文档内容
2025 年中考第三次模拟数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上
答题是无效的．
3．考试结束后，请将"试题卷"和"答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 下列各数中，绝对值最大的数是（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数的大小比较，先得出每个选项的绝对值，再进行比较大小，
即可作答．
【详解】解：依题意， ， ，
∵ ，
∴绝对值最大的数是 ，
故选：A．
2. 截至2025年4月28日，《哪吒之魔童闹海》的全球票房已超157.5亿元．它的成功意义远不止于票房，
更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度．将 亿用
科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为 的形式，其中， 为整数是解题的关键．正确的确定 的值即可．
【详解】解： 亿 ，
故选：C
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是
站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图
的定义是解题关键，根据三视图的定义即可解题．
的
【详解】解：根据三视图 位置判断，只有A选项符合题意，
故选：A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．即 （ ，m，n是正
整数， ）．也考查了同底数幂的乘法．根据同底数幂的除法对 A进行判断；根据同底数幂的乘法对
B进行判断；根据积的乘方对C进行判断；根据合并同类项对D进行判断．
【详解】解：A． ，所以A选项的计算正确；
B． ，所以B选项的计算错误；C． ，所以C选项的计算错误；
D． 不是同类项，不能合并，所以D选项的计算错误．
故选：A．
5. 如图， 内接于 ， 为 的直径，连接 ，若 ， ，则扇形
的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角的定理，可知定点 是 的中点， ，由此可求出 的半径，根据弧
长的计算方法即可求解．
【详解】解：根据题意， ， ，
∴ ，
∴ ，即点 是 的中点，且 为 的直径，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ 的半径 ，
∴ ，则 ，
∴扇形 的面积为 ，故选： ．
【点睛】本题主要考查圆的基础知识与三角形知识的综合，掌握圆周角定理，扇形面积的计算方法是解题
的关键．
6. 如图，双曲线y＝ 与直线y＝ax相交于A，B两点，点A的坐标为（2，m），若y＜y，则x的取值
1 2 1 2
范围是（ ）
A. x＞2或﹣1＜x＜0 B. ﹣2＜x＜0或0＜x＜2
C. x＞2或﹣2＜x＜0 D. x＜﹣2或0＜x＜2
【答案】C
【解析】
【分析】根据点A和点B关于原点对称，即得到点B的横坐标，结合函数图象，即可得到答案．
【详解】∵点A的坐标为：（2，m），
由题意知：点A和点B关于原点中心对称，
∴点B的坐标为：（-2，-m），
根据图象可知：
x的取值范围为：-2＜x＜0或x＞2．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是正确掌握数形结合的思想．
7. 有四根长度分别为 、 、 、 的木棒，从中任取三根，并将它们首尾相连，能组成三角
形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可．
【详解】解：2cm、3cm、4cm、5cm的根木棒中，共有以下4种组合：
2，3，4；
2，3，5；
2，4，5；
3，4，5；
其中共有以下方案可组成三角形：
取2cm，3cm，4cm；由于4﹣2＜3＜4+2，能构成三角形；
①取2cm，4cm，5cm；由于5﹣2＜4＜5+2，能构成三角形；
②取3cm，4cm，5cm；由于5﹣3＜4＜5+3，能构成三角形；
③所以有3种方案符合要求．
故能组成三角形的概率是P=
故答案选：C
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和概率公式，正确找到所有组成三角形的情况是解题的关键．
8. 如图，三角形纸片 中， ， ， ．沿过点A的直线将纸片折叠，使点
B落在边 上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与 的交点为E，则 的长是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，先利用勾股定理求出 ，根据折叠的性质证明
，进而证明 ，然后利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：三角形纸片 中， ， ， ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故选：C．
9. 已知实数 满足 ， ，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解不等式，先由 得 ，代入 求解不等式组，再逐
个选项判断即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故A选项错误，不符合题意；
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故B选项正确，符合题意；
∵ ， ，
∴ ，故C选项错误，不符合题意；
∵ ， ，
∴ ，故D选项错误，不符合题意．
故选：B．
10. 如图，在 中， ，M为边 的中点，且 ， 的垂直平分线分别交
于点D，E，F，连接 ．则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，利用直角三角
形斜边中线的性质．先证明 是等边三角形，设 ，利用三角函数的定义，求得相关
的边长，可判断选项A、B、C正确；过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，证明 是等
边三角形，证明 ，利用相似三角形的性质求得 的长，据此可判断选项D错误．
【详解】解：由题意：M为边 的中点， ，
∴ ，即 ，选项B正确，不符合题意；
∵ ，E为边 的中点，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，选项A正确，不符合题意；
∴ ，
设 ，
∴ ， ， ，∴ ，
∴ ，选项C正确，不符合题意；
过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
同理 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，综上，选项D错误，符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分）
11. 计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，先计算算术平方根，零指数幂，再计算加法即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 分解因式： _______.
