文档内容
2025年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确
的）
1．（2分）（2025•常州）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ）
1
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．
2
5
2．（2分）（2025•常州）若使分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
x+1
A．x≠﹣1 B．x＝﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1
3．（2分）（2025•常州）下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）（2025•常州）如图， O的半径为2，直径AB、CD互相垂直，则^BC的长是（ ）
⊙
π π
A． B． C． D．2
4 2
π π
5．（2分）（2025•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则sinB的值是（ ）
第1页（共32页）3 3 4 4
A． B． C． D．
5 4 5 3
6．（2分）（2025•常州）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝5．若∠ABD＝30°，则AC
的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
7．（2分）（2025•常州）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则 AB与CD平行．这一判断过
程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
8．（2分）（2025•常州）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆
之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，
分别以v 米/分钟、v 米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时
1 2
5
出发，小丽仍然以v 分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以 v 米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇
2 4 1
后，再以v 米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离 y（米）与行进时间x（分
2
钟）之间的函数图象可能是（ ）
第2页（共32页）A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡
相应位置上）
9．（2分）（2025•常州）4的算术平方根是 ．
10．（2分）（2025•常州）计算（a2）3＝ ．
11．（2分）（2025•常州）分解因式：x2﹣9y2＝ ．
12．（2 分）（2025•常州）太阳的半径约为 700000 千米，数据 700000 用科学记数法表示为
．
x y
13．（2分）（2025•常州）若 ＞ 则x﹣y 0．（填＞、＜或＝）．
3 3
14．（2分）（2025•常州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值
为 ．
15．（2分）（2025•常州）如图，AB∥CD，AC⊥AD，∠ACD＝50°，则∠ ＝ ．
α
16．（2分）（2025•常州）如图，在 ABCD中，E是AD上一点，DE＝2AE，CE、BA的延长线相交于
点F，若AB＝2，则AF＝ ▱ ．
第3页（共32页）17．（2分）（2025•常州）如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦．若∠DCB＝45°，AD＝1，则AB＝
． ⊙ ⊙
4
18．（2分）（2025•常州）如图，在△ABC中，tanC= ，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到
3
△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF＝5，EF＝2，则AC＝ ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字
说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）（2025•常州）先化简，再求值：x（x+2）+（x﹣1）2，其中x=√3．
{ x
+1≥0
20．（6分）（2025•常州）解不等式组 2 并把解集在数轴上表示出来．
2x-3＜-3
21．（8分）（2025•常州）甲、乙两人在相同条件下10次射击的成绩如下：
人员 环数
甲 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7
第4页（共32页）乙 5 7 5 10 5 8 6 9 8 7
对以上数据进行分析，绘制成如表：
人员 平均数 中位数 众数 方差：
甲 x 7 m 1
甲
乙 7 n 5 2.8
（1）填空：x = ，m＝ ，n＝ ；
甲
（2）根据以上数据，评价甲、乙两人射击成绩的稳定性，并说明理由．
22．（8分）（2025•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有：①﹣1；②0；③1；④正数；⑤负数．
将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B
中搅匀．
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 ；
（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的
概率．
23．（8分）（2025•常州）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减
