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2025年山东省济南市中考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。
1．（4分）（2025•济南）下列各数中为负数的是（ ）
A．√3 B．0 C．2 D．﹣1
2．（4分）（2025•济南）如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）（2025•济南）2025年“五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，
累计接待读者96110人次，数据96110用科学记数法表示为（ ）
A．9.611×103 B．96.11×103
C．9.611×104 D．0.9611×105
4．（4分）（2025•济南）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． 等边三角形 B． 正方形
C． 平行四边形 D． 正五边形
5．（4分）（2025•济南）下列运算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．2m+3n＝5mn D．（m2）3＝m5
6．（4分）（2025•济南）已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
a b
A．a﹣1＜b﹣1 B． ＜ C．﹣a＞﹣b D．2a＞a+b
2 2
7．（4分）（2025•济南）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E
第1页（共40页）都在网格的格点上，则下列结论正确的是（ ）
A．∠DAC＞∠EBA B．∠DAC＜∠EBA
C．∠DAC＝∠EBA D．∠DAC+∠EBA＝60°
8．（4分）（2025•济南）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择
其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
9．（4分）（2025•济南）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：
1
①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM＝CN，分别以点M和N为圆心，以大于 MN的长为半
2
径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D，
1
②分别以点C和D为圆心，以大于 CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于
2
点E，交BC于点F．
根据以上作图，若AD＝4，DB＝2，BC=3√2，则线段AE的长为（ ）
11√2 11
A． B． C．5 D．4√2
3 2
10．（4分）（2025•济南）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣
1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4．有下列结论：
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小；
第2页（共40页）4
③- ＜a＜-1；
3
④4a﹣2b+c＞0；
⑤对于任意实数t，总有（t+1）（at﹣a+b）≤0．
以上结论正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案。
11．（4分）（2025•济南）已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ．
12．（4分）（2025•济南）在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相
同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为 ．
13．（4分）（2025•济南）如图，两条直线l
1
，l
2
分别经过正六边形ABCDEF的顶点B，C，且l 1∥l
2
．当
∠1＝37°时，∠2＝ °．
14．（4分）（2025•济南）A，B两地相距100km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假
设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s（km）与骑车时间t（h）的关系如图所示，
则他们相遇时距离A地 km．
15．（4分）（2025•济南）如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，
使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F．若CG＝4，EF=4√3，则AB
＝ ．
第3页（共40页）三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1 -1
16．（7分）（2025•济南）计算：(π-3) 0+( ) +|-5|+2sin45°-√8．
2
{4-x＞2(1-x)①
17．（7分）（2025•济南）解不等式组 x-2 7-x ，并写出它的所有整数解．
＜ ②
2 3
18．（7分）（2025•济南）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC和AD上，且AF＝
CE．求证：∠AEB＝∠CFD．
19．（8分）（2025•济南）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度 AB为21m，
倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都
与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上）
（1）求两滑梯的高度差；
（2）两滑梯的底端分别为 B，E，求 BE的长．（结果精确到 0.01m．参考数据：sin32°≈0.530，
cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）
20．（8分）（2025•济南）如图，AB是 O的直径，C为 O上一点，P为 O外一点，OP∥AC，且
∠OBP＝90°，连接PC． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：PC与 O相切；
⊙
第4页（共40页）（2）若AO＝3，OP＝5，求AC的长．
21．（9分）（2025•济南）某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分
制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，
数据分为五组，下面给出了部分信息：
a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下：
组别 成绩/分 人数（频数）
A 0≤x＜20 1
B 20≤x＜40 5
C 40≤x＜60 m
D 60≤x＜80 16
E 80≤x≤100 20
b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79