【答案】 ．
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，
之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式
后继续应用平方差公式分解即可
【详解】解： ，
为
故答案 ： ．
13. 如图， 是半径为 3 的 的切线，切点为 A， 的延长线交 于点 C，连接 ，若
，则 的长为___________________．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了切线的性质，三角形外角的性质以及弧长公式等知识，利用切线的性质以及三角形外
角的性质求出 的度数，然后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵ 是半径为3的 的切线，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ 的长为 ，
故答案为： ．
14. 如图，一次函数与反比例函数 在第一象限内交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点
D．点A的横坐标为1，点B的横坐标为3．
（1）若 ，则直线与y轴交点C的纵坐标为__________．
（2）直线与x轴交点D的横坐标为__________．【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数解析式．熟练掌握反比例函数与一次函数综合
是解题的关键．
（1）由题意知， ， ， 当 时， ， ， 待定系数法求直线 的解析
式为 ，当 时， ，然后作答即可；
（2）由题意知， ， ， 同理（1）可得直线 的解析式为 ，令 ，则
，可求 ，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知， ， ，
当 时， ， ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， ，代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，当 时， ，
∴点C的纵坐标为 ，
故答案为： ．
（2）解：由题意知， ， ，
同理（1）可得直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得， ，
∴点D的横坐标为4，
故答案为：4．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．根据
去分母、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
16. 如图，在由边长为 个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）请画出将 绕点 顺时针旋转 得到的 ；
（2）请用无刻度的直尺作出 的角平分线 （保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图——旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
（1）先连接 、 、 ，再将 、 、 分别旋转 得到 、 、 ，最后依次
连接 、 、 ，即可求解；
（2）根据勾股定可得： ，在射线 上取格点 ，使得 ，连接
，取 的中点 ，作射线 即可求解．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求；
【小问2详解】
如图，射线 即为所求．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在淮河的右岸边有一座高楼 ，左岸边有一坡度 的山坡 ，点 与点 在同一水
平面上， 与 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼 的高度，在坡底 处测得楼顶 的仰
角为 ，然后沿坡面 上行了 米到达点 处， 在水平面上的投影为点 ，此时在 处测得
楼顶 的仰角恰好等于 ，求楼 的高度．（结果保留整数）（参考数据 ）
【答案】137米
【解析】
【分析】设 米，根据题意可有 米，利用勾股定理解得 的值，易得 米，
米；过点 作 ，垂足为 ，易知四边形 为矩形，可得 ，再证明
是等腰直角三角形，并设 米，则可确定 ， 的长度，然后在 中，利
用三角函数解得 的值，即可获得答案．
【详解】解：由于山坡 的坡度 ，设 米，则 米，又∵ ，
∴ ，即 ，
解得 米，
∴ 米， 米，
过点 作 ，垂足为 ，如图所示，
则有 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 是等腰直角三角形，
设 米，
∴ 米， 米，
在 中， ，即 ，
解得 ，
答：楼 的高度约为137米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理等
知识，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解题关键．
18. 一家广告公司为47中学校制作艺术节活动展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板的6倍．该
