 到B城【答案】D
【解析】
【分析】先分别确定函数解析式，利用解析式，结合函数图像判断即可．
【详解】设甲的解析式为 ，
根据题意，得 ，
解得 ，
故甲的解析式为 ，
∴甲车的速度为 ，
∵甲先出发 ，
∴乙车开始行驶时，甲车在乙车前 处，
故A正确，不符合题意；
当 时， ，
故乙车的速度为 ，
故B正确，不符合题意；
根据图像，得到乙车出发3小时追上甲车，
故在距离A城 处，乙车追上甲车正确，
故C正确，不符合题意；
根据图像，乙车 到达目的地，
故乙车比甲车早 到B城
故D错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了函数图像，一次函数解析式，正确确定解析式，获取函数图像信息是解题的关键．10. 矩形 中， ， ，点E是 边上的一个动点，连接 ， 的角平分线
交 边于点F，若 于M点，连接 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】作 ， ，证明 ，推出 ，当D、M、B
三点共线时， 有最小值，最小值是 的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：作 ， ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴A、D、M、E四点共圆，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当D、M、B三点共线时， 有最小值，最小值是 的长，
的
∴ 最小值是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，证明
是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 若 有意义，则 的取值范围是____________．
【答案】【解析】
【分析】本题考查二次根式 的知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义，从而完成求解．根据平
方根的意义进行分析解答即可．
【详解】解： 有意义的 的取值范围是 ，
解得 ，
故答案为： ．
12. 中国数字文化源远流长，“万物莫逃乎数”，“一切皆有定数”…，是古人对自然、社会的一种观察和思
考．古籍《孙子算经》中也记录了很多古人发现的数字规律．现在请你根据所学知识观察：（1）
；（2） ；（3） 根据规律写出第（n）个等式：
___________；
【答案】
【解析】
【分析】观察已知的三个等式可得第n个等式．
【详解】解：∵第1个等式 ；
第2个等式 ；
第3个等式 ；
∴第n个等式： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，观察所给的等式得到规律是解题关键．
13. 如图，在半径为1的 上顺次取点A，B，C，D，E，连接 ，若， ，则扇形 与扇形 的面积之和为___________（结果保留 ）
【答案】 ##
【解析】
【分析】先利用圆周角定理求得 ，再根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴扇形 与扇形 的面积之和为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了扇形面积公式，掌握圆心角为 的扇形面积公式 是解题的关键．
14. 已知函数 （m为常数）的图形经过点 ．
（1） ___________．
（2）当 时，y的最大值与最小值之和为2，则n的值___________．
【答案】 ①. 4 ②. 或
【解析】
【分析】（1）把已知坐标代入解析式计算即可．
（2）根据抛物线额性质，分类计算．
【详解】（1）∵函数 （m为常数）的图形经过点 ．
∴ ，解得 ，
故答案为：4．
（2）∵函数 （m为常数）的图形经过点 ．
∴ ，
解得 ，
∴函数的解析式为 ，
∴ ，
故抛物线 的对称轴为直线 ，二次函数的最小值为 ，
的对称点为 ，
当 时，y的最大值与最小值之和为2，
当 时，最大值为5， 时，取得最小值，且为 ，
根据题意，得 ，
解得 （舍去），
故 ；
当 时，最大值为5， 时，取得最小值，且为 ，
根据题意，得 ，不符合题意；
当 时， 时，取得最小值，且为 ， 时，取得最大值，且为 ，
根据题意，得 ，
解得 （舍去），
故 ；
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握函数的性质是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15. 化简：
【答案】
【解析】
【分析】先去括号，然后合并同类项即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号，合并同类项法则，准确计算．
16. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是 ， ， ．
（1）请画出 关于x轴对称的 ，点A、B、C分别对应 、 、 ；
（2）将 以O为旋转中心，顺时针旋转 ，点A、B、C分别对应 、 、 ，请画出旋转后的
图形 ．
（3）直接画出 与 关于直线对称的对称轴 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】【分析】(1)根据 ， ， 确定关于x轴对称的对称点坐标 ， ，
，描点画图即可．
(2)根据 ， ， 确定旋转后的坐标 ， ， ，描点画图即可．
(3)根据等腰三角形的性质作出底边的垂线即可．
【小问1详解】
∵ ， ， 关于x轴对称的对称点坐标 ， ， ，画图如下：
．
【小问2详解】
∵ ， ， 旋转后的坐标 ， ， ，（ 重合）画图如
下：
．
【小问3详解】∵ ，
∴ 与 关于直线对称的对称轴 是等腰三角形 底边上的高线所在的直线，
故连接 过点 作 ，
则 即为所求
．
【点睛】本题考查了旋转变换，轴对称变换，熟练掌握变换的特点是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 科技是国家强盛之基，创新是引领发展的第一动力，某公司响应国家号召，在2023年加大科技创新，
革新技术实现产值三连增．第一季度产值总额为1655万元，其中二月份产值为550万元，求一月至三月的
月平均增长率．
【答案】
【解析】
【分析】设一月至三月的月平均增长率为x，根据题意，得 ，解方程即
可．
【详解】设一月至三月的月平均增长率为x，根据题意，得 ，
整理，得 ，
解得 ，解得 （舍去），
故一月至三月的月平均增长率 ．
【点睛】本题考查了平均增长率问题，正确列方程并熟练解答是解题的关键．
18. 反比例函数 与一次函数 的图像交于A、B两点，A坐标为
（1）求出B点坐标；
（2）若 是反比例函数 图像上的点， 是一次函数 图像上的点，当点
M在点N下方时，判断自变量x的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)先确定函数的解析式，联立解方程组求解即可．
(2)结合函数图像解答即可．
【小问1详解】
∵反比例函数 与一次函数 的图像交于A、B两点，A坐标为
∴
解得∴ ，
∴ ，
解得 ，
故 ．
【小问2详解】
结合函数图像，得当点M在点N下方时， ．
【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握解题方法是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某条道路上通行车辆限速为60千米/时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路AB段为检测区