请根据以上信息完成下列问题：
（1）求随机抽取的学生人数；
（2）统计表中的m＝ ，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为 度；
（3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为 分；
（4）若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩
达到60分及以上的学生人数．
22．（10分）（2025•济南）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．
某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价
比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器
材的数量相同．
第5页（共40页）（1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
（2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙
型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
k
23．（10分）（2025•济南）一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y= (x＞0)的图象交于点A（m，
x
6），与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求m，k的值．
（2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m．
AE 1
①如图1，若点D的横坐标为4，连接AD，E为线段AD上一点，且 = ，求点E的坐标；
ED 2
②如图2，M为线段OC上一点，且CM＝1，四边形OMDN是平行四边形，连接AN，若∠BAN＝
45°，求点D的坐标．
24．（12分）（2025•济南）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（3，1），B（0，﹣2）两点，顶点为
G．
（1）求二次函数的表达式和顶点G的坐标．
（2）如图1，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿x轴方向平移n（n＞0）个单位长度得到一个新函数的
图象，当0≤x≤3时，新函数的最大值是8，求n的值．
（3）如图2，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿直线AB平移，点A，G的对应点分别为A′，G′，连接
1
AG′，A′G，线段AG′与A′G交于点M．若tan∠BMG= ，请直接写出点G′的坐标．
3
第6页（共40页）25．（12分）（2025•济南）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点O为AC的中点．在
Rt△DBE中，∠DBE＝90°，DB＝3，BE＝4，连接EO并延长到点F，使OF＝EO，连接AF．
初步感知：
AD
（1）如图 1，当点 D，E 分别在 AB，BC 上时，请完成填空：∠DAF＝ °． =
AF
．
深入探究：
（2）如图2，若将图1中的△DBE绕点B按逆时针方向旋转一定的角度 （0°＜ ＜90°），连接AD，
CE，AE，CF． α α
①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
②当四边形AECF的面积最小时，求线段AD的长．
第7页（共40页）2025年山东省济南市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C． B A D C A D A
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。
1．（4分）（2025•济南）下列各数中为负数的是（ ）
A．√3 B．0 C．2 D．﹣1
【考点】实数．
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【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案．
【解答】解：A、C中的数是正数，故A、C不符合题意；
B、0不是正数也不是负数，故B不符合题意；
D、﹣1是负数，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查实数，关键是掌握负数的概念．
2．（4分）（2025•济南）如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意从正面看到的所有棱都应表现在主视图中．
第8页（共40页）【解答】解：由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是：
故选：B．
【点评】此题考查的是几何体主视图的判断，掌握主视图的定义是解决此题的关键．
3．（4分）（2025•济南）2025年“五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，
累计接待读者96110人次，数据96110用科学记数法表示为（ ）
A．9.611×103 B．96.11×103
C．9.611×104 D．0.9611×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：96110＝9.611×104．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）（2025•济南）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． 等边三角形 B． 正方形
C． 平行四边形 D． 正五边形
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
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【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
第9页（共40页）B、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形
两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．（4分）（2025•济南）下列运算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m5 B．m6÷m2＝m3 C．2m+3n＝5mn D．（m2）3＝m5
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可．
【解答】解：A．m2•m3＝m5，计算正确；
B．m6÷m2＝m4，原选项错误；
C．2m与3n不是同类项，不能合并，原选项错误；
D．（m2）3＝m6，原选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题
的关键．
6．（4分）（2025•济南）已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
a b
A．a﹣1＜b﹣1 B． ＜ C．﹣a＞﹣b D．2a＞a+b