少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？
24．（8分）（2025•常州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）用直尺和圆规作∠DAE的平分线AF（保留作图痕迹，不要求写作法）．
25．（8分）（2025•常州）如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数
m
y= 的图象相交于点A（1，n）、B（﹣3，﹣2），且与y轴交于点C．
x
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接OA，求△OAC的面积．
第5页（共32页）26．（10分）（2025•常州）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝2，AD＝1．
（1）若△ABD是等腰三角形，则BD＝ ；
（2）已知OB＝OD，AC＝BD．
①若OA＝OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在△ACD中，CD2＝AD2+AC2，求AC的长．
3
27．（10分）（2025•常州）如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=- x+3的图象分别与x轴，y
2
轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且
a≠0）的图象经过点B，顶点是C．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B′、C′分别是B、C的
对应点，且点B′落在x轴正半轴上，点C′的纵坐标为﹣2．
（1）OB＝ ；
（2）求点C的坐标；
5
（3）已知新抛物线与y轴交于点G（0， ），点D（3，y ）、E（x ，y ）在新抛物线上，若对于满
2 1 2 2
足m＜x ≤m+1的任意实数x ，y ＞y 总成立，求实数m的取值范围．
2 2 2 1
28．（10分）（2025•常州）在平面xOy中以下种不同所得线段的关系．
方式一：向右平移1个单位长度，后绕原点O按逆时针方向旋转90°；
第6页（共32页）方式二：先原点O按逆时针方向旋转90°，然后向右平移1个单位长度．
如图1小明将线段AB按方式一方式二运动：分别得到线段A B 、A B ，发现它们除长度相等外还有其
1 1 2 2
他关系．
【实践体验】
（1）如图2，小明已画出线段CD按方式一运动得到的线段C D ．请你利用网格，在图2中画出线段
1 1
CD按方式二运动得到的线段；
【探索发现】
（2）在平面直角坐标系xOy中，将线段a按方式一、方式二运动，分别得到线段a 、a ，则线段a 、
1 2 1
a 所在直线可能 （写出所有可能的序号）；
2
①相交；②平行；③是同一条直线．
【综合应用】
（3）如图3，已知点G（2，3），H（x，y）是第一象限内两个不重合的点，将线段GH按方式一、方
式二运动，分别得到线段G H 、G H （G 、G 是G的对应点．H 、H 是H的对应点）．
1 1 2 2 1 2 1 2
①若点H 与点G 重合，求点H的坐标；
1 2
②若线段G H 与线段G H 有公共点，直接写出y与x之间的函数表达式，并写出实数x的取值范围．
1 1 2 2
第7页（共32页）2025年江苏省常州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D C C B B A
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确
的）
1．（2分）（2025•常州）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ）
1
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．
2
【考点】数轴；相反数．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据数轴得到点P表示的数为2，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．
【解答】解：根据数轴得到点P表示的数为2，
故数轴上点P表示的数的相反数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查求一个数的相反数，数轴，熟练掌握以上知识点是关键．
5
2．（2分）（2025•常州）若使分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
x+1
A．x≠﹣1 B．x＝﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞﹣1
【考点】分式有意义的条件．
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【答案】A
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故选：A．
【点评】从以下三个方面透彻理解分式的概念：
第8页（共32页）（1）分式无意义 分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
3．（2分）（2025•常⇔州）下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图．
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【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】D
【分析】根据三棱柱的形体特征进行判断即可．
【解答】解：三棱柱的侧面是长方形，因此选项D是三棱柱的侧面展开图，
故选：D．
【点评】本题考查几何体的展开图，掌握三棱柱的形体特征是正确解答的关键．
4．（2分）（2025•常州）如图， O的半径为2，直径AB、CD互相垂直，则^BC的长是（ ）
⊙
π π
A． B． C． D．2
4 2
π π
【考点】弧长的计算．
