文档内容
2025年河南省中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）（2025•河南）在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作+4个，那么该队失3个球记
作（ ）
A．+3个 B．﹣3个 C．+4个 D．﹣4个
2．（3分）（2025•河南）数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（
）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2025•河南）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速
度大约只有0.000074m/s，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“0.000074”用科学记数法表示为（ ）
A．0.74×10﹣4 B．7.4×10﹣4 C．7.4×10﹣5 D．74×10﹣6
4．（3分）（2025•河南）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，
则所量内角的度数为（ ）
第1页（共34页）A．100° B．110° C．120° D．130°
5．（3分）（2025•河南）一元二次方程x2﹣2x＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
6．（3分）（2025•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC的三个顶点均在网格
线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（ ）
1
A． B．1 C．√2 D．√3
2
x2-2 1
7．（3分）（2025•河南）化简 - 的结果是（ ）
x-1 1-x
A．x+1 B．x C．x﹣1 D．x﹣2
8．（3分）（2025•河南）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面
分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张
卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（
）
第2页（共34页）1 1 1 1
A． B． C． D．
12 6 4 2
9．（3分）（2025•河南）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将
△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（ ）
A．2 B．6﹣3√2 C．2√2 D．6√2-6
10．（3分）（2025•河南）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车
速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数 与车速v（km/h）之间的函数关系如图所示．下列
说法中错误的是（ ） μ
A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B．当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60km/h
D．若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）（2025•河南）请写出一个使√5-x在实数范围内有意义的x的值： ．
12．（3分）（2025•河南）为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦
中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为s甲 2＝3.6，s乙 2＝5.8，则
这两种小麦长势更整齐的是 （填“甲”或“乙”）．
13．（3分）（2025•河南）观察2x，4x2，6x3，8x4，⋯，根据这些式子的变化规律，可得第 n个式子为
．
14．（3分）（2025•河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如
图是研究“割圆术”时的一个图形，^AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与 O相
切于点E，连接BE，∠ABE＝15°，连接OE交AB于点F．若AB＝4，则图中阴影部分的面积⊙为
第3页（共34页）．
15．（3分）（2025•河南）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在
△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为
．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（2025•河南）（1）计算：√38+（ ﹣1）0-√3×√3；
（2）化简：（x+1）2﹣x（x+2）． π
17．（9分）（2025•河南）为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办
第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年
级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、
描述、分析，部分信息如下．
得分统计表
统计量 年级
七年级 八年级
平均数 7.86 7.86
第4页（共34页）中位数 a 8
众数 7 b
优秀率 38% c
根据以上信息，回答下列问题．
（1）表格中的a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由．
18．（9分）（2025•河南）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的
三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比
k
例函数y= （x＞0）的图象经过点C．
x
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点
D的坐标．
19．（9分）（2025•河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若点E是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形．
20．（9分）（2025•河南）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙
两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售
价之和为800元．
（1）求甲、乙两种苹果每箱的售价．
（2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．
第5页（共34页）求该公司最少需花费多少元．