2 2
【考点】不等式的性质．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不
变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质 3，不等式两
边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案．
【解答】解：A、a＞b，则a﹣1＞b﹣1，选项错误；
a b
B、a＞b，则 ＞ ，选项错误；
2 2
C、a＞b，则﹣a＜﹣b，选项错误；
第10页（共40页）D、a＞b，则a+a＞a+b，即2a＞a+b，选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．
7．（4分）（2025•济南）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E
都在网格的格点上，则下列结论正确的是（ ）
A．∠DAC＞∠EBA B．∠DAC＜∠EBA
C．∠DAC＝∠EBA D．∠DAC+∠EBA＝60°
【考点】锐角三角函数的定义．
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【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】根据正方形网格中小正方形的边长为1得AF＝6，DF＝4，BH＝3，EH＝2，∠AFD＝∠BHE
3 √3
＝90°，在Rt△ADF和Rt△BHE中，由正切函数定义得 tan∠DAC＝tan∠EBA= ≠ ，然后再根据
2 3
∠DAC和∠EBA都是锐角得∠DAC＝∠EBA≠30°，由此即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵正方形网格中小正方形的边长为1，
∴AF＝6，DF＝4，BH＝3，EH＝2，∠AFD＝∠BHE＝90°，
DF 4 2 √3
在Rt△ADF中，tan∠DAC= = = ≠ ，
AF 6 3 3
第11页（共40页）EH 2 √3
在Rt△BHE中，tan∠EBA= = ≠ ，
BH 3 3
∴tan∠DAC＝tan∠EBA，
又∵∠DAC和∠EBA都是锐角，
∴∠DAC＝∠EBA≠30°，
∴∠DAC+∠EBA≠60°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形网格的特征和三角函数的定义是解决
问题的关键．
8．（4分）（2025•济南）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择
其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；推理能力；应用意识．
【答案】A
【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公
式求解即可．
【解答】解：画树状图为：
由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种，
4 1
∴ = ．
16 4
故选：A．
【点评】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
9．（4分）（2025•济南）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：
第12页（共40页）1
①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM＝CN，分别以点M和N为圆心，以大于 MN的长为半
2
径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D，
1
②分别以点C和D为圆心，以大于 CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于
2
点E，交BC于点F．
根据以上作图，若AD＝4，DB＝2，BC=3√2，则线段AE的长为（ ）
11√2 11
A． B． C．5 D．4√2
3 2
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
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【专题】作图题；推理能力．
【答案】D
【分析】根据作法得AD平分∠ACB，EF垂直平分CD，所以∠ECD＝∠FCD，CE＝DE，从而证明
AD DE AE
DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形性质可得 = = ，解比例方程即可求解．
AB BC AC
【解答】解：连接DE，
由作法得CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠FCD（角平分线的定义），
∵EF垂直平分CD，
∴CE＝DE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
第13页（共40页）∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠FCD＝∠EDC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
AD DE AE
∴ = = （相似三角形的对应边成比例），
AB BC AC
∵AD＝4，DB＝2，BC=3√2，
4 DE
∴ = ，
4+2 3√2
∴DE=2√2，
∴CE=DE=2√2，
AE 4
∴ = ，
AE+2√2 6
∴AE=4√2．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性
质，证明△ADE∽△ABC是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几
何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
10．（4分）（2025•济南）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣
1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4．有下列结论：
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小；
4
③- ＜a＜-1；
3
④4a﹣2b+c＞0；
⑤对于任意实数t，总有（t+1）（at﹣a+b）≤0．
以上结论正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判
别式．
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【专题】判别式法；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】结合题意画出函数图象，结合函数图象一一判断即可得出答案．
第14页（共40页）【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n），
且经过（1，0），（0，m）两点，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴a＜0，抛物线与x轴的交点为：（1，0）和（﹣3，0），
图象如下所示：
令y＝n﹣1，即把y＝n向下平移一个单位，