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【专题】推理能力．
【答案】C
【分析】先利用直径AB、CD互相垂直，得出∠BOC＝90°，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：∵直径AB、CD互相垂直，
∴∠BOC＝90°，
第9页（共32页）90π×2
∴BC弧的长为 =π，
180
故选：C．
【点评】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
5．（2分）（2025•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则sinB的值是（ ）
3 3 4 4
A． B． C． D．
5 4 5 3
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用勾股定理求得BC的长度，再根据正弦的定义即可求得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC=√AB2+AC2=√32+42=5，
AC 4
∴sinB= = ，
BC 5
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握其定义是解题的关键．
6．（2分）（2025•常州）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝5．若∠ABD＝30°，则AC
的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【考点】菱形的性质；含30度角的直角三角形．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】B
第10页（共32页）【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，根据含30°角的直角三角形的性质即可求得AO的长，
从而得到结果．
【解答】解：在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝5．
∴AC⊥BD，AO＝CO，
∴∠AOB＝90°，
∵∠ABD＝30°，
1 5
∴AO= AB= ，
2 2
∴AC＝2AO＝5，
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质．
7．（2分）（2025•常州）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则 AB与CD平行．这一判断过
程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【考点】平行线的判定与性质；直线的性质：两点确定一条直线；垂线段最短；平行公理及推论．
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【专题】推理能力．
【答案】B
【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．
【解答】解：由题意得∠A＝∠D，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．
8．（2分）（2025•常州）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆
之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，
分别以v 米/分钟、v 米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时
1 2
第11页（共32页）5
出发，小丽仍然以v 分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以 v 米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇
2 4 1
后，再以v 米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离 y（米）与行进时间x（分
2
钟）之间的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
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【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】A
【分析】由题意得小丽家到图书馆的距离为1500米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v
1
6
米/分钟、v 米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出v = v ，可得现在小华开始
2 1 5 2
3 3
的速度为 v （米/分钟），设小华t分钟后与小丽相遇后，由题意得 v t=v t+300，得v t＝600，
2 2 2 2 2 2
3 3
则相遇时小华到图书馆的距离为1800- v t=900（米），再结合小华开始的速度为 v 米/分钟，大
2 2 2 2
于后面的速度v 米/分钟，即可求解．
2
【解答】解：小丽家到图书馆的距离为1800﹣300＝1500（米），
1800 1500
=
由条件可得 ，
v v
1 2
6
∴v = v ，
1 5 2
5 5 6 3
∴现在小华开始的速度为 v = × v = v （米/分钟），
4 1 4 5 2 2 2
第12页（共32页）设小华t分钟后与小丽相遇，
3
由题意得 v t=v t+300，
2 2 2
得v t＝600，
2
3
则相遇时小华到图书馆的距离为1800- v t=900（米），
2 2
剩余路程为1800﹣900＝900（米），
3
再结合小华开始的速度为 v 米/分钟，大于后面的速度v 米/分钟，
2 2 2
则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间，
可知只有选项A符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡
相应位置上）
9．（2分）（2025•常州）4的算术平方根是 2 ．
【考点】算术平方根．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】2．
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．
10．（2分）（2025•常州）计算（a2）3＝ a 6 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
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【答案】见试题解答内容
【分析】幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）
【解答】解：（a2）3＝a2×3＝a6．
故答案为：a6
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
11．（2分）（2025•常州）分解因式：x2﹣9y2＝ （ x ﹣ 3 y ）（ x + 3 y ） ．
第13页（共32页）【考点】因式分解﹣运用公式法．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】（x﹣3y）（x+3y）．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．
故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
12．（2分）（2025•常州）太阳的半径约为700000千米，数据700000用科学记数法表示为 7×1 0 5 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】7×105．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：700000＝7×105．
故答案为：7×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
x y
13．（2分）（2025•常州）若 ＞ 则x﹣y ＞ 0．（填＞、＜或＝）．
3 3
【考点】不等式的性质．
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【专题】运算能力．
【答案】＞．
【分析】根据不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘
以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
根据不等式的性质，即可解答．
x y
【解答】解：∵ ＞ ，
3 3
∴不等式两边都乘以3得x＞y，
∴x﹣y＞0，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
第14页（共32页）14．（2分）（2025•常州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值
为 1 ．
【考点】根的判别式．
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【答案】见试题解答内容
【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出
关于m的方程，解答即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴（﹣2）2﹣4m＝0，
∴m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数
根，则可得Δ＝0，此题难度不大．
15．（2分）（2025•常州）如图，AB∥CD，AC⊥AD，∠ACD＝50°，则∠ ＝ 40 ° ．
α
【考点】平行线的性质；垂线．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】40°．
【分析】先根据平行线的性质得出∠BAC的度数，再由AC⊥AD得出∠CAD＝90°，进而可得出结论．
【解答】解：∵直线AB∥CD，∠ACD＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACD＝180°﹣50°＝130°，
∵AC⊥AD，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ ＝∠BAC﹣∠CAD＝130°﹣90°＝40°．
故答α案为：40°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
16．（2分）（2025•常州）如图，在 ABCD中，E是AD上一点，DE＝2AE，CE、BA的延长线相交于
点F，若AB＝2，则AF＝ 1 ．▱
第15页（共32页）【考点】平行四边形的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】1．
AE AE 1
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，由DE＝2AE，推导出 = = ，可证明
BC AD 3
AF AE 1 AF 1
△FAE∽△FBC，得 = = ，而AB＝2，则 = ，求得AF＝1，于是得到问题的答案．
BF BC 3 2+AF 3
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DE＝2AE，
∴AD＝AE+DE＝AE+2AE＝3AE，
AE AE AE 1
∴ = = = ，
BC AD 3AE 3
∵AE∥BC，
∴△FAE∽△FBC，
AF AE 1
∴ = = ，
BF BC 3
∵AB＝2，
AF 1
∴ = ，
2+AF 3
∴AF＝1，
故答案为：1．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△FAE∽△FBC是解
题的关键．
17．（2分）（2025•常州）如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦．若∠DCB＝45°，AD＝1，则AB＝
√2 ． ⊙ ⊙
第16页（共32页）【考点】圆周角定理．