21．（9分）（2025•河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位
于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子
落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F
处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线
上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上．
测量数据 DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m．
备注 点F，M，D，C在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由．
（2）求纪念碑AB的高度．
（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑
的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原
因（写出一条即可）．
22．（10分）（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示．
x … ﹣2 0 1 …
y … ﹣2 ﹣2 1 …
第6页（共34页）（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的
差为5，请直接写出n的值．
23．（10分）（2025•河南）在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点
D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G．
（1）观察猜想
如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系： ．
（2）类比探究
如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然
成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．
（3）拓展应用
GF OD
当0°＜∠AOB＜180°，且∠AOB≠90°时，若 =3，请直接写出 的值．
EF CD
第7页（共34页）2025年河南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C． C A B A B D C
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）（2025•河南）在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作+4个，那么该队失3个球记
作（ ）
A．+3个 B．﹣3个 C．+4个 D．﹣4个
【考点】正数和负数．
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【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：如果某班足球队进4个球记作+4个，
那么该队失3个球记作﹣3个，
故选：B．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
2．（3分）（2025•河南）数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（
）
A． B．
第8页（共34页）C． D．
【考点】几何体的展开图．
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【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】D
【分析】根据圆锥的展开图是一个扇形和一个圆判断即可．
【解答】解：由圆锥的展开图可知，这个几何体是圆锥．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的展开图是解答本题的关键．
3．（3分）（2025•河南）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速
度大约只有0.000074m/s，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“0.000074”用科学记数法表示为（ ）
A．0.74×10﹣4 B．7.4×10﹣4 C．7.4×10﹣5 D．74×10﹣6
【考点】科学记数法—表示较小的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000074＝7.4×10﹣5．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2025•河南）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，
则所量内角的度数为（ ）
第9页（共34页）A．100° B．110° C．120° D．130°
【考点】多边形内角与外角．
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【专题】正多边形与圆．
【答案】C
【分析】由量角器可知，∠1＝120°，再利用对顶角相等求解即可．
【解答】解：如图，延长BO，
由量角器可知，∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝∠AOD＝120°，
即所量内角的度数为120°，
故选：C．
【点评】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．
5．（3分）（2025•河南）一元二次方程x2﹣2x＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
第10页（共34页）【分析】根据Δ＞0，即可判断根的情况．
【解答】解：由条件可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程跟的判别式，熟练掌握该知识点是解题关键．
6．（3分）（2025•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC的三个顶点均在网格
线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（ ）
1
A． B．1 C．√2 D．√3
2
【考点】三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．
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【专题】三角形；图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】证明△ADF≌△BDG（AAS），得AD＝BD，同理AE＝CE，再证明DE是△ABC的中位线，即
可得出结论．