再结合函数图象可知ax2+bx+c＝n﹣1（a≠0）有两个不相等的实数根，
故ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确，符合题意；
∵抛物线与x轴的交点为：（1，0）和（3，0），
∴二次函数为y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
∴m＝﹣3a，
∵3＜m＜4，
∴3＜﹣3a＜4，
4
解得- ＜a＜-1，故③正确，符合题意，
3
结合函数图象可知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故④正确，符合题意，
b
∵x=- =-1，
2a
第15页（共40页）∴b＝2a，
∴（t+1）（at﹣a+b）＝（t+1）（at﹣a+2a）
＝a（t+1）（t+1）
＝a（t+1）2，
∵a＜0，（t+1）2≥0，
∴a（t+1）2≤0，
即故⑤正确，符合题意，
综上：①②③④⑤正确，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案。
11．（4分）（2025•济南）已知一个正方形的面积为2，则其边长为 √2 ．
【考点】算术平方根．
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【专题】实数；数感．
【答案】√2
【分析】正方形的面积等于边长的平方，因此正方形的边长即可所求．
【解答】解：设正方形的边长是x（x＞0），
∵正方形的面积为2，
∴x2＝2，
∴x=√2，
∴正方形的边长为√2．
故答案为：√2
【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
12．（4分）（2025•济南）在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相
2
同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为 ．
9
【考点】概率公式．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
2
【答案】 ．
9
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【解答】解：不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，球的总数为：2+3+4＝9（个），
第16页（共40页）2 2
所以从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为 = ，
2+3+4 9
2
故答案为： ．
9
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A
m
出现m种可能，那么事件A的概率P(A)= ．
n
13．（4分）（2025•济南）如图，两条直线l
1
，l
2
分别经过正六边形ABCDEF的顶点B，C，且l 1∥l
2
．当
∠1＝37°时，∠2＝ 9 7 °．
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】97．
【分析】先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解．
【解答】解：如图，
正六边形内角和为：（6﹣2）×180°＝720°，
1
∴∠ABC= ×720°=120°，
6
∵∠1＝37°，
∴∠3＝∠ABC﹣∠1＝120°﹣37°＝83°，
∵l ∥l ，
1 2
∴∠3+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣83°＝97°，
故答案为：97．
第17页（共40页）【点评】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
14．（4分）（2025•济南）A，B两地相距100km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假
设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s（km）与骑车时间t（h）的关系如图所示，
300
则他们相遇时距离A地 km．
7
【考点】一次函数的应用．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
300
【答案】 ．
7
【分析】设甲的函数图象为s＝k t，乙的函数图象为s＝k t+100，结合图形进而确定两函数解析式；利
1 2
用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可．
【解答】解：甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为（0，
100），
∴设甲的函数图象为s＝k t，乙的函数图象为s＝k t+100，
1 2
则30＝2k ，80＝k +100，
1 2
解得k ＝15，k ＝﹣20，
1 2
∴甲的函数图象为s＝15t，乙的函数图象为s＝﹣20t+100，
{ s=15t
联立 ，
s=-20t+100
20
{t=
7
解得 ，
300
s=
7
300
故答案为： ．
7
第18页（共40页）【点评】本题考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键．
15．（4分）（2025•济南）如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，
使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F．若CG＝4，EF=4√3，则AB
＝ 2+2√5 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
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【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】2+2√5．
【分析】由折叠性质可知AG⊥EF，进而利用同角的余角相等证明∠GAE＝∠NFE，由此即可得出
△ADG≌△FNE（ASA），进而确定AG＝EF．在Rt△ADG中，根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：如图，连接AG，过点F作FN⊥AD，垂足为N，
则∠FNA＝∠FNE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴四边形ABFN是矩形，
∴NF＝AB＝AD，
由折叠可知AG⊥EF，
∴∠GAE+∠AEF＝∠NFE+∠AEF＝90°，
∴∠GAE＝∠NFE，
又∵∠FNE＝∠D＝90°，
∴△ADG≌△FNE（ASA），
第19页（共40页）∴AG＝EF，
∵EF=4√3
∴AG=EF=4√3，
设正方形边长为x，则AB＝AD＝CD＝x，
∵CG＝4，
∴DG＝CD﹣CG＝x﹣4，
在Rt△ADG中，AG2＝DG2+AD2，
即(x-4) 2+x2=(4√3) 2，
∴x2﹣8x+16+x2＝48，
2x2﹣8x﹣32＝0，
x2﹣4x﹣16＝0，
解得：x=2+2√5或x=2-2√5（不合题意舍去），
∴AB=2+2√5．
故答案为：2+2√5．
【点评】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与