(如图)．在△ABP中，已知∠PAB＝30°，∠PBA＝45°，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认
定为超速(精确到0.1秒)？(参考数据： ≈1.41， ≈1.73,60千米/时＝ 米/秒)
【答案】这辆车通过AB段超速．
【解析】
【详解】试题分析：作PC⊥AB于点C，根据三角函数即可求得AC与BC的长，则AB即可求得，用AB
的长除以速度即可求解．
试题解析：过点P作PC⊥AB于点C．在Rt APC中，tan∠PAC= ，
△
∴AC= （米），
同理，BC= （米），
∴AB=AC+BC≈136.5（米），
60千米/时= 米/秒，
则136.5÷ ≈8.2＞8.1．
故这辆车通过AB段超速．
20. 如图，以 为直径的 经过 的顶点 ， ， 分别平分 和 ， 的延
长线交 于点 ，连接 ．
（1）判断 的形状，并证明你的结论；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1） 为等腰直角三角形，详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由角平分线的定义、结合等量代换可得 ，即 ；然后再根据直径所对的圆周角为90°即可解答；
（2）如图：连接 ， ， ， 交 于点 ．先说明 垂直平分 ．进而求得BD、
OD、OB的长，设 ，则 ．然后根据勾股定理列出关于t的方程求解即可．
【小问1详解】
解： 为等腰直角三角形，证明如下：
证明：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ 为直径，
∴ ．
∴ 是等腰直角三角形．
【小问2详解】
解：如图：连接 ， ， ， 交 于点 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 垂直平分 ．
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．设 ，则 ．
在 和 中， ．解得， ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用、垂直平分线的判
定与性质、圆的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 学校开展“校园读书月”活动，收到了良好的效果．随机调查部分同学，将读0本书、1本书、2本书、
3本书、4本书的人数用条形统计图和扇形统计图统计如下：
（1）本次调查的样本容量是___________，中位数是___________；
的
（2）补全条形统计图，并完成扇形统计图 填空： ___________， ___________；
（3）按照上面调查结果，试估计在开展“校园读书月”活动期间，该校2000位学生共阅读了多少本书？
【答案】（1）40，2
（2）图见解析，35，20
（3）估计在开展“校园读书月”活动期间，该校2000位学生共阅读了4400本书．
【解析】
【分析】（1）根据读0本书的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，然后计算得出读2本书、4本书的人数，即可求解；
（2）根据扇形统计图中的数据，即可计算出m、n的值；根据（1）中的结果，从而可以将条形统计图补
充完整；
（3）部人数乘以样本中平均读书量即可得．
【小问1详解】
解：本次调查的样本容量为： ，
读2本书的人数 （人），读4本书的人数 （人），
中位数是第20、21的位置，都是读2本书，则中位数是2，
故答案为：40，2；
【小问2详解】
解：由（1）知：读2本书的人数有6人，读4本书的人数有8人，
补全的条形统计图如图所示
， ，
∴ ， ，
故答案为：35，20；
【小问3详解】
解： （本），
估计在开展“校园读书月”活动期间，该校2000位学生共阅读了4400本书．
【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体、样本容量，利用数形结合的思想解答是解
答本题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 已知 和 是有公共顶点的等腰直角三角形；且 ， .（1） ， 在线段 上，连接 并延长交 于F，如图1．
①求证： ；
②求 的长．
（2）若 ，点B、D、E在一条直线上，F是 中点，G是 中点，连接 、
，如图2，求 的值．
【答案】（1）①见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题目条件和等腰三角形的性质可以找到两条对应边相等，又有夹角 ，可以根据
证明三角形全等；
②根据全等，可以得到 ，然后证得： ∽ ， ，根据题目条件求
出 、 的长，即可求出 的长．
（2）先求 、 的值，得到比值相等，然后证得 ，从而得到 ∽ ，然
后根据相似对应边成比例， 求出比值．
【小问1详解】
①证明：∵ 在线段 上， 和 是有公共顶点的等腰直角三角形，∴ ，
又∵ ， ，
∴ ；
②解：由①可得， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ；
【小问2详解】
解：连接 ，
∵ 和 是有公共顶点的等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵F是 中点，G是 中点，∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ．
∵
∴ ，
，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等，解
题的关键是找到全等和相似的关系．
八、（本题满分14分）
23. 如图，二次函数 的图象经过点 ， ，且与 轴交于点 ．
（1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明： （其中 是原点）；
（3）若 是线段 上的一个动点（不与 、 重合），过 作 轴的平行线，分别交此二次函数图象及
轴于 、 两点，试问：是否存在这样的点 ，使 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）存在，P 与
1
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法把 坐标代入抛物线解析式即可；
（2）根据已知条件求出 的正切值，根据正切值相等解答即可；
（3）利用待定系数法得到直线 的解析式，再根据两点之间的距离公式列方程解方程即可．
【小问1详解】
解：∵点 与 在二次函数图象上，
∴
解得 ，
∴二次函数解析式为 ．
【小问2详解】
解：解：过 作 轴于点 ，由（1）得 ，∵ ， ，
∴点 ，
∴ ， ， ， ，
∴在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵点 与 ，
设直线 的解析式为 ,
∴ ，
解得： ，∴直线 的解析式为 ，
设 ，
则
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
解得 （舍去），
∴ ，
当 时
解得 （舍去），
∴ ，
综上所述，存在满足条件的点，它们是 与 ．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，两点之间的距离公式，二次函数与
锐角三角函数，二次函数与一次函数的解析式，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．