【解答】解：如图，由题意可知，BC＝AF＝BG＝2，∠AFD＝∠BGD＝90°，
又∵∠ADF＝∠BDG，
∴△ADF≌△BDG（AAS），
∴AD＝BD，
同理：AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE= BC＝1，
2
故选：B．
第11页（共34页）【点评】本题考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形中位线
定理以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
x2-2 1
7．（3分）（2025•河南）化简 - 的结果是（ ）
x-1 1-x
A．x+1 B．x C．x﹣1 D．x﹣2
【考点】分式的加减法．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】A
【分析】将原式变形后将分子相减，然后约分即可．
x2-2 1
【解答】解：原式= +
x-1 x-1
x2-1
=
x-1
(x+1)(x-1)
=
x-1
＝x+1，
故选：A．
【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
8．（3分）（2025•河南）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面
分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张
卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（
）
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 6 4 2
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果数，
再利用概率公式可得出答案．
第12页（共34页）【解答】解：列表如下：
美 丽 山 河
美 （美， （美， （美，河）
丽） 山）
丽 （丽， （丽， （丽，河）
美） 山）
山 （山， （山， （山，河）
美） 丽）
河 （河， （河， （河，
美） 丽） 山）
共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有：（丽，山），
（山，丽），共2种，
2 1
∴这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为 = ．
12 6
故选：B．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本
题的关键．
9．（3分）（2025•河南）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将
△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（ ）
A．2 B．6﹣3√2 C．2√2 D．6√2-6
【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．
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【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】根据菱形的性质求出AB＝BC＝6，根据折叠的性质求出AE⊥BF，BE＝EF，解直角三角形求
出BF＝2BE＝6√2，再根据线段的和差求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，
∴AB＝BC＝6，
根据折叠的性质得，AE⊥BF，BE＝EF，
∵∠B＝45°，
∴∠BAE＝90°﹣45°＝∠B，
第13页（共34页）√2
∴AE＝BE= AB＝3√2，
2
∴BF＝2BE＝6√2，
∴CF＝BF﹣BC＝6√2-6，
故选：D．
【点评】此题考查了折叠的性质、菱形的性质，熟记折叠的性质、菱形的性质是解题的关键．
10．（3分）（2025•河南）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车
速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数 与车速v（km/h）之间的函数关系如图所示．下列
说法中错误的是（ ） μ
A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B．当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60km/h
D．若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
【考点】函数的图象．
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【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】C
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：由图象可得，
汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9，故选项A说法正确，不符合题意；
当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，故选项B说法正确，不符合题意；
要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不超过60km/h，故选项C说法错误，符合题意；
若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04，故选项D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）（2025•河南）请写出一个使√5-x在实数范围内有意义的x的值： 0 （答案不唯一） ．
【考点】二次根式有意义的条件．
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第14页（共34页）【专题】二次根式；运算能力．
【答案】0（答案不唯一）．
【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可．
【解答】解：若√5-x在实数范围内有意义，
则5﹣x≥0，
解得x≤5，
即x的值可以是0（答案不唯一），
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12．（3分）（2025•河南）为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦
中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为s甲 2＝3.6，s乙 2＝5.8，则
这两种小麦长势更整齐的是 甲 （填“甲”或“乙”）．
【考点】方差；算术平均数．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】甲．
【分析】根据方差的定义求解即可．
【解答】解：∵s甲 2＝3.6，s乙 2＝5.8，