性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明AG＝EF是解题关键．
三、解答题：本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1 -1
16．（7分）（2025•济南）计算：(π-3) 0+( ) +|-5|+2sin45°-√8．
2
【考点】实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】8-√2．
【分析】先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算．
1
+ + √2
【解答】解：原式＝1 1 5+2× -2√2
2
2
＝1+2+5+√2-2√2
＝8+√2-2√2
＝8-√2．
【点评】本题考查实数的运算，关键是掌握实数的运算法则．
第20页（共40页）{4-x＞2(1-x)①
17．（7分）（2025•济南）解不等式组 x-2 7-x ，并写出它的所有整数解．
＜ ②
2 3
【考点】一元一次不等式组的整数解．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】﹣2＜x＜4，整数解为：﹣1，0，1，2，3．
【分析】分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解．
【解答】解：解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x＜4，
综上，﹣2＜x＜4，
∴所有整数解解为﹣1，0，1，2，3．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，解题的关键是掌握相关知识．
18．（7分）（2025•济南）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC和AD上，且AF＝
CE．求证：∠AEB＝∠CFD．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
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【专题】多边形与平行四边形．
【答案】∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AD∥BC，AF＝CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠DAE＝∠CFD，
∴∠AEB＝∠CFD．
【分析】由AD∥BC可得∠DAE＝∠AEB，再证四边形AFCE是平行四边形，推出AE∥CF，∠DAE＝
∠CFD，等量代换即可得出∠AEB＝∠CFD．
【解答】证明：∵四边形ABCD平行四边形，
第21页（共40页）∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AD∥BC，AF＝CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠DAE＝∠CFD，
∴∠AEB＝∠CFD．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的
关键．
19．（8分）（2025•济南）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度 AB为21m，
倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都
与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上）
（1）求两滑梯的高度差；
（2）两滑梯的底端分别为 B，E，求 BE的长．（结果精确到 0.01m．参考数据：sin32°≈0.530，
cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）2.50m；
（2）36.69m．
【分析】（1）通过解Rt△ABC，求出AC，再通过AC﹣DF即可求出两滑梯的高度差；
（2）通过解Rt△ABC，求出BC，通过解Rt△EFD，求出EF，再通过BE＝BC+CF+EF，代入数值计
算即可得出答案．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，
AC
∵sin∠B= ，
AB
∴AC＝AB×sin∠B＝AB×sin40°≈21×0.643＝13.503m，
∴AC﹣DF＝13.503﹣11＝2.503≈2.50m，
答：两滑梯高度差为2.50m；
第22页（共40页）（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，
BC
∵cos∠B= ，
AB
∴BC＝ABcos∠B＝ABcos40°≈21×0.766＝16.086m，
在Rt△EFD中，∠DEF＝90°，∠DEF＝32°，
DF
∵tan∠DEF= ，
EF
DF
EF=
∴ DF 11 ，
tan∠≝¿= ≈ =17.6m¿
tan32° 0.625
∴BE＝BC+CF+EF＝16.086+3+17.6＝36.686≈36.69m，
答：BE长36.69m．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
20．（8分）（2025•济南）如图，AB是 O的直径，C为 O上一点，P为 O外一点，OP∥AC，且
∠OBP＝90°，连接PC． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：PC与 O相切；
（2）若AO＝3，O⊙P＝5，求AC的长．
【考点】切线的判定与性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系．
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【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵OP∥AC，
∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP，
第23页（共40页）∴∠COP＝∠BOP，
∵OP＝OP，OC＝OB，
∴△COP≌△BOP（SAS），
∴∠OCP＝∠OBP＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC与 O相切；
1⊙8
（2） ．
5
【分析】（1）连接OC，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得∠COP＝∠BOP，进而
证明△COP≌△BOP（SAS），推出∠OCP＝∠OBP＝90°，即可证明PC与 O相切；
（2）由△COP≌△BOP（SAS）可推出OP垂直平分BC，利用等面积法求出⊙BD，进而求出BC，由圆周
角定理得∠ACB＝90°，最后用勾股定理解Rt△ACB即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵OP∥AC，
∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP，
∴∠COP＝∠BOP，
∵OP＝OP，OC＝OB，
∴△COP≌△BOP（SAS），
∴∠OCP＝∠OBP＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC与 O相切；