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【专题】推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，可知∠ADB＝90°，求出∠DCB＝∠DAB＝45°，得到BD＝AD
＝1，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°， ⊙
∵∠DCB＝45°，
∴∠DCB＝∠DAB＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝45°，
∴BD＝AD＝1，
∴AB=√AD2+BD2=√2．
故答案为：√2．
【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角为90°，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等
性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
4
18．（2分）（2025•常州）如图，在△ABC中，tanC= ，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到
3
21
△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF＝5，EF＝2，则AC＝ ．
2
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．
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第17页（共32页）【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；展开与折叠；几何直观；推理能力．
21
【答案】 ．
2
FG 4
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，由tanC= = ，设FG＝4x，则CG＝3x，结合CF＝5，求出
CG 3
FG＝4，CG＝3，由翻折得AC＝AE，设AC＝AE＝y，则AG＝AC﹣CG＝y﹣3，AF＝AE﹣EF＝y﹣2，
在Rt△AFG中，利用AF2＝AG2+FG2，求解即可．
4
【解答】解：在△ABC中，tanC= ，如图，过点F作FG⊥AC于点G，
3
FG 4
∴tanC= = ，
CG 3
设FG＝4x，则CG＝3x，
在直角三角形CFG中，CF＝5，
由勾股定理得：CF2＝CG2+FG2，即52＝（3x）2+（4x）2，
解得：x＝1（负值已舍去），
∴FG＝4，CG＝3，
由翻折得AC＝AE，
设AC＝AE＝y，
则AG＝AC﹣CG＝y﹣3，AF＝AE﹣EF＝y﹣2，
在Rt△AFG中，由勾股定理得：AF2＝AG2+FG2，
即（y﹣2）2＝（y﹣3）2+42，
21
解得：y= ，
2
21
即AC= ，
2
21
故答案为： ．
2
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的
第18页（共32页）关键．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字
说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）（2025•常州）先化简，再求值：x（x+2）+（x﹣1）2，其中x=√3．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】2x2+1，7．
【分析】首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将 x的
值代入化简后的式子进行计算得出答案．
【解答】解：原式＝x2+2x+x2﹣2x+1
＝2x2+1，
当x=√3时，原式=2×(√3) 2+1=7．
【点评】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计
算是解题的关键．
{ x
+1≥0
20．（6分）（2025•常州）解不等式组 2 并把解集在数轴上表示出来．
2x-3＜-3
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2≤x＜0，数轴见解析．
【分析】解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可．
【解答】解：解第一个不等式得：x≥﹣2，
解第二个不等式得：x＜0，
故原不等式组的解集为﹣2≤x＜0，
在数轴上表示其解集如图所示：
．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式组的方法是
第19页（共32页）解题的关键．
21．（8分）（2025•常州）甲、乙两人在相同条件下10次射击的成绩如下：
人员 环数
甲 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7
乙 5 7 5 10 5 8 6 9 8 7
对以上数据进行分析，绘制成如表：
人员 平均数 中位数 众数 方差：
甲 x 7 m 1
甲
乙 7 n 5 2.8
（1）填空：x = 7 ，m＝ 6 ，n＝ 7 ；
甲
（2）根据以上数据，评价甲、乙两人射击成绩的稳定性，并说明理由．
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
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【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）7，6，7；
（2）甲的射击成绩比较稳定，理由：样本中甲的射击成绩的方差较小，成绩比较稳定．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义和计算方法进行计算即可；
（2）根据甲、乙二人射击成绩的方差的大小进行判断即可．
6×4+7×3+8×2+9
【解答】解：（1）x
甲
＝y =
10
= 7（环），
人员甲射击10次成绩出现次数最多的是6环，所以人员甲射击10次成绩的众数是6环，即m＝6，