∴s甲 2＜s乙 2，
∴这两种小麦长势更整齐的是甲，
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个
量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，
稳定性越好．
13．（3分）（2025•河南）观察2x，4x2，6x3，8x4，⋯，根据这些式子的变化规律，可得第 n个式子为
2 nx n ．
【考点】规律型：数字的变化类；单项式．
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【专题】规律型．
【答案】2nxn．
【分析】已知式子，得到第n个式子为2n•xn，即可得到答案．
【解答】解：第1个式子：2x＝1×2•x1，
第2个式子：4x2＝2×2•x2，
第15页（共34页）第3个式子：6x3＝3×2•x3，
第4个式子：8x4＝4×2•x4，
…，
观察发现，第n个式子为2nxn，
故答案为：2nxn．
【点评】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．
14．（3分）（2025•河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如
图是研究“割圆术”时的一个图形，^AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与 O相
切于点E，连接BE，∠ABE＝15°，连接OE交AB于点F．若AB＝4，则图中阴影部分的面积⊙为
4π
- 2√3 ．
3
【考点】切线的性质；扇形面积的计算；矩形的性质．
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【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
4π
【答案】 - 2√3．
3
【分析】根据切线的性质得到OE⊥CD，根据矩形的性质得到AB∥CD，得到OE⊥AB，根据垂径定理求
出AF，解直角三角形分别求出OA、OF，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵边CD与 O相切于点E，
∴OE⊥CD， ⊙
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴OE⊥AB，
1 1
∴AF＝FB= AB= ×4＝2，
2 2
由圆周角定理得：∠AOE＝2∠ABE＝30°，
∴OA＝2AF＝4，
第16页（共34页）由勾股定理得：OF=√OA2-AF2=√42-22=2√3，
30π×42 1 4π
则S阴影部分 ＝S扇形AOE ﹣S
△AOF
=
360
-
2
×2×2√3=
3
- 2√3，
4π
故答案为： - 2√3．
3
【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、矩形的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半
径是解题的关键．
15．（3分）（2025•河南）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在
△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为
25 11
或 ．
4 2
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
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【专题】多解填空题；三角形．
25 11
【答案】 或 ．
4 2
【分析】分情况讨论：①当∠APC﹣∠C＝90°时，过点A作 AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质得
AB BD
到BD＝CD＝4，证明△ADB∽△PAB，得到 = ，即可求出BP 的长；
BP AB
②当∠APC﹣∠CAP＝90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M，由等角对等边得到AM＝PM，再证明
3 5
△CMP∽△CAD，设CP＝x，进而得出PM= x，CM= x，根据AC＝AM+CM＝PM+CM，求出x的值，
4 4
即可求出BP的长；
③当∠CAP＝∠C+90°时，利用锐角三角函数，得出∠C＞30°，∠BAC＜120°，即此种情况不存在；
④当∠CAP＝∠APC+90°时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC＝5，
∴∠B＝∠C，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，
第17页（共34页）∴∠APC＞∠B，
∴∠APC＞∠C，
若△APC为“反直角三角形”，
①当∠APC﹣∠C＝90°时，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
1
∴BD=CD= BC=4，
2
∴AD=√AB2-BD2=3，
∵∠B＝∠C，
∴∠APC﹣∠B＝∠BAP＝90°，
∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠PAB＝90°，
∴△ADB∽△PAB，
AB BD
∴ = ，
BP AB
5 4
∴ = ，
BP 5
25
∴BP= ；
4
②当∠APC﹣∠CAP＝90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M，
∴∠APC﹣∠APM＝∠CPM＝90°，
∴∠CAP＝∠APM，
∴AM＝PM，
∵PM⊥BC，AD⊥BC，
∴PM∥AD，
第18页（共34页）∴△CMP∽△CAD，
CP PM CM
∴ = = ，
CD AD AC
设CP＝x，则BP＝8﹣x，
x PM CM
∴ = = ，
4 3 5
3 5
∴PM= x，CM= x，
4 4
3 5
∴AC＝AM+CM＝PM+CM= x+ x=5，
4 4
5
∴x= ，
2
5 11
∴BP=8- = ；
2 2
③当∠CAP＝∠C+90°时，如图，在CB上截取CE＝AE，连接AE，过点A作AD⊥BC于D，过点E作
EF⊥AC于F，
则∠EAC＝∠C，∠ADE＝∠PAE＝90°，
又∵∠AED＝∠PEA，
∴△AED∽△PEA，
AE ED
∴ = ，
PE AE
∵CE＝AE，EF⊥AC，
1 5
∴AF＝CF= AC= ，
2 2
∵∠ADC＝∠EFC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CEF∽△CAD，
5
CE CF
∴ = ，即CE 2，
AC CD =
5 4
25
∴CE= =AE，
8
第19页（共34页）7
∴DE＝CD﹣CE= ，
8
同理可得：△AED∽△PEA，
25
PE AE PE 8
∴ = ，即 = ，
AE DE 25 7
8 8
625
∴PE= ，
56
39 625 39
又∵BE＝BC﹣CE= ， ＞ ，
8 56 8
∴PE＞BE，即点P在CB的延长线上，不符合题意；
④当∠CAP＝∠APC+90°时，
∵当点P与点B重合时，∠APC最小，此时∠APC＝∠B＞30°，
同③理可证，此种情况不存在；