（2）解⊙：连接BC交OP于点D，
第24页（共40页）∵△COP≌△BOP，
∴PC＝PB，OB＝OC，
∴OP垂直平分BC，
∵AO＝BO＝3，OP＝5，∠OBP＝90°，
∴BP=√OP2-OB2=√52-32=4，
1 1
∵S = OB⋅BP= OP⋅BD，
△OBP 2 2
OB⋅BP 3×4 12
∴BD= = = ，
OP 5 5
24
∴BC=2BD= ，
5
∵AB是 O的直径，
∴AB＝2⊙OA＝6，∠ACB＝90°，
√ 24 2 18
∴AC=√AB2-BC2= 62-( ) = ．
5 5
【点评】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定
理等，正确作出辅助线是解题的关键．
21．（9分）（2025•济南）某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分
制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，
数据分为五组，下面给出了部分信息：
a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下：
组别 成绩/分 人数（频数）
A 0≤x＜20 1
B 20≤x＜40 5
C 40≤x＜60 m
D 60≤x＜80 16
E 80≤x≤100 20
第25页（共40页）b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79
请根据以上信息完成下列问题：
（1）求随机抽取的学生人数；
（2）统计表中的m＝ 8 ，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为 14 4 度；
（3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为 7 0 分；
（4）若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩
达到60分及以上的学生人数．
【考点】扇形统计图；中位数；用样本估计总体；频数（率）分布表．
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【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）50人；
（2）8，144；
（3）70；
（4）576人．
【分析】（1）用B组人数除以所占百分比即为所求；
（2）m等于总人数减去其它各组的人数，E组人数占总人数的比例乘以360度即为对应的圆心角的度
数；
（3）根据中位数的定义求解；
（4）利用样本估计总体即可求解．
【解答】解：（1）5÷10%＝50（人），
即随机抽取的学生人数为50人；
（2）m＝50﹣1﹣5﹣16﹣20＝8，
20
扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为： ×360°=144°，
50
故答案为：8，144；
（3）∵1+5+8＜25，1+5+8+16＞26，
∴从小到大排列第25和26人在D组，结合 D组数据可得第25和26人成绩均为70分，
∴抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分，
第26页（共40页）故答案为：70；
16+20
（4）800× =576（人），
50
即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人．
【点评】本题考查频数分布表，扇形统计图，求中位数，利用样本估计总体等：
22．（10分）（2025•济南）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．
某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价
比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器
材的数量相同．
（1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
（2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙
型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
【考点】一次函数的应用；分式方程的应用．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元
（2）购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．
【分析】（1）设甲型健身器材价格为 x元，则乙型健身器材的价格为（x+300）元，根据题意，得
50000 56000
= ，解方程即可．
x x+300
（2）根据题意，甲型健身器材买了a个，则购买乙型健身器材数量为（20﹣a）个，且a≤3（20﹣
a），根据题意，得w＝2800（20﹣a）+2500a＝﹣300a+56000，解答即可．
【解答】解：（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为（x+300）元，
50000 56000
= ，
x x+300
x＝2500，
经检验，x＝2500是原方程的根．
此时x+300＝2800，
答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．
（2）甲型健身器材买了a个，a≤3（20﹣a）即a≤15，且a为正整数，
w＝2800（20﹣a）+2500a＝﹣300a+56000，
由k＝﹣300＜0，得w随a的增大而减小，
故当a＝15时，w取得最小值，且最小值为w＝﹣300×15+56000＝51500（元），
第27页（共40页）故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．
【点评】本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解
题的关键．
k
23．（10分）（2025•济南）一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y= (x＞0)的图象交于点A（m，
x
6），与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求m，k的值．
（2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m．
AE 1
①如图1，若点D的横坐标为4，连接AD，E为线段AD上一点，且 = ，求点E的坐标；
ED 2
②如图2，M为线段OC上一点，且CM＝1，四边形OMDN是平行四边形，连接AN，若∠BAN＝
45°，求点D的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
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【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将点A（m，6）代入一次函数y＝2x+4求得m＝1，结合点A（1，6）在反比例函数
k
y= (x＞0)的图象上代入求得k；
x
（2）①过点A作AH⊥x轴交于点H，过点E作EM⊥AH交于点M，过点D作DN⊥AH交于点N，则