7+7
将人员乙10次射击成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为 =7（环），所以人
2
员乙10次射击成绩的中位数是7环，即n＝7，
故答案为：7，6，7；
（2）甲的射击成绩比较稳定，理由：样本中甲的射击成绩的方差较小，成绩比较稳定．
【点评】本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数、方差的定义以及计算
方法是正确解答的关键．
22．（8分）（2025•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有：①﹣1；②0；③1；④正数；⑤负数．
将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B
中搅匀．
1
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 ；
3
第20页（共32页）（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的
概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
1
【答案】（1） ；
3
1
（2） ．
3
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到的数与文字描述相符合的结果有2种，再由概率公
式求解即可．
1
【解答】解：（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 ，
3
1
故答案为： ；
3
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽到的数与文字描述相符合的结果有2种，即①⑤、③④，
2 1
∴抽到的数与文字描述相符合的概率为 = ．
6 3
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还
是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）（2025•常州）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减
少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？
【考点】分式方程的应用．
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【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】浇水方式改进后平均每天用水1吨．
【分析】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水（x+1）吨，根据“20
吨水可以使用的天数是原来的2倍”列出方程求解即可．
第21页（共32页）【解答】解：设浇水方式改进后平均每天用水x吨，
20 20
依题意，得： = ×2
x x+1
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，且符合题意，
答：浇水方式改进后平均每天用水1吨．
【点评】本题考查分式方程的应用．理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
24．（8分）（2025•常州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）用直尺和圆规作∠DAE的平分线AF（保留作图痕迹，不要求写作法）．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
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【专题】图形的全等；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）作图见解析．
【分析】（1）先利用AB＝AC得出∠B＝∠C，再利用SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）利用根据角平分线的作图方法作图即可．
【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD与△ACE中，
{
AB=AC
∠B=∠C，
BD=CE
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：作∠DAE的平分线AF，交DE于点F，如图所示，AF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角
形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键．
第22页（共32页）25．（8分）（2025•常州）如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数
m
y= 的图象相交于点A（1，n）、B（﹣3，﹣2），且与y轴交于点C．
x
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接OA，求△OAC的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
6
【答案】（1）y＝2x+4；y= ；
x
（2）2．
m 6
【分析】（1）先将B（﹣3，﹣2）代入y= 求出反比例函数解析式，再将A（1，n）代入y= ，求
x x
出A（1，6），将A（1，6），B（﹣3，﹣2）代入y＝kx+b，求解即可；
1
（2）先求出C（0，4），再利用S = OC⋅|x |求解即可．
△OAC 2 A
m
【解答】解：（1）将B（﹣3，﹣2）代入y= ，
x
m
得-2= ，
-3
解得m＝6，
6
∴反比例函数的解析式为y= ，
x
6
将A（1，n）代入y= ，
x
得：n＝6，
∴A（1，6），
{ 6=k+b
由条件可得 ，
-2=-3k+b
第23页（共32页）{k=2
解得： ，
b=4
∴一次函数的解析式为y＝2x+4；