25 11
综上可知，BP的长为 或 ，
4 2
25 11
故答案为： 或 ．
4 2
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知
识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（2025•河南）（1）计算：√38+（ ﹣1）0-√3×√3；
（2）化简：（x+1）2﹣x（x+2）． π
【考点】整式的混合运算；实数的运算．
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【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】（1）0；
（2）1．
【分析】（1）利用立方根的定义，零指数幂，二次根式的乘法法则计算后再算加减即可；
（2）利用完全平方公式，单项式乘单项式法则展开，然后去括号并合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝2+1﹣3
＝3﹣3
＝0；
（2）原式＝x2+2x+1﹣（x2+2x）
第20页（共34页）＝x2+2x+1﹣x2﹣2x
＝1．
【点评】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17．（9分）（2025•河南）为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办
第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年
级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、
描述、分析，部分信息如下．
得分统计表
统计量 年级
七年级 八年级
平均数 7.86 7.86
中位数 a 8
众数 7 b
优秀率 38% c
根据以上信息，回答下列问题．
（1）表格中的a＝ 7. 5 ，b＝ 8 ，c＝ 22% ．
（2）你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由．
【考点】众数；中位数．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）7.5，8，22%；
（2）七年级学生对宪法法治知识的掌握情况更好，理由见解析（答案不唯一）．
【分析】（1）根据中位数、众数的定义可得a、b的值，先求出八年级测试成绩在9分或9分以上人
数所占百分比可得c的值；
（2）可从中位数、众数、优秀率角度分析求解．
【解答】解：（1）∵七年级测试成绩的第25、26个数据是7和8，
第21页（共34页）7+8
即八年级测试成绩的中位数a= =7.5，
2
八年级测试成绩8分出现的次数最多，
∴八年级测试成绩的众数b＝8，
八年级测试成绩在9分或9分以上人数所占百分比为（6+5）÷50×100%＝22%，
∴c＝22%，
故答案为：7.5，8，22%；
（2）七年级学生对宪法法治知识的掌握情况更好，理由如下：
∵八年级测试成绩的优秀率小于七年级，
∴七年级学生对宪法法治知识的掌握情况更好（答案不唯一）．
【点评】本题考查了众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是解题的关键．
18．（9分）（2025•河南）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的
三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比
k
例函数y= （x＞0）的图象经过点C．
x
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点
D的坐标．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；等腰直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图
象上点的坐标特征．
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【专题】平面直角坐标系；反比例函数及其应用．
4
【答案】（1）y= ；（2）D（﹣1，4）．
x
k
【分析】（1）把C的坐标为（2，2）代入反比例函数y= (x＞0)，即可得到答案；
x
（2）求解CO2＝22+22＝8，证明AC＝CO，求解AO=√CO2+AC2=4，如图，△OAB旋转到△OEF
第22页（共34页）4
的位置，D点对应G点；可得OE＝OA＝4，结合D的对应点G在y= 的图象上，可得EG＝1，进一
x
步求解即可．
【解答】解：（1）∵含 45°角的三角板 OAC 的直角顶点 C 的坐标为（2，2），反比例函数
k
y= (x＞0)的图象经过点C，
x
∴k＝2×2＝4，
4
∴反比例函数的表达式为：y= ；
x
（2）∵C（2，2），
∴CO2＝22+22＝8，
∵含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形，∠ACO＝90°，
∴AC＝CO，AO=√CO2+AC2=4，
如图，△OAB旋转到△OEF的位置，D点对应G点，
∴OE＝OA＝4，
4
∵D的对应点G在y= 的图象上，
x
∴y ＝1，
G
∴EG＝1，
由旋转可得：AD＝GE＝1，
∴D（﹣1，4）．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，
理解题意是解本题的关键．
19．（9分）（2025•河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若点E是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形．
第23页（共34页）【考点】作图—复杂作图；平行四边形的判定与性质．
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【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线，垂足为O，点O即为所求；
（2）证明AE＝CO，AE∥CO即可．
【解答】（1）解：如图，点O即为所求；
（2）证明：∵四边形ABC都是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E是AD的中点，O是BC的中点，
∵AE＝DE＝OC＝OB，
∵AE∥OC，
∴四边形AOCE是平行四边形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
20．（9分）（2025•河南）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙
两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售
价之和为800元．
（1）求甲、乙两种苹果每箱的售价．
（2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．
求该公司最少需花费多少元．
第24页（共34页）【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应