AM ME
△MAE∽△NAD，有 = ，进一步求得点D的坐标，结合已知比例可求得DN＝3和ME＝1，以
AN ND
3
及AM= ，即可求得点E；
2
②根据一次函数y＝2x+4求得点C（0，4），即可知点M（0，3），过点C作CP⊥AB交AN于点P，
过点 P 作 PK⊥y 轴于点 K，过点 A 作 AG⊥y 轴于点 G，则△ACP 为等腰直角三角形，且
第28页（共40页）△GAC≌△KCP，则AG＝CK＝1，CG＝PK＝2，进一步判定点M与点K重合，由待定系数法求得直线
AN的解析式y＝﹣3x+9，设点N（m，﹣3m+9），结合平行四边形的性质求得点D（m，﹣3m+12），
代入反比例函数即可求得m，即可知点D．
【解答】解：（1）由题意可知，点A（m，6）在一次函数y＝2x+4的图象上，则
6＝2m+4，解得m＝1，
k
∵点A（1，6）在反比例函数y= (x＞0)的图象上，
x
k
∴6= ，解得k＝6，
1
则m＝1，k＝6；
（2）①过点A作AH⊥x轴交于点H，过点E作EM⊥AH交于点M，过点D作DN⊥AH交于点N，如图，
则∠AME＝∠AND＝90°，
∴ME∥ND，
∴△MAE∽△NAD，
AM ME
∴ = ，
AN ND
∵点D的横坐标为4，
6 3
∴点D的纵坐标为y= = ，
4 2
AE 1
∵ = ，
ED 2
AE 1
∴ = ，
AD 3
AM ME 1
∴ = = ，
AN ND 3
∵x ＝4，x ＝1，
D A
∴DN＝3，
第29页（共40页）ME 1
则 = ，解得ME＝1，
3 3
∴x ＝1+1＝2，
E
3
∵y =6，y = ，
A D 2
3 9
∴AN=6- = ，
2 2
AM 1
= 3
∴ 9 3，解得AM= ，
2
2
3 9
则y =6- = ，
E 2 2
9
那么，点E(2， )；
2
②一次函数y＝2x+4的图象与y轴交于点C，
令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
∵CM＝1，
∴M（0，3），
过点C作CP⊥AB交AN于点P，过点P作PK⊥y轴于点K，过点A作AG⊥y轴于点G，如图，
则∠AGC＝∠CKP＝90°，
∵∠GAC+∠ACG＝∠ACG+∠PCK＝90°，
∴∠GAC＝∠PCK，
∵∠BAN＝45°，
∴△ACP为等腰直角三角形，
∴AC＝CP，
则△GAC≌△KCP（AAS），
∵点A（1，6），C（0，4）
第30页（共40页）∴AG＝CK＝1，CG＝PK＝2，
∵CM＝1，
∴点M与点K重合，OM＝3，
∴点P（2，3），
设直线AN的解析式为y＝kx+b（k≠0），则
{3=2k+b {k=-3
，解得 ，
6=k+b b=9
∴y＝﹣3x+9，
设点N（m，﹣3m+9），
∵四边形OMDN是平行四边形，
∴x ＝0+m﹣0＝m，y ＝3﹣3m+9＝﹣3m+12，
D d
则D（m，﹣3m+12），
∵D为反比例函数图象上的一点，
6
∴-3m+12= ，解得m=2+√2，或m=2-√2，
m
∵D的横坐标大于1，
∴m=2+√2，
∴-3m+12=-3(2+√2)+12=6-3√2，
故点D(2+√2，6-3√2)．
【点评】本题主要考查函数和三角形的结合，涉及一次函数与坐标轴的交点、平行线的性质、相似三
角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质和
解一元二次方程，题目综合性较强，难度偏高，解题的关键是熟悉函数性质和平行四边形的性质．
24．（12分）（2025•济南）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（3，1），B（0，﹣2）两点，顶点为
G．
（1）求二次函数的表达式和顶点G的坐标．
（2）如图1，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿x轴方向平移n（n＞0）个单位长度得到一个新函数的
图象，当0≤x≤3时，新函数的最大值是8，求n的值．
（3）如图2，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿直线AB平移，点A，G的对应点分别为A′，G′，连接
1
AG′，A′G，线段AG′与A′G交于点M．若tan∠BMG= ，请直接写出点G′的坐标．
3
第31页（共40页）【考点】二次函数综合题．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣2，顶点G的坐标为（1，﹣3）；
（2）n=-1+√11或n=-2+√11；
（3）G'(1+√10，-3+√10)或G'(-5-√10，-9-√10)．
【分析】（1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标；
（2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式为：y
＝（x﹣1﹣n）2﹣3找y＝（x﹣1+n）2﹣3，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系分类讨论即可；
（3）分成两种情况进行讨论，抛物线沿射线AB方向或射线BA方向平移．沿射线BA方向平移，求出
直线AB的解析式为y＝x﹣2，由直线性质可知图象沿上下方向与左右方向平移相同的单位，设向上、
向右平移了 m 个单位，可得 A'（3+m，1+m），G'（1+m，﹣3+m），由平移性质可证四边形
m+4 m-2
A'AGG'是平行四边形，推出交点 M 坐标为M( ， )，可证明△ABG 为直角三角形且
2 2
1 1
tan∠BAG= ，根据tan∠BMG= ，可得A、B、G、M四点共圆，是在以AG为直径的圆上，可
3 3
1
求AG中点P（2，﹣1），根据PM=PA= AG=√5，列方程即可求得m的值，则题目可解；抛物线
2
沿射线AB方向，作A关于B点对称点A''（﹣3，﹣5），方法同上．
【解答】解：（1）将A（3，1），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，
{9+3b+c=1
，
c=-2
{b=-2
解得 ，
c=-2
∴y＝x2﹣2x﹣2，
∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
第32页（共40页）∴当x＝1时，y取最小值，最小值为﹣3，
∴顶点G的坐标为（1，﹣3）．
（2）a．当抛物线向右平移时，根据平移规律可得新抛物线解析式为：y＝（x﹣1﹣n）2﹣3，
对称轴为直线x＝n+1，
∵n＞0，
∴n+1＞1，
分情况讨论：
3 1
①当1＜n+1≤ 时，即0＜n≤ 时，如图：
2 2
直线x＝3与抛物线交点M纵坐标最大，
将x＝3，y＝8代入解析式得8＝（3﹣1﹣n）2﹣3，
1
解得n=2±√11，与0＜n≤ 矛盾，不合题意；
2
3 1
②当n+1＞ 时，即n＞ 时，如图：
2 2
第33页（共40页）直线x＝0与抛物线交点N纵坐标最大，
将x＝0，y＝8代入解析式得8＝（0﹣1﹣n）2﹣3，
1
解得n =-1-√11，与n＞ 矛盾，不合题意；
1 2
n =-1+√11，符合题意；
2
b．当抛物线向左平移时，根据平移规律可得新抛物线解析式为：y＝（x﹣1+n）2﹣3，
对称轴为直线x＝1﹣n，
∵n＞0，
∴1﹣n＜1，
∴当x＝3时，y取最大值8，
第34页（共40页）代入解析式得：8＝（3﹣1+n）2﹣3，
解得：n =-2+√11，n =-2-√11（舍）；
1 2
综上可知，n=-1+√11或n=-2+√11；
（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