（2）当x＝0时，y＝2x+4＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
1 1
∴S = OC⋅|x |= ×4×1=2．
△OAC 2 A 2
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握
一次函数、反比例函数交点问题的解法．
26．（10分）（2025•常州）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝2，AD＝1．
（1）若△ABD是等腰三角形，则BD＝ 2 ；
（2）已知OB＝OD，AC＝BD．
①若OA＝OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在△ACD中，CD2＝AD2+AC2，求AC的长．
【考点】三角形综合题．
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【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）2；
（2）①四边形ABCD是矩形，理由见解析；
②√7．
【分析】（1）由△ABD是等腰三角形，AB＝2，AD＝1，分别讨论：当BD＝AB＝2时和当BD＝AD＝
1时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可；
（2）①利用OA＝OC，OB＝OD，得出四边形ABCD是平行四边形，再利用AC＝BD，即可判定四边
形ABCD是矩形；②过点B作BE⊥AC于点E，利用CD2＝AD2+AC2，得出△ACD是直角三角形，且
∠DAC＝90°，证明△AOD≌△EOB，得出BE＝DA＝1，AO＝EO，利用勾股定理求出AE=√3，得出
1 √3 √7
AO=EO= AE= ，再利用勾股定理求出OD= ，得出BD=2OD=√7，即可求解．
2 2 2
【解答】解：（1）∵△ABD是等腰三角形，AB＝2，AD＝1，
第24页（共32页）∴当BD＝AB＝2时，此时满足三角形三边关系；
当BD＝AD＝1时，1+1＝2，此时不满足三角形三边关系；
综上所述，BD＝2，
故答案为：2；
（2）①四边形ABCD是矩形；理由如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
②过点B作BE⊥AC于点E，如图，
∵在△ACD中，CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°，
∴∠DAO＝∠BEO＝90°，
在△AOD和△EOB中，
{∠DAO=∠BEO=90°
∠AOD=∠EOB ，
OD=OB
∴△AOD≌△EOB（AAS），
∴BE＝DA＝1，AO＝EO，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=√AB2-BE2=√3，
1 √3
∴AO=EO= AE= ，
2 2
√7
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=√AD2+AO2= ，
2
∴BD=2OD=√7，
∴AC=BD=√7．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形
的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题
第25页（共32页）的关键．
3
27．（10分）（2025•常州）如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=- x+3的图象分别与x轴，y
2
轴交于点A、B，点C是线段AB上一点，C与B不重合．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且
a≠0）的图象经过点B，顶点是C．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B′、C′分别是B、C的
对应点，且点B′落在x轴正半轴上，点C′的纵坐标为﹣2．
（1）OB＝ 3 ；
（2）求点C的坐标；
5
（3）已知新抛物线与y轴交于点G（0， ），点D（3，y ）、E（x ，y ）在新抛物线上，若对于满
2 1 2 2
足m＜x ≤m+1的任意实数x ，y ＞y 总成立，求实数m的取值范围．
2 2 2 1
【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性
质；二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）3；3
4
（2）C( ，1)；
3
（3）m＜0或m≥3．
3
【分析】（1）求出x＝0时，函数y=- x+3的函数值，得到B点坐标，即可得出结果；
2
（2）根据点B′落在x轴正半轴上，得到点B向下平移了3个单位，进而得到点C向下平移3个单位后，
与C′的纵坐标相同，进而求出C的纵坐标，代入函数解析式，求出C点坐标即可；
（3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移3个单位
9 4 2
得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：y= (x- -h) -2，把D点坐标代入，求出解析式，
8 3
进而根据二次函数的图象和性质，进行求解即可．
【解答】解：（1）由条件可知B（0，3），
第26页（共32页）∴OB＝3；
故答案为：3；
（2）∵B（0，3），点B的对应点B′落在x轴正半轴上，
∴点B向下平移3个单位，
∴点C向下平移3个单位后，与C′的纵坐标相同，
∵点C′的纵坐标为﹣2，
∴点C的纵坐标为﹣2+3＝1；
3
∵点C在线段AB上，即点C在直线y=- x+3上，
2
3 4
∴当y=- x+3=1时，x= ，
2 3
4
∴C( ，1)；
3
4
（3）∵B（0，3），C( ，1)，
3
4 2 4 2
∴y=a(x- ) +1，把B（0，3）代入，得：a(0- ) +1=3，
3 3
9
∴a= ，
8
9 4 2
∴y= (x- ) +1，
8 3
∵平移后点B的对应点B′落在x轴正半轴上，
∴设抛物线向右平移h（h＞0）个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，