用意识．
【答案】（1）甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元；
（2）该公司最少需花费1080元．
【分析】（1）设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元，根据2箱甲种苹果和3箱
乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元；列出二元一次方程
组，解方程组即可；
（2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（12﹣x）箱，根据乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱
数，列出一元一次不等式，解得x≥6，再设该公司需花费w元，根据题意列出w关于x的一次函数关
系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元，
{2a+3b=440
根据题意得： ，
4a+5b=800
{a=100
解得： ，
b=80
答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元；
（2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（12﹣x）箱，
根据题意得：12﹣x≤x，
解得：x≥6，
设该公司需花费w元，
根据题意得：w＝100x+80（12﹣x）＝20x+960，
∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝6时，w有最小值＝20×6+960＝1080，
第25页（共34页）答：该公司最少需花费1080元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关
键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等
式和一次函数关系式．
21．（9分）（2025•河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位
于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子
落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F
处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线
上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上．
测量数据 DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m．
备注 点F，M，D，C在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由．
（2）求纪念碑AB的高度．
（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑
的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原
因（写出一条即可）．
【考点】相似三角形的应用．
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【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】（1）见解析；
（2）纪念碑AB的高度为19.8m．
（3）小红的结果误差较大，理由见解析．
AC DE
【分析】（1）根据平行投影的性质可得 = ，即可证明结论；
CD DF
第26页（共34页）（2）令BN与DE的交点为H，则四边形BCDH和MNHD是矩形，设AB＝xm，证明△NEH﹣△NAB得
EH NH
到 = ，求出x的值即可；
AB NB
（3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可．
【解答】解：（1）∵太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E
的影子落在点F处，
AC DE
∴ = ，
CD DF
∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，
即DE＝DF，
∴CD＝CA；
（2）如图，令BN与DE的交点为H，
则四边形BCDH和MNHD是矩形，
∵DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m，
∴BC＝DH＝MN＝1.2m，NH＝DM＝1m，
∴EH＝DE﹣DH＝0.9m，
设AB＝xm，则AC＝AB+BC＝（1.2+x）m，
∴BH＝CD＝（1.2+x）m，
∴NB＝BH+NH＝（2.2+x），
∵EH∥AB，
∴△NEH∽△NAB，
EH NH
∴ = ，
AB NB
0.9 1
∴ = ，
x 2.2+x
第27页（共34页）解得：x＝19.8，
经检验，x＝19.8是原方程的解，
答：纪念碑AB的高度为19.8m．
（3）纪念碑的实际高度为19.64m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5m，（2）中纪念碑AB的高度
为19.8m，
则小红的结果误差较大，
理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影
响计算结果．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，矩形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性
质是解题关键．
22．（10分）（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示．
x … ﹣2 0 1 …
y … ﹣2 ﹣2 1 …
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的
差为5，请直接写出n的值．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性
质；二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣2；（2）顶点坐标为（﹣1，﹣3），作图见解析；（3）n＝1+√5或n＝4
-√5．
第28页（共34页）-2+0
【分析】（1）依据题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x= =-1，则可设二次
2
函数为y＝a（x+1）2+k，结合图象过（0，﹣2），（1，1），可得﹣2＝a（0+1）2+k，且1＝a
（1+1）2+k，进而求出a，k后即可判断得解；
（2）依据题意，结合（1）y＝（x+1）2﹣3，可得顶点坐标为（﹣1，﹣3），进而可以作图得解；
（3）依据题意，由二次函数的图象向右平移n个单位长度后，则新函数为y＝（x+1﹣n）2﹣3，故此
时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上，然后分三种情形分别讨论计算，进而可以得解．