广告公司制作每件产品所需要的时间和所获得利润如下表所示．产品 展板 宣传册 横幅
时间 1 0.2 0.5
利润/元 60 3.5 20
若制作三种产品共需要 ，所获利润为949元，求这三种产品的总件数．
【答案】74件
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设制作展板数量为x件，横幅数量为y件，则宣传册数量为
件，根据题意列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设制作展板数量为x件，横幅数量为y件，则宣传册数量为 件，
由题意得： ，
解得 ，
∴种产品的总件数为 （件），
答：这三种产品的总件数为74件．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得 ”的问题，指
导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下：
x … 5 11 （_______） …
y … 1 （_______） …
（1）观察表格，根据规律请在表格的横线上填空；
（2）由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是
_______和_______（分别用m和n表示）；
（3）有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得 成
立”．请对该结论判断正误并简述理由．【答案】（1）见解析 （2） ，
（3）结论正确，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解．
（1）观察表格，找到规律，即可填空；
（2）根据规律求解即可；
（3）假设 是方程 的一个解，令 ， ，代入求解即可证明结
论正确．
【小问1详解】
解：观察规律，x每次增加6，y每次减少5，
所以，填写表格如下：
x … 5 11 17 …
y … 1 …
【小问2详解】
解：根据规律知，这表中相邻的下一列的两个数分别是 和 ；
故答案为： ， ；
【小问3详解】
解：结论正确，理由如下，
5和3的最大公约数为1，能被1整除，
∵1能整除任意正整数k，
∴ 必有整数解，
假设 是方程 的一个解，
∴ ，
对于任意整数 ，令 ， ，
代入方程 左边得， ，
∴ 是方程 的解，由于整数 有无数个，
∴方程 有无数组整数解，
综上，对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得 成立．
20. 如图， 为 的直径，D为 延长线上一点，过点D作 的切线，切点为C，过点B作
交 的延长线于点E，连接 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）连接 ，交 于点F，若 ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，切线的性质，平行线的判定和性质，直径所对的圆周角是直
角、等腰三角形的性质等等：
（1）连接 ，根据 是 切线，推出 ，进而得出 ，即可求证 平分
；
（2）连接 ，通过证明 ，推出 ，设 的半径为r，则 ，
， ，通过证明 ，得出 ，列出方程求解即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ 是 切线，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 平分 ；
【小问2详解】
解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
设 的半径为r，则 ， ， ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，即 ，
解得： （负值舍去），
∴ 的半径为4．
六、（本题满分12分）
21. 2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某校开展了校园安全知识抽检活动．从七、八
年级分别随机抽取50名学生参与抽检，并对检测情况（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
①七年级学生的检测成绩频数分布直方图如图所示；
并且80≤x＜90这一组的具体成绩为：80，82，84，84，86，86，88，88，88，88．
②七、八年级检测成绩 的平均数、中位数如表所示：
年级 平均数（分） 中位数（分）
七年级 81.4 m
八年级 87.2 88
根据以上信息，回答下列问题：
（1）七年级抽测学生中，80分以上有______人，m值为______，并补全频数分布直方图；
（2）七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是88分，请判断哪位学生在各自年级抽测学生中的排名更靠
前，并简要说明理由；（3）该校七年级学生有600人，假设全部参加此次测试，请估计成绩超过平均数81.4分的人数．
【答案】（1）28，85，补全频数分布直方图见解析
（2）七年级学生甲名次靠前；理由见解析
（3）该校七年级600名中成绩超过平均数81.4分的大约有336人