9 4 2
∴新的抛物线的解析式为：y= (x- -h) -2，
8 3
5 9 4 2 5
把G(0， )代入，得： (0- -h) -2= ，
2 8 3 2
2 10
解得：h= 或h=- （舍去）；
3 3
9 4 2 2 9
∴y= (x- - ) -2= (x-2) 2-2，
8 3 3 8
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点D（3，y ）关于对称轴的对称点为D′（1，y ），
1 1
∵对于满足m＜x ≤m+1的任意实数x ，y ＞y 总成立，
2 2 2 1
∴m+1＜1或m≥3，
第27页（共32页）∴m＜0或m≥3．
【点评】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质，正
确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
28．（10分）（2025•常州）在平面xOy中以下种不同所得线段的关系．
方式一：向右平移1个单位长度，后绕原点O按逆时针方向旋转90°；
方式二：先原点O按逆时针方向旋转90°，然后向右平移1个单位长度．
如图1小明将线段AB按方式一方式二运动：分别得到线段A B 、A B ，发现它们除长度相等外还有其
1 1 2 2
他关系．
【实践体验】
（1）如图2，小明已画出线段CD按方式一运动得到的线段C D ．请你利用网格，在图2中画出线段
1 1
CD按方式二运动得到的线段；
【探索发现】
（2）在平面直角坐标系xOy中，将线段a按方式一、方式二运动，分别得到线段a 、a ，则线段a 、
1 2 1
a 所在直线可能 ②③ （写出所有可能的序号）；
2
①相交；②平行；③是同一条直线．
【综合应用】
（3）如图3，已知点G（2，3），H（x，y）是第一象限内两个不重合的点，将线段GH按方式一、方
式二运动，分别得到线段G H 、G H （G 、G 是G的对应点．H 、H 是H的对应点）．
1 1 2 2 1 2 1 2
①若点H 与点G 重合，求点H的坐标；
1 2
②若线段G H 与线段G H 有公共点，直接写出y与x之间的函数表达式，并写出实数x的取值范围．
1 1 2 2
【考点】三角形综合题．
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【专题】几何综合题．
第28页（共32页）【答案】（1） ；（2）②③；（3）①H（1，2）；②y＝x+1，0
＜x≤1或x≥3．
【分析】（1）按顺序应用旋转和平移的性质画图即可；
（2）先求出按方式一和方式二变换后的端点坐标，然后再根据待定系数法列方程组，求出一次项系数，
通过一次项系数来判断直线a ，a 的位置关系；
1 2
（3）①先由平行性质转化为共线问题，再通过参考直线方程得到函数关系y＝x+1；
②通过线段端点位置关系分析范围，结合不等式确定临界点（x＝1和x＝3），结合图形，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，线段C D 即为所求作的线段；
2 2
（2）设线段a的端点为P（x ，y ）和Q（x ，y ），
1 1 2 2
按方式一变换得到线段对应端点分别为：P （﹣y ，x +1），Q （﹣y ，x +1），
1 1 1 1 2 2
按方式二变换得到线段对应端点分别为：P （1﹣y ，x ），Q （1﹣y ，x ），
2 1 1 2 2 2
设直线a 的解析式为：y＝px+q，代入P （﹣y ，x +1），Q （﹣y ，x +1）得，
1 1 1 1 1 2 2
{x +1=- y p+q x -x
1 1 ，消去q后，整理得，p= 1 2 ，
x +1=- y p+q y - y
2 2 2 1
设直线a 的解析式为：y＝mx+n，代入P （1﹣y ，x ），Q （1﹣y ，x ）得，
2 2 1 1 2 2 2
第29页（共32页）{x =(1- y )m+n x -x
1 1 ，消去n后，整理得，m= 1 2 ，
x =(1- y )m+n y - y
2 2 2 1
∴p＝m，即a 和a 所在直线可能平行或是同一直线，
1 2
故选：②③；
（3）G（2，3）按方式一运动：向右平移1个单位长度，再绕原点O按逆时针方向旋转90°，G 坐标
1
为（﹣3，3），
H（x，y）按方式一运动：向右平移1个单位长度，再绕原点OH安逆时针方向旋转90°，H 坐标为H
1 1
（﹣y，x+1），
G（2，3）按方式二运动：先原点O按逆时针方向旋转90°，再向右平移1个单位，G 坐标为 （﹣2，
2
2），
H（x，y）按方式二运动：先原点O按逆时针方向旋转90°，再向右平移1个单位，H 坐标为 （﹣
2
y+1，x）；
①∵点H 与点G 重合，
1 2
{x+1=2 {x=1
∴ ，解得 ，即H（1，2）；
- y=-2 y=2
②由（2）可知G
1
H 1∥G
2
H
2
，若线段G
1
H
1
与线段G
2
H
2
有公共点，则点G
1
，H
1
，G
2
，H
2
在一条直线上，
设直线G G 的解析式为：y＝kx+b，
1 2
{3=-3k+b
则 ，
2=-2k+b
{k=-1
解得 ，
b=0
∴直线G G 的解析式为：y＝﹣x，
1 2
将点H 坐标为（﹣y，x+1）代入得，x+1＝﹣（﹣y），整理得，y＝x+1，
1
∴H （﹣（x+1），x+1），H （﹣x，x），
1 2
讨论有交点情况：
第30页（共32页）（i）当点H 在线段G H 上时，两线段有交点，
2 1 1
∴﹣x≤﹣3，即x≥3，
（ii）当点H 在线段G G 上（H 不与端点重合）时，两线段无交点，
1 1 2 1
∴﹣3＜﹣（x+1）＜﹣2，即1＜x＜2，
当点H 在线段G G 上时（H 不与端点重合），两线段无交点，
2 1 2 1
∴﹣3＜﹣x＜﹣2，即2＜x＜3，
综上所述，1＜x＜3时两线段无交点；
第31页（共32页）（iii）当点H 在线段G H 上时，两线段有交点，
1 2 2
∴﹣（x+1）≥﹣2，即x≤1，
由于点H在第一象限，x＞0，
∴0＜x≤1，
综上所述，若线段G H 与线段G H 有公共点，y＝x+1，0＜x≤1或x≥3．
1 1 2 2
【点评】本题综合考查图形运动（平移、旋转的坐标变换）、一次函数的平移、二元一次方程求解、
不等式应用及坐标系中的位置关系，解题关键是通过代数计算描述几何变换，并运用数形结合分析线
段属性．
第32页（共32页）