-2+0
【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x= =-1．
2
∴可设二次函数为y＝a（x+1）2+k．
又∵图象过（0，﹣2），（1，1），
∴﹣2＝a（0+1）2+k，且1＝a（1+1）2+k．
∴a＝1，k＝﹣3．
∴二次函数为y＝（x+1）2﹣3，即y＝x2+2x﹣2．
（2）由题意，结合（1）y＝（x+1）2﹣3，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）．
作图如下．
（3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后，
∴新函数为y＝（x+1﹣n）2﹣3．
∴此时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上．
∴①当3≤n﹣1时，即n≥4，
∴当x＝0时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最小值为（4﹣n）2﹣3．
第29页（共34页）又∵最大值与最小值的差为5，
∴（1﹣n）2﹣3﹣（4﹣n）2+3＝5．
10
∴n= ＜4，不合题意．
3
②当0＜n﹣1＜3时，即1＜n＜4，
∴当x＝0或x＝3时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3或（4﹣n）2﹣3；当x＝n﹣1时，y取最小值为﹣3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（1﹣n）2﹣3+3＝5或（4﹣n）2﹣3+3＝5．
∴n＝1+√5或n＝1-√5（不合题意，舍去）或n＝4+√5（不合题意，舍去）或n＝4-√5．
③当n﹣1≤0时，即n≤1，
∴当x＝0时，y取最小值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最大值为（4﹣n）2﹣3．
又∵最大值与最小值的差为5，
∴（4﹣n）2﹣3﹣（1﹣n）2+3＝5．
5
∴n= ＞1，不合题意．
3
综上，n＝1+√5或n＝4-√5．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、
二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是
关键．
23．（10分）（2025•河南）在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点
D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G．
（1）观察猜想
如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系： OD ＝ CG + OE ．
（2）类比探究
如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然
成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．
（3）拓展应用
GF OD
当0°＜∠AOB＜180°，且∠AOB≠90°时，若 =3，请直接写出 的值．
EF CD
第30页（共34页）【考点】相似形综合题．
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【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）OD＝CG+OE；
（2）不成立，OD＝CG﹣OE，证明见解析；
OD √15 √3
（3） 的值为 或 ．
CD 3 3
【分析】（1）如图，过点 C 作 CP⊥OA 于点 P，由角平分线的性质定理可得 CP＝CD，再证明
Rt△POC≌Rt△DOC（HL）可得OP＝OD，然后说明四边形CPEG是矩形可得PE＝CG，最后根据线段
的和差以及等量代换即可解答；
（2）如图，过点 C 作 CQ⊥OA 于点 Q，由角平分线的性质定理可得 CQ＝CD，再证明
Rt△QOC≌Rt△DOC可得OQ＝OD，然后说明四边形CQEG是矩形可得QE＝CG，最后根据线段的和差
以及等量代换即可解答；
（3）分0°＜∠AOB＜90°和90°＜∠AOB＜180°分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定
与性质、勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）如图，过点C作CP⊥OA于点P，
∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CP⊥OA，
∴CP＝CD，
在Rt△POC和Rt△DOC中，
∵OC＝OC，CP＝CD，
∴Rt△POC≌Rt△DOC（HL），
第31页（共34页）∴OP＝OD，
∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA，
∴∠CPE＝∠PEG＝∠CGE＝90°，
∴四边形CPEG是矩形，
∴PE＝CG，
∴OD＝OP＝PE+OE＝CG+OE，
故答案为：OD＝CG+OE；
（2）不成立，OD＝CG﹣OE，证明如下：
如图，过点C作CQ⊥OA于点Q，
∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CQ⊥OA，
∴CQ＝CD，
在Rt△QOC和Rt△DOC 中，
∵OC＝OC，CP＝CD，
∴Rt△QOC≌Rt△DOC，
∴OQ＝OD，
∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA，
∴∠CQE＝∠QEG＝∠CGE＝90°，
∴四边形CQEG是矩形，
∴QE＝CG，
∴OD＝OQ＝QE﹣OE＝CG﹣OE；
（3）①如图：当0°＜∠AOB＜90°时，
第32页（共34页）∵CG⊥DE，DE⊥OA，
∴CG∥OE，
∴△OEF∽△CGF，
CG GF
∴ = =3，
OE EF
即CG＝3OE，OD＝CG+OE＝3OE+OE＝4OE，
∴DE=√OD2-OE2=√(4OE) 2-OE2=√15OE，
∵∠DCG+∠CDG＝90°，∠ODE+∠CDG＝90°，
∴∠DCG＝∠ODE，
∴△CDG∽△DOE，
OD DE √15OE √15
∴ = = = ；
CD CG 3OE 3
②如图：当90°＜∠AOB＜180°时，
∵CG⊥GF，GF⊥OE，
∴CG∥OE，
∴△OEF∽△CGF，
CG GF
∴ = =3，
OE EF
即CG＝3OE，
∴OD＝CG﹣OE＝3OE﹣OE＝2OE，
第33页（共34页）∴DE=√OD2-OE2=√(2OE) 2-OE2=√3OE'，
∵∠DCG+∠CDG＝90°，∠ODE+∠CDG＝90°，
∴∠DCG＝∠ODE，
OD DE √3OE √3
∴△CDG∽△DOE， = = = ，
CD CG 3OE 3
OD √15 √3
综上， 的值为 或 ．
CD 3 3
【点评】本题是相似形的综合题，主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似
三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
第34页（共34页）