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图，中位数，理解样本估计总体，掌握频率 以及中位数的计算方法
是正确解答的前提．
（1）根据数据统计中各个分组的人数与调查总人数的关系可求出 的人数，进而补全频数分布直
方图；
（2）根据七、八年级学生成绩的中位数进行判断即可；
（3）求出七年级学生成绩超过81.4分的人数所占的百分比，进而求出相应的人数．
【小问1详解】
解：根据频数分布直方图可知，七年级抽测学生中，8（0分）以上有 （人 ，
将七年级抽测的50名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为 ，因此中
位数是85，即 ，
七年级抽测的50名学生的成绩在 的人数为 （人 ，补全频数分布直
方图如下：
故答案为：28，85；
【小问2详解】解：七年级学生成绩的中位数是8（5分），八年级学生成绩的中位数是8（8分），而七年级学生甲与八
年级学生乙的成绩都是8（8分），
所以七年级学生甲名次靠前；
【小问3详解】
解： （人 ，
答：该校七年级600名中成绩超过平均数81．（4分）的大约有336人．
七、（本题满分12分）
22. 在矩形 的边 上取一点 ，将 沿 翻折，点 的对应点为点 ．
（1）当 在边 上时，
（ ）如图 ，若 ， ，求 ；
（ ）如图 ，作 平分 交 于 ，若 ，求证： ；
（2）如图 ，当点 在矩形 内部时，若 平分 交 于 ， ，直接写
出 三者关系为：__________．
【答案】（1）（ ） ；（ ）证明见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（ ）（ ）由折叠可得， ， ，由矩形的性质可得 ，， ，进而可得 ，即可得 ，设
，则 ，由勾股定理得 ，求出 即可求解；（ ）如图 ，过
点 作 于 ，证明 可得 ， ，设 ，
，则 ， ，证明 可得 ，即得
，得到 ，再利用三角形面积可得 ，得到 ，得到
，得到 ，即可求证；
（ ）如图 ，过点 作 ，过点 作 于 ，交 于点 ，可得 ，证
明 得到 ， ，又由折叠可得 ， ，
，即可得到四边形 是矩形，得到 ， ，即得
，
，再由 可得
，进而得到 ，
由勾股定理得到 ，即得 ，即可求证；
本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角
形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．【小问1详解】
解：（ ）由折叠可得， ， ，
∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ；
（ ）如图 ，过点 作 于 ，则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ， ，则 ， ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；【小问2详解】
解：如图 ，过点 作 ，过点 作 于 ，交 于点 ，则
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
由折叠可得， ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
，
∵ ， ，∴ 为等腰直角三角，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，抛物线 （ 是常数且 ）的对称轴为直线 且抛物线
经过点 ．
（1）求 的值；
（2）已知抛物线与 轴的一个交点 （不是原点），且抛物线经过点 和点 ，点 的横坐标比点 的
横坐标大2，分别过点 和点 作 轴于点 ，作 轴于点 ．设点 则点 ．
①当 时，连接 ，求 和 的面积之和；
②当 时，若点 围成的面积为14，求 的值．
【答案】（1）
（2）①16；② 或
【解析】【分析】（1）根据抛物线 （ 是常数且 ）的对称轴为直线 且抛物线经过点
，建立关于 的方程组，求解即可；
（2）①先求出点 ，根据题意得： ，则 ，进而得到
， 由
，代入计算即可；②当 时，由点 围成
图形为梯形 ，面积为 ，当 时，由点 围成的图形为三
的
角形 ，面积为 ，当 时，由点 围成的图形为四边形 ，面积为
，求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意得： ，
解得： ；
【小问2详解】
解：由（1）知 ，
抛物线的解析式为： ，
令 ，则 ，解得： ，
根据题意得到 ，
①如图，
设点 则点 ，且 ，
抛物线经过点 和点 ，点 的横坐标比点 的横坐标大2，
，
，则 ，
，
，
，
和 的面积之和为 ；
②如图，当 时，由点 围成的图形为梯形 ，
面积为 ，
此时， ，
，即 ，
解得： （舍去）或 ；
如图，当 时，点 重合，由点 围成的图形为三角形 ，面积为 ，
此时， ，
，
（舍去）；
如图，当 时，
由点 围成的图形为四边形 ，面积为 ，
此时， ，
，即 ，
解得： ；
综上， 的值为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，二次函数的性质，面积问题，解题的关键是用灵活运用数形结合的思想
及分类讨论的思想．