{3k+b=1
将A（3，1），B（0，﹣2）代入得， ，
b=-2
{ k=1
解得 ，
b=-2
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，
图象沿直线AB平移时，上下与左右平移的距离相等，
设向上，向右平移m个单位，
∴A′（3+m，1+m），G′（1+m，﹣3+m），
由平移得AA′＝GG′，AA′∥GG′，
∴四边形A′AGG′是平行四边形，
∵线段AG′与A′G交于点M，
m+4 m-2
∴M( ， )，
2 2
a．如图，抛物线沿射线BA平移，
∵A（3，1），B（0，﹣2），G（1，﹣3），
第35页（共40页）∴由勾股定理可得AB=3√2，BG=√2，AG=2√5，
∴AB2+BG2＝AG2，
BG 1
∴∠ABG＝90°，且tan∠BAG= = ，
AG 3
1
∵tan∠BMG= ，
3
∴∠BMG＝∠BAG，
∴A、B、G、M四点共圆，是在以AG为直径的圆上，
1
∵AG 中点P（2，﹣1），则PM=PA= AG=√5，
2
m+4 m-2
∴( -2) 2+( +1) 2=(√5) 2 ，
2 2
m2 m2
即 + =5，
4 4
解得：m=√10或m=-√10（舍），
∴G'(1+√10，-3+√10)；
b．如图，抛物线沿射线AB平移，
作A关于B点对称点A''（﹣3，﹣5），
BG 1
则可同理证明∠A''BG＝90°，且tan∠BA″G= = ，
A″G 3
1
∵tan∠BMG= ，
3
∴∠BMG＝∠BA''G，
第36页（共40页）∴A''、B、G、M四点共圆，在以A''G为直径的圆上，
1
∵A''G中点P'（﹣1，﹣4），则P'M=P' A″= A″G=√5，
2
m+4 m-2
∴( +1) 2+( +4) 2=(√5) 2 ，
2 2
(m+6) 2 (m+6) 2
即 + =5，
4 4
解得：m=-6-√10或m=-6+√10（舍），
∴G'(-5-√10，-9-√10)；
综上所述：G'(1+√10，-3+√10)或G'(-5-√10，-9-√10)．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，二次函数图象的平移，相似三角形的判
定和性质，锐角三角函数，求一次函数解析式，平行四边形的判定和性质等，难度较大，解题的关键
是综合应用上述知识点，正确作出辅助线．
25．（12分）（2025•济南）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点O为AC的中点．在
Rt△DBE中，∠DBE＝90°，DB＝3，BE＝4，连接EO并延长到点F，使OF＝EO，连接AF．
初步感知：
AD 3
（1）如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，请完成填空：∠DAF＝ 9 0 °． = ．
AF 4
深入探究：
（2）如图2，若将图1中的△DBE绕点B按逆时针方向旋转一定的角度 （0°＜ ＜90°），连接AD，
CE，AE，CF． α α
①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
②当四边形AECF的面积最小时，求线段AD的长．
【考点】相似形综合题．
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【专题】几何综合题；推理能力．
第37页（共40页）3
【答案】（1）90； ；
4
（2）①（1）中的结论仍然成立；
3√65
② ．
5
【分析】（1）证明△AOF≌△COE，可得∠OAF＝∠C，AF＝CE，从而得到AF∥BC，进而得到∠DAF
AD
＝90°；根据题意可得AD＝3，CE＝4，即可得到 ；
AF
（2）①证明四边形AECF为平行四边形，可得AF＝CE，AF∥CE，从而得到∠OAF＝∠C，根据题意
BD 3 AB
可得 = = ，可证明△ABD∽△CBE，可得∠BAD＝∠BCE，从而得到∠DAF的度数，即可；
BE 4 BC
②根据平行四边形的性质可得当S 最小时，四边形AECF的面积最小，即当E到AC的距离最小时，
△AEC
S
△AEC
最小，四边形AECF的面积最小，过点E作EM⊥AC于点M，连接BM，则当EM最小时，四边
形AECF的面积最小，从而得到当点B，E，M三点共线时，EM取得最小值，最小值为BM﹣4，此时
1 1 24 24 4
BM⊥AC时，BM最小，再由S = AB×BC= AC×BM，可得BM= ，EM= -4= ，
△ABC 2 2 5 5 5
AD 3
然后根据勾股定理可得CM，CE的长，再结合 = ，即可求解．
CE 4
【解答】解：（1）∵点O为AC的中点，
∴OA＝OC，
∵OF＝EO，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（SAS），
∴∠OAF＝∠C，AF＝CE，
∴AF∥BC，
∴∠ABC+∠DAF＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DAF＝90°；
∵AB＝6，BC＝8，DB＝3，BE＝4，
∴AD＝3，CE＝4，
∴AF＝4，
AD 3
∴ = ；
AF 4
第38页（共40页）3
故答案为：90； ；
4
（2）①中的结论仍然成立，理由如下：
∵点O为AC的中点，
∴OA＝OC，
∵OF＝EO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF＝CE，
∴AF∥CE，
∴∠OAF＝∠C，
∵AB＝6，BC＝8，DB＝3，BE＝4，
BD 3 AB
∵ = = ，
BE 4 BC
∵∠DBE＝∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
AD BD 3
∴∠BAD＝∠BCE， = = ，
CE BE 4
AD 3
∴∠DAF＝∠BAD+∠BAC+∠CAF＝∠BCE+∠BAC+∠ACE＝∠BAC+∠ACB＝90°， = ；
AF 4
②在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC=√AB2+BC2=√62+82=10，
由①得四边形AECF为平行四边形，
∴四边形AECF的面积等于2S ，
△AEC
∴当S 最小时，四边形AECF的面积最小，
△AEC
即当E到AC的距离最小时，S 最小，四边形AECF的面积最小，
△AEC
如图，过点E作EM⊥AC于点M，连接BM，则当EM最小时，四边形AECF的面积最小，
第39页（共40页）∵BE+EM≥BM，BE＝4，
∴EM≥BM﹣4，
即当点B，E，M三点共线时，EM取得最小值，最小值为BM﹣4，
此时BM⊥AC时，BM最小，
1 1
∵S = AB×BC= AC×BM，
△ABC 2 2
1 1
∴ ×6×8= ×10BM，
2 2
24
∴BM= ，
5
24 4
∴EM= -4= ，
5 5
√ 24 32
∴CM=√BC2-BM2= 82-( ) 2= ，
5 5
√ 4 32 4√65
∴CE=√EM2+CM2= ( ) 2+( ) 2= ，
5 5 5
AD 3 3 3 4√65 3√65
由①得： = AD= CE= × = ．
CE 4 4 4 5 5
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边
形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性，勾股定理，平行四
边形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键．
第40页（共40页）
